Содержание к диссертации
Введение
Глава I Общая теория нелинейных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли - 22
1 Основные гипотезы и допущения 22
2 Математическая модель сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли 24
3 Выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Копій 27
4 Алгоритм расчета динамики балок Эйлера-Бернулли 34
4.1 Метод конечных разностей с аппроксимацией 0[с2) 34
4.2 Метод конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркииу 35 5 Достоверность получаемых результатов 37 Выводы по главе 45
Глава II Сложные колебания гибких балок Эйлера-Бернулли в условиях поперечных и продольных знакопеременных нагрузок 47
1 Сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические для гибких 47
балок Эйлера-Бернулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки
2 Сопоставление результатов расчета гибких балок Эйлера-Бернулли для четырех типов краевых условий 70
3 Влияние отношения a/(2h) на характер колебаний гибких балок 80
4 Учет влияния некоторых типов трения для балки Эйлера-Бернулли 85
Выводы по главе 93
Глава III Колебание гибких балок Эйлера-Бернулли при действии 94 продольного удара груза массой М
1. Алгоритм расчета и достоверность получаемых результатов 94
М„ 95
2. Исследование влияния на сложные колебания отношения % = М6 скорости груза V i
Выводы по главе 103
Глава IV Сложные колебания гибких балок С.П.Тимошенко 105
1. Основные гипотезы и допущения 105
2. Математическая модель гибкой балки С.П.Тимошенко 106
3. Алгоритм расчета гибкой балки С.П.Тимошенко методами конечных разностей и конечных элементов, достоверность получаемых результатов 108
4. Исследование характера колебаний гибкой балки С.П.Тимошенко в 1 13
зависимости от краевых условий
Выводы по главе 127
Глава V Сложные колебания гибких балок Пелеха-Шереметьева 129
1. Основные гипотезы и допущения 129
2. Математическая модель гибкой балки Пелеха-Шереметьева 130
3. Алгоритм расчета гибкой балки Пелеха-Шереметьева методами 136
конечных разностей и методом конечных элементов, достоверность получаемых результатов
4. Учет влияния поперечных сдвигов на сложные колебания гибких балок 139
Выводы по главе 148
Заключение 150
Список использованной литературы
- Выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Копій
- Сопоставление результатов расчета гибких балок Эйлера-Бернулли для четырех типов краевых условий
- Алгоритм расчета гибкой балки С.П.Тимошенко методами конечных разностей и конечных элементов, достоверность получаемых результатов
- Математическая модель гибкой балки Пелеха-Шереметьева
Введение к работе
(краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)
В связи с появлением сложных инженерных и технических сооружений в последние десятилетия к вопросам динамики конструкций проявляется особый интерес. Спектр применения балочных конструкций также продолжает активно расширяться. Так, развитие авиационной, строительной и морской техники выдвинуло в число наиболее актуальных задач изучение поведения балок, их динамики и устойчивости при воздействии внешних нагрузок. В различных областях техники (строительство мостов, зданий-, железнодорожных путей), используются балочные конструкции, работающие под действием динамических и ударных нагрузок. Стержни и балки широко применяются и в машиностроении (строительство валов, барабанных аппаратов и т. п.). Резко возрастают требования к оценкам прочности и экономичности различных конструкций. Одним из факторов, ограничивающим прочность, является потеря устойчивости ее элементов, то есть изменение их формы, а не полное разрушение материала.
Теоретические исследования по изгибу деформированных стержней не были опубликованы, пока Якоб Бернулли не получил необходимые соотношения для кривизны при изгибе и дифференциальное уравнение статического изгиба (1695), которое потом исследовал и интегрировал Леонард Эйлер (1744). Так было получено дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки Эйлера-Бернулли [1].
Свой значительный вклад в изучение колебаний балок и стержней в XVIII веке внесли такие ученые, как: Лагранж, Юнг, Навье, Клапейрон, Сен - Венан.
Исследованием изгибных колебаний и волн в стержне занимались Ж. Фурье [2] и Ж. Буссинеск [3, 4] уже в XIX веке. Тогда же русская школа механики занимает очень серьезные позиции в мировой науке. Ярким ее представителем был Дмитрий Иванович Журавский [5], ставший одним из основателей науки о сопротивлении материалов и конструкций. Исследователь Ы. Л. Белелюбский [6 занимался расчетами мостов. Так же необходимо отметить труды таких ученых, как Ы. П. Петров [71, Д. К. Бобылев [8, 9], В. Л. Кирпичев [10J, Ф. С. Ясинский [ 11, 121, которые занимались изучением балок. Н. П. Петров исследовал проблемы прочности и колебаний рельсов. В. Л. Кирпичев известен своими работами по строительной механике. Феликс Станиславович Ясинский (1856 - 1899) составил ряд проектов железнодорожных мостов и других сооружений, впервые обосновал значение устойчивости сжатых стержней. Д. К. Бобылев создал курс аналитической механики. Таким образом, постепенно формируется школа теоретической механики.
В начале XX века, в результате известных исторических событий, многие ученые, не приняв революцию, покинули Россию. Среди них был и С.П.Тимошенко. Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, основанное на учете влияния инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига, было получено С.П.Тимошенко в 1916 г. [13J, что более известно по английской публикации 1921 г. Его работы «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [14], «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [15] и многие другие и в настоящий момент представляют огромный интерес для исследователей этого класса задач. С.П.Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделай ранее Дж. Релеєм (1877), и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу.
Что же касается тех ученых, кто остался в России, они стали основоположниками советской школы механики. Хочется отметить такую ее характерную черту: исследования балок вплоть до первой половины 70-х годов прошлого века были неразрывно связаны с исследованием пластин и оболочек, причем первоначально в основном рассматривались задачи статики. В этот период все явления рассматривались учеными разных стран в рамках теории малых упруго пластических деформаций, т.е. соотношения между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и между деформациями и усилиями, с другой, следовало полагать линейными. Постепенно возникает практическая необходимость учитывать большие прогибы. Появляются современные материалы, упругие свойства которых не позволяют применять классический закон Гука. Эти факторы, а также потребность в исследованиях конструкций, имеющих различного вида нарушения и неоднородности в структуре, привели к необходимости рассмотрения нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями (геометрическая нелинейность), а также деформациями и усилиями (физическая нелинейность). Можно отметить огромный вклад в развитие теории таких ученых, как: В.В.Новожилов [16, 17], В. 3 .Власов [18], А. С. Вольмир [19-201, X. М. Муштари и К. 3. Галимов [21], В. В. Болотин [22-23], М. С. Корнишин [24], П. М. Огибалов и М.Л. Колтунов [25], Л. Л. Гольденвейзер [26], Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов [271, Л.Л. Ильюшин [28], К. Ф. Черных [29, 30].
Следует отмстить, работы таких ученых, как И. А. Цурпал и Н. А. Шульга [311, которые вывели основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности. Исследования Н. И. Дедова, М. С. Корнишина и Ы. Ы. Столярова [32], которыми были получены дифференциальные уравнения больших прогибов прямоугольных в плане пологих оболочек из нелинейного упруго сжимаемого материала (т.е. учтено совместное влияние геометрической и физической нелинейностей). А также работу В. А. Крысько [33], в которой рассматривается теория неоднородных гибких оболочек с учетом поперечных сдвигов. В монографии К. Васидзу [34], с единых позиций излагается построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности, причем рассмотрено их приложение к конкретным задачам. Следует упомянуть также работы В. А. Крысько и А. А. Сопенко [35], Менга, Ванга и Ли [36], Л. А. Аголовяна [37], Догаки и Пека [38].
Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах, оболочках и балках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейно зависеть от усилий.
Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги Л. С. Вольмира [39], Б. Я. Кантора [40], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Так же этому вопросу посвящены работы А. М. Варыгина [41], и А. В. Лапшина [42]. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом иагружеиии наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.
Что же касается непосредственно теории балочных конструкций, то, начиная с 70-х годов прошлого века, она снова начинает активно развиваїься, выделяясь постепенно в отдельную область исследований. Здесь можно отметить работы X. Ы. Эйбрамсона, X. Дж. Пласса, Э. А. Риппергера [43], Л. Коллатца [44]. Следует выделить работу Шпехта и Крампа [45], в которой подробно рассмотрен вопрос влияния показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Интересными являются работы и Лакшмикумаран и Викерта [46], Ванга и Лина [47], первая из которых посвящена изучению вопроса потери устойчивости узких полос из различных материалов из-за несовершенства устройств транспортировки путем протяжки, вторая - систематическому анализу точного решения задач в строительной механике балочных конструкций различного назначения. В своей статье Редди [48] сделал краткий критический обзор различных моделей для анализа показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Были обсуждены динамические версии этих моделей, представлены результаты расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. Книга А. А. Ананенко и К. Л. Комарова [49] посвящена рассмотрению вопросов жестко- и упруго-пластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жестко - или упруго-пластических сред.
Широкий спектр практического применения балок приводит к тому, что реальные экспериментальные исследования играют важную роль при их изучении. Из экспериментов последних лет можно отметить опыты А. К. Зуева [50] с тонкой стальной лентой, Кулькарни и Шаха [51] по испытанию на поперечный изгиб свободно опертых железобетонных балок при различных скоростях нагружепия. Интерес также представляют проведенные Брюнером [52] исследования по определению несущей способности при растяжении, сжатии и поперечном изгибе деревянных балок, а также балок со стальными накладками, прямоугольного и двухтаврового сечения с учетом пластических деформаций. Эти, а также многие другие опыты дают экспериментально накопленный материал, необходимый для проверки и подтверждения вычислительных экспериментов, с помощью которых появляется возможность изучения все более сложных случаев.
Вообще, следует отметить, что ко второй половине 60-х годов ХХ-го века были разработаны и систематизированы методы составления физико-математических моделей механических систем, такие, например, как метод Бубнова-Галеркина 53], [54]; метод Власова-Канторовича [33]; вариационные принципы [55], [341 и некоторые другие. В частности, по аналогии с разработанным В. М. Федоровым, А. В. Кривцовым и Е. К. Сурниной [561 алгоритмом для расчета плит па упругом основании с учетом накопления повреждений, появились алгоритмы для исследования балок с учетом расслоений и трещин. Кроме этого было обосновано применение методов вычислительной математики для проведения численных экспериментов, например, метода Рунге-Кутта [57], [58J; разностных схем [59]; методов векторной алгебры [36] и некоторых других.
В работе [60] P. J. Holmes, J. Marsden используют метод Мельникова для исследования хаотических колебаний балки при внешнем нагружении. С помощью метода малых возмущений и спектра Ляпуновских показателей хаотические колебания эластичной балки под действием периодической внешней силы исследованы в работе [61] A. Maewal. Необходимо отметить работы Луо [62,63], где выведены условия существования хаоса в недиссипативиой среде. В работе Тайга и Довела [64] рассмотрено хаотическое поведение балки под действием внешней силы. В работах Я.Аврсйцевича, В.А. Крысько, А.В.Крысько и А.Ф.Вакакиса [65-70] широко рассмотрены вопросы нелинейных колебаний пластин и оболочек. Существование и единственность решения динамической задачи для оболочек типа Тимошенко исследовано в [71,72]. В работе [73] построены геометрически нелинейные физико-математические модели для анализа показателей напряженно-деформированного состояния при поперечном изгибе упругих и упругопластичсских балок, претерпевающих малые деформации и умеренные вращения. На базе применения вариационного принципа виртуальных работ для упругих балок и использования вариационной формулировки Нила для упругопластических балок в случае одномерной задачи выведена система из четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия с соответствующими граничными условиями. Численное решение последних получено итерационным методом без введения ограничений типа Бсрнулли. Изложенный вариационный подход применим также к расчету упругих и упругопластических балок с переменным поперечным сечением. Что касается исследований, посвященных хаотическим состояниям системы, можно отметить работы [74, 75], в которых представлены результаты исследования глобальных бифуркаций и хаотической динамики в нелинейных неплоских колебаниях консольной балки под действием осевых гармонических возбуждений и поперечных возбуждений на свободном конце балки. Получены основные уравнения задачи. Методом Бубнова-Галеркина получена нелинейная система с двумя степенями свободы. В исследовании системы использован метод пертурбаций. В нелинейных колебаниях обнаружено хаотическое движение. Численное исследование уточняет аналитические предсказания. А также исследуется динамическое поведение нелинейно-упругой балки при большом отклонении. Путем варьирования размеров и параметров нагрузки получены два типа нелинейных динамических уравнений. Хаотические критические условия заданы функцией Мельникова для модели с одной модой. Исследовано хаотическое движение. Проведено сравнение моделей с однократной и двойной модами. Показано, что использование моделей только с одной модой ведет в некоторых случаях к неверным выводам. Проанализированы условия применимости метода с одной модой.
Вопросу компьютерного моделирования упругих тел при больших деформациях посвящена работа [76], где подчеркивается недостаточность обоснования и проверки численных формулировок при постановках таких задач. Приводится пример обоснованной постановки задачи в абсолютной узловой координатной формулировке. Найденные результаты сопоставляются с опытными данными испытаний консольной балки при использовании высокоскоростной камеры и системы сбора и обработки данных.
Однако, несмотря на то, что в последнее время много внимания уделяется хаотическим колебаниям таких сложных детерминированных систем, как пластины, конические, сферические и цилиндрические оболочки [77-79], стохастические колебания диссипативиых, геометрически нелинейных балок Эйлера-Бернулли мало изучены. Необходимо отметить работы [80-83], которые посвящены исследованиям нелинейных колебаний балок, также и при продольном ударе. Методы семейства Рунге-Кутта, изложены в [84]. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб, изучены в диссертационной работе О. Н. Киреевой [85].
Я. Аврейцевич, В. А. Крысько и А. В. Крысько [86] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативиых пластинчатых конструкциях. В. А. Крысько, Т. В. Вахлаева и А. В. Крысько [87] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгеибаума в динамике пластин проанализирован в работе Я. Аврейцсвича и В. А. Крысько [651. П. С. Ланда [88] рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.
В работе [89] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хаи, Ху и Янг [90] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [91] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А. В. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботарсвский [92]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки иод действием импульсной периодической нагрузки исследовали В. А. Крысько и А. В. Кириченко [93]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.
Пособие А. В. Крысько и М. В. Жигалова [94] посвящено изучению математических моделей распределенных систем в виде балок и построению методов исследования их сложных колебаний.
Па основании приведенного обзора публикаций, можно сделать следующие выводы.
1. Значительное внимание уделяется изучению хаотических колебаний пластин, оболочек и цилиндрических панелей. Выявлены новые сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим для данного класса задач. В то время, как исследованию нелинейной динамики балок уделено не значительное внимание.
2. В основном, в применении к пластинам, оболочкам и цилиндрическим панелям, рассматривается математическая модель Эйлера-Бернулли.
3. Математические модели гибких балок С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева практически не представлены в изученной литературе.
Исследованию сложных колебаний неклассических распределенных механических систем в виде балок с учетом кинематических моделей Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева методами конечных разностей и конечных элементов посвящена данная работа, так как в известной нам литературе эти вопросы не достаточно освещены.
Целью работы является построение математических моделей нелинейных колебаний сложных механических систем в виде балок с учетом гипотез Эйлера-Бернулли, СП. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева. Для достижения этой цели необходимо решение следующих задач:
1. Разработка математических моделей для сложных колебаний гибких балок по гипотезам Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха-Шсремстьева для некоторых типов граничных условий под действием знакопеременной и ударной нагрузок.
2. Изучение сценариев перехода от гармонических колебаний к хаотическим для различных гипотез с учетом некоторых управляющих параметров.
3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования сложных колебаний диссипативных систем в виде упругих балок с учетом различных гипотез при произвольных граничных условиях.
4. Качественное исследование динамики гибких балок на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующих параметров: краевых условий, амплитуды и частоты равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, ударных нагрузок, величины диссипативных членов, угла поворота и искривления нормали. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 164 страницы наборного текста, в том числе 19 рисунков, 49 таблиц.
В первой главе формулируются основные гипотезы и допущения для построения математической модели сложных колебаний балок Эйлера-Бернулли. Проводится сравнительный анализ методов типа конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши. Разработан алгоритм" расчета динамики балок Эйлера-Бернулли методами конечных разностей с аппроксимацией 0[с2) по пространственной координате и конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркину. Обеспечивается достоверность получаемых результатов.
Во второй главе изучаются сложные колебания гибких балок Эйлера-Бериулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки, для различных граничных условий. Ставится вопрос о влиянии геометрических параметров гибкой балки на характер колебаний рассматриваемой системы. Изучаются сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические, при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Рассматриваются некоторые типы трения и упругих оснований, в применении к гибким и жестким балкам Эйлера-Бернулли.
Третья глава посвящена исследованию колебаний балок Эйлера-Бернулли при действии продольного удара груза массой М . Приведен алгоритм расчета поставленной задачи. Исследуется влияние на сложные колебания балки отношения В четвертой главе сформулированы основные гипотезы и допущения для построения математической модели гибкой балки С. П. Тимошенко. Построена математическая модель гибкой балки С. П. Тимошенко. Разработай алгоритм расчета методами конечных разностей и конечных элементов. Изучаются сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим. Исследуется характер колебаний гибкой балки С. П. Тимошенко в зависимости от управляющих параметров.
В пятой главе приведены основные гипотезы и допущения для построения математической модели гибкой балки Пелеха-Шереметьева. Построена сама математическая модель. Разработан алгоритм расчета сложных колебаний гибких балок Пелеха-Шереметьева методами конечных разностей и конечных элементов. Изучается учет влияния поперечных сдвигов на сложные колебания гибких балок.
Список используемой литературы включает 123 наименования.
Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Построена математическая модель сложных колебаний гибких упругих балок с некоторыми краевыми условиями под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок, с использованием гипотез Эйлера-Бериулли, позволяющая проводить качественный анализ динамического поведения балки при действии различных управляющих параметров (тип трения и значения коэффициентов диссипации энергии, учет различных граничных условий, относительная толщина балки, частота и амплитуда вынуждающих колебаний, скорость груза в момент удара, отношение массы балки к массе груза и др.).
2. Построенная математическая модель сложных колебаний гибких упругих балок с произвольными краевыми условиями под действием поперечной знакопеременной нагрузки, с использованием гипотез С. П. Тимошенко учитывает инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений. Реализация этой математической модели позволила провести качественный анализ динамического поведения балки при действии различных управляющих параметров (граничные условия, амплитуда и частот вынуждающих колебаний, величина геометрического параметра).
3. Построенная математическая модель сложных колебаний гибких упругих балок с произвольными краевыми условиями под действием поперечной знакопеременной нагрузки с использованием гипотез Пелеха-Шеремегьева, учитывающая инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений, позволяет изучать влияние граничных условий, амплитуды и частоты вынуждающих колебаний, а также геометрического параметра на динамическое состояние балки.
4. Сценарии перехода колебаний гибких балок от гармонических в хаотические, для различных граничных условий, с учетом различных управляющих параметров. Изучение сценариев позволяет провести их классификацию в соответствии с ранее изученными, а также прогнозировать поведение исследуемой динамической системы во времени при изменении управляющих параметров.
5. Учет различных типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) и упругих оснований Винклера и В. 3. Власова для гибкой и жесткой балки Эйлера-Бериулли позволило провести сопоставление влияния учета упругих оснований Вииклера и В.З. Власова и типов трения, для математической модели балки Эйлера-Бернулли.
6. Разработаны и реализованы алгоритмы, методика и комплекс программ анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде гибких упругих балок с произвольными краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок, с помощью которых проведен качественный анализ состояний балки Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева.
Достоверность и обоснованность обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных методом конечных разностей и методом конечных элементов по пространственной координате.
Результаты, полученные автором диссертации, согласуются с имеющимися физическими представлениями, основанными на экспериментах.
Практическая ценность и реализация результатов. Предложенные математические модели позволяют решать широкий класс практических задач динамики нелинейных гибких упругих балок при произвольных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в виде балок в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждающей нагрузки, краевых условий, геометрического параметра, диссипативных членов, упругого основания). Предложенные алгоритмы расчета динамики нелинейных упругих балок могут быть использованы при создании балочных систем для инженерных конструкций, в приборостроении при инженерных расчетах. Результаты, полученные в диссертации, использовались при чтении курса лекций «Математические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем», а так же при написании учебных пособий по данной теме. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта 2006-2008 гг. РФФИ № 06-08-01357 и гранта СГТУ 1.3.08.2008 г.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на III Международной конференции по теории нелинейной динамики механических и биологических систем (Саратов, 2004); XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005); 8th conference of Dynamical systems «Theory and Application, DSTA 2005» (Lodz, Poland, 2005); научном семинаре кафедр «Автоматика и биомеханика» и «Прочность материалов и конструкций» Технического университета г. Лодзь (Польша, 2006); третьей Международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов (Украина, г. Донецк, 2007); 9th conference of Dynamical systems «Theory and Application, DSTA 2007» (Lodz, Poland, 2007); IV Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); VII Межрегиональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2007); Международном семинаре, посвященном памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Сачепкова (Казань, 15-17 сентября 2008).
Данная диссертационная работа выполнена в Саратовском Государственном Техническом Университете на кафедре «Высшая математика» и в Техническом Университете г. Лодзь (Польша) на кафедре «Автоматика и биомеханика».
В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.и., профессора В.А.Крысько, (Россия, 2008); кафедры «Автоматика и биомеханика» Технического университета г. Лодзь (Польша, 2008) под руководством профессора Я.Аврейцевича; на научном семинаре Lodzkiego Polskiego Towarzystwa Mechaniki Teorctycznej і Stosowanej г. Лодзь (Польша, 2008) под руководством профессора Катаржины Коваль-Михальской; на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Россия, 2008).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [95-106].
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
1. Построены математические модели нелинейной динамики гибких балок, подчиняющихся гипотезам Эйлера-Бернулли, СП. Тимошенко, Пелсха-Шереметьева. Это позволило впервые провести сравнительный анализ состояния системы при использовании различных математических моделей, а также определять зоны хаотических колебаний и управляющие параметры (амплитуду вынуждающих колебаний, скорость груза и отношение массы груза к массе балки в случае ударной нагрузки, коэффициенты внешнего и внутреннего трения, геометрические параметры балки) для предотвращения негативных последствий.
2. Разработан и реализован в виде пакета программ для ПЭВМ универсальный алгоритм расчета гибких балок при действии произвольной нагрузки, в том числе ударной, с учетом различных видов трения и оснований Винклера и В.З.Власова, с помощью которого проведен качественный анализ (сигналов w(t),u(t),yx(t), фазовых портретов, сечения Пуанкаре, спектров мощности на основе Фурье анализа, автокорреляционных функций, знаков Ляпуновских показателей) хаотических колебаний гибких диссипативньтх систем в виде балок при различных типах граничных условий.
3. Впервые построенные карты зависимости характера колебаний системы от управляющих параметров {qQ,o)p}, под действием знакопеременной поперечной нагрузки вида q = qQ s m(a pt) для каждой модели с учетом некоторых типов граничных условий, при нескольких значениях геометрического параметра, дают представление о динамическом состоянии системы для каждого набора управляющих параметров.
4. Для статической и динамической задач установлено существенное влияние относительной толщины балки на напряженно - деформированное состояние системы.
5. Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотические для гибких балок при действии поперечной знакопеременной и ударной нагрузок на разных частотах вынуждающих колебаний может происходить по различным сценариям, таким как: сценарий Фейгенбаума, сценарий Рюэля, Такенса, Ньюхауза, модифицированный сценарий Рюэля, Такенса, Ньюхауза, модифицированный сценарий Помо - Манневиля.
Автор выражает искреннюю признательность и благодарность всем, кто принимал участие в создании данной работы и поддерживал на протяжении последних 5 лет. В первую очередь, хочу отметить неоценимый вклад в работу своих научных руководителей - Заслуженного деятеля науки и техники РФ, док гора технических наук, профессора Вадима Анатольевича Крысько и профессора, доктора наук Яна Лврейцевича. Постоянное и пристальное внимание к работе Крысько В.А., поставленные задачи и поддержка на протяжении всего времени работы, позволили довести до логического конца этот труд. Благодарю профессора Я. Лврейцевича за помощь и внимание к работе во время прохождения научных стажировок на кафедре «Автоматика и биомеханика» Технического Университета г. Лодзь, Польша (ноябрь 2006г. и сентябрь 2008г). Огромное спасибо моей семье и особенно родителям - Варыгину Александру Михайловичу и Варыгиной Тамаре Степановне, за терпение, поддержку и веру в меня.
Выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Копій
Следствием аппроксимации исходных непрерывных дифференциальных уравнений разностными является модификация физических свойств системы, описываемой данными уравнениями. В смысле дисперсионных и диффузионных свойств непрерывное и дискретное решения не вполне эквивалентны. Важно имсіь адекватную информацию об искажениях решения, вносимых дискретизацией. Такую информацию может предоставить теория цифровых фильтров.
Рассмотрим разностные аппроксимации пространственных производных как цифровые фильтры. Их можно классифицировать как линейные стационарные нерекурсивные фильтры. Важнейшей характеристикой цифрового фильтра является функция передачи, характеризующая отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе цифрового фильтра к комплексной амплитуде на входе. В нашем случае дифференцирования пространственной производной мы будем иметь дело с отношением дискретного закона дисперсии к непрерывному. При этом более качественной будет аппроксимация, в наименьшей степени искажающая непрерывный закон дисперсии, то есть имеющая наиболее "плоскую" функцию передачи.
Рассмотрим действие разностного оператора четвертой производной с различными порядками аппроксимации на гармонику. Подставляя выражение для гармоники w(x) = elwx в уравнения (1.14), (1.15), (1.16), для ( Л о w после тригонометрических преобразований и деления на непрерывный закон дисперсии w4e wx, получаем функции передачи соответствующих операторов цифровых фильтров. 4cos2( )-2cos( )+l h 7Г4ф4 4 СОБН Ф)- 6COS2( ) + 9COS(TT )-4 ., 1ПЧ 77, = - - - . (1.18) 3 к ф _ 1 7cos4( )-48cos3( ) + 162cos2( )-208cos( )87 і ил4 U-1 ) 15 к ф На рис. 1.3 изображены графики функций передачи цифровых фильтров, соответствующих операторам (1.14), (1.15), (1.16) для О W дх4 j , где Л2-соответствует (1.14), Л4 - (1.15), Л6 - (1.16). Графики приведены на интервале [0, 1] при этом О л соответствует нулевой частоте, а 1 - частоте Найквиста-Котельникова со = , которая является естественным пределом дискретной разрешимости частот.
Как видно на рис. 1.3, для всех аппроксимаций передаточная функция сильно подавлена в области высоких частот, однако функция передачи оператора Л4 имеет значительно более "плоский" профиль чем Л2, то есть он гораздо меньше искажает непрерывный закон дисперсии, особенно на низких частотах, где мы предполагаем основную концентрацию энергии. В то же время видно, что оператор Л6 отличается от Л4 далеко не так значительно и, следовательно, в большинстве приложений достаточно использовать Л4.
Основной идеей спектральных методов является аппроксимация решения уравнения в виде суммы N-1 "базовых" или "модельных функций". Эта сумма подставляется в исходное уравнение. В случае, когда сами базовые функции удовлетворяют краевым условиям, очевидно, их сумма также будет удовлетворять краевым условиям. Так как функция невязки тождественно равно нулю на точном решении, задачей численного метода является предоставление систематической процедуры выбора коэффициентов разложения wt таким образом, чтобы сделать функцию невязки настолько малой, насколько это возможно при данном выборе базиса. Различие между методами кроется именно в способе минимизации невязки.
Конечно-разностные методы основаны на локальной аппроксимации решения, как правило, полиномами низких порядков. В отличие от них, спектральные методы используют глобальное представление функции на всем интервале изменения зависимой переменной. Результатом этого является точность представления, недостижимая с помощью разностных методов. Для определенного рода расчетов эта точность может явиться определяющим фактором, так как позволяет использовать гораздо более грубые сетки, в результате чего кардинально сокращается число операций. Как правило, спектральные методы обладают нулевой или весьма незначительной численной вязкостью, что весьма важно при моделировании явлений обладающих малой вязкостью.
Спектральные методы можно разделить на методы Бубнова - Галеркина, тау и псевдоспектральные методы. Первые два метода работают с коэффициентами глобального разложения напрямую, в то время как последний работает со значениями этого разложения в точках сетки. В силу глобального представления решения спектральные методы в наибольшей степени подвержены влиянию краевых условий, которые привносят до конца не изученные проблемы устойчивости. Эти трудности являются основным препятствием к полной замене конечно-разностных методов спектральными аналогами. Однако, многие теоретические задачи сосредоточены на "бесконечной" или периодической облас ти изменения аргумента. В этом случае спектральные методы оказываются на высоте. Кроме того, некоторые важнейшие практические задачи, -такие, как глобальное моделирования климата Земли, по своей природе являются периодическими, и соответствующие программы всегда основаны на спектральных методах.
Сопоставление результатов расчета гибких балок Эйлера-Бернулли для четырех типов краевых условий
Для анализа карт условно разобьем типы колебаний па две группы: группа «А» - гармонические колебания, колебания на независимых частотах, затухающие колебания, т.е. режимы колебаний, которые являются благоприятными для динамической работы балки. Группа «Б» - бифуркации и хаос, т.е. режимы на которых нежелательна эксплуатация конструкции.
В таблице 2.11 приведены карты, построенные для модели Бернулли-Эйлера при граничных условиях (1.4) - (1.6) для прогиба и перемещения. На балку действует знакопеременная поперечная нагрузка. Амплитуда нагрузки изменялась в интервале q0 є[0;32200]. Частота возбуждения сор є[2.55;7.65]. Таблица 2.11
Заметим, что для граничных условий (1.4) и (1.5), область группы «А» наибольшая. При этом на картах, в области колебаний группы «Л», «вкраплены» зоны колебаний группы «Б», т.е. небольшое изменение параметров [qQ,copj приводит к изменению режима колебаний, что является нежелательным. Отметим, что зоны группы «Б» для граничных условий шарнир-шарнир (1.5) менее обширны, чем для граничных условий заделка-заделка (1.4).
Учет различных граничных условий существенно влияет на состояние системы. Гак, для задач с граничными/начальными условиями (1.5)/(1.8) и (1.6)/(1.8), вне зависимости от выбранного метода решения, система колеблется преимущественно на независимой частоте, присутствуют зоны бифуркационных колебаний, но острова хаотических состояний минимальны.
Рассмотрим влияние коэффициента затухания єх на изменение частотных характеристик по длине балки для различных типов граничных условий. Относительная длина балки X = — = 50. На балку также действует поперечная 2/г знакопеременная нагрузка с амплитудой q0. Шаг по пространственной координате с и шаг по времени At выбирались из условий устойчивости получаемых решений по принципу Рунге. Задача решалась при разбиении п = 40, с = 1/40, и шагом но времени At = 3.9052-10-3.
Исследуем влияние ", на изменение основных частотных характеристик по длине балки с помощью следующих методов (для задач (1.4) и (1.7), начальные условия (1.8)): сечения Пуанкаре w(t)(w(t + Т)), модальный портрет (зависимость w(wx)), сигнал w(t), спектр мощности, фазовый портрет w(w).
Собственная частота балки определялась следующим образом. Рассматриваются свободные колебания балки. Для этого, в начальный момент времени балка имеет начальный прогиб, а за тем она как бы отпускалась. Далее. рассматривались ее свободные колебания, а по спектру мощности определялась собственная частота балки.
В таблице 2.12 приведены спектры мощности для задачи с граничными\ начальными условиями (1.4)\(1.8) при различных значениях коэффициента &\, е2 = 0. Амплитуда нагрузки q0 для каждого выбиралась таким образом, что w(0.5)«1.5. Ввиду того, что спектры мощности для х = 0.25 абсолютно симметричны х - 0.75, результаты, полученные для х = 0.75 опущены. Анализ результатов приведенных в таблице 2.12 показывает, что в зависимости от величины параметра єх количество частот по длине балки различно, с уменьшением величины єх наблюдается их количественное уменьшение и уже при f, = 5 все точки балки колеблются с одинаковой частотой по длине.
Проанализируем данное явление более подробно. По мере уменьшения параметра єх наблюдается сходимость количества частот на графиках спектров мощностей в зависимости от длины (л; = 0.25, х = 0.5). При =20 количество частот в центре балки (х = 0.5) значительно меньше, чем в четверти (х = 0.25). В центре присутствует линейная комбинация собственной частоты со3 - со /6 и независимые частоты со5 = 2.12 и сох « 10 б, тогда как при х = 0.25 присутствует еще линейно независимых частот и линейная комбинация а 2 = со /11. Если сх =10 в точке х = 0.25 присутствует большое количество линейно зависимых частот, тогда как при х = 0.5 их число меньше. При значении єх = 5 величина и число частот не зависит от длины. Итак, можно сделать вывод, что влияние параметра б\ на частотные характеристики по длине балки для задачи (1.4)\(1.8) существенно.
Изучим характер колебания балки для граничных \ начальных условий (1.7)\(1.8) при ряде фиксированных значений , = 20;10;5;1 и изменении с2. В таблице 2.13 приведены спектры, при различных значениях коэффициентов ?, и є2. Амплитуда нагрузки q0 для каждого случая выбиралась аналогично вышеописанной задаче.
Алгоритм расчета гибкой балки С.П.Тимошенко методами конечных разностей и конечных элементов, достоверность получаемых результатов
Отметим, что аппроксимирующие функции для прогиба и перемещений были использованы исходя из свойств математической модели.
Сборка матриц масс, демпфирования и формы производится также как и для модели Эйлера-Бернулли.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений решаем методом Рупге - Кутта четвертого порядка точности. На рассматриваемую балку действует знакопеременная поперечная нагрузка вида (1.9).
Чтобы убедиться в достоверности получаемых численных результатов, решим описанную систему уравнений методом конечных элементов методом конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркину.
Для проверки достоверности результатов, получаемых для модели типа Тимошенко использовалось сравнение решений по МКР и МКЭ. Рассмотрим задачи ш для граничных условий заделка-заделка, шарнир-шарнир, заделка-шарнир с теми же параметрами, что и для балки Эйлера-Бернулли {еъ =0).
Графики зависимости максимального прогиба от амплитуды вынуждающих колебаний, полученные различными методами (таблица 4.1), при не хаотических колебаниях системы совпадают полностью, незначительные различия, наблюдаются только в зоне, соответствующей хаотическим колебаниям.
Таблица 4. На основании результатов, приведенных в таблице можно сказать, что при значениях амплитуды нагрузки соответствующей нехаотическим колебаниям, значения wmax для обоих методов совпадают полностью. При появлении хаоса значения максимального прогиба отличаются, но несущественно. Шкалы колебаний по обоим методам также полностью совпадают при колебаниях на независимых частотах, бифуркациях и колебаниях на вынуждающей частоте. Переход к хаосу наступает при использовании МКЭ позже, чем при МКР и продолжительность хаотического режима для МКЭ меньше.
Необходимо отметить явление динамической потери устойчивости балки под действием поперечной знакопеременной нагрузки, которое характеризуется резким изменением значения максимального прогиба при незначительном изменении амплитуды вынуждающих колебаний. Явление динамической потери устойчивости хорошо видно при переходе системы от точки А к точке В, и от точки С к точке D. На шкале этим переходам соответствуют зоны хаоса. При переходе от точки В к точке F происходит обратный переход системы от хаоса к гармоническим колебаниям, что также можно наблюдать на шкале. В этом случае значения прогиба уменьшаются в 1,5 раза.
Приведем также карты зависимости характера колебаний системы от управляющих параметров (таблица 4.2), для математической модели балки С.П.Тимошенко, граничные и начальные условия (4.4) и (4.8), которые построены методами конечных разностей - а) и конечных элементов - б). Анализ шкал и карт таблиц 4.1 и 4.2 подтверждает сделанный выше вывод о значительном влиянии учета поперечных сдвигов, при одних и тех же геометрических и физических параметрах, при построении математической модели системы. Сравнение этих карт для балки С.П.Тимошенко и Эйлера-Бернулли показывает, что при одинаковых начальных, граничных условиях и управляющих параметрах карты довольно сильно отличаются. Так, зоны хаотических колебаний (таблица 4.2 а) более обширны, чем в таблице 4.2 б), а зоны гармонических наоборот. Характерной особенностью обеих карт является то, что колебания системы на независимой частоте занимают значительную площадь карт. Это говорит о том, что при изучении сложных колебаний нелинейной динамики балок следует серьезно заниматься построением более точных математических моделей.
Рассмотрим статическую задачу. С помощью метода установления покажем сходимость моделей Эйлера-Бернулли и С.П.Тимошенко при различных граничных условиях. В таблице 4.3 приведены графики зависимости максимального прогиба от величины амплитуды вынуждающих колебаний, в случае, если на балку действует постоянная поперечная нагрузка, коэффициент демпфирования для прогиба ,=3.
Относительная длина балки Я = а/2/і = ЗО,50ДО0, шаг по времени At = 3.9052 10 3 и по пространственной координате п = 40, с = 1/40 выбирались из условий устойчивости системы по принципу Рунге, как и во всех нижеприведенных случаях. Сплошная линия соответствует модели Эйлера-Бернулли, а пунктирная модели С.П.Тимошенко. Результаты приведены для МКР, так как в данном статическом случае, МКЭ дает те же значения.
Как видно, в случае защемленных краев и несимметричных граничных условий, графики зависимости максимального прогиба от амплитуды по модели Эйлера-Бернулли и С.П.Тимошенко при увеличении параметра Я сближаются и пересекаются. Для шарнирного опирання, так же наблюдается сходимость графиков, но в меньшей степени, чем для других граничных условий.
Рассмотрим влияние граничных условий на характер колебаний балки С.П.Тимошенко (таблица 4.4). Амплитуда нагрузки изменялась в интервале q0 є[0;60000]. Частота возбуждения сор є[3.45;10.35]. Остальные параметры задачи такие же, как и для балки Эйлера-Бернулли.
Области гармонических колебаний и колебаний на независимой частоте на всех трех картах практически имеют одинаковую площадь, различаясь лишь характером колебаний. Режимы хаотических и бифуркационных колебаний в основном начинаются при амплитуде нагрузки д0 12000. На карте, соответствующей несимметричным граничным условиям при частотах fflp w[7.8;9.l],[9.8;10.35] области хаоса возникают уже при значениях амплитуды нагрузки д0 % 10.
Математическая модель гибкой балки Пелеха-Шереметьева
На интервале от q0=500 до qQ = 18000появляется вторая и третья частоты, значения которых линейно не зависят друг от друга и от частоты возбуждающих колебаний системы. Затем эти частоты пропадают, система переходит к гармоническим колебаниям. При q0 =17800 возникает частота сох = 0.77926, при q0 = 17850появляется частота соъ = 2.1721. 3. q0 =18000. Па спектре мощности присутствует четыре частоты: сох =0.77926, со2 =0.84676, со, =2.1721, со4 =2.2335. Значения частот сах, соъ и со2, сол отличаются между собой на 1,39, а частот сох, со2 и со3, сох на 0,06. Фазовый портрет меняет форму. 4. q0 =19000. Значения ранее выявленных частот сох и соА «плывут». Частоты со?,со, исчезают. Появляется две новых частоты: со5 = 3.698 и со6 = 0.5175 . Таким образом значения частот оох, соА, со5 отличаются между собой на 1.477. А частота со. = 0.5175 = и /10. 6 /; 5. д0= 20500. Значения вышеописанных частот плывут. Кроме того, появляются новые частоты со1 - 1.5524, cos =3.03, со9 =4.39. На спектре мощности присутствует 7 частот, значения которых отличаются между собой на значения час-юты сох =0.11. На фазовом портрете образуется петля. 6. q0 =30000. При изменении амплитуды вынуждающих колебаний от qQ =20500 до q0 = 30000 система переходит к гармоническим колебаниям. 7. q0 =54500. Возникают частоты =1.62, со2= 3.5466, значения которых отличаются между собой на 1.62. 8. 7о =55100. Вокруг частот сох и со2 появляются новые частоты, значения которых линейно зависимы от значений основных частот. Частоты сох, сол, со5, со6, соп; со2, й)&, со9 отличаются на 0.26, это же значение имеет частота со3.
В дальнейшем возникает целая серия частот, значения которых линейно зависимы от частот сох, со2, сог, сор. 9. q0 = 57100. Система переходит к хаотическим колебаниям.
В данном случае система переходит к хаотическому состоянию через последовательное появление частот, значения которых линейно завися от частоты вынуждающих колебаний.
Выводы по главе 1. Построена общая теория сложных колебаний гибких балок Пелеха Шереметьсва. 2. Показана эквивалентность сведения бесконечномерной задачи к конечномерной по пространственной координате методов конечных разностей с аппроксимацией 0(с2) и конечных элементов в форме Бубнова-Галеркина. 3. Обеспечена достоверность получаемых численных результатов.
4. Выявлены сценарии перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.
5. На примере решения статической и динамической задач с помощью метода установления показана сходимость моделей Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко, Пелеха-Шереметьева при увеличении геометрического параметра Я.
6. Построены карты зависимости характера колебаний балки от управляющих параметров {qo,a p} для различных граничных условий. Сделан вывод о существенном влиянии граничных условий на динамическое поведение балки.
7. Проведено сравнение качественных результатов для математических моделей балки Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева при помощи сопоставления карт зависимости режимов колебаний от управляющих параметров {qQ,a p}.
8. Отмечена схожесть численных результатов, для математических моделей С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева. 150
Заключение
Полученные результаты подтверждают перспективность исследования задач механики с точки зрения нелинейной динамики, путем построения и изучения математических моделей сложных механических систем. Исследование систем с большим числом степеней свободы дало нам возможность обнаружить новые явления, ранее не наблюдавшиеся в других областях нелинейной динамики.
Реализация различных численных методов дает возможность утверждать, что получаемые результаты достоверны и являются свойством изучаемой системы, а не реализованной численной схемы.
В заключении, можно сделать следующие основные выводы по диссертации:
1. Построены общие теории и математические модели сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, проведен качественный анализ динамического поведения рассматриваемых систем.
2. Предложен эффективный алгоритм решения поставленных задач. Разработан и реализован комплекс программ анализа хаотических колебаний балок с некоторыми краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок.
3. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний балок с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией 0(с7) и метода конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркииу.
4. Обоснован выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши.
5. Проведено исследование сходимости метода конечных разносіей в зависимости от числа разбиений по пространственной координате для балок Эйлера-Бернулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки.
