Содержание к диссертации
Введение
1. Общая постановка задачи о развитии донных волн в каналах с песчаным основанием 14
1.1. Физическая формулировка задачи о развитии донных волн в каналах с песчаным основанием 14
1.2. Математическая формулировка задачи о развитии донных волн в каналах с песчаным дном 15
1.3. Выбор формулы транспорта влекомых наносов 18
1.4. Выбор модели турбулентности 25
1.5. Выводы по главе 1 30
2. Стохастическое моделирование развития донных волн в открытых каналах с песчаным дном 31
2.1. Физическая постановка задачи 31
2.2. Математическая постановка задачи 33
2.3. Численный метод решения задачи о развитии донных волн 37
2.4. Результаты численного моделирования по развитию донных волн 39
2.5. Выводы по главе 2 43
3. Исследование устойчивости донной поверхности напорного канала 45
3.1. Физическая формулировка задачи 45
3.2. Математическая формулировка задачи 48
3.3. Решение линеаризованной задачи о развитии донной неустойчивости в напорном канале с песчаным основанием 49
3.4. Исследование полученной закономерности для длины донной волны 52
3.5. Определение скорости движения донных возмущений 58
3.6. Выводы по главе 3 58
4. Исследование механизмов движения донного материала над периодическим дном 60
4.1. Физическая постановка задачи 60
4.2. Математическая постановка задачи 61
4.3. Метод решения задачи о движении руслового потока в напорном канале..
4.3.1. Дискретизация расчетной области для решения гидродинамической задачи 65
4.3.2. Дискретные аналоги для решения дифференциальных уравнений гидродинамики
4.3.2.1. Дискретные аналоги для определения компонент скоростей 68
4.3.2.2. Дискретный аналог для определения поправок давления
4.4. Выполнение граничных условий для уравнений гидродинамики 71
4.5. Расчет придонного касательного напряжения 75
4.6. Метод решения задачи донных деформаций 80
4.7. Алгоритм решения русловой задачи в двумерной постановке 82
4.8. Исследование механизмов, определяющие развитие донной неустойчивости 84
4.9. Выводы по главе 4 101
Заключение 102
Список сокращений и условных обозначений 104
Список литературы
- Математическая формулировка задачи о развитии донных волн в каналах с песчаным дном
- Математическая постановка задачи
- Решение линеаризованной задачи о развитии донной неустойчивости в напорном канале с песчаным основанием
- Дискретизация расчетной области для решения гидродинамической задачи
Введение к работе
Актуальность проблемы. Изучение процессов возникновения донной неустойчивости, являющихся частным случаем русловых процессов, в реках с песчаным дном имеет большое прикладное значение для решения конкретных инженерных и проектно-изыскательских задач, проектирования гидротехнических сооружений, мостов, водозаборных станций, дамб, запруд, сезонных судоходных трасс, для прогнозирования чрезвычайных ситуаций и их последствий.
Особенностями задач, описывающих русловые процессы, являются:
Наличие двух типов подвижных границ расчетной области: свободная поверхность речного потока и поверхность дна русла. Обе поверхности изменяются во времени вследствие протекания русловых процессов.
Нестационарность, нелинейность, многомасштабность связи между характеристиками гидродинамического потока и потока донных наносов.
Экспериментальное изучение процессов возникновения донной неустойчивости осложняется масштабностью изучаемого объекта, высокой стоимостью и продолжительностью исследовательских экспедиций, что делает предпочтительным использование вычислительного эксперимента для изучения процессов возникновения донной неустойчивости.
Трудности проведения вычислительного эксперимента для изучения процессов возникновения донной неустойчивости, протекающих в реках и каналах, обусловлены необходимостью построения математических моделей, учитывающих:
многомасштабность руслового процесса;
наличие подвижных границ для изменяющейся во времени расчетной области: свободной поверхности речного потока и поверхности дна русла;
турбулентный характер движения речного потока;
нелинейный закон гидравлического сопротивления естественных русел;
многофазность руслового потока.
Изучение процессов возникновения донной неустойчивости с песчаным основанием связано с необходимостью определения нелинейной зависимости между движением донных наносов и движением гидродинамического потока. Подвижность дна реки приводит к появлению неустойчивости донной поверхности и появлению множества донных форм (рифеля, дюны, антидюны, гряды и др.). Проблеме эволюции донных форм в руслах рек и каналах с песчаным или песчано-гравийным основанием посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Не претендуя на полноту, отметим те научные работы, которые заложили основные направления в развитие теории донной неустойчивости и математического моделирования процесса возникновения и развития донных волн.
Характер образования и развития донных волн разными исследователями понимался по разному. Engelund F. и Fredsoe J. развитие донной неустойчивости связывали с фазовым сдвигом между максимумами средней скорости потока и придонными напряжениями, определяющими движение донных наносов. Kennedy J.F., Кереселидзе Н.Б. возникновение донной неустойчивости связывали с передачей возмущений, возникающих на свободной поверхности потока при некоторых значениях числа Фруда, ко дну. Гончаров В.Н. связывал возникновение донной неустойчивости с вихревым характером обтекания частиц, слагающих дно. В работах Гришанина К.В., Михайловой Н.А., Мельниковой О.Н. показано, что образованию донных волн способствуют имеющиеся в турбулентном потоке пульсации соизмеримые по масштабу с глубиной потока. Длина волны песчаных гряд достигали от 1 до 3 глубин потока, что примерно соответствует размерам крупных турбулентных возмущений. Михайлова Н. А. обосновала это одним из опытов, в котором на дне сформировались донные волны длиной Я « 3h. Coleman S.E., Дебольский В.К., Шуляк Б. А., Бэгнольд считали, что диаметр донного материала определяет характер развития донной неустойчивости: Л = Я(d) .
Несмотря на большое количество работ сложность исследования процесса возникновения донной неустойчивости связана с нерешенной до настоящего времени задачей движения
донных наносов. Вследствие чего многие исследователи донной неустойчивости использовали в своих работах феноменологические формулы движения влекомых наносов. Полученные в таких моделях результаты, позволяют получить качественную оценку донной неустойчивости.
В данной работе на основе аналитической модели движения влекомых наносов Петрова А.Г.-Потапова И.И. предложена математическая модель для исследования возникновения донной неустойчивости, учитывающая влияние гидродинамических параметров потока, физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала, турбулентный характер движения речного потока, имеющего свободные границы, а также учет лавинного механизма движения донных наносов. Предложенная модель упрощена до двумерного профильного приближения и одномерного приближения.
Цель настоящей работы является теоретический и численный анализ задач о развитии донной неустойчивости в каналах с песчаным основанием.
Основными задачами работы являются:
разработка математических моделей, описывающих развитие донной неустойчивости в каналах песчаным основанием;
построение численных и аналитических алгоритмов решения задач о развитии донной неустойчивости в одномерной и двумерной постановках и их верификация;
получение аналитических и численных закономерностей развития донной неустойчивости в каналах с песчаным основанием, учитывающих влияние гидродинамических параметров потока, физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала.
Научная новизна работы заключается в следующем:
предложены одномерные и двумерная математические постановки задачи о развитии донной неустойчивости, описывающие движение гидродинамического потока над изменяющейся во времени донной поверхностью с учетом турбулентной вязкости потока, транспорта влекомых и лавинных наносов, физико-механических и гранулометрических параметров донного материала;
разработаны аналитические и численные алгоритмы решения задач о развитии донной неустойчивости в одномерной и двумерной постановках;
получены аналитические и численные закономерности развития донной неустойчивости в каналах с песчаным основанием, учитывающих влияние гидродинамических параметров потока, физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала. Выполнено сравнение полученных аналитических и численных решений с известными экспериментальными и теоретическими данными других авторов.
Положения, выносимые на защиту:
одномерная математическая модель, позволяющая описывать процесс стохастического развития донных волн с учетом влияния свободной поверхности потока, уклонов дна и придонных касательных напряжений, лавинного обрушения, физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала на процесс движения донных наносов;
одномерная математическая модель задачи русловой устойчивости поверхности песчаного дна в напорном канале прямоугольной формы относительно одномерных по пространству возмущений и ее аналитическое решение, позволяющее определить длину донной волны в зависимости от числа Фруда и числа Рейнольдса, при различных физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала и ее сравнение с известными экспериментальными данными других авторов;
двумерная профильная математическая русловая модель для исследования механизмов развития донной неустойчивости, позволяющая выполнить анализ различных механизмов движения донного материала в зависимости от придонных касательных напряжений, уклонов донной поверхности и градиента гидравлического напора;
алгоритмы расчета полей скоростей, давления, донной поверхности потока для одномерной и двумерной профильной постановок задач о развитии донной неустойчивости в ре-
ках с песчаным основанием;
- сравнительный анализ полученных решений с экспериментальными данными и реше
ниями других авторов.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертационной работы определяется полученными аналитическими решениями, обобщающими ряд известных феноменологических зависимостей. Разработанные программные комплексы могут быть использованы для проведения инженерных и проектно-изыскательных работ, планирования дноуглубительных работ, для проектирования и обслуживания гидротехнических сооружений, а также для прогнозирования развития русла реки с песчаным или песчано-гравийным основанием. Могут быть рекомендованы к использованию в образовательном процессе, Институтах водных и экологических проблем, Государственном гидрологическом институте, Институте проблем механики.
Достоверность полученных результатов обеспечивается:
применением современной теории математического моделирования гидродинамических и русловых процессов;
согласованием полученных решений с известными экспериментальными данными и результатами других авторов подтверждает способность предложенных моделей описывать процессы возникновения и развития волн на донной поверхности русла реки с песчаным и песчано-гравийным основанием.
Вклад автора. Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, получено автором лично, либо при его участии. Постановка задач, выбор методов исследования, а также анализ результатов осуществлялось совместно с научным руководителем. Исследование свойств разработанных алгоритмов, проведение вычислительных экспериментов, обработка полученных результатов выполнены автором самостоятельно.
Публикации и апробация работы. По результатам диссертационной работы автором опубликовано 22 научные работы, из них 3 статьи, входящих в список ведущих периодических журналов ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Предложенные математические модели, алгоритмы решения задач и разработанные программные комплексы проходили апробацию в лаборатории «Вычислительная механика» в Вычислительном центре ДВО РАН при работе над тематикой лаборатории и в процессе реализации федеральной целевой программы Работа выполнена в рамках «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», на 2009 – 2013 годы по теме «Развитие методов и алгоритмов численного моделирования сложных природных процессов и технических систем с применением суперкомпьютерных технологий», 2010 – 2012 гг. (госконтракт от 29 марта 2010 г. № 02.740.11.0626), комплексной программы фундаментальных исследований Дальневосточного отделения РАН «Дальний Восток» (проект Х9 12-III-A-03-034 «Математическое моделирование русловых процессов в реках с песчаным дном», 2012 – 2013 гг.) и проектов Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-98518_р восток(а) «Математическое моделирование русловых процессов для рек с песчано-гравийным основанием», 2012 – 2014 гг., проект № 15-05-07594_а «Математическое моделирование русловых процессов для рек с песчано-гравийным дном», 2015 – 2016гг.).
Основные результаты работы докладывались на IX, Х Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (г. Алушта, 2012, 2014), XVIII, XIX Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2013, 2015), Инновационные информационные технологии: Материалы международной научно-практической конференции (Прага, Чешская республика, 2013г.), Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления» (Хабаровск, 2013 г.), Международная научная конференция «Турбулентность и волновые процессы», посвященная 100-летию со дня рождения академика М.Д. Миллионщикова (г. Москва, 2013 г.), Всероссийская конференция, приуроченная к 95-летию академика Л.В. Овсянникова «Новые математические модели в механике
сплошных сред: построение и изучение» (г. Новосибирск, 2014 г.), 5-ая Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (г. Бийск, 2014 г.), XXXVIII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2014 г.), Всероссийская научная конференция «Обратные краевые задачи и их приложения», посвященная 100-летию со дня рождения профессора М.Т. Нужина (г. Казань, 2014), XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (г. Казань, 2015 г.), VIII Международная конференция, посвященная 115-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева, «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2015г.), ХХI Всероссийская конференция и Молодежная школа-конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященная памяти К. И. Бабенко (Новороссийск, Абрау-Дюрсо, 2016г.).
Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа изложена на 116 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы (100 источников). Диссертация содержит 33 рисунка.
Математическая формулировка задачи о развитии донных волн в каналах с песчаным дном
В первом пункте рассмотрена физическая постановка одномерной задачи о развитии донных волн в реках с песчаным дном. Обоснованы основные допущения, принятые при переходе от трехмерной постановки русловой задачи к одномерной.
Во втором пункте, на основе принятых допущений, сформулирована одномерная математическая постановка задачи о развитии донных волн в реках с песчаным дном. На основе уравнения русловых деформаций предложена нелинейная стохастическая модель формирования донных волн, не содержащая в себе феноменологических параметров.
В третьем пункте для решения поставленной одномерной задачи о развитии донных волн предложен алгоритм, основанный на методе конечных разностей, используя схему бегущего счета.
В четвертом пункте представлены результаты численного моделирования по развитию донных волн. Полученные численные закономерности позволяют определить рост и эволюцию длины волны донных возмущений во времени, в зависимости от числа Фруда для гидродинамического потока, а также физико-механических и гранулометрических параметров донного материала. Показано, что одним из механизмов возникновения и развития донных волн является стохастическое возмущение расхода влекомых наносов. Проведен сравнительный анализ с экспериментальными данными других авторов.
В третьей главе предложено одномерное приближение трехмерной постановки русловой задачи, сформулированной в главе 1, которая позволяет выполнить анализ устойчивости донной поверхности напорного канала.
В первом пункте рассмотрен переход от общей трехмерной постановки русловой задачи к ее одномерному приближению. Обоснованы основные допущения, принятые при переходе от трехмерной постановки русловой задачи к одномерной. Рассмотрена методика определения коэффициента гидравлического сопротивления. В настоящей работе использовалась зависимость между гидравлическим сопротивлением и коэффициентом Шези. Коэффициент Шези определен по формуле Маннинга.
Во втором пункте, на основе принятых допущений, сформулирована одномерная математическая постановка задачи устойчивости поверхности песчаного дна напорного канала прямоугольной формы относительно одномерных по пространству возмущений.
В третьем пункте выполнена линеаризация уравнений сформулированной одномерной русловой задачи. Получено новое линеаризованное русловое уравнение. Получено аналитическое решение, позволяющее определить длину донной волны в зависимости от гидродинамических параметров потока (чисел Фруда и Рейнольдса), при различных физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала.
В четвертом пункте проведено сравнение полученной зависимости с экспериментальными данными и решениями других авторов, что показало их хорошее качественное и количественное согласование. Показано, что полученная аналитическая зависимость обобщает ряд известных эмпирических формул: Коулмана, Шуляка и Бэгнольда.
В пятом пункте получена асимптотическая формула для определения скорости движения донных волн. Показано, что асимптотическая формула обобщает известную формулу Пушкарева и согласуется с решениями других авторов.
В четвертой главе предложена двумерная профильная математическая модель, позволяющая исследовать механизмы движения донного материала над периодическим дном, выведенная из математической модели, представленной в главе 1.
В первом пункте сформулирована физическая постановка двумерной профильной задачи о развитии донных волн в напорном канале.
Во втором пункте выполнено упрощение общей трехмерной математической постановки из главы 1 до ее двумерного профильного приближения.
В третьем пункте для поставленной профильной русловой задачи предложен метод ее решения. На основе метода контрольных объемов выполнена дис 13 кретизация расчетной области для решения гидродинамической задачи и предложены дискретные аналоги для определения поля горизонтальной и вертикальной скоростей и давления.
В четвертом пункте рассмотрены особенности выполнения граничных условий для уравнений гидродинамики, на примере движения потока жидкости по напорному каналу с периодическим дном.
В пятом пункте рассмотрена методика определения придонного касательного напряжения, которая позволит выполнить расчет нижней границы расчетной области напорного канала.
В шестом пункте рассмотрен метод решения изменения донной поверхности напорного канала. Используя метод контрольных объемов, предложен одномерный дискретный аналог.
В седьмом пункте изложен пошаговый алгоритм решения русловой задачи в двумерной профильной постановке, основанный на алгоритме SIMPLE.
В восьмом пункте выполнено численное решение задачи о развитии донной неустойчивости в напорном канале, нижняя граница которого описывается в виде одного периода косинусоиды. На основе предложенной математической модели были выполнены расчеты для анализа механизмов возникновения и развития донной неустойчивости. Изучались влияния параметра перекошенности донных волн на поля расходов влекомых наносов и скоростей изменения донной поверхности при обтекании гидродинамическим потоком периодического дна.
Математическая постановка задачи
На основании предложенной стохастической математической модели (5), (7)-(11) выполнены расчеты по эволюции донных волн во времени для различных чисел Фруда, некоторые из которых представлены в диссертационной работе [62]. Расчеты велись при следующих геометрических, физико-механических и гранулометрических параметрах: L=10M, U = 0.5M/ С , 0.05 м h 0.3 м, ps =1650 кг/м , pw = 1000 кг /м , р = 28, і = 0.0001./W, е = 0.4, сх=0.5, к = 0.4, f = 0.1. Амплитуда стохастических возмущений транзитного потока наносов на входе в расчетную область варьировалась в диапазоне 0.006 Gtramit S 0.1 Gfransit .
На рисунке 2 представлен пример получаемой донной поверхности С, для числа Фруда Fr = 0.3 за период времени t = 3000 сек. Для определения основного волнового числа развивающихся донных возмущений использовалась следующая процедура. К полученной функции донной поверхности С, применялось оконное преобразование Фурье оо (k,L) = — [ {x)W{x-L)e l хdx J -oo , ч і 1, 0 x L с окном W{x,L)= . Волновое число определялось из условия 0, х 0,х L kmax =max ( ,L). Поскольку получаемая функция дна ( ) в каждый момент к времени является стохастической функцией, то для получения ее осредненного значения выполнялось N расчетов развития донной поверхности с последующим N осреднением полученных результатов кmax =— /_Л max)- . Результаты изменения г волновых чисел во времени, для различных чисел Фруда приведены на рисунке 3. Для удобства сравнения с экспериментальными данными волновые числа донных возмущений нормированы на 2л .
Из анализа результатов расчетов следует, что рост амплитуды донных волн и их длины происходит в первые 50-500 сек., что хорошо согласуется с известными экспериментальными данными [67, 99]. Например, на рисунке 3 приведено сравнение экспериментальных (маркеры X) и расчетных (маркеры О) данных значений волновых чисел в разные моменты времени. Из приведенных данных видно, что при временах больших 500 сек., несмотря на продолжающееся стохастическое изменение рельефа дна, критерий установления (14) не изменяется, то есть движение рельефа дна является квазипериодическим. Рис. 3. Рост длины донных возмущений для напорного канала: X - экспериментальные данные [9], 0 - численное решение по предложенной модели. среднее значение волновых чисел для предложенной модели среднее значение волновых чисел для эксперимента [9] На рисунке 4 представлены графики эволюции волновых чисел донных возмущений для различных чисел Фруда. Кривые 1 - 4 соответствуют числам Фруда 0.29,0.36,0.51,0.71, соответственно. Сплошными линиями определены средние значения волновых чисел, а пунктирными - границы среднеквадратичных отклонений волновых чисел донных возмущений: = 0.036, w2= 0.093, w3 =0.066, w4 =0.038, соответственно. Результаты, приведенные на рисунках 3, 4 имеют важное методологическое значение и указывают на причины, по которым различные экспериментаторы [67, 99] не могут получить четких детерминированных взаимосвязей между гидродинамическими параметрами потока и геометрическими параметрами донных волн в своих экспериментах. 4000 6000 8000 12000
Согласно полученным результатам, даже малое стохастическое изменение расхода 8 0.01Gtransjt, находящееся, как правило, за пределами точности измерительной аппаратуры, может приводить к значительному (до порядка) отклонению измеряемых геометрических характеристик дна. Вероятно, наличие стохастического возмущения расхода наносов для некоторых русловых режимов потока приводит к невозможности получения стационарного руслового решения для донной поверхности [67].
На рисунке 5 кривой 2 представлен график зависимости, полученный по предложенной модели, между числом Фруда невозмущенного потока и средними значениями относительной длины волны донных возмущений. На представленной кривой приведены интервалы, определяемые среднеквадратичными отклонениями. Интервалы указывают полосу, в которой экспериментальные данные имеют характерное рассеивание относительно среднего значения – относительной длины волны донных возмущений. Полученная расчетная зависимость 2 хорошо согласуется с экспериментальными данными, приведенными в работе [72], и согласуется с линейной оценкой Кеннеди (кривая 1). . 1. Асимптотическое решение Кеннеди [15], 2. Численное решение по предложенной модели. 2.5. Выводы по главе 2 1. Предложена физическая и математическая модели задачи о развитии дон ных волн с учетом стохастического возмущения потока донных наносов. 2. Предложен алгоритм решения уравнений математической постановки, основанный на методе конечных разностей. 3. Получены численные закономерности, определяющие рост и эволюцию длины волны донных возмущений во времени, в зависимости от числа Фруда для гидродинамического потока, а также физико-механических и гранулометрических параметров донного материала. 4. Выполнен анализ результатов моделирования, позволивший сделать следующий вывод: в рамках использованной модели исследуемая русловая задача не имеет стационарного решения при малых стохастических возмущениях потока влекомых наносов. Нестационарность решения приводит к невозможности получения в экспериментах детерминированных взаимосвязей (с малыми среднеквадратичными отклонениями) между гидродинамическими параметрами потока и длиной волны донных возмущений. Такой вывод хорошо подтверждается многочисленными экспериментальными данными. 5. Полученные в результате моделирования длины волн согласуются с экспериментальными данными и не противоречат аналитическим зависимостям линейного анализа донной устойчивости. 6. Показано, что возмущение расхода влекомых наносов приводит к возникновению и развитию донных волн.
Решение линеаризованной задачи о развитии донной неустойчивости в напорном канале с песчаным основанием
Сравнение теоретических и экспериментальных данных [67] проводилось для напорного канала глубиной h = 0.1 м и средней скоростью потока U = 0.5 м/с . На рисунке 3 представлены зависимости длины волны донных возмущений от диаметра донных частиц. Точечными множествами определены экспериментальные данные различных авторов [80, 83], приведенные Коулманом в работе Зависимость длины донной волны от диаметра донных частиц: кривая 1 определяется формулой Коулмана Я = 31.12 d кривая 2 - по полученному решению (20) для числа Фруда 7 =0.253.
Отметим, что хорошее количественное и качественное согласование полу [67]. Кривая 1 определяется формулой А = 31.12 i которая получена Коулманом в результате обработки экспериментальных данных. Кривая 2 построена по полученному решению (20). ченного аналитического решения (20) с экспериментальными данными, наблюдается только в области длинноволнового приближения h « Л. Это связанно с тем, что используемая в работе гидродинамическая модель является длинноволновой моделью мелкой воды. Поэтому сравнение зависимости (20) с экспериментальными данными [80, 83] в коротковолновой области имеют существенное различие, однако оно не превышает границы стандартного отклонения выборки экспериментальных данных. Следовательно, можно утверждать, что полученное, в рамках линейного приближения задачи, аналитическое решение (20) согласуется с экспериментальными данными не только качественно, но и количественно.
Выполним сравнение аналитической зависимости (20) с известными фено менологическими зависимостями других авторов [64, 67]. На рисунке 4 кривыми 1 - 5 представлена зависимость относительной длины донной волны от Рис. 4. Зависимость относительной длины волны X/h донных возмущений от числа Фруда Fr для различных значений диаметра донных частиц d числа Фруда для различных диаметров донных частиц d. Из графиков следует, что функция A.\d,Fr)/h является вогнутой, она убывает на левом интервале от Fr0 Fr Frmin и возрастает на правом интервале от Frmin Fr о. Функция X\d,Fr)/h имеет вертикальную асимптоту для своей левой ветви (кривые 1-5), значение асимптоты определятся числом Фруда Fr0, зависящим от физико-механических и гранулометрических параметров донного материала и находится из решения уравнения 1 + SReFr0[cFr - е - 3SFr2 с\а + сЛ Fr0J\ -1=0.
Отметим, что в решении (20) число Фруда, при котором начинается формирование донных волн Fr0, больше числа Фруда начала движении донных частиц Fr , т.е. в напорном канале существует интервал Fr Fr Fr0 движения руслового потока с невозмущенным дном и только при Fr = Fr0 начинается генерация донных волн.
Отметим, что относительно небольшие изменения чисел Фруда потока приводят к существенному изменению генерируемых длин волн. Это хорошо заметно на рисунке 5, на котором сплошными кривыми 1 - 4 отображена зависимость относительной длины донной волны X{d,Fr)/h от донных частиц с различной крупностью d для различных чисел Фруда, полученных по формуле (20). Пунктирными кривыми 5 - 7 на рисунке 5 отображаются известные феноменологические зависимости, полученные различными авторами [62, 65].
Зависимость длины волны X/h донных возмущений от диаметра донных частиц d для различных чисел Фруда Fr Из рисунка 5 видно, что зависимость (20) (кривые 1-4), при различных числах Фруда, приближается к феноменологическим зависимостям различных авторов [64, 67]. Так, при числах Фруда, характеризующих левую нисходящую ветвь (рис. 4), зависимость (20) (кривая 1) близка к формуле Коулмана (21) [67], представленная кривой 5 Я = 31.12 і . (21) При числах Фруда близких к Frmin (кривые 2, 3) зависимость (20) близка к формуле Бэгнольда (22) [64], представленная кривой 6 X = Cftd . , (22) где Св 1 - экспериментально определяемый коэффициент. При числах Фруда близких к Frmin Fr (кривая 4) зависимость (20) близка к формуле (23) Шуляка [64] (кривая 7), полученная им из теории размерностей 3 0.1 ,— п psgd Я = С (23) g
где С - экспериментально определяемый коэффициент; v - вязкость жидкости.
Таким образом, наблюдается многозначность, когда с одной стороны для заданного диаметра частиц, при различных числах Фруда, могут наблюдаться одинаковые значения длин донных волн, а с другой стороны незначительные изменения чисел Фруда в области Fr0 Fr Frmin могут приводить к существенным изменениям длин волн донных возмущений, что хорошо видно на рисунках 4, 5.
Другими словами, из графиков, представленных на рисунке 4 видно, что наличие быстро убывающей и относительно медленно возрастающей ветви функции X{d,Fr)/h может приводить к неоднозначности определения значения функции при заданном диаметре донных частиц. Неоднозначность проявляется, если мы пренебрегаем даже относительно небольшим изменением гидродинамических характеристик потока характеризуемых числом Фруда, как это сделано в зависимостях (21)–(23). Анализ полученной аналитической зависимости (20) и ее сравне 57
ние с результатами численных исследований, представленных на рисунке 6 объясняет, почему феноменологические зависимости, предложенные в работах [64, 67, 68, 90] не учитывают гидродинамических характеристик потока. Причиной невозможности построения таких зависимостей является то, что стохастичность процесса формирования донных волн (рис. 2.3, 2.4) обладает существенной дисперсией, приводящей к значительному разбросу экспериментальных данных. Погрешность экспериментальных данных не позволяет получить детерминированную зависимость между длиной волны донных возмущений и числом Фруда. Данное утверждение согласуется с экспериментальными данными различных авторов [67], представленных точечными множествами на рисунке 6 и ограниченных пунктирными кривыми. В полосу разброса экспериментальных данных (рис.6) попадают аналитическая зависимость (20) и эмпирические зависимости, полученные Коулманом (21) в работе [67], Коулманом и Никорой в работе [68]
Дискретизация расчетной области для решения гидродинамической задачи
Контрольно-объемная сетка строится таким образом, что граница области проходит через узлы, в которых вычисляются скорости, а не давление. Геометрия нижней границы области проходит по границе контрольных объемов для функции давления. В качестве примера рассмотрим постановку граничных условий для области Q. с границами Г = Гіп и Гout иГ и rw, приведенная на рисунке 2.
На входе Гіп и выходе Гout расчетной области координаты узлов горизонтальной скорости Vx принадлежат границам Гіп и Гout расчетной области.
Граничные условия для горизонтальной Vx и вертикальной Vz скоростей на входе Гіп и выходе Гout расчетной области устанавливались в зависимости от вида задачи (задачи на установление и периодической задачи):
При решении задач с алгебраической моделью турбулентности на установление на входе Гіп в область устанавливался параболический профиль скорости Vx = Vjn(z), Vz = 0 где zi - текущая координата расчетной сетки в направлении оси z; Qw - задаваемый гидродинамический расход; Н - глубина потока. В массиве Imax[] содержатся z-ые индексы граничных контрольных объемов, нижние грани которых принадлежат нижней границе Г дискретной области Q . При использовании турбулентной модели к - е на входной границе Гіп об Qw ласти начальный профиль скорости устанавливался постоянным Vx = —— или по Н закону (22). Значение величин к и е на границе Гіп устанавливалось по формулам = 0.005КХ, е = 0.1к , = Сцк /e + ju, XjErjn. На выходе Гout из расчетной области использовались граничные условия dVY dV7 установления —— = 0, —— = 0 дх дх (Vx)i,N+1(Vx)i,N . —] = 0, і = 0,Imax[M +1. (23) Ах (Vz)i,N+1-(Vz)i,N . —] = 0, і = 0,Imax[M +1. (24) Az 2. При решении периодических задач использовались узловые значения горизонтальных Vx и вертикальных Vz скоростей на входной границе Гіп расчетной области, полученных из расчета на границе вытекания Гout из области.
На верхней rw и нижней Гь границах расчетной области для выполнения требования равенства нулю горизонтальной скорости Vx требуется введения условия прилипания Vx = 0. Для выполнения граничного условия (14) на верхней границе rw используется второй порядок точности для аппроксимации значений скорости в фиктивные (нулевые) узлы (рис. 4а). Для горизонтальной скорости Vx на верхней границе Fw расчетной области граничное условие имеет вид {Vx)0 =-2 7 +3{VX)2 j = 1,N + 1. (25) Для выполнения граничного условия (14) на нижней границе Гь расчетной области (рис. 46), в случае ровного дна, используем аналогичную формулу для нижней границы (Vx)N
На вертикальных границах 7 w и 7"ом/ расчетной области Q для реализации условия прилипания Vz = 0 требуется наличие фиктивных контрольных объемов. Для выполнения граничного условия (10) на левой границе Гіп используется второй порядок точности для аппроксимации значений вертикальной скорости Vz в фиктивные (нулевые) узлы (рис. 5а). Для вертикальной скорости Vz на входе Гіп расчетной области граничное условие имеет вид d2V дґ і = 0,2. (27) {Vz )i 0 = -2{VZ )i 2+3(Yz )j 3 ,
На верхней Гw и нижней Гb границах расчетной области для вертикальной скорости Vz имеем узлы, в которых определяются ее значения принадлежат границам Гw и Гb расчетной области. Для выполнения граничного условия (14) для вертикальной скорости Vz на верхней Гw и нижней Гb границах расчетной области установим условия непротекания, соответственно (Vz1,j=0, v z ImaxГМІ і j = 1, N +1. І = 1,N +1,
В случае, если нижняя граница Гь имеет сложную геометрию (рис. 6), то существуют некоторые особенности в постановке граничных условий на нижней границе Гь для горизонтальной Vx и вертикальной Vz скоростей и функции давления Р. В этом случае нижнюю границу расчетной области аппроксимируем набором ступенек (рис. 2). Учет геометрии нижней границы расчетной области проводим при помощи включения контрольных объемов фиктивной сетки таким образом, чтобы оставшиеся действующие объемы описывали геометрию (рис. 2).
В случае расчета задачи с подвижной нижней границей (дном), расчетная сетка дополняется i -ым количеством фиктивных контрольных объемов, расположенных под осью х. При решении уравнения (6) на каждом временном шаге определяется функция j, которая используется для определения границы Г}, расчетной области Q следующим образом: для каждого С, j определяется контрольный объем KOjj, для которого выполнены условия включения Zjj+1 С, і Zjj. Если для каждого / -го контрольного объема выполняются условия С/ zfj, то данный контрольный объем является граничным и принадлежит Q , в противном случае граничным контрольным объемом является Q7-_1, U Рис. 6. Фрагмент расчетной сетки со сложной геометрией нижней границы Гb Все расчеты по определению граничных условий для горизонтальной Vx и вертикальной Vz скоростей ведем с учетом геометрии нижней границы расчетной области.