Введение к работе
Актуальность темы. Исследование поведения волн деформаций в упругих оболочках является важным направлением в современной волновой динамике. Так, моделирование и исследование волн деформации в геометрически и физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках проведено в работах Л. И. Могилевича, А. И. Землянухина, В. И. Ерофеева, Е. И. Штейнберга, В. М. Катсона. В этих работах с помощью метода многих масштабов из уравнений динамики упругих оболочек выведены уравнения, имеющие точные решения, такие как уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ) и уравнение Кадомцева - Петвиашвили. Эти уравнения имеют точные решения, описывающие уединенные нелинейные волны деформации. Вместе с тем в литературе отсутствуют исследования влияния на волновой процесс в упругих оболочках вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри них.
Известные методы качественного анализа математических моделей не позволяют в полной мере исследовать модели волн деформаций в случае заполнения оболочки вязкой несжимаемой жидкостью. Гораздо более универсальным является подход к исследованию моделей с помощью перехода к их дискретным аналогам, основанный на применении техники базисов Грёбнера, изложенный в работах Ю. А. Блинкова, В. П. Гердта, В. В. Мозжилкина и продемонстрированный при генерации разностных схем со схемной вязкостью, многослойных разностных схем и схем с переключателями для линейных и нелинейных уравнений разных типов. Вышеизложенное определило актуальность и цель данной работы.
Целью работы является развитие методов математического и компьютерного моделирования процессов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью, на основе методов компьютерной алгебры с использованием базиса Грёбнера.
Задачи работы. Из цели работы вытекают следующие задачи:
- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространиение волн деформаций в упругих геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость;
генерация разностных схем для решения полученных уравнений, обобщающих уравнение КдВ, МКдВ и уравнение Гарднера с использованием компьютерной алгебры и базиса Грёбнера;
численное исследование моделей геометрически нелинейных оболочек и физически нелинейных оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, с использованием начальных условий в виде точных решений уравнений КдВ, МКдВ, Гарднера и других видов начальных условий.
Научная новизна:
Впервые построены математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, и исследовано ее влияние на нелинейные волны деформаций в этих оболочках, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек, и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений КдВ, МКдВ, Гарднера;
предложен эффективный вычислительный алгоритм с применением техники базисов Грёбнера для построения разностных схем при решении выведенного в работе уравнения обобщающего КдВ, МКдВ, Гарднера для анализа распространения нелинейных волн деформаций в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках содержащих вязкую несжимаемую жидкость;
для рассмотренных обобщений с учетом наличия жидкости уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Николсона, полученные построением базисов Грёбнера разностных идеалов. Для генерации разностных схем использовались базовые интегральные разностные соотношения, аппроксимирующие исходную систему уравнений. Применение техники базисов Грёбнера позволило сгенерировать схемы, из которых путем эквивалентных преобразований могут быть получены дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений;
на основе полученного вычислительного алгоритма разработан комплекс программ с использованием пакета SciPy для численного решения задач Коши и построения графиков, соответствующих уравнений КдВ, МКдВ и
Гарднера, когда в качестве начального условия принимаются точные решения и гармонические функции координат; - с помощью разработанного программного комплекса проведены вычислительные эксперименты, позволившие выявить новые эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки, а также упругой окружающей среды. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) о выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны, ведущий к разрушению оболочки. В случае органического материала, наличие жидкости приводит к быстрому затуханию волны. Наличие упругой окружающей среды ведет к увеличению скорости движения волны деформации. Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах кафедры Математического и компьютерного моделирования Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, кафедры Тепло-газоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А. Кроме того, на международном семинаре по компьютерной алгебре в лаборатории информационных технологий ОИЯИ, Дубна, 2012; международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии», Саратов, 2012; всероссийской научной конференции имени Ю. И. Ней-марка «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 2012; международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25), Волгоград, 2012.
Достоверность полученных результатов. Построение новой математической модели проводится на основе известной теории оболочек Кирхгофа-Лява и уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости. Вывод нового нелинейного уравнения для волн деформаций в упругой оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость, проведен с помощью апробированного асимптотического метода малого параметра, корректность которого обоснована в литературе по асимптотическим методам. Анализ предложенной математической модели проводится с использованием известных методов компьютерной алгебры.
В диссертации для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений разностные схемы типа Кранка-Николсона построены с применением интегро-интерполяционного метода и техники базисов Грёбнера. Они были проверены на большом классе точных решений и показали полное совпадение с ними.
В диссертации получена явная зависимость нормы искомой функции от времени, которая используется для интегрального контроля точности численного решения поставленной задачи.
Кроме того, разработанные программы для численного решения выведенных уравнений протестированы на точных частных решениях известных уравнений, являющихся частным случаем полученных уравнений.
Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически.
Практическая значимость. Полученные результаты могут использоваться для диагностики поврежденности материалов акустическими методами. Разработанная модель также описывает процессы в трубах относительно малого по сравнению с длиной волны диаметра, при этом рассматриваются случаи для труб, сделанных как из неорганического материала (различные технологические трубопроводы), так и из органического (кровеносные сосуды). Это позволяет применять данную модель в гемодинамике. Материалы работы могут быть использованы в лекционных курсах по математическому моделированию, механике деформируемого твердого тела, компьютерной алгебре, численным методам.
Теоретическая значимость работы заключается в развитии и применении методов компьютерной алгебры для моделирования и исследования процессов распространения нелинейных дисперсионных волн в упругой оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость. Результаты работы позволяют выявить новые закономерности в процессе распространения нелинейных дисперсионных волн в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, и могут послужить созданию фундаментального научного задела в области математического и численного моделирования нелинейных волн в упругой среде, взаимодействующей с жидкостью.
Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ имени Гагарина Ю. А., Проблема 11В.02. Фундаментальные и прикладные проблемы гидрогазодинамики и гидроупругости; гранта РФФИ 13-01-00049 «Нелинейные дисперсионные волны в упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость» и государственной бюджетной темы СГТУ-5 «Исследование взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании», выполняемой по заказу министерства науки и образования.
На защиту выносятся следующие положения:
новые математические модели в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравения КдВ, МКдВ и Гарднера, описывают волновые процессы в цилиндрических оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью;
применение компьютерной алгебры в частности базисов Грёбнера для генерации разностных схем при численном исследовании полученных моделей;
результаты численного моделирования волновых процессов в оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью.
Публикации. Основное содержание диссертации и результаты исследований опубликованы в одиннадцати научных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименований, двух приложений и содержит 103 страницы наборного текста.
