Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Математические модели движения несжимаемых вызкоупругих жидкостей в магнитном поле Земли Кондюков Алексей Олегович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Кондюков Алексей Олегович. Математические модели движения несжимаемых вызкоупругих жидкостей в магнитном поле Земли: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 05.13.18 / Кондюков Алексей Олегович;[Место защиты: ФГАОУВО Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)], 2017.- 114 с.

Содержание к диссертации

Введение

1 Полулинейные математические модели соболевского типа 24

1.1 Элементы функционального анализа в исследовании математических моделей 24

1.2 Задача Коши для полулинейного уравнения соболевского типа 51

2 Математические модели движения несжимаемых вязкопру гих жидкостейвмагнитном поле Земли 56

2.1 Обобщенная модель несжимаемой вязкопругой жидкости Кельвина-Фойгта в магнитном поле Земли 56

2.2 Модель несжимаемой вязкопругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка в магнитном поле Земли 64

2.3 Модель несжимаемой вязкопругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в магнитном поле Земли 72

3 Численное моделирование течения вязкоупругой электропро водной жидкости в магнитном поле Земли 80

3.1 Алгоритм численного исследования течения вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле Земли 80

3.2 Описание программы численного решения 88

3.3 Вычислительный эксперимент для математической модели течения вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле Земли

Заключение 98

Список литературы

Введение к работе

Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта различных порядков в магнитном поле Земли. Актуальность изучения такого рода моделей обусловлена необходимостью решения важных прикладных задач в магнитогидродинамике и геофизике. Ранее такие математические модели рассматривались в работах Р. Хайда, Д. Хенри, Т. Каулинга, Ф. Чена и других авторов.

Математические модели, которые исследуются в диссертационной работе, основаны на неклассических уравнениях в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени. Впервые такие уравнения появились в работе Х. Пуанкаре в 1885 году. Систематическое их изучение началось с работ С.Л. Соболева, выполненных в 40-х годах прошлого столетия. С тех пор возникла традиция эти уравнения называть уравнениями соболевского типа. Исследованию уравнений соболевского типа и их приложений посвящено большое количество работ как российских, так и зарубежных ученых (Г.В. Демиденко, СВ. Успенского, Н.В. Сидорова, М.В. Фалалеева, И.В. Мельниковой, В.Н. Врагова, С.Г. Пяткова, А.И. Кожанова, ГА. Свиридюка, Т.Г. Сукачевой, В.Е. Федорова, В.Ф. Чистякова, Р.Е. Шоуолтера, А. Фавини, А. Яги).

Диссертационная работа примыкает к направлению, созданному и возглавленному ГА. Свиридюком, основными методами исследования которого является метод фазового пространства и метод вырожденных (полу)групп операторов.

Обобщенная модель магнитогидродинамики

Система

М П-m-l л

9 9 ^—v ^—v 2 1

(1 — я\/ )Vt = v\J v — [у V ш + у у Ат д\7 wm q vp — 2\ I х v+

т=\

Л—(V х Ь) х 6,

dwmo (1)

^f = v + amwm,o, атЄК_, 111 = 1, М, at

OWm q

j2 = qwmp-i + amwmq, q = 1, nm 1, am < 0, Amq > 0 at

V v = 0, V b = 0, bt = 8V2b + V x (y x 6),

моделирует поток несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта высшего порядка К(К = п\ + ... + пм) в магнитном поле Земли. Здесь вектор-функции v = (vi(x,t),V2{x, ),..., vn(x,t)) и b = (bi(x, t), b2{x,t),..., bn(x,t)) ха-

рактеризуют скорость жидкости и магнитную индукцию соответственно, р = р(х, t)- давление, к– коэффициент упругости, v- коэффициент вязкости, Q - угловая скорость, д- магнитная вязкость, /і– магнитная проницаемость, р– плотность, параметры Атл определяют время ретардации давления. Система (1) обобщает систему, полученную Р. Хайдом и приведенную Д. Хенри при к = 0. Рассмотрим начально-краевую задачу для системы (1)

v(x, 0) = vo(x), wm/J(x} 0) = w^ q(x), b(x, 0) = bo(x), Ух Є D,
v(x,t)
= 0, wmyq(x,t) = 0,b(x,t) = 0, V(x,t) Є dD x К+, (2)

m = 1, M, q = 0, nm-\.

Здесь D С Mn - ограниченная область с границей dD класса С.

Аналогично ставятся начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого и ненулевого порядка в магнитном поле Земли.

Задача (1), (2) лежит в русле исследований моделей сред Кельвина-Фойгта, начатых А.П. Осколковым, который обобщил знаменитую систему уравнений Навье-Стокса и получил теоремы существования и единственности решения для соответствующих начально-краевых задач.

Все указанные начально-краевые задачи рассматриваются как конкретные интерпретации задачи Коши

и(0) = щ (3)

для полулинейного автономного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + F(u). (4)

Здесь U и Т - банаховы пространства, оператор L Є C(U] J7), т.е. линеен и непрерывен, причем kerL ф 0; оператор М : domM —> Т линеен, замкнут и плотно определен в U, т.е. М Є Cl(U] J7), Ым = Є domM : ||it|| = ||Mw||j- + ||w||^}, а оператор F є C(Um]J~).

Известно, что, когда оператор L необратим (в частности, когда kerb ф 0), задача (3), (4) разрешима не для любого начального значения щ Є Ы. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений щ Є Ы, при которых (3), (4) однозначно разрешима. Такой случай возникает при изучении рассматриваемых задач и поэтому представляет несомненый интерес.

Целью работы является исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей в магнитном поле Земли на основе теории полулинейных уравнений соболевского типа с последующей реализацией алгоритмов численного решения в виде комплекса программ.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

  1. Изучить математические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей в магнитном поле Земли с помощью теории полулинейных уравнений соболевского типа. Получить описание фазового пространства, достаточные условия сущестования и единственности квазистационарных полутраекторий исследуемых моделей.

  2. Разработать алгоритм метода численного решения начальной задачи для модели, описывающей течение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в магнитном поле Земли.

  3. Реализовать в виде программ для ЭВМ алгоритмы разработанного метода и провести вычислительные эксперименты.

Научная новизна

В области математического моделирования:

Впервые исследованы математические модели, возникающие в геофизике и магнитогидродинамике, на основе теории полулинейных уравнений соболевского типа. Создана теоретическая основа для численного исследования изучаемых моделей: доказаны теоремы об однозначной разрешимости, построены и изучены фазовые пространства.

В области численных методов:

На основе конечно-разностных методов впервые разработан алгоритм численного метода, позволяющий находить приближенные решения начально-краевой задачи для изучаемых полулинейных моделей математической физики.

В области комплексов программ:

Разработанный численный метод реализован в виде программы для нахождения приближенного решения задачи Коши для полулинейной математической модели, позволяющий проводить вычислительные эксперименты для модельных и реальных задач.

Методы исследования.

Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теория относительно р—секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий.

Кроме того, при разработке алгоритмов численных методов решения используются метод Рунге-Кутты, а также конечно-разностный метод, позволяющий применить алгоритмы к требуемым задачам.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертационного исследования носят как теоретический, так и практический характер. В рамках теоретической значимости впервые проведено описание фазового пространства начальной задачи для различных моделей (нулевого, ненулевого и высшего порядков) динамики несжимаемых вязкоупругих жидкостей в магнитном поле Земли. Диссертационная работа вносит вклад в теорию нелинейных уравнений соболевского типа. Получены необходимые и достаточные условия существования единственного решения для задач Коши-Дирихле для исследуемых моделей.

В рамках практической значимости построен численный метод решения начально-краевой задачи вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле Земли. Разработанный алгоритм численного метода реализован в виде программы, с помощью которой были проведены вычислительные эксперименты. В основной программе предусмотрены блоки ввода исходных данных, расчета необходимых параметров процесса и вывода результатов расчета, как в виде таблиц, так и в виде графических отображений. Результаты, полученные при исследовании данных математических моделей, могут быть полезны в геофизике и магнитогидродинамике.

Аппробация работы.

Результаты аппробированы на конференциях: на международной конференции «Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе», посвященная дню рождения великого русского математика академика П.Л. Чебышева. (Сургут, 2014, 2016), на IV Международной школе-семинаре «Нелинейный ана-

лиз и экстремальные задачи». (Иркутск, 2014), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам.(Суздаль, 2014), на XV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. (Сочи. Дагомыс. 2014, 2015), на Международном симпозиуме «Вырожденные полугруппы и пропагаторы уравнений соболевского типа» (СимВП -2014). (Челябинск, 2014), на всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н. В. Азбелева и профессора Е. Л. Тонкова (Ижевск, 2015), на XVI Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике, летняя сессия, (Челябинск,2015), на III всероссийской научно-практической конференции «Южно-Уральская молодежная школа по математическому моделированию» (Челябинск, 2016), на XXIX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Санкт-Петербург, 2016), результаты докладывались и обсуждались на семинарах профессора Е.Ю. Панова в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого, профессора Г.А. Свиридюка «Уравнения соболевского типа» в Южно-Уральском государственном университете (национальном исследовательском университете), г. Челябинск.

Работа поддержана Министерством Образования и Науки Российской Федерации (государственное задание № 1.857.2014/К).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 16 научных работах, в их числе: 4 статьи [1-4] представлены в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки РФ для опубликования результатов диссертационных исследований, в том числе 1 статья [4] - в издании, индексируемом базой данных Web os Science, 3 статьи [1-3] - в изданиях, индексируемых базой данных Scopus; 3 статьи [1, 6, 7] - в изданиях, индексируемых базой данных Zentralblatt Math. Кроме того, имеется свидетельство о регистрации программы [5], с использованием которой проводились вычислительные эксперименты. Список работ приводится в конце автореферата. Из работ [1-6, 8-13], выполненных в соавторстве, в диссертацию вошли только результаты, полученные автором лично.

Структура и объем работы.

Задача Коши для полулинейного уравнения соболевского типа

Пусть пространства Ы и Т банаховы, оператор L : Ы — J-, линейный и непрерывный; а оператор М : dom М — J- линейный, замкнутый и плотно определенный в пространстве Ы. Пусть Ым = {и Є dom М : м = Мм j + ww} Пусть оператор F Є С (Ым] J ). Рассмотрим задачу Коши и(0) = щ (1.2.1) для полулиненейного автономного уравнения соболевского типа Ьй = Ми + F(u). (1.2.2)

Определение 1.2.1. Вектор-функцию и Є С((0,Т);Ым), такую, что она удовлетворяет уравнению (1.2.2); а также u(t) — щ при t — 0+ будем называть локальным решением (или просто — решением) задачи (1.2.1); (1.2.2). Рассмотрим L-резольвентное множество pL{M) = {ц Є С : (fiL — M) l Є JC(J-; U)} и L-спектр (TL{M) = С \ pL{M) оператора М. Определение 1.2.2. Пусть пространство Ы расщепляется в прямую сумму подпространств Ы = UQ 0 Ы\ так, чтобы ker L С UQ. Решение и = v + w, где v(t) Є UQ , а w(t) Є Ы\ для любого t Є (0,Т), уравнения (1.2.2) будем называть квазистационарной полутраекторией, если Li) = 0. Известно [59, 48, 90], что решение задачи (1.2.1), (1.2.2) существует не для всех щ Є Ым- Поэтому рассмотрим определение. Определение 1.2.3. Множетво В С Ым называется фазовым пространством уравнения (1.2.2) , если для любой точки щ Є В существует единственное решение задачи (1.2.1), (1.2.2), причем u{t) Є В.

Поскольку оператор М сильно (L,p)— секториальный, то пространства U и Т будут расщепляться в прямые суммы Ы = Ы фЫ1} J- = J- (BJ-1, где Ы и J70 - ядра, а U1 и Т1 - образы аналитических разрешающих полугрупп U1 и F1 линейного однородного уравнения Ьй = Ми . Эти полугруппы будут иметь вид: U = / R (M)efJ tdfi, Ff = / L (М)е сіц. 2-7ГІ Y 27гі Y Где Г С pL{M) - это такой контур, что arg/i — ±0 при /І — +оо, pL(M) = {/І Є С : (pL — M) l Є C(J-] Ы)} - L-резольвентное множество оператора М. R (M) = (fiL — M) l L ( LL{M) = L (fiL — M) l) правая (левая) L-резольвента оператора M. Воспользуемся результатами [50, 97] и редуцируем задачу (1.2.1), (1.2.2) к эквивалентной системе, которую будем называть нормальной формой задачи (1.2.1), (1.2.2) Ru = и + G{u) и (0) = щ, (1.2.3) и = Su + Н{и) и (0) = щ.

Здесь иk Є Ыk, к = 0,1, и = и0 + и1, операторы R = MQ LO, 5І = L\ Mi, G = M0 (/ — Q)F, H = L\ QF ((Q є C(F)(= C(F;F)) — проектор, расщепляющий пространство J- необходимым нам образом). Изучим такие квазистационарные полутраектории уравнения (1.2.2), для которых Rv = 0. Будем предполагать, что оператор R — бирасщепляющий [3], т.е. его ядро ker R и образ im R дополняемы в пространстве Ы. Пусть Ы00 = кет R} через U01 = Ы 0 U00 обозначим дополнение к подпространству Ы00. В этом случае первое уравнение (1.2.3) будет иметь вид Ru =и + и +G(u), (1.2.4) где и = и00 + и01 + и1. Теорема 1.2.1. Пусть оператор М сильно {L,p) — секториален, а оператор R — бирасщепляющий. Пусть существует квазистационарная полутраектория (1.2.2). Тогда она удовлетворяет соотношениям 0 = и + и +G(u), и = const. (1.2.5) Рассмотрим теперь достаточные условия. Поскольку при условии сильной (Ь,р)-секториальности оператора М оператор S секториален, следовательно, он порождает на Ы1 аналитическую полугруппу, которую будем обо 54

значать как \U\ : t 0}. Поскольку фактически оператор U\ — это сужение оператора IIі на Ы1. Из того, что Ы = Ы 0 U1 будет следовать существование проктора Р Є С(Ы), соответствующего данному расщеплению. Но Р Є С(Ым), а значит, Ым расщепится в прямую сумму Ым = Ъ(м м так, что вложение Ым cWfc, к = 0, 1, плотное и непрерывное [50].

Теорема 1.2.2. Пусть оператор М будет сильно (Ь,р)-секториальным, оператор R — бирасщепляющим, оператор F Є С(Ым] J ). И пусть (А1) в некоторой окрестности Ои0 С Ым точки щ выполняется 0 = щ + (/ — PR){G{U + щ + и )); (1.2.6) (А2) проектор PR Є С(ЫМ), и оператор I + PRG 0 : Ы — U — топлинейный изоморфизм (Ы = Ым ПК00); (A3) для аналитической полугруппы {U\ : t 0} выполненяется \ №\\\c.(ul-ux )dt оо W є Ш+. (1.2.7) о Тогда будет существовать единственное решение задачи (1.2.1), (1.2.2), которое является квазистационарной полутраекторией уравнения (1.2.2).

Замечание 1.2.1. Следует отметить, что второе соотношение в (1.2.5) пояснит смысл термина "квазистацинарные полутраектории."Здесь имеются ввиду такие полутраектории, которые "стационарны по некоторым переменным". В динамическом случае понятия квазистационарной полутраектории и квазистационарной траектории совпадут [51].

Замечание 1.2.2. Из условия (А1) теоремы 1.2.2 вытекает, что окрестность Ои0 — часть фазового пространства уравнения (1.2.2). Замечание 1.2.3. Условие (1.2.7) для обычных аналитических полугрупп, которые имеют оценку WUlWaw-u1) _1const, не выполняется. Пусть Ы\ = \Ul]U\i]a а Є [0,1] — некоторое интерполяционное пространство, построенное по оператору S. В теореме 1.2.2 помимо условия "F Є C ilA] ]]-) "примем также, что "Н Є C(Ul ;U ),"а вместо соотношения (1.2.7) возьмем Т \ ІІ іІІгіг/1- 1)6 Vr є Ш+. (1.2.8) о Тогда утверждение теоремы 1.2.2 не изменится. С обсуждением этого вопроса можно ознакомиться в [36, глава 9 J. Пусть Uk и Tk — банаховы пространства, операторы А є (4, J-к), а операторы Bk dom Bk — Т линейны и замкнуты с областями определений dom Bk плотными в Uk-, к = 1,2. Рассмотрим пространства Ы = ЬІ\У ЬІ21 J = J7і x Ті и операторы L = A\ S A2, M = B\ S B2. По построению оператор L Є C(U] J7), а оператор M : domM — T линеен, замкнут и плотно определен, domM = dom i х dom 2

Модель несжимаемой вязкопругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка в магнитном поле Земли

Доказательство. Утверждение теоремы следует, очевидно, из секториаль-ности оператора 2 [80]. Положим U = Ы\ X /із, J = J; X T i Вектор U пространства Ы имеет вид U = CO Ua U Up Ub) где со/(мсг,м7Г,мр) Є Ы\} а щ Є 2, Щ = (&сг,&7г), Ьа Є Н2, Ь Є Н2. Аналогичный вид имеет вектор / Є J-. Операторы L и М определим равенствами L = А\ S 2 и М = В\ S 2- Оператор L принадлежит C{U] J7), а оператор М : dom М — Т является линейным, замкнутым и плотноопределенным, dom М = Ы\ х dom 2 Теорема 2.3.3. Пусть х 1 я" )? тогда оператор М сильно (L,l)-секториален. Доказательство. Следуя теореме 2.3.2 и замечанию 1.6.6 в работе [69], оператор В\ сильно(Лі, 1)-секториален. В следствие этого, а также теорем 1.2.3 и 2.3.2утверждение теоремы 2.3.3справедливо. И Построим нелинейный оператор F. Представим его в виде F = F\ S i 2, где F\ = Fi{ua) щ,Ь) = col(—1](((мсг+м7Г)-У)(мсг+м7Г) — 2Qx (мсг+м7Г) + (Ух6) x&), —U(((ua + щ) V)(ua + щ) — 2Q x (iiCT + щ) + (V x 6) x 6), 0), = 2(" cr, Мт,-, 6) = V X ((ua + Щ) X 6). В нашем случае Ым = Wi х dom 2 (в силу непрерывности оператора В\). Теорема 2.3.4. Оператор F принадлежит C(UM]J ). Доказательство. Утверждение теоремы 2.3.4 следует из того факта, что при любых и Є Ым оператор F u принадлежит (Ым ,3 ). Аналогично можно заключить, что вторая производная Фреше F" оператора F является непрерывным билинейным оператором из Ым х Ьім в J7, а F " = О (аналогично работам [59, 48]).

Итак, задача (2.3.1), (2.3.2) редуцирована к задаче (1.2.1), (1.2.2). В дальнейшем мы их отождествляем. Проверим условия теорем 1.2.1 и 1.2.2.

Из теорем 1.2.1 и 1.5.1 [69] следует существование аналитической полугруппы {U1: єМ+}, разрешающей уравнение (1.2.2). В данном случае эту полугруппу будем представлять в виде U1 = Vі х W , где Vі(Wf) - сужение оператора U1 на 1Л\{ІА і). Из того, что оператор 2 секториален, следует, что Wl = ехр(Ш2), откуда имеем, что ядро этой полугруппы УУ = {0}, а образ

Рассмотрим, далее, полугруппу {Vі : t Є №+} Следуя теоремам 2.3.1 и 2.3.3 и замечанию 1.5.2 из [69] данная полугруппа может быть продолжена до группы {Vі : t Є Ш}. Ее ядро V0 = Ы 0 Ы1, где Ы = {0} х {0} х Нр(= ker Лі в силу теоремы 2.3.1, а U1 = Т,А 1 А 1[НІ] х Н х {0}. Здесь Ак = I — ж А, АК7Г - сужение оператора IL4"1 на Н . Как известно, в случае, когда ж 1 ф о (А) U а(Аа), оператор АК7Г : Н — Н будет топлинейным изоморфизмом [69]. Обозначим через Ы\ образ Vі. Тогда, в силу того, что оператор В\ сильно (Лі, 1)-секториален, пространство Ы\ будет разлагаться в прямую сумму подпространств Ы\ = Ы 0 Ы 1 0 Ы\.

Перейдем к построению оператора R (см. (1.2.3), (1.2.4)). Имеем, R = В 0 А\о Є C(Ui 0 и1), где Лю(-Вю) - сужение оператора Ai{B\) на и0 0 Z i 1. (Существование оператора В 0 имеет место в силу теоремы 1.2.3 и результатов из [69]). По построению ker Л = Z 0, а в работе [55] показано, что imR = Ы . Следовательно, оператор R является бирасщеп-ляющим. Пусть PR - проектор пространства Ы 0 Ы на Ы вдоль Ы . В силу конструкции пространства Ым проектор PR принадлежит С(ЫМ), где Ым = Ым П (Ui (BUil)(= UI (ВЫ1). Таким образом, справедлива

Лемма 2.3.1. Пусть х 1 о (А) U а(Аа). Тогда оператор R бирасщепляю-щий, причем PR Є С{ЫМ). Рассмотрим проекторы Ро = 0 о 0 0 Pi = Pi"2 о о п о ООП 0 где Р/2 = SA"1А \. В силу того что УУ = {0}, имеем I — Р = (PQ Ф А) Ф О. Тогда, действуя проектором / — Р на уравнение (1.2.2), получаем уравнения Yl{vA{ua + Мтг) — ((иа + Мтг) V)(iiCT + щ) — ир — 2Q х (иа + щ) + (V х 6) х Ь) = 0, РМт,- = 0, Р&7,- = 0. (2.3.4) Отсюда, из свойств оператора Р, а также следуя теореме 1.2.1 получаем необходимое условие квазистационарности полутраектории щ = 0, Ъ = 0, что означает, что все решения(если они существуют) нашей задачи с необходимостью должны лежать в плоскости В = {и Є Ым Щ = 0, Ъ = 0}.

В силу того что Иир = Up, из первого уравнения (2.3.4) получаем соотношение (1.2.5), т.е. применительно к нашему случаю ир = II(z/Аиа — (иа V)ua — 2Q х иа + (V х ba) х 6а). (2.3.5) Из тождества Ро = PR следует, что в нашем случае второе и третье уравнения в (2.3.4) есть соотношение (1.2.6). То есть, имеет место Лемма 2.3.2. При выполнении условий леммы 2.3.1 всякое решение задачи (2.3.1), (2.3.2) потраекторно прнадлежит множеству 9JT = {и є Ым Щ = 0, &7Г = 0, ир = U(i Aa — (ua- V)ua—2Qxua+( Vxba)xba)}. Замечание 2.3.2. Из соотношения (2.3.5) вытекает условие А2) теоремы 1.2.2 для любой точки м{] Є м(— і х {0})- Поэтому аналогично п. 3.2 из [69] следует, что 9JT яавляется простым банаховым многообразием, С-диффеоморфным подпространству Ы\ х U.2- В дальнейшем будет показано, что именно оно будет фазовым пространством задачи (2.3.1), (2.3.2) ((2.3.3), (2.3.2)).

Модель несжимаемой вязкопругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в магнитном поле Земли

Данный метод был реализован в среде математического пакета Maple. Написанная программа находит приближенное решение задачи Коши - Дирихле, моделирующей течение вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле. Позволяет численно исследовать изучаемый процесс при изменении различных значений параметров задачи в широком диапазоне. Обобщенная схема алгоритма программы приведена на рис. 3.2.1.

Опишем алгоритм, подробнее. Шаг 1. Вводятся значения коэффициентов %, v.s p.s /І, 6. Задаются количество узлов дискретизации Nrj Nz области исследования D и находятся равномерные шаги сетки hr, hz по осям Or, Oz. Задаются начальные г о(г, z), bo(r,z) и граничные условия. Шаг 2. Нахождение коэффициентов в алгебраических формулах аппроксимации производных до четвертого порядка. Шаг 3. На шаги 4 и 5 выполняются в цикле по і от первого до последнего временного слоя. Шаг 4. Нахождение сеточные выражения В1фц )), C[ ik(t),Aik(t), G(Aik(t)\, M(ifjik(t),Aik(t) и матрицы столбцы Y(il ik(t),Aik(t)), F(il ik(t),Aik(t)). i-i / fiij 3=1 Шаг 5. Используя одношаговые формулы Рунге - Кутты, нахождение приближенное решение задачи (3.1.14) - (3.1.16). Для формул типа Рунге -Кутты коэффициенты вычисляются по формуле ki = hf tn + CKJ/I, yn + fiij где CKJ, (3ij взяты из статьи [39]. Шаг 6. Решение, полученное в узлах сетки для каждой из компонент искомых функций, записывается в таблицы. По таблицам строятся графики каждой компоненты. Шаг 7. Вывод на экран дисплея найденное приближенное решение задачи (3.1.1) - (3.1.3) в виде таблиц и графиков.

Программа Численное моделирование течения вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле предназначена для нахождения приближенного решения задачи Коши-Дирихле, моделирующей осесим-метричное течение несжимаемой электропроводной вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта в цилиндре конечной длины в магнитном поле Земли. Программа написана на языке математического пакета Maple. Функциональное назначение

Программа Численное моделирование течения вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле предназначена для численного исследования процесса осесимметричного течения несжимаемой электропроводной вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта в цилиндре конечной длины в магнитном поле Земли. Пакет программ позволяет найти приближенное решение задачи Коши-Дирихле, моделирующей исследуемый процесс, при изменении различных значений параметров задачи в широком диапазоне. В основной программе предусмотрены блоки ввода исходных данных, расчета необходимых параметров процесса и вывода результатов расчета, как в виде таблиц, так и в виде графических изображений.

Логическая структура программы

Опишем логическую структуру программы. В начале программы запускается математический пакет Maple, в нем открываются исполняющие файлы (расширение .mws) и запускаются на выполнение. Непосредственное изменение значений параметров, используемых в процессе численного исследования модели, в листинге главной программы перед ее запуском. Порядок работы с пакетом программ: 1. Открытие главной программы в среде Maple. 2. Ввод данных. 3. Запуск на выполнение Результатом работы пакета программ является табличное и графическое представление решения исследуемой задачи. 3.3. Вычислительный эксперимент для математической модели течения вязкоупругой электропроводной жидкости в магнитном поле Земли

Используя пакет программ, написанный в среде Maple для исследования численного решения задачи нахождения скорости течения электропроводной жидкости и индуцированного магнитного поля проведены многочисленные вычислительные эксперименты. В таблицах 1-6 приведены результаты приближенного решения начально - краевой задачи (3.1.1) - (3.1.3) при следующих значениях параметров задачи % = 2,7 м/с , v = 0, 00328 м/с, /І = 1 р = 1000 кг/м , д = 0,1, Го = 0,1 м, ZQ = 0, 2 м. На рисунках 1 - 6, соответсвующие графики компонент решения.

Вектор - функции vo{r,z) и bo(r,z) в начальных условиях (3.1.2) задавались виде г о = щгіг, bo = broir, где LOQ = 0,25 1/c, bro = 0,00005 Тл. Начальные условия для вектор - функций ф, А задавались в виде ф(г,г,0) = 0, 25ujor(2zir — riz), A(r, z, 0) = —broziip. Граничные и начальные условия для вектор - функций ф и А имели следующий вид: ф(г, z, t) = 0, A(r, z, t) = 0, (ж, г, t) Є dD х R+. Проведенные вычислительные эксперименты показали вычислительную устойчивость разработанного алгоритма численного решения начально - краевой задачи (3.1.1) - (3.1.3).

Описание программы численного решения

Рассмотрим процесс осесимметричного течения несжимаемой электропроводной вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта в цилиндре конечной длины в магнитном поле Земли. Начально-краевая задача, описывающая данный процесс, имеет вид: 1 1 (1 — xAj t = VL\V — \v \7)v \7p — 2\l x v -\ (V x о) x o, P PI1 (3.1.1) Vf = 0, V6 = 0, bt = 5Ab + V x (v x 6), v(x, 0) = vo{x), b(x, 0) = bo(x), x Є D, (3.1.2) v(x,t) = 0, b(x,t) = 0, (x,t) Є dD x R+. (3.1.3) Здесь v - скорость жидкости, b - индукция магнитного поля, р - гидродинамическое давление, х – коэффициент упругости жидкости, Q - угловая скорость вращения жидкости, 6 - магнитная вязкость жидкости /І - магнит 1 ная проницаемость жидкости, р - плотность жидкости, И = -V х v - угло 2 вая скорость вращения жидкости, D Є В2 цилиндр с достаточно гладкой границей dD. В параграфе 2.3 с помощью теории полулинейных уравнений соболевского типа доказана теорема существования и единственности решения указанной задачи. Для того, чтобы удовлетворить второму уравнению (3.1.1), положим v = V х г\). (3.1.4) При этом Vf = V (V х ф) = 0 [29]. Подставляя (3.1.4) в (3.1.1), найдем (3.1.5)

Введем цилиндрическую систему координат (г, (/?, z) с центром О на одной из боковой поверхности цилиндра D и ось Oz совместим с осью цилиндра. В дальнейшем, в силу осесимметричности течения жидкости, надо учитывать, df что = 0, где / любая функция, входящая в решение задачи. ор Запишем векторно - дифференциальные операторы, входящие в систему дифференциальных уравнений (3.1.9), в цилиндрической системе коорди нат

Используя процесс дискретизации, систему дифференциальных уравнений в частных производных (3.1.9) конечно - разностным методом преобразуем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Для этого на области исследования D в сечении ср = /?о, рассмотрим множество точек Dhr:hz = {(rn V o? Zk)}, Dhr:hz D, і = l,Nr, к = 1,NZ, где hr, hz определяют равномерные шаги сетки дискретизации по соответствующим осям цилиндрической системы координат. Обозначим через Го радиус цилиндра, а через ZQ его длину. Тогда конечно - разностный аналог начально -краевой задачи (3.1.9) - (3.1.11) запишем в виде: dY{ lk{t),Alk{t)) dt F(il ik(t),Aik(t)), (3.1.14) Vik{t) = G(i/jik(t)), bik(t) = G(Aik(t)), G(ipik{0) =vo[Ti,zk), G(Aij (0)) = ЬО(ГІ, zk), (ГІ, tpo, zk) є D, (3.1.15) G( ifiik(t)) = 0, GlAik(t))=0, (гі,іро, zk,t) Є 3D x R+ (3.1.16) Здесь Bibik{t) Г(фгк(і),Агк(і)) G[4 ik(t),Aik(t) F(il ik(t),Aik(t)) 6( ik(t),Aik(t) MUik(t),Aik(t) i ik(t) = Ф{ТІІ zk,t), Aikit) = А(ГІ, Zk,t), Bipik{t), C ik(t), Aikit) G(Aik(t)\, Mlifjik(t),Aik(t)j являются конечно - разностными аналогами выражений В(ф), С(ф,А), G(A), М(ф,А) соответственно.

Для получения сеточных выражений В1фц )), С(фік(ї), Aikit) G( Aikit)), МІфік(і), A it)) надо аппроксимировать производные до четвертого порядка. Для этого в математической среде Maple написана программа, позволяющая находить коэффициенты в алгебраических формулах аппроксимации производных необходимого порядка, используя заданное количество узловых точек и определяющая порядок точности их аппроксимации. Для численного решения задачи Коши (3.1.14) - (3.1.16) используются алгоритмы, основанные на явных одношаговых формулах типа Рунге -Кутты [39].

Алгоритм численного решения задачи (3.1.1) - (3.1.3) сводится к следующим этапам. Этап 1. Вводя вектор-функции ф и А соотношениями (3.1.4), (3.1.8), с помощью векторно дифференциальной операции rot исключить гидродинамическое давление жидкости р из системы дифференциальных уравнений в частных производных (3.1.1). В результате прийти к начально-краевой задаче (3.1.9) - (3.1.11). Этап 2. Используя процесс дискретизации конечно-разностным методом, преобразовать систему дифференциальных уравнений в частных производных (3.1.9) в систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени (3.1.14). Провести дискретизацию граничных условий (3.1.10), (3.1.11). В результате получить задачу Коши (3.1.14) - (3.1.16) для алгебро-дифференциальной системы (3.1.14). Этап 3. Получить приближенное решение задачи Коши (3.1.14) -(3.1.16), используя явные одношаговые формулы типа Рунге - Кутты.