Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое моделирование течений вязких сред в каналах с упругой поверхностью как объект исследования 9
1.1 Гидродинамические системы с упругими элементами 9
1.2 Критериальный анализ и характеристики течений 23
1.3 Анализ опубликованных работ 31
1.4 Цели, задачи и структура исследования 43
2. Математическая модель течения вязких сред в конфузорных каналах с упругой поверхностью 47
2.1 Расчетная схема и принятые допущения 47
2.2 Базовая система уравнений 52
2.2.1 Уравнение Рейнольдса 53
2.2.2 Уравнение баланса энергии 58
2.2.3 Уравнение жесткости 59
2.3 Алгоритм совместного решения термоупругогидродинамической задачи 65
3. Алгоритмы решения термо- и упругогидродинамической задач 71
3.1 Решение термогидродинамической задачи 71
3.2 Моделирование оболочки методом конечных элементов
3.2.1 Формирование оболочечного элемента 80
3.2.2 Переход в глобальные координаты 85
3.2.3 Нахождение эквивалентных узловых сил 90
3.2.4 Матрица жесткости мембранного элемента 92
3.2.5 Матрица жесткости изгибного элемента 97
3.3 Алгоритм перевода внешней нагрузки в эквивалентную узловую 100
4. Программная реализация и верификация моделей и алгоритмов 108
4.1 Модульная структура программы 108
4.2 Экспериментальная установка и методика проведения исследования
4.2.1 Экспериментальная установка 115
4.2.2 Программное средство 121
4.2.3 Постановка и планирование эксперимента 125
4.3 Обработка результатов эксперимента методом математической статистики 127
4.4 Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований 134
5. Экспериментальные исследования гидромеханических систем с упругим элементом на базе программного комплекса 143
5.1 Проведение полного факторного эксперимента на вычислительной модели 143
5.2 Обоснование безразмерного комплекса 150
5.3 Рекомендации по выбору параметров гидромеханической системы с упругим элементом на основе безразмерного комплекса 154
Заключение 162
Список литературы 165
- Цели, задачи и структура исследования
- Уравнение баланса энергии
- Моделирование оболочки методом конечных элементов
- Обоснование безразмерного комплекса
Цели, задачи и структура исследования
Течение жидкости в кольцевом сечении круглой трубы происходит, как правило, под действием переменного по времени перепада давления. Использование жидкости между оболочками объясняется возможностью демпфирования собственных колебаний оболочек и их охлаждения. Как правило, внутренний цилиндр обладает большой упругой податливостью, а внешний изготавливается из жесткого материала. В машино- и приборостроении нашли широкое применение различные комплексы виброгашения на основе гидродинамических виброопор с рабочей жидкостью (рисунок 1.3), использующихся в агрегатах, подвергающихся как стационарным, так и случайным колебаниям.
Гидродинамический демпфер представляется в виде системы из абсолютно жесткого тела, которое совершает колебания по гармоническому закону в вертикальной плоскости, упругой неподвижной пластины, как правило с ребристой формой поверхности с шарнирным опиранием, и разделяющего слоя жидкости выполняющего также функцию демпфера.
Снижение утечек газа через различные зазоры в области контакта неподвижных и вращающихся элементов в газотурбинной технике применяют контактные, бесконтактные уплотнения (рисунок 1.4). Первый тип уплотнений создает зону постоянного контакта сопряжённых и уплотняющих деталей, полностью закрывая имеющийся радиальный зазор. Они могут обеспечивать большую степень герметизации, но наличие трений между такими элементами ведет к их скорому износу. Уплотняющее действие в бесконтактных уплотнениях осуществляется благодаря гидравлическому сопротивления наблюдающегося, когда газ находится в движении в зазорах с наличием гарантированного канала между деталями. Степень утечки через бесконтактные уплотнения выше, но они активно используются в газотурбинных двигателях, а также в газотурбинных установках, так как имеют неоспоримые преимущества – высокая надёжность и большие ресурсы работы. Важнейшей задаче при создании данных уплотнений является повышение их свойств герметизации, при выполнении условия сохранения определенного ресурса и надёжности. Конструктивным решением, удовлетворяющим этим требованиям, является использование бесконтактных пальчиковых уплотнений, принцип которых представляется в балансировке упругих пальчиков в тонкой газовой плёнке, находящимися над ротором. Так как толщина плёнки крайне мала, утечка через данные уплотнения в три раза меньше, чем при использовании лабиринтного уплотнения. вращающийся элемент Пальчиковые бесконтактные уплотнения являются сборкой двух тонких пластин с формой кольца с прорезями, которые закреплены по внешнему диаметру и находятся между стенками корпуса. Отверстия в пластинах образуют совокупность отдельных гибких элементов, которые называются пальчиками, и которые имеют возможность перемещаться за счет действия газовых сил. Во время сборки уплотнения пластины поворачивают таким образом, относительно друг друга, чтобы элементы последующей пластины закрывали прорези предыдущей, благодаря этому предотвращается прямая утечка газа (рисунок 1.5).
На пальчиках задней пластины выполняют дополнительные площадки, которые вытянуты в осевом направлении. Важным моментом работоспособности бесконтактного пальчикового уплотнителя является балансировка пальчиковых элементов, находящихся в потоке газа. Схема такой балансировки основана на существовании сил газостатического и газодинамического давлений в зазоре под описанными площадками, уравновешивающие силы реакции при упругой деформации пальчиков и внешних сил, действующих на уплотнение с газовой стороны в полости. При увеличении радиуса вала зазор, находящийся под площадками, может уменьшаться, что приводит к увеличению подъёмной гидродинамической силы и, к перемещению пальчиков от ротора. Возможное наступление баланса сил приводит к новому положению площадок и рабочего зазора. Настройка уплотнения в соответствии с требуемым уровнем перемещений возможна благодаря управлению жёсткостью пальчиков, и за счет профилирования канала под площадками для изменения аэродинамических усилий. Эффективный выбор и согласованность параметров уплотнения, позволяет обеспечить бесконтактное взаимодействие элементов с малым зазором при различных режимах активности двигателя.
Газодинамические подшипники нашли широкое применение в различных машинах, приборах таких как скоростные роторные элементы, которые могут работать в режиме самоподдержки при некоторой скорости вращения. Эти опоры применяются для восприятия небольших нагрузок [6, 16, 47- 50, 85, 123, 124]. Малые демпфирующие свойства газовой смазки, имеет существенный недостаток – склонность к большим колебаниям вала. Для устранения этих вибраций используются специальные упругие элементы [15, 16, 35, 37,125, 147-149, 157, 160]. Широкое распространение в промышленности нашла опора в виде кольца, снабженного радиальными чередующимися наружными, а также внутренними выступами (рисунок 1.6).
Уравнение баланса энергии
В работах ряда авторов внимание уделяется неньютоновким смазочным материалам (суспензии, расплавленные пластмассы, эмульсии, пульпы, пластичные смазки) с аномальными свойствами при высоких давлениях и криогенных температурах. Проблемой смазки со сложной реологической структурой занимались отечественные и зарубежные исследователи: Ахвердиев K.C., Фомичева Е.Б., Корнаев А.В., Чичварин А.В., Смирнов В.П., Elrod Н., Ng С. A., Wang С. и другие [1-3,27,133,180,181,185]. Сложность математической модели требовало использование численных методов решения дифференциальных уравнений. Теоретические наработки в области гидродинамической теории смазки получили широкое использование в практических задачах по расчету различных подшипниковых узлов. Однако существенным недостатком данной теории применительно к реальных техническим объектам является допущение об абсолютной жесткости трущихся поверхностей. Исследования, проведенные в середине прошлого столетия А.М. Эртелем, Кодниром в работе «Контактно-гидродинамическая теория смазки применительно к деталям машин» А.И. Петрусевичем «Роль гидродинамической масляной пленки в стойкости и долговечности поверхностей контакта деталей машин», а также рядом отечественных и зарубежных ученых, в числе которых А.Н. Грубиным, Кудишем И.И., Васиным В.Н., Жильников Е.П., Садыков В.А., Соколов Ю.Г., Галахов М.А., Заппаров К.И, Новиков А.П., J.F. Archard, K.P. Baglin, B.J. Hamrock, D. Dowson, Dyson A., Cheng H.S. B. Sternlicht подтвердили, тот факт, что в подшипниках скольжения и качения имеет место деформация рабочих элементов как следствие высоких местных давлений [8, 23-26, 116-117, 120, 128-132, 138, 141-144]. С этих пор начала активно развиваться контактно-гидродинамическая теория смазки (elastohydrodynamic lubrication theory). В дальнейшем, в качестве отдельного направления выделилась проблематика работы систем, в составе которых присутствуют упругие элементы. Основной задачей упругих запчастей является гашение колебаний роторной системы высокоскоростных агрегатов. К числу упругих элементов, часто используемых в роторных машинах можно отнести: упругие лепестки различных форм в лепестковых газодинамических подшипнках, бесконтактные уплотнительные элементы, беличьи колеса и упругие кольца в упругодемпферных опорах (рисунок 1.20).
Так в работах Ю.В. Пешти, Ю.М. Темиса, М.Ю. Темиса, Е.А., Новикова,, M.Braun, H.Marie, J.Smith, M.Proctor, H Zang, G.Chen рассматривалась комплексаная УГД задача работы бесконтактных пальчиковых уплотнений. В качестве рабочих смазочных сред использовался воздух окружающей среды. В исследовании М.К. Леонтьева, A.Г. Терешко «Исследование влияния характеристик упругих элементов опор роторов на динамику ГТД» в качестве упругих элементов рассматривались упругие кольца и втулки в компрессорах высокого давления, смазываемые газом.
Наиболее распространенные упругие элементы в гидродинамических системах: а - оболочечный лепесток; б - система упругих балок во втулке; в - упругое кольцо Упругогидродинамическая задача смазки роторных элементов в исследованиях приведенных выше авторов в основном рассматривалась в стационарном режиме и рассчитывалась итерационным методом последовательных приближений, условно называемых «давление-прогиб давление». Суть данного алгоритма заключается в том, что искомые величины давления и деформации упругих элементов находятся как композиция локальных.
Таким образом, решается элементарная гидродинамическая задача смазки. От полученной эпюры давления находится прогибы упругих поверхностей, в свою очередь меняющие форму зазора. Таким образом, решение упругогидродинамической задачи смазки в общем представляется последовательностью решения гидродинамической и упругой задач. Стоит отметить, что решение упругой задачи, для элементов несложной формы, как правило, проводилось с помощью аналитических дифференциальных соотношений, решаемые известными разностными методами. Одним из наиболее ярких методов исследования поведения упругих деталей является метод конечных элементов, при котором исследуемый объект представляется в виде композиции простейших элементов (стержни, пластины, трехмерные элементы) (рисунок 1.21
Модель упругого объекта в этом случае представляется в виде СЛАУ и называется матричным уравнением жесткости. В современных исследованиях в области УГД, как правило, используются коммерческие инженерные пакеты, основанные на МКЭ. M{5} = {F}, (1.5) где [К]- матрица жесткости, {5}-вектор искомых перемещений, {F} -вектор узловых сил. Классическая гидродинамическая теория смазки построена на ряде допущений. Основным из них является предположение об изотермичности происходящих процессов, при котором вязкость смазочной среды остается постоянной. Однако ряд практических исследований показал ошибочность данного допущения, привносящего большую неточность при теоретическом исследовании роторных элементов. Первые попытки учесть влияние температуры на работу подшипниковых узлов появились в середине прошлого века. Одной из первых работ в этом направлении можно считать исследования Молчанова Е.И. в которой производился расчет температурного поля ротора газовой турбины при нестационарном режиме. Регирер С.А., Dowson D., Hudson J. D., Hunter В., March C. N и Zienkiewiez O.C также внесли большой вклад в изучение теплофизических процессов в смазочном материале подшипниках простейшей формы, причем вязкостный закон предполагал зависимость вязкости от температуры. Основанная на данных исследованиях теория получила название термогидродинамическая теория смазки - ТГД (thermohydrodynamic theory, THD). В работах Khonosari приводится обширный обзор по теме термических эффектов в теории смазки [154 - 156].
Моделирование оболочки методом конечных элементов
Однако существует другой способ описания поведения оболочки под действием внешних поверхностных и объемных сил, который хорошо себя зарекомендовал в практической инженерии – метод конечных элементов. Вывод уравнения жесткости метода конечных элементов для решения упругой задачи в формулировке перемещений возможен безотносительно к конкретному виду рассматриваемого упругого тела или упругой задачи. Для полноценного описания тела любой геометрии вводится следующий ряд предположений: 1. Сплошная среда разделяется воображаемыми линиями или поверхностями на некоторое количество конечных элементов. 2. Предполагается, что элементы связаны между собой в узловых точках, расположенных на их границах. Так же, как в обычных задачах строительной механики, основными неизвестными будут перемещения этих узловых точек. 3. Выбирается система, функция, однозначно определяющая перемещения внутри каждого конечного элемента через перемещения узловых точек. 4. Функции перемещений однозначно определяют деформации внутри элемента через узловые перемещения. Эти деформации при известных начальных деформациях и упругих свойствах элемента позволяют определить напряжения как внутри элемента, так и на его границах. 5.Определяется система сил, сосредоточенных в узлах и уравновешивающих напряжения на границе и некоторые распределенные нагрузки, а затем записывается соотношение для жесткостей в форме системы линейных уравнений
Подход метода конечных элементов заключается в представлении геометрического тела в виде совокупности конечного числа оболочечных элементов, нахождения на каждом из них локальных соотношений и последующего их объединения. Причем, математическая модель упругого лепестка в данном случае представляется уравнением жесткости МКЭ, которое базируется на геометрических и физических соотношениях линейной теории упругости и получается путем минимизации функционала полной потенциальной энергии лепестка. Для математического моделирования поведения упругого тела под действием нагрузки, необходимо описать взаимосвязь узлов, перемещений и сил в элементе. Данная зависимость определяется следующим образом: {f} = [N]{5}e = [N1NJNm3 Si m (2.8) где [N] являются функциями положения и называются функциями форм, {бивектор перемещений узловых точек элемента.
Для моделирования всего упругого тела используется подход, базирующийся на правилах описывающих равновесие. Для этого необходимо положить, что соотношение (2.8) справедливо для конструкции в целом: {f} = [N]{8} , где {} включает все узловые точки, причем (2.9) Ni=Nf. (2.10) в случае если данная точка сопряжена с элементом Є. Когда точка і не является частью элемента, то Ni=0 . (2.11) Используя принцип виртуальной работы для всей конструкции работа на виртуальных перемещениях d{} равна ё{8}Х {R}- Jd{f}1 {G}dV- Jd{f}i {P}dS . где (Я) - вектор внешних точечных сил. Внутренняя виртуальная работа в данном случае определяется следующим образом: (2.12) {d{s}T{c}dV. где интеграл рассматривается во всей области. Учитывая (2.14) d{f} = [N]d{5},d{s} = [B]d{5} . и сопоставляя вклад внешней и внутренней работ имеем [К]{5} + {F}G + {F}p + {F}s0 + {F}GQ - {R} = 0 . Для произвольного элемента матрицы жесткости справедливо: Kij] = J[B[][D][B[]dV . (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) ]=Я Стоит отметить, что в общем случае, для любого тела Использованный принцип виртуальных перемещений, автоматически выполняет условия равновесия в пределах, которые зависят от Jd{s}T{ формы перемещений. Указанное равновесие может быть полным тогда, когда виртуальная работа равна для произвольных вариаций перемещений. Принцип виртуальной работы можно быть сформулировать в другой форме. Используя выражения (2.12) и (2.13), можно получить следующее: a}dV- d{5}T{R} + Jd{f}T{G}dV + где (Я) - силы в узлах, {Р} - силы, действующие на поверхность.
Первое слагаемое в данном выражении есть вариация энергии деформации U тела, а второе — вариация потенциальной энергии W для внешней нагрузки. Поэтому уравнения (2.17) можно переписать таким образом: d(U + W) = d(X) = 0 . (2.18) В уравнении (2.18) величина % отождествляет полную потенциальную энергию. При этом, обеспечение равновесия возможно когда полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Таким образом, система уравнений (2.15), является, отражением того факта, что варьирование перемещений производится по конечному набору параметров {}. Данная система может иметь и другой вид записи: щ={ І Т=0. (2.19) Далее, подставляя в (2.17) главное уравнение теории упругости при условии, что нагрузки не зависимы от перемещений, и проводя интегрирование, получаем, следующую форму (2.17):
В данном выражении в первых скобках фактически записана величина U, а во вторых — W . Так как по условиям данной задачи в упругом элементе отсутствуют начальные напряжения {а0}, начальные деформации {є0}, а под внешней нагрузкой понимается поле давлений {Р}, получаемое при решении уравнения Рейнольдса, то уравнение (2.20) приобретает следующий вид: -J{s}T[D]{s}dV-J{f}T{P}dS = x . (2.21) Полученное методом перемещений, приближенное решение, всегда имеет завышенное значение %. Несмотря на это для практики такая точность является приемлемой. Согласно принципу сохранения энергии работа внешних сил, которая равномерно увеличивается от нуля должна быть равна энергия деформации и эта работа равна (1 / 2)
Обоснование безразмерного комплекса
Разработанное приложение предоставляет возможность фиксирования выходных данных как на локальных этапах расчета ТУГД задачи, так и при проведении серии экспериментов. При различных наборах физических и геометрических параметров результаты работы модели можно сопоставить как в числовом формате, так и в графическом. Решение неизотермического течения вязких сред в упругих каналах переменной геометрии реализовано в виде совокупности модулей, название и предназначение которых представлено ниже:
Geom_Lep- вспомогательный модуль, позволяющий по заданным параметрам радиуса вала, радиуса втулки и толщины лепестка, находить радиус его средней линии, а также положение в общей системе координат относительно ротора и неподвижного корпуса (рисунок 4.4).
VhodParam – модуль для записи и сохранения входных параметров, который, обращается непосредственно в программу Main_TEHD. VhodParamSer – модуль для записи и сохранения набора параметров для проведения серии экспериментов. Данная подпрограмма обращается к модулю SerExp. Main_TEHD – главный модуль расчета неизотермического течения жидких сред в упругих конфузорных каналах переменной геометрии, с учетом заранее заданных геометрических и физических параметров системы. ZSmazki – программа расчета характеристик потока смазочной среды, с учетом ее теплофизических особенностей. В процессе работы, данный модуль обращается в ряд следующих подпрограмм программ: OblastOpred - модуль формирует систему функций форм по данной области определения давления и температуры, а также производит нумерацию как самих элементов, так и их узлов. GalerkinMeth - модуль преобразует уравнения притока тепла и давления в систему нелинейных уравнений. Основной акцент уделяется на формирование уравнений относительно искомых массивов точек давления и температуры. Jacobi - модуль находит в общем виде матрицы - якобианы, относительно неизвестных точек давления и температуры для данных значений приближений. PravChast - данная программа находит матрицы-векторы в общем виде для систем полученных методом Галеркина, для данных значений приближений. FuncFormDT - по данной области определения, нумерации узлов и элементов, с учетом геометрических границ каждого элемента, находит выражения для данных функции форм. ReshDT - модуль представляет собой решение термогидродинамической задачи в виде метода Ньютона, где итерационным принципом находятся значения давления и температуры в виде постепенного приближения поправок. ZUpr - модуль расчета деформаций упругого элемента, под действие давления смазочного слоя. При работе данный модуль обращается в ряд подмодулей: CoordinUzlov - модуль, который представляет геометрическое тело как совокупность конечных элементов. Помимо этого модуль производит нумерацию полученных элементов и их узлов. MatShestLoc - модуль рассчитывающий матрицу жесткости оболочечного элемента как совокупность матриц жесткости мембранного и изгибного элементов в локальных координатах. FunForm - находит 12 функций форм оболочечного элемента. NapravlCos - модуль формирующий матрицу косинусов, для перевода элементов из локальной в глобальную систему координат. GlobCoord - переводит все соотношения оболочечного элемента в глобальную систему координат. AcvivUzSil - Численный модуль, позволяющий по численно заданному массиву давления, полученному при реализации модуля ZSmazki, получать эквивалентные узловые усилия на упругий элемент. Sborka - модуль ансамблирования матриц оболочки. Defor- модуль решения уравнения жесткости и получения итогов деформации в численном и графическом виде. SerExp -главный модуль проведения серии экспериментов, который обращается в программу MainTEHD и позволяет получить основные характеристики неизотермического течения жидкости в упругих каналах при различных значениях факторов. Модуль производит перебор по входным физическим и геометрическим параметрам, таким как: радиус вала г, радиус втулки R, длина средней линии лепестка L, радиус лепестка RL, толщина лепестка А, вязкость \i, плотность р, теплоемкость ср, модуль упругости Юнга Е, коэффициент Пуассона ц. На рисунке 4.5 изображены основные характеристики, получаемые при работе программного комплекса в ходе серии экспериментов. На рисунке 4.5 представлено сопоставление графиков давления, температуры в смазке, а также отклонения лепестка при различных скоростях вращения ротора, где пІ5 і = О -количество оборотов вала в минуту. Поле температур и давлений, а также поле перемещений в трехмерном варианте представлены на рисунке 4.6. На рисунке 4.7 представлены графики, отображающие значимость учета влияния турбулизации потока смазки. Следует отметить, что при расчете ТУГД задачи в описано программном комплексе данные по одному эксперименту могут быть представлены графически, данные по серии экспериментов экспортируются в пакет Еxcel для дальнейшей статистической обработки. Комплекс был программно реализован в среде GNU Octave.