Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Прикладные задачи, сводящиеся к моделям СДУ МП 13
1.1. Эффекты, вызываемые шумом в нелинейных динамических системах 13
1.1.1. Осцилляторы как простейшие типовые модели реальных систем 15
1.1.2. Построение стохастических моделей 17
1.2. Примеры прикладных задач, приводящих к моделям в виде СДУ МП 19
1.2.1. Осциллятор Фидлина 19
1.2.2. Осциллятор Бонхоффера-Ван дер Поля 21
1.2.3. Химический реактор (брюсселятор) 23
1.2.4. Осциллятор Ван дер Поля-Дуффинга 25
1.2.5. Маятник Фроуда 27
Глава 2. Разложение Платена для диффузионных систем с марковскими переключениями. Явные сильные методы решения СДУ МП 30
2.1. Общие сведения 30
2.2. Явные сильные методы решения СДУ МП
2.2.1. Построение разложения, аналогичного разложению Платена, для систем с переключаемой диффузией 32
2.2.2. Обобщение теоремы Платена
2.3. Моделирование переключений, зависящих от диффузионной составляющей 48
2.4. Пример моделирования решений СДУ МП с использованием построенных адаптированных сильных численных методов 51
2.5. Выводы по первой главе 54
Глава 3. Неявные сильные методы численного моделирования решений СДУ МП 55 Стр.
3.1. Общие сведения 55
3.2. Построение конструктивных неявных методов численного решения СДУ МП 57
3.3. Теоремы сходимости 61
3.4. Пример моделирования решений СДУ МП с использованием адаптированных неявных сильных численных методов 64
3.5. Выводы по третьей главе 70
Глава 4. Сравнительный анализ и результаты численного моделирования на основе разработанных методов 71
4.1. Описание программного комплекса 71
4.2. Постановка компьютерных экспериментов. Статистическая обработка результатов экспериментов 73
4.3. Примеры сравнения качества аппроксимаций, полученных с использованием адаптированных сильных численных схем 76
4.4. Пример моделирования осциллятора Бонхофера-Ван дер Поля 92
4.5. Пример моделирования осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга 96
4.6. Пример моделирования химического реактора (брюсселятора) 99
4.7. Пример моделирования осциллятора Фидлина. Шайба, скользящая по шероховатой поверхности 104
4.8. Пример моделирования маятника Фроуда 109
Общие результаты диссертационной работы 116
Литература
- Примеры прикладных задач, приводящих к моделям в виде СДУ МП
- Построение разложения, аналогичного разложению Платена, для систем с переключаемой диффузией
- Построение конструктивных неявных методов численного решения СДУ МП
- Примеры сравнения качества аппроксимаций, полученных с использованием адаптированных сильных численных схем
Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия в мировой литературе усилился интерес к СДУ со случайными изменениями структуры, которые оказываются адекватной математической моделью для динамических объектов, функционирующих в условиях случайных скачкообразных изменений внутренних свойств, внешней среды или информационных потоков (сигналов).
Исследование динамических систем, структура которых подвержена марковским скачкообразным изменениям, началось с работ И.Я. Каца, Н. Н. Красовского, Э. А. Лидского, появившихся в начале 60-х годов прошлого столетия. Развернутое формальное описание процессов со случайной структурой, смена которой определяется марковским скачкообразным процессом со счетным множеством состояний, было дано в работах Р. Л. Стратоновича.
В конце 70-х годов эту тему продолжили работы научных школ И.Е. Казакова и В.М. Артемьева, в которых для данного класса систем был введен термин «системы со случайной структурой».
Примерно в этот же период активизировался интерес к данному классу систем в зарубежной литературе. Среди самых ранних работ можно отметить A. R. Bergen (1960), L. E. Baum и T. Petrie (1966), J. E. Bertram и P. E. Sarachik (1959), P. C. Rosenbloom (1955), J. G. Samuels (1959), W. M. Wonham (1964) и D. D. Sworder (1969). Затем большой вклад внесли труды R.J. Elliott, L. Ag-goun, J.B. Moore. Достаточно полное представление о соответствующих работах дает широко известная монография M. Mariton (Mariton M. Jump Linear Systems in Automatic Control. Marcel Dekker. New York. 1990. 299 p.).
С середины 80-х годов стали использоваться термины «системы с переключаемой диффузией» и «гибридные системы». Модели гибридных систем объединяют непрерывную динамику и дискретные события и позволяют описывать сложные структуры, их внутренние изменения, вызванные различными причинами естественного и искусственного происхождения, в том числе в условиях неполноты, неточности или неоднозначности информации. В качестве примеров можно привести системы управления сближением летательных аппаратов, системы комбинированного наведения на цель, системы массового обслуживания с отказами, системы массового обслуживания с
ожиданием и др. Основными требованиями к таким системам, очевидно, являются надежность работы всей системы при возможных отказах отдельных подсистем и максимальное количество одновременно ведомых (обслуживаемых) объектов.
Среди крупных работ последних лет по описанию, изучению и анализу различных классов гибридных систем, в том числе с марковскими переключениями, можно отметить монографии X. Mao, в соавторстве с C. Yuan, а также G. George Yin, в соавторстве с C. Zhu, Q. Zhang, и др.
Гибридные системы с марковскими переключениями используются для моделирования биохимических систем, в том числе в сфере медицины, производственных процессов, в финансовой математике, а также для решения стохастических проблем оптимизации в беспроводных каналах связи и сетях и других сферах.
Степень разработанности темы исследования. Развитие теории численных методов решения СДУ со скачкообразной компонентой получило начало со статей E. Platen, R. Mikelevicius (1988), X. Mao (1999). С 2004 года стала формироваться теория и практика численного анализа СДУ МП в работах X. Mao, C. Yuan, E. Platen, N. Bruti-Liberati, P. E. Kloeden, F. Wu, G. Jin, C. Zhu, D.J Higham и др.
В последующие десятилетия численные методы решений стохастических дифференциальных уравнений, параметры которых являются марковскими процессами, продолжали интенсивно изучаться. Особенно много публикаций посвящено рассмотрению частного случая СДУ МП, где скачкообразная составляющая задается пуассоновским процессом. Для этого случая построен ряд эффективных методов решения: методов, основанных на стохастических аналогах формулы Тейлора, методов Монте-Карло и других. Кроме этого, большинство работ, посвященных численному анализу, рассматривают случай, когда процесс переключения, описываемый цепью Маркова, не зависит от фазового состояния системы.
К 2010 году численные методы для СДУ МП были рассмотрены многими исследователями, при этом без внимания остались методы моделирования процессов с переключениями, зависящими от фазового состояния системы. За последние пять лет появился ряд статей, где рассматривается подобная модель переключаемой диффузии, так как она находит значительно большее применение в управлении и оптимизации, но методов численного моделирования, кроме метода Эйлера-Маруяма, рассмотренного в данном аспекте в нескольких статьях 2010-2011 года, предложено не было.
Цель диссертационной работы – развитие известных численных схем Тейлора-Платена для решения СДУ МП, разработка на их основе методов численного анализа диффузионных процессов Ито с марковскими переключениями и применение полученных результатов для исследования нелинейных осцилляторов, находящихся под воздействием шумов со случайными изменениями их интенсивностей по закону марковской цепи.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:
-
Разработка явных и неявных сильных методов и алгоритмов численного решения СДУ МП, доказательство теорем сходимости разработанных численных схем к решению СДУ МП, исследование точности разработанных схем численного решения.
-
Разработка программного комплекса в среде SCILAB для проведения вычислительных экспериментов.
-
Численный анализ математических моделей нелинейных осцилляторов, находящихся под воздействием шумов со случайными изменениями их интенсивностей по закону марковской цепи, при помощи разработанных методов и алгоритмов их реализации.
Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы стохастического анализа и теории случайных процессов, функционального анализа, математического моделирования, численного анализа, методы теории вероятностей и математической статистики.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
-
Разработанные явные и неявные численные методы решения СДУ МП и алгоритмы их реализации, доказательства сходимости предложенных численных методов.
-
Построенный аналог разложения Платена для диффузионных систем с марковскими переключениями.
-
Результаты численного анализа математических моделей нелинейных осцилляторов при воздействии шумов со случайными изменениями их ин-тенсивностей по закону марковских цепей, устанавливающие специфические особенности динамики нелинейного осциллятора в условиях шумов и скачкообразных изменений параметров.
Практическая значимость диссертационной работы связана с ее прикладной ориентацией, а полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании и прогнозировании поведения различных систем со случайными параметрами и свойствами под воздействием аддитивных и мультипликативных шумов при скачкообразном изменении параметров.
Разработан и зарегистрирован программный комплекс, позволяющий выполнять численные расчеты различных диффузионных процессов Ито с марковскими переключениями, представлять полученные результаты в табличной форме и сопровождать их графическими иллюстрациями (свидетельства о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ №2015611042 от 22.01.2015 г., №2015611662 от 03.02.2015 г., №2015619045 от 21.08.2015 г.).
Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов
гарантируется строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результа-
ты диссертационной работы согласуются с известными результатами других авторов.
Апробация результатов работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Областных семинарах аспирантских и студенческих научных работ «Информационные технологии и прикладная математика» (Арзамас, 2011 и 2012); Международной научно – технической конференции «Информационные системы и технологии – ИСТ-2012» (Нижний Новгород, 2012); V Российской мультиконференции по проблемам управления (МКПУ-2012) в рамках конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (Санкт – Петербург, 2012).
Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 12 научных работах, в том числе в 3 статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, и 8 трудах и тезисах докладов Международных и Российских конференций.
Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения. Работа изложена на 133 страницах, содержит 53 иллюстрации, 2 таблицы. Библиография включает 164 наименования.
Примеры прикладных задач, приводящих к моделям в виде СДУ МП
Математические модели играют двоякую роль в теории колебаний: это и идеализированное описание реальных динамических систем, и математическая модель, отражающая различные колебательные явления: гармонические колебания, нарастающие и затухающие колебания, автоколебания, жесткий и мягкий режимы их возникновения, вынужденные колебания, резонанс, параметрическое возбуждение колебаний, стохастические и хаотические колебания, различные волновые явления и многое другое. Как отмечается в [49], сколько-нибудь полный перечень даже простейших типовых моделей также достаточно обширен и заведомо различен у специалистов в разных областях науки. К базовым моделям современной теории колебаний можно отнести: гармонический осциллятор, линейный осциллятор, консервативный осциллятор, осциллятор Ван дер Поля, осциллятор и ротатор (как обобщения всех ранее перечисленных видов), уравнения Матье и Хилла, описывающие явления параметрического возбуждения и резонанса гармонического осциллятора, неавтономный осциллятор и ротатор (частными случаями этого уравнения являются известные уравнения Дуффинга, Хилла и Матье, а также линейный осциллятор под действием внешней гармонической силы, осциллятор Ван дер Поля с внешним гармоническим воздействием), уравнения Лоренца (нелинейный осциллятор с нелинейной инерционной жесткостью), система слабо взаимодействующих гармонических осцилляторов и система с быстровращающимися фазами, гамильтоновы динамические системы. С их помощью проводится анализ многих реальных механических систем и эффектов.
Возникновение хаотических движений при периодических воздействиях на нелинейные осцилляторы наблюдалось как в численных, так и в физических экспериментах (исследовались разными авторами нелинейные осцилляторы, описываемые уравнением Дуффинга, уравнением физического маятника, нелинейный колебательный контур и пр). Ссылки на подобные работы можно найти в [1, 21, 49].
При применении осцилляторов в физике и технике возникает вопрос о наилучших их параметрах, т.е. такой настройке осциллятора, когда его свойства совпадают с заданными или максимально приближаются к ним.
Математическое описание движения нелинейных осцилляторов – задача достаточно трудная, и в настоящее время она решена только для немногих частных случаев. Трудность ее обусловлена главным образом тем, что для нелинейных систем неприменим принцип суперпозиции, и поэтому получение полного решения сложением отдельных решений, столь удобное для линейных осцилляторов, уже не допустимо [42].
Таким образом, к настоящему времени достаточно хорошо изучено поведение линейных осцилляторов [21, 42, 28], а также нелинейных осцилляторов в условиях регулярных внешних воздействий и прежде всего, гармонических [23, 49, 55, 62]. Но на практике реальные системы могут подвергаться случайным воздействиям, при этом параметры шумов могут быть точно не известны и для интенсивностей действующих возмущений могут быть известны лишь довольно грубые оценки. Часто имеется информация лишь о том, какие уравнения и параметры, описывающие интересующий нас объект, подвержены действию шумов, а какие нет, и от каких координат вектора состояния системы эти шумы зависят в большей степени, а от каких – в меньшей.
Наименее изученной является задача моделирования таких систем при воздействии случайных возмущений со скачкообразным изменением их интенсивности. Подобные изменения могут возникать при резком изменении условий функционирования или при ударных воздействиях. Стохастические модели таких систем интенсивно изучаются в современной литературе [107, 143, 162].
В современной теории случайных процессов большое значение имеет выбор адекватной математической модели, отражающей те или иные вероятностные особенности исследуемых реальных систем. Построение теории СДУ с использованием соответствующих разностных уравнений дано в работах С.Н. Бернштейна и И.И. Гихмана. Другой подход, опирающийся на конструкцию стохастического интеграла по винеровскому процессу, использовал К. Ито. Простота и удобство интеграла Ито обусловлена его замечательными математическими свойствами, в особенности тесной связью между СДУ и диффузионными процессами [17, 50, 48, 54, 76].
Другая интерпретация стохастического интеграла – Стратоновича [59, 60] самым непосредственным образом моделирует физическую ситуацию, о чем, в частности, свидетельствует то, что только определение стохастического интеграла по Стратоновичу согласуется с привычными правилами математического анализа. Впервые это было установлено теоремой Вонга и Закаи [144, 145], а затем соответствующим результатом Зуссмана [140].
Во многих случаях осцилляторы и другие системы испытывают воздействие случайных возмущений, особенностью которых является малое в масштабе этих систем время корреляции, например для осцилляторов это время корреляции составляет O(Т), где T - период свободных колебаний осциллятора. В инженерных науках и физике такие процессы обычно называют шумами, а уравнения, включающие подобные случайные функции - уравнениями Ланжевена [11, 72].
Поскольку уравнение Ланжевена математически строго не определено, при анализе таких систем естественно использовать предельные модели, которые получаются, когда время корреляции стремится к нулю.
Построение разложения, аналогичного разложению Платена, для систем с переключаемой диффузией
Рассмотрим теперь модель переключения, зависящего от фазового состояния. Такая модель переключений находит значительно большее применение в управлении и оптимизации. Если матрица Q зависит от состояния х(і), то случай становится значительно более сложным, так как /?(/) и x(i) становятся зависимы, и, соответственно, /?(/) - является цепью Маркова только для фиксированного х, то есть фактически не является марковской [77, 161, 162]. В отличие от обычных диффузионных процессов, моделируемых стохастическими дифференциальными уравнениями, распределение такой переключаемой диффузии имеет смешанный характер. в последний момент Возвращаясь к уравнению (2.1) предположим, что /3(t)- однородный марковский процесс с тем же самым множеством состояний М, но в отличие от предыдущего P(p(t + S) = l\/3(t) = u,x(s),P(s),s t)=qul(x)S + o(S\ иФІ. Будем считать, что /?(/) стохастически непрерывный процесс, для которого B(t + 5) B(t) при д 0 и Q(X(t)) - К -измеримая случайная величина такая, что E\Q(X(t)f оо; Q{)Mn \- Жтхт- ограниченная и непрерывная функция, Q(x)=(qul(x))G$imxmдля каждого х, qui(x) 0 при т u l, ZgM/(jc) = 0 для каждого иєМ. (2.23) і=і В рассматриваемом случае уравнение (2.1) можно записать в виде системы уравнений: dX(t) = a{P{t),X{t))dt + Хо-ДАОЛОЖДО, r=i (2.24) dp(t) = \b(p(t -\X{t-),zy{dt,dz), R где мера v(-,-) независима от винеровского процесса W(). Предположим, что матрица Q зависит от х только каждого переключения процесса /?(/) (в интервалах между моментами переключений матрица g(jc)=const). Будем использовать адаптированную к скачкам сетку дискретизации. Пусть tj -момент переключения процесса /?(/). Используя значение Q{x{t})), можно смоделировать момент следующего переключения (tj+i) и значение состояния марковской цепи (fi(t})). Таким образом, на сетке дискретизации можно строить аппроксимации решения системы (2.24) внутри случайных интервалов постоянства ДОГ,) [tptj+S) (с параметрами, которые определило значение марковской цепи в момент tj) с использованием адаптированных к переключениям марковской цепи сильных численных методов (2.20), (2.21), (2.22). При всех вышеописанных условиях Лемма 2 и обобщенная теорема Платена (раздел 2.2) выполняются для случая марковского процесса, зависящего от фазового состояния (на интервалах постоянства ДО) \X{t)\ Введем в рассмотрение процесс X(t) =
Таким образом, в точках переключений марковского процесса Д( ) сходимость в среднеквадратическом нарушаться не будет, но моменты переключений будут вносить изменения в порядок сходимости (порядки сходимости, справедливые на интервалах постоянства /?(/), на всем интервале сохраняться не будут).
В процессе моделирования можно рассматривать стохастический процесс с дискретным временем P(tk), аппроксимирующий p(f). Используя функцию Q(x) можно построить матрицу переходных вероятностей Р = ев(х)А. Используя разложение функции в ряд Тейлора / + AQ(x) + 9(Л2)и отбросив 0(А2) ввиду ограниченности и непрерывности Q(x), матрица переходных вероятностей моделируется как Р = I + AQ(x), где / единичная матрица. Сходимость последовательности (J3(tk),X(tk)) к процессу X(t) = ( ) на интервале [t0,t0+T], tk+1k=h, к = 0, 1, N-1, t0+T = tN, h = T/N в слабом смысле доказана в [77]. Также в упомянутой работе доказано, что слабый предел (/?(), Х()) есть аппроксимация решения уравнения (2.1).
Пример моделирования решений СДУ МП с использованием построенных адаптированных сильных численных методов Построим выборочную реализацию приближенного решения следующего СДУ МП
Выборочная траектория приближенного решения уравнения x(t) в отсутствии переключений (о=0.3) Зададим начальные значения Х0=1, Х0=1, Д0)= 0=2 и будем рекурсивно генерировать значения Xt с равным значением шага /7=0.005 согласно (2.20), (2.21), (2.22). Результат моделирования выборочной траектории приближенного решения уравнения (2.25) в отсутствии переключений показан на Рис. 3. Результаты моделирования выборочных траекторий приближенного решения уравнения (2.25) в случаях а) и б) показаны на Рис. 4 и Рис. 5 соответственно.
Построение конструктивных неявных методов численного решения СДУ МП
Как отмечают Г.Н. Мильштейн, P.E.Kloeden, E.Platen со ссылками на другие источники, неявные методы оказались необходимы для численного интегрирования жестких систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием явных сильных численных схем могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости [20, 43]. Существует несколько возможных объяснений этого явления.
Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера. Так для достижения желаемой точности необходимо применить многократное деление шага интегрирования. Это приводит к накоплению ошибки округления, а также требует больших временных затрат.
Вторая причина может быть связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов. Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики [1, 42, 49] и др. При применении к таким системам явных численных методов проявляется несоответствие между необходимостью в выборе очень малого шага интегрирования на всем промежутке и объективной возможностью интерполировать решение на большей части промежутка с большим шагом (поскольку оно мало меняется). Кроме того, небольшое увеличение шага интегрирования в определенном диапазоне при использовании явных методов ведет к взрыву вычислительной погрешности.
Неявные строгие схемы обычно имеют широкий диапазон размеров шага [43], подходящий для приближения стохастических динамических систем.
Неявные схемы для решения СДУ МП и СДУ с пуассоновскими скачками рассматривались, например, в [125, 127, 149]. В [149] авторы рассматривают полунеявные методы (semi-implicit Euler-Maruyama methods) и отмечают, что явные численные схемы являются намного менее точными в приближении, чем их неявные или полунеявные аналоги.
Если член a{Yn)hn в явной схеме Эйлера Yn+l=Yn+a(Yn)hn+b№nзаменить на a(Yn+l)hn, в то время как член диффузии b(Yn)AWn оставить неизменным, мы получим самую простую неявную схему (Эйлера) сильного порядка сходимости 0.5. В [43] рассмотрены общие принципы построения неявных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. Например, в формуле (2.8) с остатком (2.9) можно представить коэффициентов виде d t+h t+h Lf = Lf{p,X{t + h))-Y \\rLf(fiiX{9))dwX&)- \L2f{p,X{&))d& = r=1 г f (3.1) d t+h t+h = Lf{p,X{t + h))-Y.KLf j dWr{3)-L2f jd3 + R, r=\ t t где \ERh\ K + \x\2}h\ ER2h2 K + \x\2}h( на основании лемм 1,2).
Далее можно таким же образом поступать с другими коэффициентами формулы (2.8), более того, подобные преобразования можно совершать повторно.
В итоге можно получить большое количество различных представлений для f(j3(t + h\x(t + h)) по интегралам / -.и по произведениям этих интегралов с коэффициентами, зависящими от точек (j3,x) и (p{t + h\x(t + h)). Кроме того, количество этих представлений можно увеличить, как и в детерминированном случае, за счет разбиения, t+h например, слагаемого Lf \d& на сумму двух с коэффициентами ju и (1-/) с t+h тем, чтобы в последующем слагаемое juLf j d& оставить неизменным, а в t t+h слагаемое (1 - ju)Lf \d&подставить Lf из (3.1). t Г.Н. Мильштейном [43] показано, что введение неявности за счет выражений, входящих в стохастические интегралы, может привести к заведомо неприемлемому методу. Напротив, путем введения неявности лишь за счет выражений, входящих в нестохастические интегралы, пытаются добиться устойчивости методов, для чего, собственно, и конструируются неявные методы.
Примеры сравнения качества аппроксимаций, полученных с использованием адаптированных сильных численных схем
Для сравнения качества аппроксимаций, полученных с использованием сильных численных схем порядков 0.5, 1.0, 1.5, построенных в первой главе, будем использовать элементы статистики случайных процессов.
Если при моделировании системы учитываются случайные факторы, то в качестве оценок для искомых величин используются средние значения, дисперсии и другие вероятностные характеристики случайных величин, полученных по результатам многократного моделирования (метод статистического моделирования). Для обеспечения статистической устойчивости результатов при этом соответствующие оценки вычисляются как средние значения по большому числу реализаций, выбор которого производится с помощью доверительных интервалов [27, 73].
Также естественно ставить вопрос об устойчивости построенных численных методов интегрирования СДУ МП.
Известно, что даже для численно устойчивой схемы при увеличении промежутка интегрирования ошибка численной схемы может расти и превышать допустимые пределы, хотя теоретически она остается ограниченной. Эта проблема становится особенно актуальной в тех задачах, где промежуток интегрирования [t0,T] заранее не известен, например, при моделировании момента первого выхода [43]. Однако в ряде случаев удается гарантировать выполнение требуемого ограничения сверху на ошибку численного метода, чаще всего путем выбора подходящего шага интегрирования, параметров численной схемы и промежутка интегрирования. Существенную роль в устойчивости численных методов также играют особенности конкретных стохастических дифференциальных уравнений, к которым эти методы применяются [36]. Однако в настоящее время нет общепринятых подходов к этой проблеме. Один из возможных подходов состоит в исследовании устойчивости метода на тестовом (модельном) уравнении (с известным точным решением). Уравнение вида dXt=aXtdt + cXtd\Vt на интервале [О, T ] при T = 1, Х0=1, используется для тестирования устойчивости сильного приближенного решения СДУ. Это модельное уравнение описывает локальное поведение первой (линейной по X) вариации траектории (сильного) решения произвольного (нелинейного) СДУ. Уравнение имеет следующее сильное решение Xt=X0 {a-0.5S) + oWt\ которое при a-0.5а2 0 (условие асимптотической устойчивости почти наверное) стремится к тривиальному решению (X0=0 влечет Xt=0) почти наверное. При этом сходимости в среднем любого порядка условие асимптотической устойчивости почти наверное не гарантирует, так как т.е. сходимость в среднем имеет место лишь при условии (условие асимптотической устойчивости в среднем) [41].
Будем использовать это уравнение (где a=a(pt), o=o(pt), pt - марковский непрерывный процесс с конечным множеством состояний) для тестирования построенных в работе адаптированных сильных численных схем и оценивать результаты, используя три критерия: абсолютная погрешность, доверительный интервал абсолютной погрешности, зависимость погрешности от размера шага дискретизации. Критерий абсолютной погрешности есть математическое ожидание модуля разности между приближением и процессом Ито в момент T s = E \XT-Y(T)\l что дает меру приближения на конце временного интервала [0,т]. Можно получить статистическую оценку абсолютной погрешности, используя вычислительные эксперименты.
Смоделируем N типовых траекторий процесса Ито и их приближений, соответствующих тем же самым типовым траекториям винеровского процесса, построенных с использованием той или иной численной схемы.
Для больших N, как известно из центральной предельной теоремы, погрешность введет себя асимптотически как гауссовская случайная величина и сходится по распределению к неслучайному математическому ожиданию є абсолютного значения погрешности при N —» оо. Невозможно воспроизвести бесконечное число траекторий. Однако можно оценить среднее отклонение (7г2от и затем использовать эти оценки при построении доверительного интервала для абсолютной погрешности є. Для этого нужно моделировать М выборок по N значений в каждой и оценивать отклонение от є следующим образом. Обозначим как значение 1-й воспроизведенной траектории ву-партии в момент времени Ти как XTlj соответствующее значение процесса Ито. Усредненные
Рассмотрим процесс Ито X = {Xt,t 0), удовлетворяющий линейному стохастическому уравнению dXt = f(fit)Xtdt + g(fit)XtdWt (4.3) на интервале [0, 7] при Т = 1, Х0 = 1, Д0) =p0 = 1. Пусть /?, - однородная марковская цепь с двумя состояниями и заданной матрицей интенсивностей переходов Q. Решение уравнения (4.3) для t є [0,Г] и данного винеровского процесса можно записать в виде: Будем моделировать аппроксимации решения уравнения (4.3) на заданном временном интервале на сетке дискретизации с шагом h, используя адаптированные схемы (2.20), (2.21), (2.22), и одновременно моделировать траекторию точного решения (4.4), используя ту же траекторию винеровского процесса.