Математическое моделирование и алгоритмизация процессов долгосрочного прогнозирования динамики нелинейных систем Шабанова Виктория Геннадьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Для эффективного управления состояниями динамических процессов принципиально важным является построение достоверного и адекватного прогноза их поведения в долгосрочном периоде. Математическое моделирование позволяет решить многочисленные задачи в области долгосрочного прогнозирования: изучение состояний динамической системы; предсказание воздействия на динамическую систему тех или иных факторов; планирование поведения многочисленных явлений при существенно нестабильной ситуации.

Традиционные методики и алгоритмы долгосрочного прогнозирования (факторный анализ, корреляционно-регрессионный анализ, метод экспертных оценок и т.д.) не позволяют одновременно составить достоверный прогноз и учесть в процессе прогнозирования все многообразие влияющих на систему условий, а также не дают возможности определить все характеристики прогнозируемых объектов. Поэтому проблема составления высокоточных и достоверных прогнозов динамики нелинейных систем в долгосрочном периоде требует дальнейшего исследования.

Методики решения линейных и статистических задач рассмотрены в работах Л. Вальраса, Ч. Кобба и П. Дугласа, В. Рамсея, Дж. Неймана, Р. Со-лоу, а также в трудах отечественных ученых: В. В. Леонтьева, Л. В. Канторовича, В. И. Ширяева. Ряд фундаментальных и прикладных исследований долгосрочного прогнозирования процессов представлен в работах Е. В. Воскресенского, В. К. Горбунова, А. В. Прасолова, С. И. Спивака и других ученых. Однако усложнение внутренних взаимосвязей и структуры нелинейных динамических систем, развитие информационных технологий потребовало новых подходов к долгосрочному прогнозированию.

Существует большое количество процессов, описываемых нелинейными динамическими системами, для которых требуется корректная обработка больших массивов статистических данных. Однако использование в этих целях традиционных методик приводит к росту временных затрат исследования поведения процесса и увеличению погрешности получаемого прогноза.

В настоящее время отсутствуют эффективные методики, которые позволяют не только определять значение параметров динамической системы на том или ином промежутке времени, но и повышать достоверность получаемых прогнозов за счет комплексного использования различных методов долгосрочного прогнозирования. В частности, актуально создание так называемых объемных методик, основанных на совокупном применении математических методов, позволяющих осуществить точный прогноз состояний сложной динамической системы.

Таким образом, разработка точных, эффективных и быстродействующих алгоритмов решения задачи долгосрочного прогнозирования нелинейных процессов является актуальной задачей.

Цель и задачи. Целью работы является повышение точности и достоверности долгосрочных прогнозов на основе комплексного использования методов исследования динамики сложных нелинейных систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. провести анализ существующих на данный момент подходов к составлению долгосрочных прогнозов и выявить их недостатки;

2. разработать методику математического моделирования объемного прогнозирования динамики нелинейных систем;

3. построить численный алгоритм анализа текущего функционирования и определения возможных направлений развития состояний параметров нелинейной динамической системы;

4. создать программный комплекс на основе разработанной методики долгосрочного прогноза показателей нелинейной динамики исследуемого объекта;

5. провести тестовые испытания программного комплекса с использованием фактических статистических показателей агропромышленного комплекса региона с целью определения эффективности реализации предложенного подхода на реальном объекте.

Объектом исследования являются математические модели долгосрочного прогнозирования динамических процессов, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений.

Предметом исследования являются методики математического моделирования динамических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов математического моделирования, численных методов, методов теории устойчивости, качественной теории дифференциальных уравнений и информационных технологий.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложена методика математического моделирования объемного прогнозирования состояния динамической системы. Отличительной особенностью данной методики является комплексное использование алгоритмов, с одной стороны, многосекторной модели и метода асимптотической эквивалентности, а c другой – положений теории дифференциальных включений. Предлагаемая методика позволяет не только анализировать текущее состояние динамической системы, но и управлять ее поведением в будущем на основе составляемого прогноза.

2. Предложен универсальный критерий оценки состояния динамических систем специального вида на основе асимптотической эквивалентности. Данный критерий отличается от известных тем, что позволяет анализировать структурную устойчивость моделей динамических процессов по части переменных и делать выводы об их устойчивости на основе совокупности свойств устойчивости подсистем и природе их взаимодействия. Таким образом, кри-

терий является универсальным для большого класса задач долгосрочного прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния как динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.

3. Предложен алгоритм анализа текущего функционирования и определения возможных направлений развития состояний рассматриваемого объекта. В отличие от используемых алгоритмов долгосрочного прогнозирования реальных процессов здесь точность результата повышается за счет построения интегральной воронки (конуса) при заданном функционале качества на основе применения теории дифференциальных включений. Данный алгоритм позволяет минимизировать погрешность получаемого результата при обработке больших массивов статистических данных.

Практическая значимость. Предложенная методика является необходимой для практического применения в долгосрочном прогнозировании и управлении при решении технической задачи оптимального функционирования сложных систем. В отличие от ранее использованных методов оптимизации производственной деятельности объемное прогнозирование позволяет обработать большие массивы статистических данных без роста временных затрат, проводить исследования в данной сфере на различных уровнях производственного процесса, а именно: уровень предприятия, уровень отрасли и уровень межотраслевого комплекса.

На основе созданной методики разработан программный комплекс «КОНУС». Он включает в себя совокупность программ для расчета оптимальных показателей функционирования сложных систем. В работе показано его применение при решении задачи повышения рентабельности агропромышленного комплекса.

Разработанный программный комплекс «КОНУС» прошел тестирование в отделе экономического анализа, прогнозирования, целевых программ и мотивации труда Министерства сельского хозяйства и продовольствия Республики Мордовия. Испытания показали, что применение в программном комплексе модуля объемного прогнозирования, сформированного на основе совокупности рассматриваемых математических методов, позволяет повысить достоверность и точность долгосрочных прогнозных расчетов и выработать оптимальное управленческое решение по ключевым показателям предприятий агропромышленного комплекса региона. На программный комплекс получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016613322 и № 2018618556.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечены корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами тестовых экспериментов, а также регистрацией разработанного комплекса программ.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования:

1 – Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, 3 – Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей и 5 – Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. На защиту выносятся:

3. Методика математического моделирования объемного прогнозирования состояния динамической системы, позволяющая определять значение параметров динамической системы в определенном промежутке времени, а также повышать достоверность получаемого результата за счет комплексного использования математического аппарата.

4. Универсальный критерий численной оценки состояния динамической системы, являющийся эффективным для большого класса задач долгосрочного прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния как динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.

5. Численный алгоритм прогнозирования и управления состояниями объекта, основанный на построении интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и его численная реализация.

6. Программный комплекс «КОНУС», предназначенный для реализации методики объемного прогнозирования исследуемого процесса.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII и VIII Всероссийских научных молодежных школах-семинарах имени Е. В. Воскресенского с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании (DEAMM 2017)» (Саранск, 2016–2017); Всероссийской научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии управления в науке, образовании и правоохранительной сфере» (Рязань, 2017); X и XI Международных научно-технических конференциях молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2016–2017); научных конференциях Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарёва XLIV–XLVI «Огаревские чтения» (Саранск, 2015– 2017); Международной научно-практической конференции «Наука и инновации в современных условиях» (Казань, 2017); Международной научно-практической конференции «В мире науки и инноваций» (Уфа, 2017); XII Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2017). Результаты диссертации используются в учебном процессе при преподавании дисциплин «Математическое моделирование и программное обеспечение» и «Методы оптимизации» в ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва», а также в Мордовском институте переподготовки кадров агробизнеса.

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 20 научных работах общим объемом 5,8 п.л., в том числе в 6 статьях из перечня ведущих рецензируемых научных журналов ВАК РФ и изданий, в 13 тезисах докладов и в двух программах, зарегистрированных в государственном реестре программ для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 116 наименований и двух приложений. Диссертация изложена на 144 страницах машинописного текста.