Содержание к диссертации
ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО
ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЛИНЕЙНО-
УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННО-
АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ 10
1.1. Основы метода асимптотического осреднения Бахвалова-
Победри 10
-
Система уравнений линейной теории упругости для периодических структур 10
-
Асимптотическое разложение системы уравнений линейной теории упругости 14
-
Осреднение по ячейке периодичности 16
-
Задача на ячейке периодичности 17
-
Осредненные уравнения теории упругости 18
-
Линейные эффективные определяющие соотношения композита 19
1.2. Разработка метода решения локальных задач на ячейке
периодичности 20
-
Преобразование задачи на ячейке периодичности к задачам для псевдоперемещений 20
-
Формулировка задач на 1/8 ячейки периодичности 25
-
Явный вид граничных условий для задач Жря 27
-
Теорема о продолжении решения задачи Жщ во всю ячейку периодичности 31
1.3. Расчет эффективных характеристик композиционного материала
33
Стр.
1.3.1. Расчетные соотношения для эффективных упругих модулей
и технических констант 33
1.3.2. Расчет тензоров концентрации напряжений 35
в волокнах и матрице 35
ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО
ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГО-
ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ
КОМПОЗИТОВ 37
-
Метод асимптотического осреднения для расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов 37
-
Формулировка задач Жрч на ячейке периодичности для упруго-пластических композитов 39
-
Расчет эффективных упруго-пластических характеристик композиционного материала 42
-
Случай малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина 46
-
Случаи одноосного растяжения и сдвига 47
ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ
РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 49
-
Вариационная формулировка локальной задачи Жрч 49
-
Метод конечного элемента для задач Ж^. 50
-
Методы решения СЛАУ 54
-
Разработка программного комплекса 55
ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ
И ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ 57
4 Стр.
4.1. Проведение тестовых расчетов для линейно-упругого 1-D
композита 57
Задача ЖЗЗ: 60
Задача ЖІЗ+Ж31 61
Задача Ж11 63
Задача Ж12+Ж21 65
4.2. Расчет для 3-D линейно-упругого ортогонально-армированного
КМ 67
Задача ЖЗЗ 71
Задача Ж13+Ж31 73
4.3. Результаты численного моделирования упруго-пластического
деформирования 3-D композита 75
ГЛАВА 5. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ
КОМПОЗИТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ 83
ВЫВОДЫ '. 86
ЛИТЕРАТУРА: 87
Введение к работе
Диссертация посвящена численному моделированию эффективных упруго-пластических характеристик пространственно - армированных композитов методом асимптотического осреднения Бахвалова-Победри в сочетании с методом конечного элемента.
Актуальность темы. Применение пространственно — армированных композиционных материалов в ракетно-космической авиационной технике позволяет создавать элементы конструкций, такие как наконечники головных частей ракет, критические сечения сопловых блоков РДТТ, элементы тормозных дисков сверхзвуковых самолетов и др., с характеристиками, существенно превышающими аналогичные показатели для конструкций из традиционных материалов. Кроме того, у пространственно - армированных композитов имеется возможность варьировать в достаточно широком диапазоне их характеристики за счет подбора внутренней структуры, исходя из конкретных требований применения материала в конструкции.
Проблеме расчета эффективных характеристик композитов посвящено значительно число работ, в том числе исследования Болотина В.В. [5], Бахвалова КС. [5,6], Ванина Г.А. [10,11], Васильева В.В. [12], Димитриенко Ю.И. [23], Ермоленко А.Ф. [33], Кристенсена Р. [50], Малмейстера А.К., Тамужа В.П., Тетерса Г.А. [54], Победри Б.Е. [66-73], Санчес-Паленсии Э. [80], Соколкина Ю.В., [87,88], Тарнопольского Ю.М., Жигуна И.Г., Полякова В.А. [91], Алфутова Н.А., Зиновьева П.А., Попова Б.Г.[2], Сарбаева Б.С [84], Сараєва Л.А., Шермергора Т.Д [81-83] и многих других. Следует отметить, что существующие методы расчета таких эффективных характеристик (см., например [15-18,57, 59, 83, 88]), как правило, основаны на существенных предположениях о характере распределения микронапряжений в матрице и волокнах, простейшими такими моделями являются одномерные модели на основе соотношений Фойгта-Рейсса [46], более сложными - методы, основанные на принципе сложения слоев [91]. Эти методы удобны тем, что позволяют получить относительно простые аналитические соотношения для упругих эффективных характеристик, например, согласно простейшему варианту метода сечений, в котором не учитываются напряжения, ортогональные к плоскости каждого введенного сечения [47,91], получают следующие зависимости для эффективных модулей упругости и модулей сдвига композита, армированного системой 3-х ортогональных волокон (3-D ортогнального композита):
Ч# = 9<аьт » 9ар = Т, 77. г а*рФуФа, а,0,г = 1,2,3 (здесь Ef,Em,Gm - характеристики волокна и матрицы, <ра- объемная доля волокон, ориентированных по а-ому направлению). Однако вследствие указанных существенных математических допущений эти методы являются достаточно приближенными и часто не обеспечивают необходимой точности расчетов. Использование вариационных принципов [46,50,68] приводит к так называемым вилкам Фойгта-Рейсса и Хашина-Штрикмана, однако для большинства реальных композиционных материалов эти вилки оказываются достаточно широкими и использование их в качестве расчетных выражений для эффективных упругих характеристик композитов приводит к весьма существенным погрешностям.
Более точными являются полуаналитические методы, предложенные Г.А.Ваниным [10,11], тем не менее, и они содержат значительные математические допущения и не позволяют получать «математически точных» эффективных характеристик. Для эффективных упруго- пластических характеристик простых аналитических соотношений не удается получить даже этими приближенными методами.
В этой связи весьма перспективным является метод асимптотического осреднения, предложенный Н.С.Бахваловым и Б.Е.Победрей [5,68] для вычисления эффективных характеристик периодических структур. Этот метод позволяет найти точные (в математическом смысле) эффективные характеристики с помощью решения так называемой «задачи на ячейке периодичности». Однако эта задача является достаточно сложной даже для численных методов, так как имеет смешанный интегро-дифференциальный тип и неклассические граничные условия периодического типа. Именно поэтому в настоящее время имеется лишь несколько примеров решения этой задачи для сравнительно простых структур: слоистых [42,43,68], однонаправленных (1-D) [56,68] и ортогональных (2-D) композитов [68].
В настоящей работе рассматривалась проблема формулировки математической задачи для расчета комплекса упруго-прочностных характеристик пространственно - армированных композитов в точной трехмерной постановке, а также разработки эффективного метода расчета макросвойств композита, исходя из свойств волокон, матрицы и параметров внутренней структуры.
Основной целью настоящей работы является разработка: математической модели пространственно-армированных упруго-пластических композитов с периодической структурой на основе метода Бахвалова-Победри; конечно-элементного метода расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов на основе соответствующих характеристик матрицы и волокон; программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов.
Научная новизна работы заключается: в адаптации метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри для конечно-элементного расчета упруго-пластических характеристик пространственно-армированных композитов, для этого предложено преобразование, позволяющее сводить интегро-дифференциальные задачи на ячейке периодичности к более простым задачам на 1/8 ячейки, имеющие дифференциальный тип, а также применен метод упругих решений А.А.Ильюшина для решения задач на 1/8 ячейки периодичности (ЯП); в разработке конечно-элементного метода решения задач на 1/8 ЯП для линейно-упругих и упруго-пластических (в рамках теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина) компонентов композита; в разработке программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов. * На защиту выносятся следующие положения: метод расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов с пространственной структурой, а также микронапряжений в компонентах композита, которые могут быть установлены математически точно в рамках метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри численным конечно-элементных способом; разработанный программный комплекс, который позволяет проводить вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов с различными параметрами волокон, матрицы и содержанием волокон в композите.
Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими методами, а также сравнением с экспериментальными данными.
Аппробация работы: основные результаты докладывались на:
Международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 100-летию Хинчина, Калуга, 2004;
Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2002;
Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2004;
Научно-технической конференции, посвященной 40-летию факультета ФН МГТУ им.Н.Э.Баумана, октябрь, 2004 г.;
Студенческой научно-технической конференции Аэрокосмического факультета МГТУ им.Н.Э.Баумана, Реутов, 2000,2001;
Семинаре «Актуальные проблемы вычислительной математики и механики» под руководством проф.Ю.И.Димитриенко, 2003,2004 гг.;
Международной коференции, посвященной 90-летию В.И.Феодосьева, . май 2006г. и отражены в 8 работах [24-29,44].
Структура и объем работы: диссертация состоит из 5 глав, введения, выводов и списка использованной литературы. Объем диссертации 97 стр.
Похожие диссертации на Математическое моделирование эффективных упруго-пластических характеристик пространственно армированных композитов на основе метода асимптотического осреднения
