Содержание к диссертации
Введение
1. Моделирование процесса разогрева многослойной цилиндрической оболочки при высокоинтенсивном тепловом воздействии 11
1.1. Моделирование процесса разогрева цилиндрической оболочки с теплозащитным покрытием при наличии термического сопротивления контактной поверхности 11
1.1.1. Постановка задачи и математическая модель 11
1.1.2. Построение алгоритма приближенного решения 15
1.1.2.1. Метод Роте решения нелинейной начально-краевой задачи для двухслойной области 15
1.1.2.2. Применение бесконечных систем к решению краевых задач для линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами 19
1.1.2.3. Построение алгоритма решения системы линейных уравнений с симметрической матрицей 25
1.1.3. Результаты численных расчетов 29
1.2. Моделирование процесса термического разрушения цилиндрической оболочки 42
1.2.1. Постановка задачи и математическая модель 42
1.2.2. Построение алгоритма приближенного решения нелинейной начально-краевой задачи с подвижной границей 44
1.2.3. Результаты численных расчетов 51
1.3. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете 57
1.3.1. Постановка задачи и математическая модель 57
1.3.2. Построение алгоритма приближенного решения 60
1.3.3. Результаты численных расчетов 63
Моделирование процесса разогрева поверхно сти двухслойного цилиндра, подверженной локальному тепловому воздействию 68
2.1. Моделирование процесса разогрева цилиндрической по верхности сканирующим точечным источником теплоты 68
2.1.1. Постановка задачи и математическая модель 69
2.1.2. Построение алгоритма приближенного решения 72
2.1.2.1. Метод Роте решения нелинейной начально-краевой задачи 72
2.1.2.2. Применение бесконечных систем к решению двумерных краевых задач 75
2.1.2.3. Построение алгоритма вычисления коэффициентов Фурье функции, заданной в двумерной области (прямоугольнике) 84
2.1.3. Результаты численных расчетов 85
2.2. Эволюция температурного поля двухслойного цилиндра при его нагреве движущимся импульсно-периодическим кольцевым источником теплоты 91
2.2.1. Постановка задачи и математическая модель 91
2.2.2. Построение алгоритма приближенного решения 94
2.2.3. Результаты численных расчетов 97
2.3. Моделирование процесса формирования температурных волн в составном цилиндре при локальном импульсно- периодическом тепловом воздействии 101
2.3.1. Постановка задачи и математическая модель 101
2.3.2. Построение алгоритма приближенного решения 105
2.3.3. Результаты численных расчетов 108
3. Моделирование нестаодонарных тепловых процессов в активных средах 113
3.1. Расчет критической толщины защитной оболочки цилин дрического электронагревательного элемента 114
3.1.1. Постановка задачи и математическая модель процесса 114
3.1.2. Построение алгоритма приближенного решения 116
3.1.3. Результаты численных расчетов 118
3.2. Моделирование процесса теплопереноса и расчет критических значений теплофизических параметров цилиндрического тепловыделяющего элемента с защит ным покрытием 122
3.2.1. Постановка задачи и математическая модель процесса 122
3.2.2. Построение алгоритма приближенного решения 125
3.2.3. Результаты численных расчетов 128
Основные выводы и результаты 132
Литература
- Постановка задачи и математическая модель
- Построение алгоритма приближенного решения
- Постановка задачи и математическая модель процесса
- Моделирование процесса теплопереноса и расчет критических значений теплофизических параметров цилиндрического тепловыделяющего элемента с защит ным покрытием
Введение к работе
Актуальность темы. Основы классической математической теории теплопроводности твердых тел широко освещены в монографиях Г. Карслоу и Д. Егера, А.В. Лыкова, B.C. Зарубина, Э.М. Карташова и
ДР. [1-4].
Появление современной вычислительной техники дало возможность применения теории для прикладных целей и стимулировало создание новых методов решения практических задач.
Исследование процессов теплопереноса в многослойных конструкциях, поверхности которых подвержены высокотемпературному воздействию, с учетом уноса массы теплозащитного покрытия и оптимизация теплозащиты проведено в работах [5-15], где моделируются тепловые состояния для изотропных материалов с постоянными тепло-физическими свойствами при условии идеального теплового контакта между слоями, и в работах [16-20] для неизотропных композиционных материалов.
Обычно рассматриваются две модели процесса уноса материала с поверхности, нагреваемой высокотемпературным потоком. В одной их них унос материала наступает с достижением температуры плавления нагреваемой поверхности, а скорость разрушения находится из уравнения теплового баланса на нагреваемой поверхности. В другой модели скорость разрушения определяется температурой нагреваемой поверхности [21] и находится из решения задачи. Такие задачи принадлежат к классу краевых задач нестационарной теплопроводности с подвижной границей [4, 22, 23], важность которых отмечена в обзоре [23]. Точные аналитические решения данных задач удается построить в случае постоянства теплофизических параметров и для некоторых конкретно задан-
ных законов движения границы. Известные методы решения этих задач в случае зависимости теплофизических параметров от температуры не применимы. Поэтому в этом случае актуальным является разработка методов решения таких нелинейных задач, чему и посвящена данная диссертация.
В диссертации предлагается вариант приближенного аналитического метода, основанный на идее Роте и учитывающий специфику некоторых типов задач теплопереноса.
Одной из таких задач, представляющей практический интерес является процесс воздействия на поверхность конструкции интенсивными локальными тепловыми потоками, когда вблизи зоны теплового контакта происходит быстрое возрастание температуры. Исследованию закономерностей развития нестационарных температурных полей при нагреве поверхностей конструкций локальными источниками теплоты посвящен целый ряд публикаций [24-34], в том числе и в случае локального импульсного или импульсно-периодического теплового источника [35-38]. Интерес к этим исследованиям объясняется практическими приложениями процесса разогрева металлических материалов при лазерной и электронно-лучевой обработке материалов [39-43]. В этих работах построены аналитические решения задач процесса теплопереноса в полупространстве или в пластинах конечной толщины при воздействии на их поверхности интенсивными импульсно-периодическими осе-симметричными тепловыми потоками. В диссертационной работе продолжено исследование таких процессов в нелинейной постановке с учетом движения локального источника теплоты по поверхности материала. В случае двухслойных областей в работе учитывается термическое сопротивление между слоями. Рассматриваются две модели движущегося теплового источника. В первой модели — сканирующий тепловой
источник, во второй — движущийся импульсно-периодический. Эти модели возникают при описании процесса термоупрочнения материалов при воздействии интенсивного лазерного излучения на локальный участок поверхности [44-46].
Другой задачей, рассматриваемой в диссертации, является исследование нестационарных режимов в активных средах при наличии источников выделения теплоты, интенсивность тепловыделения которых не может быть компенсирована охлаждением внешней поверхности среды [47-51]. Быстрый рост температуры, когда процесс разогрева не выходит на стационарный режим, происходит скачкообразно при достижении определенных значений параметров задачи, которые называют критическими. Знание критических значений параметров задачи, как теплофизических, так и геометрических, необходимо для выбора таких их значений, которые позволяют удерживать процесс тепловыделения в стационарном режиме [52-56]. Эти критические значения параметров в диссертации находятся в случае зависимости теплофизических параметров от температуры из решения соответствующих краевых задач нестационарной теплопроводности для тепловыделяющих элементов цилиндрической формы, с учетом термического сопротивления между тепловыделяющим элементом и защитной оболочкой.
Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований — обоснование метода приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности и применение его для решения прикладных задач теплопереноса.
Методы исследования. При работе над диссертацией были использованы следующие разделы математики: методы сведения нелинейных начально-краевых задач к краевым задачам для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами (метод Роте); тео-
рия рядов Фурье; сведение краевых задач к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений; методы решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений; методы численного гармонического анализа; численные методы линейной алгебры.
Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется использованием корректных математических моделей рассматриваемых процессов теплопереноса, строгостью математических выкладок, обоснованием сходимости алгоритмов приближенных расчетов и точности вычислений.
Научная новизна. Предложен приближенный аналитический метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности в нелинейной постановке. Разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в прикладных задачах теплопереноса для многослойных тел цилиндрической формы.
Практическая ценность диссертационной работы состоит в возможности использования предложенного метода и разработанного комплекса программ для решения прикладных задач, включая:
нахождение оптимальных значений параметров тепловой защиты многослойных конструкций, подверженных высокотемпературному нагреву, приводящему к эффекту абляции поверхностного теплозащитного покрытия;
нахождение зоны локального поверхностного прогрева металла импульсным и импульсно-периодическими локальными источниками теплоты;
определение критических параметров процесса тепловыделения в активных средах для нахождения диапазона изменения геометрических и теплофизических параметров, при которых существует установившееся температурное поле тепловыделяющего элемента.
На защиту выносятся следующие результаты.
Метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности в многослойных телах цилиндрической формы.
Разработанные на основе предложенного метода алгоритм нахождения оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете при нагреве его газовым потоком, приводящем к уносу массы с поверхности, и алгоритм нахождения параметров задачи, определяющих размеры зоны термического влияния и свойства упрочненной поверхности в процессе разогрева двухслойного цилиндра лазерным излучением в случаях сканирующего и импульсно-периодических локальных тепловых источников.
Расчет критических значений геометрических и теплофизиче-ских параметров процесса теплопереноса в активных средах, когда интенсивное тепловыделение в среде не может быть компенсировано тепловыми потоками через поверхность; нахождение значений параметров задачи, позволяющих удерживать процесс теплопереноса в стационарном режиме.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 2-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2003), 3-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2005), Международном Симпозиуме "Образование через науку" (Москва, 2005).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6-й научных статьях [75, 77-80, 83 ] и 4-х тезисах докладов [76, 81, 82, 84].
Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе на-
учной деятельности. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 143 страницах, содержит 62 иллюстрации и 11 таблиц. Библиография включает 84 наименований.
Постановка задачи и математическая модель
Рассматривается задача о нахождении нестационарного температурного поля в тонкостенной металлической цилиндрической оболочке, на внешнюю поверхность которой нанесен слой теплозащитного покрытия (см. рис. 1.1). Разогрев оболочки осуществляется в результате воздействия на поверхность теплозащитного покрытия интенсивного теп лового потока с плотностью q(t), зависящей от времени. При этом учитывается излучение тепла с поверхности теплозащитного покрытия. На внутренней поверхности оболочки происходит теплообмен с окружающей средой температуры Тс и коэффициентом теплоотдачи а0. В начальный момент времени температуры оболочки и теплозащитного покрытия равны значению Т0.
Задача рассматривается в нелинейной постановке, когда теплофи-зические параметры материалов зависят от температуры. Кроме того, учитывается наличие термического сопротивления контактной поверхности между металлической оболочкой и слоем теплозащитного покрытия. При неидеальном тепловом контакте при равенстве тепловых потоков нарушается условие равенства температур на соприкасающихся поверхностях. Возникающий в этом случае перепад температур [4, 21] пропорционален контактному термическому сопротивлению или обратно пропорционален контактной тепловой проводимости.
Ниже будут рассмотрены следующие режимы разогрева оболочки: режим 1: на поверхность теплозащитного покрытия поступает тепловой поток, плотность которого меняется во времени по закону [15]: v2 q{t) = qm-O.Sqm -, 0 t 7, (1.1) где qm= const; tm— момент времени, соответствующий наибольшему значению qm плотности теплового потока; t =—tm — время воздействия теплового потока; режим 2: поверхность теплозащитного покрытия подвергается воздействию высокотемпературным газовым потоком, при этом плотность теплового потока, подводимого к поверхности, равна [3]: q(t) = aw(T.w(t)), (1.2) где Т„— температура газового потока; Tw(t)— температура нагреваемой поверхности; aw — коэффициент теплоотдачи.
Целью исследований является анализ влияния термического сопротивления контактной поверхности на температурные поля металлической оболочки и теплозащитного покрытия при различных видах воздействия теплового потока (1.1) и (1.2).
В данной постановке задачи приходим к математической модели, включающей: уравнения теплопроводности Л i_ ) Fj Л J) dt rdr\ Л j) dr. t 0, r._x r r. =rM+h., у = 1,2; (1.3) начальные условия 7}(г,0) = Г05 г г гр 7 = 1,2; (1.4) граничные условия 4Й) дг r = r0 = aQ(T,(r0,t)c), ґ 0; я2{т2) дг r = r2 = q{t)- Js{T:(t)t), t 0:
Здесь приняты следующие обозначения: индекс j = \ соответствует металлической оболочке, j = 2 - теплозащитному покрытию; г - радиальная координата; / - время; T.(r,i),j = \,2 - искомые температурные поля; Tw(t) = Т2{r2,t) - температура нагреваемой поверхности; р, с и Л - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответственно; R - термическое сопротивление контактной поверхности; г0 - внутренний радиус металлической оболочки; hx и h2 - толщина металлической оболочки и теплозащитного покрытия соответственно; а - постоянная Стефана-Больцмана; є - степень черноты излучающей поверхности.
Для нахождения приближенного аналитического решения начально-краевой задачи (1.7)-(1.10) воспользуемся методом Роте [57]. Проведем дискретизацию временной переменной t системой точек tk-kx, k = 1,2,..., где г 0 - достаточно малый шаг разбиения, и заменим в уравнениях (1.7) производные по времени конечно-разностными отношениями дТ; _Т?\г)-ТГ{г) ч dt где Tjk)(r) - приближенные значения функций T.(r,i) при t = tk,
Далее проведем линеаризацию задачи (1.7) - (1.10). На каждом временном слое t = tk все нелинейности в уравнениях (1.7), граничных условиях (1.9) и условии сопряжения (1.10) будем полагать известными, вычисленными на предыдущем временном слое t = /А_,: С » = С,(г,«- (г),г), А«(г)-Ау(7 - (г),г), j = l,2. Кроме того, на каждом временном слое t = tk тепловые потоки в граничном условии (1.9) и условии сопряжения (1.10) вычислим через значения функций Tjk ]) (г), найденных на предыдущем временном слое и представить дифференциально-разностный аналог начально-краевой задачи (1.7)-(1.10) в виде следующей итерационной схемы (к=1,2,... ) решения двух краевых задач для линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами Л г) и Cjk)(r) относительно искомых функций Т}к) (г), j = 1,2. Краевая задача 1: Следует отметить, что на каждом временном слое t = tk задачи (1.11)-(1.12) и (1.13)-(1.14) решаются независимо. Отыскание функций Tjk)(r), у = 1,2 осуществляется с помощью следующей итерационной процедуры. 1-й шаг. Полагаем Т}0)(г) = Т0 из начальных условий (1.8) и вычисляем Cf{r) = Cl{ (r),r), A J (r) = A,(7f(r),r), ; = 1,2, л 0-= 9т-стє({тГ) -Щ, затем находим функцию 7j(,)(r) из решения уравнения (1.11) с учетом граничных условий (1.12), и функцию 7 (1)(г) из решения уравнения (1.13) с учетом граничных условий (1.14). 2-й шаг. Подставляем найденные на 1-м шаге итерации функции 7j(1)(r) и T if) в правые части уравнений (1.11) и (1.13), вычисляем С»(г)-Су(7?»(г),г), Л ; (г) = Л,(2} (гИ, ./ = 1,2. Й" =«.r.(T?{r,)e), Q? = (1)- (1)). ef=r2[g" - 7((r: )4-rc4)] и находим функции Т(г) и Г2(2)(г) из решения краевых задач (1.11) -(1.12) и (1.13) - (1.14) соответственно. к-й шаг. Найденные на (к-1)-м шаге итерации функции 7J( _1)(r) и 7 ( _)(г) подставляем в правые части уравнений (1.11) и (1.13) соответственно, вычисляем C (r)-C;(l - (r),r), АЦ (г)-Лу(7 -(г),г), у = 1,2, Sf -e.r. W-rc). 6 - ( (1)- (1)). Q?=r2y-»-ae{{T? ») l)\ и решаем краевые задачи (1.11)-(1.12) и (1.13)-(1.14). В результате находим на временном слое t = tk функции Т{к)(г) и T$k)(r). Сходимость метода Роте решения краевых задач для линейного параболического уравнения установлена в [57]. В нелинейной постановке [58] доказательство сходимости метода Роте проведено для класса степенных функций. В работе [59] показано, что для квазилинейного параболического уравнения
Построение алгоритма приближенного решения
Одним из широко применяемых видов лазерной обработки металлов является лазерное поверхностное упрочнение, которое заключается в воздействии интенсивного потока лазерного излучения на локальный участок поверхности. В результате происходит быстрый прогрев этого участка до высоких температур, а затем после прекращения действия излучения нагретый участок поверхности охлаждается за счет теплопроводности в глубь материала, а также теплоотдачи с поверхности. Информация о тепловом состоянии металла в процессе лазерной обработки является исходной для анализа размеров зоны термического влияния и свойств упрочненной поверхности [44, 45].
Рассмотрим процесс разогрева полого цилиндра точечным источником, перемещающимся с большой скоростью по винтовой траектории на внешней поверхности цилиндра. Считая угол винтовой линии достаточно малым, можно полагать, что источник теплоты перемещается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной образующей цилиндра. В такой модели (см. рис. 2.1) процесс распределения теплоты в полом цилиндре можно рассматривать для случая его нагревания от движущегося по внешней боковой поверхности сосредоточенного кольцевого источника с плотностью теплового потока, равной qtS\z-z,{t)\, где 8{z) - дельта-функция, z. (/) - закон движения кольцевого источника вдоль оси цилиндра, q, = const. В процессе разогрева цилиндра движущимся тепловым источником с внутренней и внешней цилиндрических поверхностей осуществляется теплоотдача по закону Ньютона, а также на внешней боковой поверхности происходит теплообмен излучением. Торцевые поверхности полагаются теплоизолированными. Начальная температура цилиндра постоянна и равна температуре окружающей среды. к решению начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Эта задача принимает более общий характер, если учитывать наличие тонкого поглощающего покрытия на поверхности металла [44] и термическое сопротивление контактной поверхности между металлом и поглощающим покрытием. Кроме того, учет зависимости теплофизиче-ских параметров от температуры приводит к нелинейной постановке задачи.
Здесь приняты следующие обозначения: индекс j = 1 соответствует полому металлическому цилиндру, j = 2 - цилиндрической оболочке покрытия; г - радиальная координата; z — пространственная координата вдоль оси цилиндра; t - время; Tj{r,z,t) - искомые температурные поля; р, с и Л - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответственно; г0 - внутренний радиус полого металлического цилиндра; dx и d2 - толщина полого металлического цилиндра и цилиндрической оболочки покрытия соответственно; R -термическое сопротивление контактной поверхности; а — коэффициент конвективной теплоотдачи; т - постоянная Стефана-Больцмана; є -степень черноты излучающей поверхности; Тс - температура окружающей среды; Т0 - начальная температура.
Математическую модель (2.1) - (2.7) легко обобщить на случай, когда кольцевой источник теплоты с постоянной скоростью V» совершает периодическое возвратно-поступательное движение ( сканирование ) вдоль оси цилиндра. В этом случае закон движения zt(t) может быть задан следующим образом: \l + V\tt_,), / = 1,3,5,...; W [h-l-V t ), / = 2,4,6,...; где tt =it,, tt ={h-2l)/Vt, t, - время одного шага сканирования, і номер шага сканирования; h - высота цилиндра, / - координата по z кольцевого источника теплоты в начальный момент времени, / h 12. Целью исследований является определение параметров задачи q, и V,, при которых в поверхностном слое полого металлического цилиндра достигается предельная температура Тп, не превосходящая температуру плавления металла.
Постановка задачи и математическая модель процесса
Рассмотрим нагревательный элемент (НЭ), представляющий собой цилиндрическую проволоку радиуса г0 с нанесенным на ее поверхность защитным покрытием — слоя керамики толщины d = rx-rQ (см. рис. 3.1). При пропускании по нагревателю (проволоке) электрического тока в нем выделяется тепло. Объемная плотность тепловых источников, согласно закону Джоуля-Ленца, определяется по формуле Q(T) = J2y(T), где Т — температура, J — плотность тока, а у{Т) — удельное сопротивление.
На поверхности защитного покрытия происходит теплоотвод в окружающую среду с коэффициентом теплоотдачи а. Контактная поверхность металлической проволоки и керамики обладает термическим сопротивлением R.
Полагая, что теплофизические параметры материалов нагревательного элемента зависят от температуры, запишем математическую модель рассматриваемого процесса нестационарной теплопроводности в виде
Для нахождения приближенного аналитического решения начально-краевой задачи (3.5) - (3.8) воспользуемся методикой, изложенной в 1.1.2. Обозначим через Tjk)(r) приближенные значения функций Т.(г,і) при t = tk=kr, где к = 1,2,..., т" 0, Т}0)(г) = Т0 и запишем дифференциально-разностный аналог начально-краевой задачи (3.5) - (3.8) в виде итерационной схемы ( к=1,2,... ) решения двух краевых задач для линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами. Краевая задача 1:
Плотности этих материалов принимаются постоянными, равными д =7900кг/м3, р2 = 5600кг/м3. Остальные параметры при расчетах полагались: а = 400 Вт / (м2 к), R = 1,8 Ю-4 м2К / Вт, Т0 = Тс = 300 К; с, (Г) = 313 + 0,444Г, Дж / (кг К). Варьируя значения параметра d в пределах 0 d 5r0, находим критическое значение dKp толщины керамического покрытия НЭ. Это значение, как следует из расчетов, (см. рис. 3.2) заключено в интервале 0,75 мм dKp 0,80 мм. Характер эволюции температуры 7j(0,f) при d = 0,75 мм и d = 0,80 мм подтверждает качественное изменение режима теплового процесса с переходом в режим неограниченного возрастания температуры. Т На рис. 3.3 и 3.4 представлены температурные поля в осевом сечении НЭ в качественно различных тепловых режимах. Непосредственные вычисления для значения параметра d = 0,75 мм dKp позволяют установить (рис. 3.3), что максимальное приращение температуры АГ при г = 0 за равные временные промежутки At = 50 с в рассматриваемом временном интервале 0 t 250 с возрастают. Это подтверждает, что при d dKp происходит неограниченный рост температуры НЭ. Для значения d = 0,8QMM dKp приращения А Г убывают, что приводит к установлению температуры в НЭ (рис. 3.4).
Следует отметить, что исходная задача нестационарной теплопроводности является многопараметрической. Критическое значение одного из параметров (например, rx) при заданных фиксированных значениях остальных жестко закрепляет всю совокупность значений параметров задачи. Поэтому значение любого из них из этой совокупности можно считать критическим при фиксированных остальных. Таким образом, знание критического значения одного из параметров (геометрического или теплофизического) позволяет проводить расчеты выбора значений параметров рабочего варианта исследуемого теплофизического процесса, при котором процесс выходит на стационарный режим. На рис. 3.5 приведен пример такого расчета, когда в установившемся режиме температура поверхности НЭ поддерживается на уровне 560 К. Для достижения этого результата в расчетах следует положить d = 0,90 мм, / = 6,3 А. Остальные параметры те же, что и для расчета критического значения d„.
Рассмотрим задачу о нахождении нестационарного температурного поля в цилиндрической области F = FjuF2 радиуса гг и высоты h (см. рис. 3.6). Здесь Vl — область, соответствующая цилиндрическому тепловыделяющему элементу с активной средой, объемная мощность тепловыделения в которой зависит от температуры. Защитное покрытие (область V2) представляет собой цилиндрическую оболочку толщины d2=r2-rl, на внешней поверхности которой происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Торцевые поверхности цилиндрического тепловыделяющего элемента полагаются теплоизолированными. В начальный момент времени температура в любой точке области V равна температуре окружающей среды.
Моделирование процесса теплопереноса и расчет критических значений теплофизических параметров цилиндрического тепловыделяющего элемента с защит ным покрытием
Рассмотрим задачу о нахождении нестационарного температурного поля в цилиндрической области F = FjuF2 радиуса гг и высоты h (см. рис. 3.6). Здесь Vl — область, соответствующая цилиндрическому тепловыделяющему элементу с активной средой, объемная мощность тепловыделения в которой зависит от температуры. Защитное покрытие (область V2) представляет собой цилиндрическую оболочку толщины d2=r2-rl, на внешней поверхности которой происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Торцевые поверхности цилиндрического тепловыделяющего элемента полагаются теплоизолированными. В начальный момент времени температура в любой точке области V равна температуре окружающей среды.
Математическая модель рассматриваемого процесса нестационарной теплопроводности в составном цилиндре записывается в виде следующей краевой задачи для системы двух нелинейных уравнений параболического типа и включает в себя: уравнения теплопроводности
Здесь приняты следующие обозначения: индекс j = 1 соответствует цилиндрическому тепловыделяющему элементу, у = 2- защитной оболочке; P(r,z) - внутренняя точка области V; Tj(P,t) - искомые температурные поля; Т0 - температура окружающей среды; р., с,, Л, -соответ 124 ственно плотности, удельные теплоемкости и коэффициенты теплопроводности материалов; R - термическое сопротивление; а - коэффициент конвективной теплоотдачи; гх - внутренний радиус защитной оболочки.
Распределение объемных тепловых источников Jj\j [О, P(r,z)eV2; описывает выделение теплоты в активной среде.
Как уже отмечалось, в зависимости от значений параметров эволюция решения задачи (3.15) - (3.18) может происходить в двух качественно различных режимах. Алгоритм решения задачи, предложенный в настоящей работе, позволяет находить температурные поля для этих режимов и определять критические значения параметров, приводящих к "тепловому взрыву".
Целью исследований является определение области изменения параметров а и R, обеспечивающих выход на стационарный режим рассматриваемого нестационарного теплофизического процесса, а затем выбора параметров задачи, при которых установившаяся температура на поверхности покрытия тепловыделяющего элемента поддерживается в заданном интервале. Здесь Q, = {(r,z):0 r rpO z /j}, Q2 = {(r,z):r, r r2,0 z h\ прямоугольники. При этом в уравнениях (3.19) переменные гиг следует трактовать как прямоугольные координаты точки M(r,z).
Построение алгоритма приближенного решения
Для нахождения приближенного аналитического решения начально-краевой задачи (3.19) - (3.22) применим методику, изложенную в предыдущей главе. В результате приходим к следующей итерационной схеме (к=1,2...) решения двух краевых задач для линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами.
Фурье разложений функций C]*}(r,z) и А(к)(г,г) соответственно в двойные тригонометрические ряды по полным и ортогональным в областях Qy. системам функций |Xy/w(r,z)j ; Ф[к) и Ч^*0-коэффициенты Фурье разложений функций Q\k){z) и Q^{z) соответственно по ортогональной на отрезке 0
Соотношения (3.29) представляют собой бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, допускающих редукцию (см. 2.1.2). Таким образом, построен алгоритм нахождения приближенного аналитического решения задачи (3.19) - (3.22) в форме тригонометрических многочленов
