Математическое моделирование чувствительного узла микромеханического гироскопа на пьезоэффекте Нагар Юлия Николаевна

Введение к работе

Актуальность работы. Гироскопы представляют собой датчики, предназначенные для измерения угловых скоростей и угловых перемещений объектов.

Пьезокерамические материалы широко применяются при изготовлении интеллектуальных приборов и систем. Пьезокерамика в конструкциях гироскопов служит для возбуждения первичных колебаний в режиме обратного пьезоэффекта и для съема информации в режиме прямого пьезоэффекта.

В работах отечественных авторов таких, как Л.И. Брозгуль, В.А. Матвеев, Д.С. Пельпор, В.Я. Распопов развиты теоретические основы конструирования вибрационных гироскопов различных конструкций, в том числе с электростатическими приводами, а также с преобразователями, основанными на пьезоэффекте. В работе В.В.Малова рассмотрена конструкция монолитного цилиндрического гиропреобразователя, выполненного из пьезокерамики. В исследованиях зарубежных авторов C. Acar, A. Shkel, A. Trusov, V. Apostolyuk также рассматриваются вибрационные гироскопы. В работах J.S.Yang приведены пьезогироскопы различных конструкций, в которых упругие элементы испытывают деформации изгиба или кручения. Следует заметить, что такой характер деформирования не является оптимальным для обеспечения длительной прочности упругих элементов датчиков инерциальной информации. В настоящее время широкое применение простейших беспилотных летательных аппаратов, развитие средств мобильной связи определяют растущий спрос на суперминиатюрные пьезогироскопы. Такие гироскопы могут уступать по точности гироскопам других конструкций, но при этом имеют низкую стоимость и технологическую простоту. В связи с этим представляется актуальным построение математических моделей пьезогироскопов с резонаторами простой геометрической формы, например, в форме куба, либо прямого кругового цилиндра.

Время готовности гироскопа является его важной характеристикой при использовании на многих объектах и определяется в значительной мере временем переходных процессов. Для снижения погрешности измерений угловой скорости необходимо обеспечить работу датчика в режиме установившихся колебаний чувствительного элемента. Это делает актуальной задачу оценки продолжительности переходного процесса в чувствительном элементе. Амплитуда вторичных колебаний, содержащая информацию об измеряемой угловой скорости достаточно мала и при уменьшении массы и размеров чувствительного элемента усложняется задача разработки достаточно точных элементов съема полезного сигнала. Дополнительной непростой задачей является отделение полезного сигнала, вызванного ускорением Кориолиса, от сигнала, порождаемого компонентом переносного ускорения объекта.

Поэтому в настоящее время актуальной является разработка математических моделей пьезогироскопов, в конструкциях которых первичные и вторичные колебания совершаются в разных упругих элементах, что исключает суперпозицию этих колебаний.

Разработка математической модели и оригинальное математическое обеспечение позволяет на стадии проектирования выбирать наиболее рациональным образом конструктивные параметры таких датчиков.

Целью работы является построение математической модели чувствительного узла микромеханического пьезогироскопа (ММПГ) простой геометрической формы, исключающей в отличие от существующих конструкций

ММПГ, деформации изгиба и сдвига упругих элементов с уменьшенным временем переходного процесса, а также расчет выходного сигнала, свободного от суперпозиции первичных и вторичных колебаний.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи

1. Построение математической модели ММПГ на основе связанной динамической задачи линейной электроупругости.

2. Разработка методов решения динамических задач связанной электроупругости при неустановившихся и установившихся колебаниях в системе плоских пьезопластин с присоединенной массой и для тонкостенного цилиндрического пьезорезонатора.

3. Анализ влияния геометрических и механических параметров на величину сигнала, снимаемого с чувствительного элемента, установление его связи с измеряемой угловой скоростью.

4. Разработка алгоритмов и программного комплекса для решения динамических задач связанной электроупругости.

5. Проведение численных экспериментов с целью оценки работоспособности алгоритмов и получения количественных результатов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы прикладной теории упругости. При построении математической модели ММПГ физические свойства пьезокерамического материала описываются в рамках линейной теории пьезоэффекта. Деформации упругих элементов в рассмотренном диапазоне нагрузок считаются малыми. За основу модели взята связанная динамическая задача электроупругости для тонких, неограниченных в плане пластин, у которых по толщине распространяются плоские упругие волны. Волновые уравнения содержат слагаемые, учитывающие вязкое трение, а граничные условия - силы инерции, включая кориолисовы силы. При решении возникавших математических задач сочетались аналитические и численные методы. Использовались представления в виде рядов Фурье, методы операционного исчисления (нахождение обратного преобразования Лапласа), метод малого параметра, метод продолжения по параметру при численном решении нелинейных уравнений.

Объектом исследований являются чувствительные элементы микоромеханических вибрационных пьезогироскопов (ММПГ).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи и подтверждаются проведенными исследованиями точности и устойчивости расчетных методик, решением тестовых задач и сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими авторами.

Научная новизна работы (соответствует пунктам 2-5 паспорта специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» и пунктам 1, 2 паспорта специальности 05.13.05 «Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления») заключается в следующих новых результатах:

1. Предложена математическая модель для описания работы чувствительного узла микромеханического пьезогироскопа (ММПГ), отличающаяся от известных моделей описанием деформационных волн в пьезопластинах, и позволяющая проводить расчеты для перспективных конструкций ММПГ, в которых первичные и вторичные колебания происходят в

разных упругих элементах. Конструкция исключает возникновение деформаций изгиба и сдвига в пьезоэлементах, что способствует долговечной и надежной работе устройства.

2. Разработаны новые алгоритмы, позволяющие проводить расчет колебаний чувствительного элемента пьезодатчика на стадии переходного процесса. Реализация алгоритмов предусматривает построение начальных приближений на основе найденных в работе аналитических решений; последующие приближения выполняются с использованием эффективных численных методов. С этой целью в работе развит метод продолжения по параметру для решения трансцендентных и нелинейных алгебраических уравнений, возникающих при построении обратного преобразования Лапласа.

3. Разработан программный комплекс, реализующий полученные алгоритмы средствами пакета прикладных программ MATLAB.

4. Показано, что зависимость величины генерируемого в чувствительном элементе тока от величины измеряемой угловой скорости близка к линейной в широком диапазоне значений угловой скорости; выполнен анализ влияния размеров пьезопластин, частоты вынужденных первичных колебаний на амплитуду выходного тока пьезопластины, определены резонансные частоты чувствительного элемента.

5. Для различных величин площади контакта упругих элементов с присоединенной массой показана малость времени переходного процесса в сравнении с другими конструкциями гироскопов.

6. Выяснено, что для повышения чувствительности конструкции с цилиндрическим резонатором, необходимо отказаться от сплошного нанесения электродов на цилиндрические поверхности.

Практическая ценность и реализация результатов

1. Математическая модель и алгоритмы для расчета колебаний упругой системы с присоединенной массой на стадиях переходного и установившегося режимов могут быть использованы при проектировании ММПГ.

2. Использование в модели единого способа возбуждения первичных колебаний и измерения вторичных колебаниях облегчает оценку погрешности для узла возбуждения первичных колебаний и для узла съема информации.

3. В среде MATLAB разработан программный комплекс, реализующий полученные алгоритмы. Проведены численные эксперименты, результаты которых могут быть использованы для оценки параметров ММПГ.

Получено 1 свидетельство о регистрации электронных ресурсов – программы для ЭВМ.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

4. Математическая модель, алгоритмы и программный комплекс для исследования в рамках теории линейной динамической связанной электроупругости поведения системы упругих пьезокерамических пластин с присоединенной массой в чувствительном узле ММПГ.

5. Расчет распространения деформационных волн в упругих элементах на основе общих положений механики деформируемого твердого тела.

6. Представление полей перемещений и электрических потенциалов в замкнутой аналитической форме для стадии установившихся колебаний.

7. Приближенное решение связанной динамической задачи электроупругости для переходного процесса неустановившихся колебаний без

учета внутреннего трения в пьезопластинах. Решение использует представление механических перемещений и электрических потенциалов рядами по степеням малого параметра.

5. Приближенное решение связанной динамической задачи электроупругости для переходного процесса неустановившихся колебаний с учетом внутреннего трения в пьезопластинах. Решение использует интегральное преобразование Лапласа по времени.

6. Решение связанной динамической задачи электроупругости с учетом вязкого трения для тонкостенного цилиндрического пьезорезонатора.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на Х Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.А.Г.Горшкова (Ярополец, 2011), 4-ой Всероссийской мультиконференции по проблемам управления МКПУ-2011 (с. Дивноморское, 2011), XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-23) (Белгород, 2010), XXVII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-27), (Тамбов, 2014), XXVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-28) (Рязань, 2015), научной конференции механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2010, 2015), внутривузовской конференции с региональным участием «Молодые ученые - науке и производству», посвященной 55-летию ЭТИ СГТУ (Энгельс, 2011).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации отражены в 16 публикациях автора, в том числе 5 статей в журналах, включенных в перечень ведущих рецензируемых изданий ВАК РФ, 1 cвидетельство о регистрации электронного ресурса. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.