Введение к работе
Актуальность темы. При разработке нефтяных месторождений с использованием технологий горизонтального и наклонно-направленного бурения скважин актуальной является задача проведения ствола скважины в продуктивном пласте, позволяющая существенно увеличить скорость добычи и объем извлекаемых углеводородов за счет увеличения зоны перфорации, уменьшить себестоимость нефти за счет снижения количества скважин.
Ранее для проводки горизонтальных и наклонно направленных скважин использовались инклинометрические замеры (MWD1 - системы), которые определяли положение ствола скважины в пространстве и отклонение фактического профиля от проектного. Если продуктивный пласт имеет мощность (толщину) менее 2 — 4 м, сложное геометрическое строение или насыщение вскрываемых коллекторов неизвестно, то проводку горизонтального участка скважины необходимо сопровождать дополнительными геофизическими измерениями характеристик горных пород в околоскважинном пространстве, то есть в процессе бурения скважины требуется проводить каротаж; (LWD2-cncTeMbi).
В современных LWD-системах навигация осуществляется на основе анализа данных каротажа с использованием математических моделей и программных средств, входящих в комплекс автоматизированных систем управления процессом бурения. Основой таких систем может служить математическое моделирование геонавигации низкочастотным и постоянным электрическим током, позволяющее определить границы пласта-коллектора перед буровым инструментом. Существенным преимуществом такого вида каротажа перед радиоактивным или акустическим является увеличение его зоны исследований.
В разработке систем электромагнитного каротажа ведутся интенсивные научно-исследовательские и экспериментально-полевые работы как в России (ООО "Нефтегазгеофизика", ЗАО НПП ГА "Луч" , НПП "Самарские горизонты"), так и зарубежом (Backer Huges, Schlumberger). Разработанная аппаратура включает многозондовые приборы электромагнитного каротажа длиной 0,5 — 4 м, проел вживается тенденция уменьшения частоты используемого тока.
Большое распространение в разведочных аппаратурных комплексах, в силу повышенной зоны проникновения поля, получили токи низкой
1MWD - от англ. measurement while drilling - измерение в процессе бурения 2LWD - от англ. logging while drilling - каротаж в процессе бурения
частоты (4,88 Гц), а так же постоянные электрические токи.
Математические модели полей постоянных токов являются асимптотическими для частотных моделей при стремлении частоты тока к нулю и позволяют проверять достоверность и прогнозировать поведение решений для частотных методик разведки и каротажа. С другой стороны, эти модели хорошо согласуются с низкочастотными при интерпретации результатов низкочастотных изысканий.
Задача определения геометрических параметров среды (границ пластов в системах геонавигации) на основе известных значений потенциала электрического тока относится к классу обратных задач. В геофизике сложность решения обратных задач следует из принципа эквивалентности структур, когда двум существенно различным геофизическим разрезам могут соответствовать близкие значения экспериментальных данных. Академиками А.Н. Тихоновым и М.М. Лаврентьевым, их учениками разработана теория решения подобных задач.
Осадочные отложения пород геоэлектрического разреза часто представляют собой горизонтально-слоистую среду, в общем случае не плоско-параллельную, границы которой с определенной степенью достоверности могут быть описаны цилиндрическими поверхностями с параметрически заданными направляющими. Сложность формы направляющих обуславливает использование аппарата сплайн-функций для их описания.
Таким образом, актуальной является проблема разработки математических моделей, эффективных алгоритмов и комплекса программ решения прямых и обратных задач геонавигации горизонтальных и наклонно-направленных скважин по данным электрометрии.
Ранее в работах В.Т. Иванова и В.Н. Кризского были разработаны алгоритмы расчета поля точечного источника постоянного электрического тока в трехмерных кусочно-однородных средах с различными включениями, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Для случая цилиндрических сред были получены решения и программно реализованы алгоритмы в работах Г.Я. Га-леевой (Кильдибековой), но лишь для включений в виде круговых и эллиптических цилиндров. М.Б. Беляевой осуществлен поиск замкнутой направляющей границы бесконечного цилиндрического тела в кусочно-однородных плоско-симметричных средах. В работах В.Н. Кризского была поставлена модель и построен алгоритм (без программной реализа-
ции) определения границ пласта для горизонтально-слоистой среды без учета влияния бурового раствора скважины.
В отличие от работ этих авторов, в данной работе рассматривается новая математическая модель, учитывающая проводимость бурового раствора и форму бурящейся скважины, построены и исследованы по результатам скважинной электроразведки постоянным электрическим током процедуры поиска параметров границ горизонтально-слоистой кусочно-однородной среды, направляющие которых аппроксимированы сплайнами.
Цель работы — построение и исследование математической модели геонавигации горизонтальных и наклонно-направленных скважин по данным электрометрии, учитывающей удельную электрическую проводимость бурового раствора и форму бурящейся скважины.
Для достижения указанной цели в работе были поставлены следующие основные задачи:
Анализ состояния вопроса.
Построение математической модели прямой задачи о распределении поля точечного источника постоянного тока в кусочно-однородной горизонтально-слоистой среде с учетом удельной электрической проводимости бурового раствора и формы скважины.
Разработка численных алгоритмов и программного модуля решения прямой задачи.
Сравнение математических моделей расчета поля в горизонтальном пласте с учетом и без учета влияния скважины.
Построение математической модели обратной задачи - задачи геонавигации - определения границ пласта по данным электрометрии зондами, находящимся в скважине с учетом ее формы и проводимости бурового раствора.
Разработка численных алгоритмов и компьютерных программных модулей решения обратной задачи поиска границ пласта.
Разработка программного комплекса, дающего возможность:
построения компьютерной модели геологической среды заданием границ и удельных электрических проводимостей ее областей;
задания параметров зоны исследования, источников и приемников тока;
выбора методов численного решения;
расчета потенциала, кажущегося сопротивления и относительного кажущегося сопротивления в исследуемых средах;
определения границ пласта, заданных параметрически или аппроксимированных сплайнами;
графического отображения получаемых решений, одномерных и двумерных функций (задаваемых и/или найденных вычислительным экспериментом кривых, поверхностей).
Проведение вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния параметров математических моделей.
Научная новизна. В настоящей работе впервые:
построена математическая модель геонавигации скважины по данным электрометрии в кусочно-однородных горизонтально-слоистых средах с направляющими цилиндрических границ аппроксимированными сплайнами, учитывающая удельную электрическую проводимость и форму скважины;
разработаны алгоритмы решения прямой задачи о потенциале поля точечного источника постоянного тока, находящегося в скважине горизонтального пласта, на основе комбинации методов интегральных представлений по формуле Остроградского с построением функции Грина вмещающего пространства, интегральных преобразований, интегральных уравнений Фредгольма II рода, возникающих по границам раздела сред;
разработан алгоритм решения некорректной обратной задачи поиска направляющих границ горизонтального пласта как конечномерного вектора ограниченных параметров, входящего в состав его параметрического описания сплайн-функциями, реализующий метод регуляризации сглаживающего функционала А.Н. Тихонова;
алгоритмы численно реализованы в комплексе программ автора. Основные программные модули зарегистрированы в фондах алгоритмов и программ Министерства образования и науки Российской Федерации (ОФАП) и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ);
проведен вычислительный эксперимент по исследованию влияния параметров математической модели на точность определения потенциала поля (кажущегося удельного электрического сопротивления), границ пластов в зоне прогноза.
Практическая ценность. Предложенные методы и алгоритмы позволяют эффективно решать задачи электрокаротажа и геонавигации в
трехмерных кусочно-однородных средах сложной геометрии, аналитическое решение которых отсутствует:
определять потенциал и кажущееся электрическое сопротивление в горизонтально-слоистых средах;
осуществлять прогноз границ продуктивного пласта на расстояние, достаточное для управления буровым инструментом.
Полученные решения могут быть использованы в теории геофизических методов исследования постоянным током: при зондировании, профилировании, поиске и разведке нефтяных месторождений.
Предлагаемые алгоритмы допускают распараллеливание вычислений и часть из них апробирована на многопроцессорных вычислительных системах.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на Международной научной школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Средневолж-ское математическое общество (СВМО), Саранск, МордГУ - 2005); Всероссийской научной конференции "Современные проблемы физики и математики" (Стерлитамак, СГПА - 2004); Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" - "ММТТ-19" (Воронеж - 2006); Всероссийских научных конференциях "Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования" (Ханты-Мансийск, Югорский НИИ информационных технологий, 2005, 2006); VII Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (СВМО, Саранск, МордГУ - 2006); Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - 2006); 32 - 37-й сессиях Международного научного семинара "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" (Пермь, Горный институт УрО FAH - 2005; Екатеринбург, Институт Геофизики УрО FAH - 2006; Москва, МГГРУ, ИФЗ РАН - 2007; Ухта, УГТУ - 2008; Казань, КГУ - 2009; Москва, ИФЗ РАН - 2010); восьмой уральской молодежной научной школе по геофизике (Пермь, Горный институт УрО РАН - 2007); объединенном семинаре "Обратные задачи в науке и технике" кафедр математического моделирования, механики сплошных сред, программирования и экономической информатики (Уфа, БашГУ - 2010); научных семинарах кафедр прикладной математики и механики, теоретической физики, математического моде-
лирования, математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии и лаборатории математического моделирования процессов и систем отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан (АН РБ) и Государственного автономного научного учреждения "Институт прикладных исследований" АН РБ (Стерлитамак - 2004 -2010).
Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 125 страниц машинописного текста, включая 29 рисунков, 8 таблиц, библиографию, содержащую 217 наименований, приложение.
