Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Барулина Марина Александровна

Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба
<
Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Барулина Марина Александровна. Математическое моделирование компонентов микромеханических датчиков инерциальной информации с учетом неклассической теории изгиба: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 05.13.18 / Барулина Марина Александровна;[Место защиты: Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.], 2016.- 330 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Проблемы, методы и задачи исследования микромеханических датчиков инерциальной информации 23

1.1 Обзор современных достижений в области исследования микромеханических датчиков инерциальной информации 23

1.1.1 Современное состояние развития датчиков инерциальной информации и приборов на их основе 23

1.1.2 Область применения микромеханических гироскопов и акселерометров 28

1.1.3 Микромеханические гироскопы. Принцип действия и основные характеристики 33

1.1.4 Микромеханические акселерометры. Принцип действия и основные характеристики 37

1.1.5 Недостатки и основные источники погрешностей ММГ и ММА 40

1.2 Современное состояние методов разработки и построения математического и алгоритмического обеспечения для конечно элементного моделирования микромеханических датчиков инерциальной информации 42

1.2.1 Метод конечных элементов для исследования микромеханических датчиков инерциальной информации 43

1.2.2 Теория Тимошенко и её использование в современной науке

1.2.3 Существующие программные комплексы конечно-элементного моделирования, использующие элементы на основе теории Тимошенко 51

Выводы по главе 1 53

Глава 2. Кинематика конечного элемента в соответствии с теорией Тимошенко. Аппроксимирующие функции. Поля деформаций и напряжений 56

2.1 Кинематика балки Тимошенко 56

2.2 Поле перемещений трехмерного двухузлового двенадцатистепенного конечного элемента 59

2.3 Вариационное уравнение Лагранжа-Эйлера 65

2.4 Аппроксимирующие функции конечного элемента балки Тимошенко 70

2.5 Поля деформаций и напряжений конечного элемента 80

Выводы по главе 2 83

Глава 3. Математическое обеспечение для трехмерного двухузлового двенадцатистепенного конечного элемента на основе теории Тимошенко ... 85

3.1 Уравнения Лагранжа 2-го рода для трехмерного двухузлового двенадцатистепенного конечного элемента с учетом гироскопического эффекта 85

3.2 Потенциальная энергия и матрица жесткости 93

3.3 Матрица масс 100

3.4 Матрица Кориолиса 108

3.5 Центробежная матрица 112

3.6 Учет демпфирования. Матрица демпфирования конечно-элементной модели 116

Выводы по главе 3 116

Глава 4. Аналитическое решение задач о собственных колебаниях и о плоском изгибе под действием сосредоточенной силы балки Тимошенко постоянного прямоугольного сечения 118

4.1 Уравнение собственных колебаний балки Тимошенко постоянного прямоугольного сечения 118

4.2 Аналитическое решение задачи о поперечных колебаниях балки Тимошенко постоянного прямоугольного сечения 124

4.3 Частотные уравнения и формы собственных колебаний для

консольной балки Тимошенко постоянного прямоугольного сечения 132

4.3.1 Первый спектр (низкие частоты) 132

4.3.2 Второй спектр (высокие частоты) 137

4.3.3 Формы собственных колебаний консольной балки Тимошенко 142

4.4 Частотные уравнения и формы собственных колебаний балки Тимошенко постоянного прямоугольного сечения, жестко закрепленной с обоих торцов 145

4.4.1 Первый спектр (низкие частоты) 145

4.4.2 Второй спектр (высокие частоты) 147

4.4.3 Формы собственных колебаний жестко закрепленной по краям

балки Тимошенко 150

4.5 Аналитическое решение задачи о плоском изгибе под действием сосредоточенной силы жестко закрепленной с обоих торцов балки Тимошенко прямоугольного постоянного сечения 151

Выводы по главе 4 159

Глава 5. Верификация разработанного математического и алгоритмического обеспечения для конечно-элементного моделирования на основе теории Тимошенко 162

5.1 Общие замечания по методологии математического и компьютерного моделирования 162

5.2 Конечно-элементное моделирование 164

5.3 Основные принципы разработки программного обеспечения для компьютерного моделирования 170

5.4 Численное исследование частотных уравнений и функций форм собственных колебаний 172

5.5 Проверка разработанного математического аппарата 173

5.6 Статические задачи и конечно-элементное моделирование на основе разработанного трехмерного конечного элемента 183

5.7 Решение динамических задачи с помощью конечно-элементного моделирования на основе разработанного трехмерного конечного элемента 189

5.8 Учет гироскопического эффекта при конечно-элементном моделировании с использованием разработанного трехмерного конечного элемента 195

Выводы по главе 5 198

Глава 6. Применение разработанного трехмерного конечного элемента к конечно-элементному моделированию микромеханических датчиков инерциальной информации 200

6.1 Математическое моделирование суперминиатюрного микромеханического многофункционального датчика инерциальной информации 200

6.1.1 Теоретические основы функционирования суперминиатюрного микромеханического датчика 200

6.1.2 Конечно-элементная модель ЧЭ СММГА 203

6.1.3 Частотный анализ, частоты и формы собственных колебаний 206

6.1.4 Компьютерное моделирование НДС датчика и анализ результатов 210

6.2 Математическое моделирование микромеханического гироскопа с

кардановым подвесом чувствительного элемента 219

6.2.1 Конструктивная схема и принцип действия микромеханического гироскопа с кардановым подвесом чувствительного элемента 219

6.2.2 Конечно-элементная модель микромеханического гироскопа с кардановым подвесом чувствительного элемента 221

6.2.3. Компьютерные эксперименты и численное моделирование 224 Выводы по главе 6 233

Заключение и основные выводы по диссертации 235

Список использованных сокращений 238

Список использованных обозначений 239

Литература

Микромеханические акселерометры. Принцип действия и основные характеристики

Современный мир сложно представить без большого разнообразия датчиков инерциальной информации и приборов на их основе. Автомобильная промышленность, морская и космическая техника, навигационное оборудование, военная техника, бытовая электроника, робототехника, интеллектуальные системы – это далеко не полный список областей, в которых используются датчики инерциаль-ной информации и приборы на их основе. Так, например, использование различных типов гироскопов и акселерометров в технике, согласно докладу НАТО, показано на рис. 1.1.1.1 [199].

Из рис. 1.1.1.1 видно, что уже сейчас широко востребованы в гражданской и военной промышленности современные недорогие датчики инерциальной информации, несмотря на их относительно низкую точность. Так, волоконно-оптические гироскопы (IFOG) и современные датчики на эффекте Кориолиса (в частности – кварцевые и кремневые микромеханические гироскопы и акселерометры, волновые твердотельные гироскопы) уже применяют в управлении полетом умных бомб (flight control smart munitions), в военной робототехнике (robotics), в системах наведения тактических ракет на среднем участке траектории (tactical missile midcourse guidance), в курсовертикалях торпед (AHRS torpedos). Лазерные гироскопы, использующие, как и волоконно-оптические гироскопы, принцип Саньяка, но более точные, используются для построения систем навигации автономных подводных лодок.

Использование в технике (НАТО) различных типов гироскопов в зависимости от их характеристик -дрейфа (bias stability) и стабильности масштабного коэффициента (scale factor stability): Mechanical – классические гироскопы с вращающимся ротором; Quartz – современные датчики, использующие принцип Кориолиса; IFOG – волоконно-оптические гироскопы; RLG – лазерные гироскопы; DTG – динамически настраиваемые гироскопы

Успешное функционирование различных видов движущихся объектов (ДО) от судов до беспилотных аппаратов и спутников (Рис. 1.1.1.2) [6, 52, 80, 151, 153, 161] зависит от их систем управления и контроля, которые строятся на основе датчиков инерциальной информации (гироскопов и акселерометров) и вычислительного блока. Именно системы управления и контроля позволяют решать разнообразные задачи навигации (определение положения и движения ДО в пространстве), ориентации (определение углового положения и движения ДО вокруг его центра масс) и управления (формирование траектории движения с требуемыми параметрами, стабилизация ДО во время движения, попадание в заданную область).

Под датчиками инерциальной информации понимаются датчики, автономно обеспечивающие получение на борту подвижного объекта инерциальной информации – данных об угловом положении и движении объекта, и о положении и движении его центра масс по отношению к инерциальной или другой системе координат, известным образом связанной с инерциальной системой координат

В зависимости от области использования, условия эксплуатации подвижного объекта могут быть довольно экстремальными. Так, датчики инерциальной информации, использующиеся в космических аппаратах, должны выдерживать ударные нагрузки до 90-100g, перепады температуры от -50 0С до +60 0С, вибрации с амплитудой до 20g и частотой 20-2000 Гц, и быть достаточно устойчивыми к электро-магнитным и радиационным воздействиям. Другими словами, эффективность работы современных датчиков инерциальной информации и приборов на их основе в значительной степени зависит от взаимовлияния различных физических процессов и воздействий (механических, тепловых, оптических, термоупругих, электромагнитных и электростатических, радиационных и д.р.), обуславливающих их функционирование.

При этом требования современной науки и техники к точности датчиков инерциальной информации, их массо-габаритным характеристикам, энергопотреблению, устойчивости к различным видам физических полей постоянно повышаются [61, 70, 109,110, 120].

В настоящее время одними из перспективных датчиков инерциальной информации являются микромеханические гироскопы (ММГ) и акселерометры (ММА). Так, например, согласно докладу НАТО, в ближайшее десятилетие в технике эти типы гироскопов будут широко распространены (рис. 1.1.1.3) [199]. Рис. 1.1.1.3. Прогноз на ближайшее десятилетие (НАТО) по распространению датчиков в технике в зависимости от их характеристик -дрейфа (bias stability) и стабильности масштабного коэффициента (scale factor stability): Mechanical – классические гироскопы с вращающимся ротором; Quartz Silicon Micromechanical – кремниевые или кварцевые микромеханические датчики; IFOG – волоконно-оптические гироскопы; RLG – лазерные гироскопы

Как видно из рис. 1.1.1.3 ожидается, что с развитием и улучшением характеристик волоконно-оптические и микромеханические гироскопы смогут серьезно расширить область своего применения, и даже вытеснить некоторые типы датчиков, таких как динамически настраиваемый гироскоп. Волоконно-оптический гироскоп сможет заменить динамически настраиваемый и лазерный кольцевой гироскопы практически во всех сферах, за исключением тех, где требуется сочетание малого дрейфа и высокой стабильности масштабного коэффициента.

Преимуществами микромеханических датчиков являются - отсутствие быстровращающегося ротора у микромеханических гироскопов, малые массога-баритные характеристики, низкое энергопотребление и относительно невысокая стоимость изготовления и эксплуатации [29 , 52, 66 , 64 , 70, 72, 103, 110, 147, 174, 202, 217].

Вариационное уравнение Лагранжа-Эйлера

Метод конечных элементов получил широкое распространение с развитие вычислительной техники. И к настоящему времени основные теоретические аспекты метода конечных элементов достаточно хорошо разработаны [40, 113, 194, 196, 218]. К достоинствам метода МКЭ можно отнести его универсальность и возможность применимости к решению самых разных классов задач. Одними из базовых типов для построения и исследования конечно-элементных моделей в задачах механики твёрдого тела, на основе которого проектируются современные ММГ и ММА и их компоненты, являются балочный и/или стержневой элементы [88, 113, 115, 128].

Для численного исследования динамических процессов и напряжённо деформированного состояния в механике твёрдого тела в настоящее время широко используются конечные элементы с аппроксимирующими функциями, полученными на основе классической теории изгиба Эйлера-Бернулли и теории Тимошенко.

В отличие от классической теории изгиба, теория Тимошенко во-первых, учитывает инерцию вращения поперечного сечения балки и, во-вторых, предполагает, что плоское поперечное сечение, нормальное к продольной оси, после деформации остаётся плоским, но не обязательно нормальным к деформированной продольной оси [74, 55]

Эффекты, которые учитывает теория Тимошенко, очень важны при решении целого ряда современных задач. Например, при рассмотрении изгибных деформаций коротких балок и стержней, решении динамических задач распространения фронтов возмущения, исследовании колебаний высокой частоты и т.д. Следует отметить и то, что в динамических задачах возможно искажение поперечных сечений, связанное с модами колебаний [55].

В настоящее время существует потребность в совершенствовании математического аппарата для конечных элементов, учитывающих теорию Тимошенко. Так, если аппроксимирующие функции и матрицы жёсткости для трёхмерных и двухмерных стержневых конечных элементов были ранее получены в [140, 141, 145, 148, 150, 154], то выражения для элементов матрицы масс, матрицы Корио-лиса, центробежной матрицы, полностью соответствующие теории Тимошенко, до настоящего времени были не разработаны.

Таким образом, разработка теоретических основ и алгоритмов конечно-элементного моделирования компонентов ММДИИ на основе теории Тимошенко является важной и актуальной задачей.

Теоретические результаты работы базируются на таких основополагающих методах, принципах и теориях современной механики как принцип виртуальных перемещений и уравнения Лагранжа-Эйлера [42, 46, 83, 108, 191]; матричный анализ [54, 81, 101]; теория краевых задач для уравнений математической физики, понятия и теории механики деформируемого тела, механики сплошной среды [49, 58, 76, 77, 82, 106, 144, 165, 185, 210, 211] и аналитической механики [85, 86, 91]. Также использовались теория гироскопов [90, 99, 100] ; теория колебаний [5, 43, 50, 118, 119, 127]; теория математического моделирования [3, 114]; теория вращающихся механизмов [131].

При разработке алгоритмов конечно-элементного моделирования на основе построенного теоретического обеспечения были использованы метод конечных элементов [38, 69, 107, 218]; численные методы решения дифференциальных уравнений [4, 39, 51, 78, 79, 130, 139, 184, 188]; общие принципы проведения модального анализа [159]; численные методы решения систем линейных уравнений, в том числе разреженных систем высокого порядка [7, 92, 125, 135, 200] ; методы теории объектно-ориентированного программирования [47, 126].

В главе рассматриваются основные вопросы, связанные с деформацией балочного конечного элемента (далее - балки) в рамках теории Тимошенко.

Рассматривая механику деформации балки Тимошенко, выводятся основные кинематические соотношения, в том числе определяется поле перемещений трехмерного двухузлового двенадцатистепенного конечного балочного (стержневого) элемента.

На основе вариационного уравнения Лагранжа-Эйлера и кинематических соотношений находятся, учитывающие положения теории Тимошенко.

Рассмотрим балку длины L. Выберем систему координат (xyz) с началом в центре левого торца балки, ось х направим по срединной линии балки (рис. 2.1.1). Определим, что перемещение произвольно выбранного поперечного сечения балки полностью определяется шестью функциями: (Течения) = K(x,t),uy(x,t),uz(x,t), (x,t),i/;(x,t),0(x,t)]T, (2.1.1) где их(х, t) определяет продольное перемещение центра поперечного сечения; иу(х, t),uz(x, t) -поперечные перемещения центра поперечного сечения в направлении осей у и z соответственно; (х, t) - угол кручения вокруг оси х; ф(х, t), в(х, і) - углы изгиба в плоскости (xz) и (ху) соответственно.

Потенциальная энергия и матрица жесткости

Так как разрабатываемый элемент предназначен в первую очередь для моделирования датчиков инерциальной информации (микромеханических гироскопов и акселерометров), то необходимо учесть влияние сил Кориолиса на возникновение вторичных колебаний чувствительных элементов этих датчиков и вызываемый этими силами гироскопический эффект.

Под гироскопическим эффектом в данном случае будем понимать возникновение под действием сил Кориолиса, при вращении основания, на котором установлен вибрирующий элемент, вторичных колебаний в плоскости, перпендикулярной первичным колебаниям. Амплитуда вторичных колебаний пропорциональна угловой скорости вращения основания. На рис. 3.1.1 показано возникновение сил Кориолиса на примере принципа действия камертонного микромеханического гироскопа [110]. Отметим, что помимо сил Кориолиса при вращении основания влияние на динамику датчика будет оказывать и центробежное ускорение.

Как видно из рис. 3.1.1, обе ветви чувствительного элемента (ЧЭ) камертонного ММГ приводятся в противофазное колебательное движение в плоскости (yz) (первичные колебания). При вращении основания вокруг оси z с угловой скоростью z , возникает ускорение Кориолиса ak и соответствующие ему силы Корио-лиса Fk, которые приводят к появлению вторичных колебаний ЧЭ в плоскости (xy) [62, 110].

Микромеханические датчики и акселерометры, установленные на борту летательного аппарата должны выдавать параметры его движения в подвижной системе координат, связанной с летательным аппаратом. То есть, уравнение движения конечного элемента записывается в подвижной системе координат.

С точки зрения математического моделирования датчика это означает, что необходимо составить уравнения относительного движения. Для этого рассмотрим две системы координат - глобальную инерциальную систему координат (XYZ) и систему координат (xyz), связанную с основанием датчика и вращающейся в системе координат (XYZ) с угловой скоростью {со} = [шх ыу wz] т (рис 3.1.2). Рис. 3.1.2 представляет собой рис. 2.2.2, перерисованный с учётом вращения системы координат (xyz). На рис. 3.1.2 вектор {[/} = [UxUyUz]T - вектор проекций перемещения произвольной точки балки Р0 на оси подвижной системы координат (xyz); вектор [и] = [их иу Щ] т - перемещение центра поперечного сечения, к которому принадлежит точка Р0.

Рассматриваемая механическая система представляет собой консервативную систему из деформируемого твёрдого тела (конечного элемента), находящимся под воздействием внешней нагрузки, в том числе и гироскопических сил. Лангражиан такой системы определяется следующей формулой [42, 98]: L = T- П (3.1.1) где Т и П - кинетическая и потенциальная энергии соответственно. Тогда, принимая узловые перемещения конечного элемента за обобщенные координаты и не учитывая демпфирование, уравнения Лагранжа 2го рода можно записать в виде [91]: где Qi - обобщенные силы, TV- число степеней свободы. Потенциальную энергию П системы без демпфирования, как известно [98], можно представить в виде разложения по обобщенным координатам: п = уУ]ч]ЯіЯ] (3.1.3) i.j Кинематическая энергия балки в подвижной системе координат можно записать в виде следующего интеграла по объёму V балки [98]: т = \ (№)2 + (Щ)2 + №)2W (3.1.4) 2h J где {U } = [Ux Uy О?] - производная по времени от перемещения произвольной точки балки, взятая во вращающейся системе координат (xyz). Согласно [91] { } определяется соотношением: {) } = {и} + {со} X {[/} (3.1.5) где {Щ- так называемая относительная производная. В развёрнутом виде выражение (3.1.5) запишется следующим образом: U X = UX+ (o)yUz-a)zUy) U; = Uy+ (a)zUx - coxUz) (3.1.6) U Z = UZ+ (a)xUy - a)yUx) В формулах (3.1.6) Ux, Uy, Uz определяются выражениями (2.4.21а, б, в); ux, Uy, uz - соотношениями (2.4.12), (2.4.17а), (2.1.19а); {со} = [Щ y z]T- угловая скорость вращения подвижной системы координат относительно глобальной системы координат.

Из формул (3.1.10а-в) следует физический смысл т \Т \Т 2\ Т определяет вклад в кинетическую энергию балки относительного движения; Т \Т - появляются вследствие учета вращения системы координат, связанной с балкой, в глобальной инерциальной системе координат. Т определяет влияние силы Кориолиса, Т& - центробежной силы.

Выражения (2.4.21а, б, в), (2.4.12), (2.4.17а), (2.1.19а), определяющие Ux, иу, Uz через узловые перемещения, представляют собой их линейные комбинации. Поэтому выражения для Т и Т& (3.1.10а,в) можно представить в виде квадратичных форм узловых скоростей и перемещений, соответственно, а выражение (3.1.10б) для Т в виде разложения по узловым скоростям и перемещениям:

Компоненты матриц \мЩ9 \сЩ9 \кЩ9 [5 в ] находятся приведением соответствующего выражения к квадратичной форме относительно узловых перемещений или скоростей: Для нахождения компонент матрицы масс [М ] нужно привести выражение (3.1.10а) для ТМ к квадратичной форме (3.1.11а). Для нахождения матрицы жёсткости элемента необходимо представить потенциальную энергию в квадратичной форме (3.1.3). Для вычисления компонент центробежной матрицы [5(е)], нужно преобразовать выражение (3.1.10в) для Т& к форме (3.1.1в). Чтобы определить матрицу Кориолиса [С(е)], необходимо привести вид Т (3.1.10б) к виду (3.1.11б), и вычислить её компоненты по формуле: сц = Cij - chi (3.1.15) где с - компоненты матрицы Кориолиса, сц - коэффициенты в разложении (3.1.11б). Из формулы (3.1.15) следует, что матрица Кориолиса является кососиммет рической, то есть выполняется условие Cij = —Cji. Так как компоненты матриц [М(е)], [tf(e)], [S(e)] определяются как коэффициенты квадратичных форм (3.1.3), (3.1.11 а,в), то следовательно эти матрицы будут симметричными. В соответствии свыше сказанным, в последующих параграфах этой главы будут найдены выражения для компонент матриц [М(е)], [С(е)], [tf(e)], [S(e)].

Отметим, что к построению матриц \мЩ9 \сЩ9 \кЩ9 [5 в ] существуют и другие подходы. Одним из таких подходов является непосредственное использование матриц форм. В этом случае, например, матрица масс и матрица Кориолиса элемента определятся с помощью соотношений [138]:

Аналитическое решение задачи о поперечных колебаниях балки Тимошенко постоянного прямоугольного сечения

В настоящее время математическое и компьютерное моделирование широко распространено во многих областях науки и техники. Весь процесс моделирования можно свести к нескольким этапам: 1 этап. Математическое моделирование - замена реального объекта изуче ния его “эквивалентом” – математической моделью [114], представляющей в ма тематической форме наиболее важные свойства объекта. Надо отметить, что важ ность свойств зависит от решаемой задачи. Так, например, при исследовании рас пространения тепловых полей в объекте важными свойствами будут температур ные характеристики (коэффициент теплового расширения, теплопроводность и т.д.). При исследовании динамических задач – особую важность приобретают упругие свойства материала (модуль Юнга, коэффициент Пуассона), плотность и т.д. Математическая модель строится и исследуется аналитическими и теоретическими методами, что позволяет уже на первом этапе исследования получить начальную информацию об изучаемом объекте и о процессах, происходящих в нем. 2 этап. Алгоритмическое и программное обеспечение. Разработанную на первом этапе математическую модель необходимо адаптировать к применению численных методов, выбрать или разработать алгоритмы расчета модели. На основе построенных алгоритмов и с использованием одного из алгоритмов компьютерного моделирования, например метода конечных элементов, создается программное обеспечение.

Разработанное программное обеспечение помимо проведения расчетов должно позволять ввод данных, необходимых для моделирования, и должно обеспечивать представление результатов вычислений в удобном для их анализа виде, например, в виде графиков и таблиц. Подробнее основные принципы разработки программного обеспечения для компьютерного моделирования будут описаны в параграфе 5.3 настоящей главы.

Надо отметить, что разработанное алгоритмическое и программное обеспечение необходимо проверить на адекватность путем проведения компьютерных экспериментов для задач, решение которых известно или может быть получено на другом, уже верифицированном и апробированном программном обеспечении. 3 этап. Компьютерное моделирование. На этом этапе проводятся компьютерные эксперименты, дающие все необходимые свойства, качественные и количественные характеристики изучаемого объекта и процессов, протекающих в нем.

При проведении компьютерных экспериментов необходимо учитывать специфику решаемой задачи. Так, например, при исследовании динамических гармонических процессов разработчиками ANSYS [133] рекомендуется величина шага, не превышающая 1/20f , где f – максимальная частота (Гц), представляющая интерес для исследователя. Но, разумеется, чем меньше шаг расчета, тем точнее получаемые результаты, но тем выше требование к вычислительным ресурсам. В вопросе выбора шага исследователь должен оптимально, исходя из собственного опыта, балансировать точность расчетов и их вычислительную “стоимость”.

Также надо иметь в виду, что выбираемые параметры моделирования должны учитывать реализованные алгоритмы численного расчета – некоторые из них могут расходиться при слишком большом или слишком маленьком шаге вычислений.

Использование математического и компьютерного моделирования имеет особое значение при разработке датчиков инерциальной информации и приборов на их основе. Применение моделирования позволяет с минимальными затратами, на этапе разработки конструктивной схемы прибора, исследовать его основные характеристики, решить разнообразные задачи, которые могут возникнуть при эксплуатации датчика, определить основные источники погрешностей и дать рекомендации по оптимизации схемы прибора.

Метод конечно-элементного моделирования в современной науке и технике широко распространен, его теоретические основы на текущий момент времени хорошо разработаны. В данном параграфе для целостности изложения приведем основные сведения из метода конечно-элементного моделирования.

Идея метода конечных элементов заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках [111]. Как уже отмечалось ранее в параграфе 3.1, основное уравнение для решения динамических задач с учетом гироскопического эффекта методом конечных элементов записывается в виде (3.1.16): [M]{qM] + [C]{qM] + ([К] - [S]){qM] = {F} (5.2.1) где [М]- матрица масс модели; [С] - матрица Кориолиса; [К] - матрица жесткости; [S] - центростремительная матрица; {F} - вектор узловых нагрузки; {qM}, {qM}, {qM} - соответственно вектор перемещений, скоростей и ускорений узлов модели.

Уравнение (5.2.1) составляется в системе координат, связанной с моделью. Матрицы модели масс, жесткости и Кориолиса [М], [К], [С] и центростре 165 мительная матрица [S] составляются из соответствующих матриц элементов с помощью матрицы соответствий [Ф], определяемая формулой: где п - количество элементов в модели; [Ф;] (/ =1, п) - булевы матрицы, определяющие соответствие между узлами конечного элемента и узлами модели в целом [69]. Каждая строка матрицы [Ф;] представляет номер степени свободы в узлах /-го конечного элемента, а каждый столбец соответствует номеру степени свободы узлов модели. На пересечении соответствующих номеров строк и столбцов ставится единица, остальные элементы матрицы нулевые.