Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. История, основные понятия и приложения теории дробного исчисления 13
1.1. История и основные понятия теории дробного исчисления 13
1.2. Основные области применения теории дробного исчисления 19
1.3. Теорема единственности для дифференциального уравнения дробного порядка 22
1.4. Выводы 23
Глава 2. Модель вязкоупругих материалов с использованием дробного исчисления. параметрическая идентификация модели 24
2.1. Экспериментальные данные и стандартные модели вязкоупругого тела 24
2.2. Модель вязкоупругих материалов с использованием дробного дифференцирования 31
2.3. Параметрическая идентификация модели вязкоупругих материалов, содержащей производные дробного порядка 39
2.4. Обобщенный закон высокоэластичной деформации 44
2.5. Моделирование ползучести. Параметрическая идентификация модели 52
2.6. Моделирование релаксации. Параметрическая идентификация модели 60
2.7. Разностные схемы для уравнений ползучести и релаксации 66
2.8. Выводы 68
Глава 3. Модель колебательных процессов с вязкоупругим демпфированием 70
3.1. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения движения осциллятора с вязкоупругим демпфированием 70
3.2. Оценка для первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля 83
3.3. Разностная схема для уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием 91
3.4. Выводы 94
Заключение 95
Литература 98
- Основные области применения теории дробного исчисления
- Теорема единственности для дифференциального уравнения дробного порядка
- Параметрическая идентификация модели вязкоупругих материалов, содержащей производные дробного порядка
- Оценка для первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля
Введение к работе
Актуальность работы. Развитие современной техники и технологий создания материалов характеризуется исследованиями конструкций и материалов, эффективно работающих в упругой или вязкоупругой областях при действии сложных нагрузок. Составляющей компонентой направленного синтеза материалов с заданными свойствами на основе изучения экспериментальных данных является моделирование диаграммы напряжения – деформации, включая оценку адекватности построенных моделей физических соотношений. Так, для полимерных материалов диаграмма растяжения включает не только незначительный линейный участок, но и характерный при больших деформациях участок нелинейной зависимости.
Упругие материалы обладают способностью накапливать механическую энергию, не рассеивая ее, и при снятии нагрузок возвращаются в первоначальное состояние. Физические соотношения линейны и описываются законом Гу-ка. С другой стороны, вязкая жидкость может лишь рассеивать энергию, не способна ее накапливать, после снятия нагрузок не стремится вернуться в исходное состояние и описывается соответствующим уравнением Ньютона. Если упругие материалы определяются физическими соотношениями между напряжениями и деформациями, то в вязкой жидкости напряжения зависят от скоростей деформаций.
Реальные материалы, обладающие способностью и к накоплению механической энергии и к её рассеиванию, нельзя отнести ни к одной из этих содержательных моделей. Эти две модели не позволяют описать поведения материалов, способных частично (но не полностью) вернуть энергию, затраченную на их деформирование, т.е. с учетом свойства вязкоупругости.
Основная тема работы возникла в результате решения практической задачи направленного синтеза полимерных материалов с заданными свойствами. Все исследуемые полиэфиры относятся к негорючим полимерам, обладают высокой прочностью и пластичностью и предназначаются для использования в тех об-3
ластях техники, где необходимы пленочные материалы и покрытия с повышенной огнестойкостью и высокими физико-механическими свойствами.
При экспериментальном исследовании напряженно-деформированного состояния полимерных пленок возникает задача построения качественной математической модели, так как ни одна из стандартных моделей вязкоупругого тела (Максвелла, Фойгта, Кельвина) не позволяет показать полного соответствия экспериментальным результатам.
Моделью, способной качественно соответствовать результатам опытов над полимерными пленками, является модель, содержащая производные дробного порядка, которая согласуется с основными экспериментальными данными рассматриваемых явлений.
Актуальность работы определяется построением математических моделей с использованием производных дробного порядка, адекватных экспериментальным данным исследований вязкоупругих материалов, развитием качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей поведения вязкоупругих материалов и систем с вязкоупругими элементами, разработкой численных методов структурной и параметрической идентификации моделей, созданием программных комплексов для их реализации.
Степень разработанности темы исследования. Изучением моделей вяз-коупругих тел с использованием дробного анализа занимались многие отечественные (Герасимов А. Н., Слонимский Г. Л., Нахушев А. М., Сургуладзе Т. А., Огородников Е. Н., Победря Б. Е., Алероев Т. С. и др.) и зарубежные (Gement A., Scott-Blair G. W., Caputo M., Bagley R. L., Torvik P. J., Ingman D., Suldalnitsky J., Naber M. и др.) ученые. Однако, при всем разнообразии подходов исследования этих моделей, задачам параметрической идентификации уделяется значительно меньше внимания. Также имеется много нерешенных задач в области аналитического исследования модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Цель работы. Основной целью работы является математическое моделирование вязкоупругих тел на основе аппарата дробного исчисления, разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей поведения вязкоупругих материалов конструкций и объектов на основе данных натурного эксперимента, развитие качественного аналитического метода исследования математической модели осциллятора, содержащего вязкоупругий элемент, разработка новых численных методов структурной и параметрической идентификации моделей, создание программного комплекса для их реализации и исследования.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
обзор моделей поведения вязкоупругих материалов конструкций и объектов и сопоставительный анализ их возможностей адекватного соответствия экспериментальным данным;
разработка новых математических методов на основе аппарата дробного исчисления и алгоритмов проверки адекватности математических моделей поведения вязкоупругих материалов конструкций и объектов по данным натурного эксперимента.
разработка метода параметрической идентификации модели вязкоупругого тела, содержащей оператор дробного дифференцирования;
структурная идентификация модели вязкоупругого материала на основе экспериментальных исследований ползучести и релаксации;
разработка методик определения порядка оператора дробного дифференцирования в модели вязкоупругого тела на основе экспериментальных исследований ползучести и релаксации;
разработка разностных схем численного решения уравнений с производными дробного порядка;
развитие качественных аналитических методов исследования математической модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием, получение ана-
литических выражений для системы собственных значений и собственных функций;
определение и доказательство основных осцилляционных свойств модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием;
получение теоретических оценок для первого собственного числа задачи Штурма-Лиувилля для уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием;
построение алгоритма численного определения собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием, определение критерия сходимости вычислительного процесса;
разработка программного комплекса, реализующего алгоритмы параметрической идентификации моделей, содержащих производные дробного порядка, а также методики вычисления собственных значений и собственных функций модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач используются базовые методы математического моделирования и вычислительного эксперимента, как двуединого процесса создания и исследования математических моделей. Результаты получены с использованием теории дробного исчисления, интегральных уравнений, а так же теории разностных схем.
Научная новизна
Проведен обзор моделей поведения вязкоупругих материалов конструкций и объектов и дан сопоставительный анализ их возможностей адекватного соответствия экспериментальным данным;
Разработаны математический метод на основе аппарата дробного исчисления и алгоритмы проверки адекватности математических моделей поведения вязкоупругих материалов конструкций и объектов на основе данных натурного эксперимента.
Разработан метод параметрической идентификации модели вязкоупругого тела, содержащей оператор дробного дифференцирования.
Проведена структурная идентификация модели вязкоупругого материала на основе экспериментальных исследований ползучести и релаксации.
Разработана методика определения порядка оператора дробного дифференцирования в модели вязкоупругого тела на основе экспериментальных исследований ползучести и релаксации.
Разработаны разностные схемы численного решения уравнений с производными дробного порядка.
Разработан на основе аппарата дробного исчисления качественный аналитический метод исследования математической модели осциллятора с вязко-упругим демпфированием, получены аналитические выражения и представлены в явном виде системы собственных значений и собственных функций.
Определены и доказаны основные осцилляционные свойства модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Получены теоретические оценки для первого собственного числа задачи Штурма-Лиувилля для уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Построены алгоритмы численного определения собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием, определен критерий сходимости вычислительного процесса.
Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы параметрической идентификации моделей, содержащих производные дробного порядка, а также методики вычисления собственных значений и собственных функций модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Теоретическая значимость.
Проведено глубокое исследование моделей вязкоупругих материалов с использованием производных дробного порядка. Доказаны основные свойства,
получены формулы для собственных значений и собственных функций уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Практическая значимость.
Применение аппарата дробного исчисления позволяет создать математическую модель поведения вязкоупругих материалов и объектов не только более полно учитывающих их качественное поведение, но и их адекватность на основе натурного эксперимента.
Исследование модели, основанной на производных дробного порядка, актуально и имеет практическую значимость для изучения вязкоупругих материалов и систем с вязкоупругими элементами, при построении алгоритмических реализаций в инженерных расчетах.
Предложенная методика определения параметров вязкоупругих материалов применима в инженерных расчетах для прогнозирования поведения различных материалов: полимеров, бетонов, стекол и др. На основе предложенной методики вычислены параметры моделей реальных полимеров: ТХД и диана.
Разработанные разностные схемы численного решения уравнений с производными дробного порядка расширяет возможности применимости аппарата дробного исчисления для решения инженерных задач.
Исследование уравнения колебания осциллятора с вязкоупругим демпфированием, полученные аналитическими методами и представленные в явном виде системы собственных значений и собственных функций имеют фундаментальное значение и применимы для развития математического моделирования объектов различной природы.
Создан авторский программный комплекс, реализующий разработанные методики и алгоритмы.
Внедрение результатов исследования.
Разработанные методики параметрической идентификации применялись при расчете характеристик полимеров, полученных методом направленного синтеза в Научном центре "Новейшие материалы и технологии".
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора. Методики параметрической идентификации моделей с производными дробного порядка опубликованы в работах [5-8] и разработаны автором самостоятельно. Результаты исследования модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием [1-4, 9]: формулы для собственных функций и собственных значений, доказательства основных осцилляционных свойств модели, оценки для первого собственного числа и разностные схемы получены автором самостоятельно.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
-
Обобщенные модели вязкоупругого тела с использованием производных дробного порядка и методики их параметрической идентификации на основе экспериментальных данных.
-
Аналитическое исследование модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием: формулы для собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, доказательства основных осцилляционных свойств, оценки для первого собственного числа.
-
Разностные схемы и вычислительные алгоритмы для численного решения уравнений с производными дробного порядка.
-
Программный комплекс, реализующий алгоритмы параметрической идентификации моделей, содержащих производные дробного порядка, а также методики вычисления собственных значений и собственных функций модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Достоверность результатов и адекватность математических моделей обеспечивается строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и в некоторых случаях предельными переходами к эталонным вариантам, сравнением с данными экспериментов, а также натурных наблюдений.
Апробация работы. Материалы диссертации и отдельные ее вопросы докладывались автором и обсуждались на семинарах кафедр высшей математики и строительной механики МГСУ и конференциях, в том числе:
Всероссийская научно-практическая конференция «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе», МФЮА, 2007;
Международный Российско-Азербайджанском симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", 2008;
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», МГУ, 2008;
Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы - 2010», РУДН.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 9 печатных работах, из них 4 в изданиях перечня ВАК. Получено 2 свидетельства на программу для электронных вычислительных машин.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 107 страницах машинописного текста с 21 рисунками. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Список использованной литературы включает 101 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Основные области применения теории дробного исчисления
В последнее время во многих науках появляются новые структуры, для описания которых недостаточно использования обыкновенных дифференциальных уравнений. Между тем, такие структуры могут быть адекватно описаны при помощи дробного исчисления, или дробных интегро-дифференциальных операторов. Дробным исчислением принято называть область математического анализа, в которой исследуются и применяются дробные производные и интегралы любого вещественного порядка [39, 51, 58, 82, 89, 92, 95]. Одним из приложений этой теории является теория дифференциальных уравнений с дробными производными.
В 1978 году К. Олдхем и Дж. Спаниер опубликовали работу [92], в которой перечислены (с указанием соответствующих источников) шестнадцать областей, где к тому времени успешно применялось дробное исчисление.
Подробное описание применения дробного исчисления к различным областям науки и техники на современном этапе дано в монографии И. Подлубного [95], а также в [39, 53, 58].
Дробное исчисление давно применяется в различных областях науки и техники для моделирования и изучения наследственных свойств различных материалов и процессов.
В физике, механике, биологии и других областях часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы. Примерами фракталов (или фрактальных сред) могут служить пористые среды и дробное броуновское движение. Фрактальные структуры являются следствием многих процессов и явлений, например, таких как диффузия, агрегирование, разрушение, перколяция, динамический хаос, растворение и др.[16, 39]. В работах [34, 59, 64] рассматривается применение теории фракталов в моделировании биологических систем и фильтрации нефти и газа в пластах. Отмечено, что пористые вещества ведут себя как системы с фрактальной структурой. Масштабы самоподобия такой системы составляют диапазон значений от 10 ангстрем до 100 микрон [59, 81]. При этом нефтяные и газовые коллектора содержат трещины и разломы на различных масштабных уровнях, которые могут развиваться в процессе разработки месторождения. Отсутствие учёта подобных процессов в классической теории фильтрации может приводить к серьёзным ошибкам в расчётах продуктивности скважин.
Процессы фильтрации и течения жидкости в пористой среде [61] также описываются при помощи математических моделей в виде дифференциальных уравнений дробного порядка.
Уравнения, содержащие интегро-дифференциальный оператор дробного порядка, возникают при использовании дробного исчисления для описания поведения или состояния реальной физической среды или процесса. Существует широкий класс явлений и процессов, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, фрактальностью или степенной памятью [55]. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей таких систем. Примером наличия памяти может являться магнитный гистерезис. Экспериментальная физика последних лет часто подтверждает наличие памяти как общего свойства природы. Механизм памяти может быть различным в зависимости от типа процесса, в то время как феноменологическое описание многих процессов с памятью может иметь одну основу [57].
Дифференциальные уравнения с дробными производными используются при описании процессов, обладающих эффектом ”памяти“, причём дробное исчисление в теории таких систем приобретает основополагающее значение, сопоставимое с классическим анализом применительно к механике сплошных сред [43].
В последние несколько десятилетий стала очевидна востребованность дробного исчисления в различных областях науки, таких как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турбулентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений [97].
Важнейшим приложением теории фракталов к механике являются дифференциальные операторы дробного (фрактального) порядка в линейной теории вяз-коупругости [53, 82], исследование которых и является основной целью работы. Замена в соотношении между напряжением и деформацией целых производных их дробными аналогами позволяет значительно сократить количество идентифицируемых параметров модели изучаемого материала [10]. Исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах играют важную роль при оценке прочности и надёжности различных технических сооружений. Материалы с такими свойствами находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, геофизике и сейсмологии. Наличие инвариантности по времени и масштабу приводит к необходимости использования реологических моделей, при описании которых применяются дробные производные.
В работе [15] для описания вязкоупругих свойств предложено использовать производные дробного порядка в смысле Лиувилля вместо обыкновенных производных, что является обобщением дифференциальных законов вязкоупругости. В. Вольтерра в своих работах по математическому моделированию предложил рассматривать законы наследственной упругости. Полученный в результате интегрирования степенной закон хорошо описывает ползучесть различных материалов. В случае степенной слабополярной зависимости ядра от разности аргументов интегральный оператор оказывается дробным интегралом Римана – Лиувилля, а его производные по времени — соответствующими дробными производными Римана – Лиувилля [62].
Обзор исследований по применению дробных производных в релаксационных процессах приведён в работе F. Mainardi и R. Gorenflo [87], где рассматриваются основные положения теории линейной вязкоупругости и релаксационных процессов с учётом концепции дробного исчисления. Описанию реологических моделей вязкоупругого тела с памятью при помощи дифференциальных уравнений в дробных производных посвящена работа [43].
Теорема единственности для дифференциального уравнения дробного порядка
Приложениями теории линейной вязкоупругости являются исследования ползучести бетонов и других строительных материалов, грунтов, горных пород и т. д. Железобетону также свойственны явления ползучести и релаксации, следствием которых является перераспределение усилий между бетоном и арматурой.
Ползучесть материалов — изменение с течением времени деформации твёрдого тела под воздействием постоянной нагрузки. Ползучести в той или иной мере подвержены все твёрдые тела, как кристаллические, так и аморфные. С математической точки зрения это означает, что зависимость между напряжениями и деформациями материала содержит время в явном виде или посредством операторов.
Явление ползучести было замечено К. Навье (1826), Г. Кориолисом (1830), но впервые количественно изучено Л. Вика (1834). Систематические исследования ползучести металлов и сплавов, резин, стекол относятся к первой половине XX века, когда в связи с развитием техники столкнулись, например, с ползучестью дисков и лопаток паровых и газовых турбин, реактивных двигателей и ракет, в которых значительный нагрев сочетается с механическими нагрузками. Потребовались конструкционные материалы (жаропрочные сплавы), детали из которых выдерживали бы нагрузки длительное время при повышенных температурах. Долгое время считалось, что ползучесть может происходить только при повышенных температурах, однако ползучесть имеет место и при очень низких температурах. Например, в кадмии заметная ползучесть наблюдается при температуре -269 С, а у железа — при -169 С.
Важнейшей задачей, возникающей при проектировании новых и обследовании существующих зданий и сооружений, является прогнозирование их срока службы, а также определение реальной картины деформирования кон-52 струкций во времени, выполненных преимущественно из железобетона, который, как известно, является весьма сложным материалом, деформирующимся во времени. Решение этой задачи невозможно без построения адекватной математической модели ползучести.
Теория наследственной ползучести Больцмана-Вольтерры основана на предположении, что деформация в текущий момент времени зависит не только от величины напряжения в тот же момент, но и от предыстории де формирования. При этом учет предшествующих деформаций проводится в соответствии с принципом суперпозиции, согласно которому величина де формации в момент времени t, и напряжений , действовавших до этого момента, связаны соотношением где – ядро ползучести, убывающая функция. Зависимость от разно сти аргументов свидетельствует об инвариантности ядра по отноше нию к началу отсчета времени [31, 48, 50].
В стандартной модели Фойгта (2.1) уравнение ползучести, обусловленной только внутренним трением самого материала и наличием постоянной внешней осевой нагрузки o имеет вид: где - сила диссипации; – восстанавливающая упругая сила. Дифференциальное уравнение (2.37) при нулевых начальных услови ях имеет известное решение: . Cсоответствующая уравнению (2.37) модель является весьма распро страненной в реологии. Однако ее существенным недостатком является от сутствие сингулярности в момент времени , что, строго говоря, непри емлемо для корректного описания зависимости деформации от времени. Действительно, для всех без исключения материалов имеет место начальная асимптотика кривых простой ползучести в форме параболы дробного порядка , где т — коэффициент пропорциональности, а параметр характеризует механические свойства материала. Для описания затухающей ползучести пластмасс, бетонов, композитов и им подобных материалов, что имеет место при относительно малых и умеренных напряжениях, необходима модель с использованием дробных производных. Она будет корректно описывать упомянутую сингулярность, как и сами кривые ползучести в случае, когда параметры модели не зависят от времени, что справедливо для всех структурно стабильных материалов.
Стандартная модель вязкоупругого тела в формулировке (2.20) при постоянной осевой нагрузке дает следующее уравнение ползучести
Выражение (2.38) корректно описывает начальную сингулярность, но, как будет показано далее из экспериментальных данных, не подходит для описания ползучести на всем участке наблюдения.
Для наилучшего описания ползучести воспользуемся обобщенной моделью Фойгта, в которой вязкий элемент заменен вязкоупругим (рис. 2.11). Возвращаясь к исходным обозначениям, можно записать После преобразований получаем решение уравнения (2.41) в виде суммы сходящегося ряда В справедливости (2.42) можно убедиться, подставив это выражение в (2.41) и применив формулу дробного дифференцирования степенных функций (1.9). Действительно что подтверждает (2.42). Обобщенная модель Фойгта подробно описывает напряженно-деформированное состояние образца на всем протяжении эксперимента (рис. 2.12).
Для модели (2.40) по аналогии с п. 2.3 также можно сформулировать обратную задачу ее параметрической идентификации по экспериментальным данным. Точное значение параметров модели для конкретного материала необходимо для построения прогнозов его напряженно-деформированного состояния при различных нагрузках (вне экстремальных значений).
Для уравнения (2.40) также справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши (1.15), а значит, его параметры инвариантны и определяются свойствами исследуемого материала.
Оно имеет тривиальное решение = 0 и одно нетривиальное 0 1. Это уравнение аналитически неразрешимо, но допускает отыскание решения численными методами, например, методом половинного деления. Таким образом, по данным трех наблюдений возможно достаточно точно определить ключевой параметр модели.
Для апробации методики просчитаны уникальные кривые ползучести бетона (рис. 2.13) [36]. Продолжительность одного из них (кривая 2) составляет 25 лет. Видно, что приложенное напряжение не влияет на форму кривых, что подтверждает предположение об инвариантности параметров модели. Рис. 2.13. Кривые ползучести бетона разного возраста при постоянных значениях напряжения: 1, 3, 5 – возраст 90 дней, напряжение – 8,4; 6,3; 4,2 МПа соответственно; 2, 4, 6 – возраст 28 дней, напряжение - 6,3; 4,2; 2,1 МПа соответственно. Например, для кривой 2 имеем входные данные для которых методом последовательных приближений получено нетривиаль ное решение уравнения (2.44) , что хорошо согласуется с результа тами номографических методик [36].
Параметрическая идентификация модели вязкоупругих материалов, содержащей производные дробного порядка
Для резольвенты интегрального уравнения имеем следующую формулу откуда решение уравнения (3.6) записывается в виде (3.7) Вычислив интеграл в (3.7), получим (3.8) что позволяет сформулировать следующую теорему о задаче Штурма-Лиувилля. Теорема 3.1. Число является собственным значением задачи Штурма-Лиувилля (3.2) тогда и только тогда, когда является нулём функции (3.9) при этом собственные функции имеют вид (3.10) где корни функции . Доказательство этой теоремы следует того факта, что функция (3.8) является решением задачи Коши (3.5).
Соотношения (3.9) и (3.10) допускают численное вычисление собственных функций и собственных значений. Например, при с = 0,5, = 0,5 первые два собственных значения 1 9,37, 2 36,2. Соответствующие собственные функции приведены на рис. 3.5. Рис. 3.5. 1-я и 2-я собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (3.2) при = 0,5, с = 0,5 Как было отмечено ранее, при с задача (3.3) совпадает с классиче ской задачей гармонического осциллятора: (3.11) Формулы (3.9)-(3.10) в этом случае дают хорошо известные выражения для собственных значений и собственных функций задачи (3.11):
При с задача (3.3) совпадает с задачей для уравнения ос циллятора с вязким демпфированием, описывающего затухающие колебания: (3.12) Формулы (3.9)-(3.10) и в этом случае подтверждают теоретические выражения для задачи (3.12): . Согласно [4, 14], построенная система собственных функций (3.10) является полной, но не является ортогональной. Поэтому рассмотрим сопряженную к (3.3) задачу [63]. Сопряженная задача ставится следующим образом: (3.13) здесь Daxl- оператор дробного дифференцирования порядка от х до 1 порядка (3.14) Аналогично, для того, чтобы выписать собственные функции задачи (3.13), рассмотрим вспомогательную задачу Коши: (3-15) Будем действовать аналогично изложенному выше решению задачи Коши (3.3). Домножим (3.15) на (х -1) и проинтегрируем по t от х до 1: J \u"{t -x) + cDaxXu(t -x) + lu(t - x)dt = 0. x Вычислим первое слагаемое под интегралом, интегрируя по частям и подставляя начальные условия (3.15):
Преобразуем второе слагаемое, используя интегрирование по частям, подставляя начальные условия и меняя порядок интегрирования: T(2-a)0 Таким образом, эта задача эквивалентна уравнению Вольтерра: u(x) = -J K(x, t)u(t)dt -(1-х) Как и выше, определяем последовательность итерированных ядер посредством рекуррентных соотношений
Из последней формулы следует утверждение теоремы. В работе [14] установлено, что системы собственных функций (3.10)-(3.16) задач (3.5)-(3.15) биортогональны. Так как уравнение (3.2) описывает движение осциллятора, то интуитивно ясно, что соответствующий ему оператор А должен обладать целым комплексом осцилляционных свойств. В работе [80] была выдвинута гипотеза о том, что оператор А обладает основными осцил-ляционными свойствами: 1) все частоты являются простыми (т. е. амплитудная функция собственного колебания данной частоты определяется с точностью до постоянного множителя однозначно); 2) собственные колебания с наименьшей частотой не имеют узлов; 3) все частоты являются положительными. Следует отметить, что эти утверждения были приведены в [80] после многочисленных наблюдений за движением осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Хотя численные эксперименты (рис. 3.3) подтверждают гипотезу, строгое математическое обоснование основных осцилляционных свойств сопряжено со значительными аналитическими трудностями.
Доказательство. Рассмотрим семейство где T - диф ференциальный оператор а оператор Так как все собственные числа оператора Т изоли рованы и имеют кратность, равную 1, то соответствующие собственные числа и собственные функции голоморфные, по крайней мере, для ма лых [28] Для вычисления нижней границы радиуса сходимости рядов Тейло ра (3.17)-(3.18) воспользуемся формулой [28]
Так как здесь n - любое положительное число, то Т - границу возмуще ния можно выбрать сколь угодно малой. Поэтому в формуле (3.20) значе ния параметров можно выбрать Выбрав в формуле (3.19) в качестве Г окружность где - расстояние от до множества остальных собственных чисел опера тора T получим Здесь мы воспользовались тем, что Осталось доказать, что все собственные числа задачи (3.3) вещественны. Обратимся к формулам (3.17)-(3.18) (3.21) (3.22) Коэффициенты и вычислим по формулам, указанным в работе [73] Здесь R - приведенная резольвента оператора T, соответствующая соб ственному значению , является интегральным оператором с ядром (при в правой части этой формулы нужно поменять местами и ). Ясно, что преобразовывает взаимнооднозначно (ортогональное до полнение функции ) в себя и аннулирует , а , и при Из (3.21) следует, что
Оценка для первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля
Для уточнения значения параметра, вычисленного по формуле (2.52) необходимо взять еще два значения напряжения и причем . После аналогичных преобразований из (2.53) получим вторую формулу для параметра : . (2.54) Соответствие результатов, полученных по формулам (2.52) и (2.54) будет свидетельствовать о точности параметрической идентификации. Использование дополнительных объемов экспериментальных данных позволяет повысить точность расчетов.
Следует отметить, что при найденных параметрах модель (2.48) будет описывать кривую релаксации для любой не экстремальной начальной деформации, и на всем отрезке наблюдения. Этот факт следует из инвариантности параметров модели.
Для апробации методики обработаны кривые релаксации образцов мерзлого грунта (рис. 2.15) [12] и полимера (нефракционизированный поли-изобутилен) (рис. 2.16) [54].
Экспериментальная кривая релаксации напряжения в образце мерзлого грунта По формулам (2.52), (2.54) для образца мерзлого грунта получены следующие результаты что свидетельствует о хорошей точности методики. Расхождения в значениях обусловлены ошибками измерений и погрешностью аппроксимации (2.50).
Параметр является безразмерным. Формулы (2.52), (2.54) используют отношения величин напряжения и времени, следовательно, значение параметра не зависит от их размерностей. 2.7. Разностные схемы для уравнений ползучести и релаксации
Если в моделях (2.39) и (2.48) определен порядок дробной производной, можно составить разностные схемы для численного решения уравнений при произвольных (а не только постоянных) значениях нагрузки и деформации.
Уравнение ползучести (2.39) при произвольной (например, периодической) функции нагрузки имеет вид:
Начальное условие определяется упругим элементом в обобщенной модели Фойгта. Согласно теореме Барретта (п. 1.3) задача Коши (2.55) имеет единственное решение. Составим разностную схему для ее численного решения на отрезке [0, T], где Т – любой наперед заданный отрезок времени. Запишем дробную производную из (2.55) согласно определению (1.13) в виде (2.56) Используем стандартное разбиение отрезка [0, Т] с шагом h на N равных частей (Nh = Т) и обозначим Аппроксимируем первую производную разностным аналогом Для дробной производной, учитывая (2.56) и начальные условия, можно записать разностное выражение в узлах сетки: где . Таким образом, разностный аналог задачи (2.55) записывается в виде системы линейных уравнений
Преобразуем систему (2.57) к классической форме, группируя слагаемые вокруг неизвестных значений Таким образом, матрица системы (2.58) имеет простую треугольную форму, что значительно упрощает вычисление значений функции в уз лах сетки. Аналогичным образом можно составить разностную схему для обобщенной модели Максвелла (2.48), используемой для описания релаксации напряжения. 2.8. Выводы
Во второй главе были решены следующие задачи:
1. Рассмотрены стандартные модели вязкоупругого тела, показано их несоответствие экспериментальным данным по растяжению полимерных пленок. Предложена модель с использованием производной дробного порядка. Установлено, что эта модель наилучшим образом соответствует результатам эксперимента. Таким образом, решена задача структурной идентификации модели.
2. Сформулирована и решена задача параметрической идентификации – определения неизвестных параметров модели по имеющимся экспериментальным данным напряженно-деформированного состояния полимерных пленок. Предложена простая методика вычисления порядка дробной производной. Для апробации методики вычислены значения параметра для конкретных полимеров. Результаты вычислений хорошо согласуются с результатами, полученными ранее по более сложным методикам.
3. Разработана разностная схема для численного решения уравнения высокоэластичной деформации. Данная схема позволяет получить численное решение при любой функции нагрузки или деформации.
4. Для моделирования ползучести предложена обобщенная модель Фойг-та, в которой упругий элемент заменен вязкоупругим. Соответственно, в дифференциальном уравнении обычная производная заменяется на дробную. Решение уравнения с дробной производной наилучшим образом соответствует экспериментальным данным ползучести образцов бетона.
5. Сформулирована и решена задача параметрической идентификации для обобщенной модели Фойгта. Разработана простая методика вычисления порядка дробной производной по экспериментальным данным. Для апробации методики вычислены значения параметра для одного из образцов бетона. Результаты вычислений хорошо соответствуют результатам, полученным по более сложным номографическим методикам. 6. Для моделирования релаксации предложена обобщенная модель Максвелла. Решение соответствующего уравнения с производной дробного порядка выражается через функцию Миттаг-Леффлера. Данное решение наилучшим образом описывает наблюдаемый экспериментально степенной закон релаксации.
7. Сформулирована и решена задача параметрической идентификации обобщенной модели Максвелла. Разработана методика вычисления параметра дробной производной, использующая асимптотические свойства функции Миттаг-Леффлера. Вычислены значения параметра для образцов мерзлого грунта и полимеров.