Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Главные достижения исследований искоиамемых углей как одного из направлений дофракталыюго естествознания 7
1.1 Общие представления о структуре органической массы углей 7
1.2 Основания концепции высокомолекулярного происхождения вещества углей 9
1.3 Концепции структурных единиц угольного вещества 10
1.4. Роль взаимодействий в угольном веществе и идеи скейлиига 12
Выводы 14
Глава II. Проблемы сложных неизолированных объектов 16
2.1. Объект и его окружение 16
2.2. Собственные свойства. Самоподобие и самоорганизация 17
2.3 Незамкнутые - открытые системы, свойства необратимости 19
2.4 Системный подход к анализу сложных объектов 20
2.5 Самоподобие, самоорганизация, кластеры, масштабная инвариантность (скейлинг), фракталы 22
2.6. Фрактальный дробовой шум сорбционных процессов в газонасыщенных углях 25
Выводы 34
Приложения 37
Глава III. Фракталы и абстрактные множества 40
3.1. Основополагающие для построения теории фракталов аспекты теории множеств 40
3.2. Размерности множеств: топологическая, фрактальная - Минковского и Хаусдорфа 46
3.3. Мультифракталы и типологические особенности строения и свойств ископаемых углей 49
Выноды 51
Глава IV. Роль фазовых превращении в процессах структурных изменений ископаемых углей 53
4.1. Фазовые переходы в газонасыщенных углях 53
4.2. Самоподобие в углепородных массивах 56
4.3. Процессы перколяции и фракталы 62
4.4. Процессы полимеризации и ископаемый уголь 65
4.5. Особенности процессов образования полимерных гелей. Каналы гелеобразования 68
4.6. Основы современной теории полимеризации. Скейлинг в полимерных системах 70
4.7. Теория перколяции и окрестность критического состояния 74
Выводы 76
Глава V. Структурные единицы ископаемых углей 80
5.1 Молекулярная масса структурных единиц. Методы оценки, результаты оценок 80
5.2 Фрактальные аспекты проблемы генезиса ископаемых углей 84
5.3 Определение фрактальных параметров углей 87
5.4. Классический Ван Крсвелена и фрактальный подходы к описанию структуры углей 92
Выводы 98
Глава VI. Механические свойства и структура углей 100
6.1. Концепция квазнравновесных состояний. Эластичность и вязкоупругис свойства углей 101
6.2. Угли, полимерные материалы и теория упругости резин 106
6.3. Сорбционное деформирование углей..., 113
6.4. Описание квазправновесного набухания в газовой фазе и адсорбция на углях 117
Выводы 128
Глава VII. Моделирование набухания углей па основе теории полимерных растворов 131
7.1. Основные положения теории полимерных растворов 131
7.2. О применимости теории набухания полимеров к ископаемым углям 137
7.3. Набухание углей и молекулярная масса их структурных единиц 139
7.4. Набухание углей в газовой атмосфере и структурные единицы углей 146
Выводы 150
Глава VIII Электрофизические свойства углей как природных фракталов 153
8.1 Общая характеристика типичных особенностей взаимосвязи сорбциолных, электрофизических и механических эффектов при газонасыщении углей 153
8.2 Фрактальное моделирование проводимости газонасыщенных углей 157
8.3 Диэлектрические свойства углей как мультифрактальных структур... 163
Выводы 172
Заключение 175
Литература 178
- Роль взаимодействий в угольном веществе и идеи скейлиига
- Фрактальный дробовой шум сорбционных процессов в газонасыщенных углях
- Размерности множеств: топологическая, фрактальная - Минковского и Хаусдорфа
- Основы современной теории полимеризации. Скейлинг в полимерных системах
Введение к работе
Актуальность работы. В современном естествознании практически исчерпан потенциал теоретических представлений, методов математического моделирования и экспериментальных методов исследований свойств физических объектов, основанньж на моделях с высокой степенью регулярности структуры.
Угольные месторождения образовались в процессах эволюции земной коры из растительных форм жизни. Соответственно, все каменные угли современной эпохи генетически относятся к системам, построенным из больших молекул с преимущественным содержанием в них атомов углерода. В связи с этим закономерно возникает предположение о принадлежности каменных углей к классу материалов естественного происхождения с неупорядоченной сложной структурой, сформировавшейся по законам, управляющим процессами структурообразования в высокомолекулярных системах, подобньж полимерам. Начало такому взгляду на природу каменных углей было положено в работах Ван Креве-лена, в которьж он естественным образом был ограничен теми представлениями о таких системах, которые тогда существовали. Следует подчеркнуть, что возникновение этой концепции стимулировалось не только соображениями сугубо теоретического характера. В ее пользу свидетельствовал ряд наблюдаемых явлений, типичных для полимерных систем. Отметим только два из них. Во-первьж, это набухание угля в газовых и жидких средах. Во-вторых, это вязко-упругие свойства углей. Специфика всех полимерных систем связана с энтропийным происхождением многих их свойств. Конкуренция эффектов нестохастического характера (например, механических), статистика, а тем самым энтропия конформа-ций полимеров порождает большое разнообразие таких свойств полимеров, которые резко отличают их от других, неполимерньж, систем и очень важны для решения многих научных и прикладных задач. Заманчиво предположить, что широкий спектр разнообразных и нередко до сих пор загадочных свойств ископаемых углей объясняется аналогичными причинами.
В последнее время выяснилось, что процессы структурных изменений в полимерах имеют глубокое сходство с фазовыми превращениями второго рода, в отношении которьж удалось разработать адекватные методы их математического описания и анализа. Они успешно заменили собой ранее существовавший метод эффективного среднего поля, оказавшийся некорректным в окрестности критических состояний из-за пренебрежения им флуктуациями, играющими на самом деле в этой области главную роль. Это, прежде всего, скейлинговые методы (методы масштабной инвариантности), оперирующие универсаль-
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ }. ЕНМЯОГСкА I
ными критическими показателями, представлениями теории перколяции (протекания) и фрактальными представлениями. Моделирование структурной иерархии ископаемых углей и обуславливаемых ею физико-химических и технологических свойств на основе перечисленных методов актуально как обеспечивающее развитие фундаментальньж научных представлений о процессах углефикации, формировавших свойства углей, а также понимание природы этих свойств и возможностей их практического использования.
Исследования в рамках настоящей диссертационной работы проводились при поддержке Российского Фонда Фундаментальньж Исследований (проекты №№ 94-05-16403, 96-05-64814, 99-05-65468, 02-05-65008), что подтверждает ее актуальность и фундаментальное значение.
Цель работы - обоснование и разработка математических моделей и методов моделирования свойств ископаемых углей и процессов, протекающих в них, на основе использования принципов фрактальной геометрии и теории перколяции.
Научная новизна. Автором получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
Разработан подход к моделированию строения вещества ископаемьж углей в ряду метаморфизма.
Фрактальное моделирование распространено на диагностику ударо- и выбросоопас-ньж состояний пласта.
На основе пуассоновских импульсных процессов развит подход к моделированию сорбционньж процессов, рассматриваемых как мономолекулярные реакции.
Установлен универсальный скейлинговый характер зависимости мольного вьжода продуктов растворения угля от их молекулярной массы. Уточнены положения теории поликонденсации для ископаемьж углей: определены параметры теории, устранен произвол в выборе среднего числа функциональных групп в одном мономере высокомолекулярного скелета структуры угольного вещества, а также в определении глубины реакции полимеризации и ее усредненной степени.
Обоснована необходимость формирования нового научного направления - фрактальной реологии углей, задачей которой является моделирование процессов их набухания в различных газах и жидкостях и вязкого течения углей под нагрузкой с учетом фрактального скейлинга.
Получено уравнепие, определяющее зависимость параметра Флори от числа элементарных звеньев структурных единиц угольного вещества и найдены значения этого параметра для набухания углей в газах. Выведен модифицированный аналог квазиравновесного уравнения Флори-Ренера.
7. Построены кластерные модели электрофизической структуры газонасыщенных углей. Установлен фрактальный характер сорбирующей составляющей внутреннего объема угля и определена ее размерность.
Обоснованность и достоверность научных положений и выводов обеспечены корректным анализом большого объема опубликованных экспериментальных данньж о свойствах ископаемьж углей с аргументированным обобщением результатов анализа в форме постановки принципиально важных новьж вопросов в области актуальных научных проблем создания адекватных моделей ископаемьж углей и протекающих в них процессов. Научные положения диссертации основаны на фундаментальных принципах теории сложных систем и процессов их самоорганизации, теории меры и теории размерности множеств. Физические аспекты поставленных задач согласованы с фундаментальными принципами термодинамики деформирования твердотельных систем, современной физики фазовых превращений в сложных неупорядоченных системах, базирующейся на представлениях теории перколяции, и теории полимерных систем.
Научная и практическая значимость работы состоит в разработке фундаментальных основ мультифрактального описания структуры ископаемьж углей и процессов, протекающих в них, и в обосновании принципиально новьж подходов к решению задач управления технологическими процессами добычи и переработки ископаемьж углей. Научные положения, выносимые на защиту
обоснование математической модели структурной организации ископаемьж углей как полимероподобной масштабно инвариантной сетчатой системы - продукта фазового превращения второго рода типа золь-гель превращения; построение моделей сорбционньж процессов в случайно неоднородных средах на основе импульсных пуассоновских процессов.
разработка фрактальных моделей физико-химического механизма разупрочнения угля при набухании в жидкостях и газах, учитывающих взаимодействие компонентов, обусловленное их смешением и упругостью сетчатой структуры.;
определение фрактальных параметров электрофизических процессов, протекающих в ископаемьж углях при перераспределении газов, па основе кластерных моделей структуры углей, представляемой в виде стохастической сетки резисторов и стохастического соединения большого числа элементарных емкостей; Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и
обсуждались на международньж и российских конференциях и семинарах: V Всероссийском симпозиуме РАН «Современные теоретические модели адсорбции в пористых средах». (Москва, 1999); международной конференции 8th Coal Geology
Conference (Prague, 1998); международньж конференциях «Prospects for Coal Science in the 21 Century. X Coal Science». (Тайюань, Китай. 1999); XXVIIth Congresse AMPERE. (Казань, 1994), а также иа научных семинарах кафедры физики МГГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 научных работ, в том числе 1 монография.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы из 202 наименований. Диссертация содержит 17 рисунков и 10 таблиц.
Роль взаимодействий в угольном веществе и идеи скейлиига
Относительно высокая растворимость углей стимулирует постановку вопросов о природе связей в ископаемых углях. В связи с этим важно отмстить, что еще к началу 80-х гг. большинство исследователей считало, что сетки угольного вещества существуют исключительно благодаря ковалентним связям, к которым примешивается малая доля ионных связей в низкосортных углях. Однако в последние годы выяснилось, что нековалентные связи играют существенную роль в формировании различных элементов структуры угольного вещества [17]. Это в свою очередь поставило под сомнение правильность идей о моделировании структуры угольного вещества с помощью традиционных представлений о процессах поликопдснсацни [15, 16]. Поэтому возник принципиально важный вопрос о существенности учета детальных особенностей молекулярных процессов, ответственных за формирование типичных форм организации угольного вещества. При отрицательном ответе на этот вопрос, оснований к которому накапливается все больше и больше, единственная конструктивная возможность продвижения вперед может обеспечена только на пути использования идей симметрии, о чем убедительнейшим образом свидетельствуют многие крупные достижения естествознания прошлого века и начата нынешнего.
Вес угли принадлежат к природным объектам со сложным неупорядоченным строением, имеющим не один масштабный уровень реализации. Поэтому естественно предполагать перспективность использования для их описания комплекса современных математических идей (возникших сравнительно недавно), появившихся в связи с обнаружением реального существования в природе так называемых фрактальных структур и процессов. Для них самой главной типологической симметрией является масштабная инвариантность (существование подобия в некоторой области пространственных координат - для структур, и в некотором диапазоне времени - для процессов), называемая также скейлннгом. Одно из главных положений настоящего исследования состоит в доказательстве эффективности анализа свойств углей согласно правилам этого подхода.
Противоречивость сложившихся взглядов на строение углей подробно описана в работах [8, 15, 16]. Структура углей при всех известных способах ее наблюдения не укладывается в простейшие геометрические схемы.
В поисках выхода из этого непростого положения в свое время было предложено отнести угли к отдельному классу сложных систем с нерегулярным чередованием в их структуре скоплений разнообразных полимеров различного строения случайным образом распределенных в объеме угольного вещества [9]. Фактически это означало признание того, что в углях, помимо молекулярного, существует следующий за ним, более крупный, масштабный уровень их структуры, формирующий так называемую надмолекулярную организацию углей. Ее образуют достаточно большие группировки макромолекул, геометрические характеристики которых (размеры, форма, взаимное расположение) подвержены флуктуациям. В целом такие группировки образуют аморфную часть макромолекулярной структуры угля, в которой, тем не менее, могут быть отдельные участки (молекулярные ассоциаты) с относительно высокой упорядоченностью строения, близкого к кристаллитному.
Существование надмолекулярной структуры подтверждается данными рентгеновского анализа [18], в которых обнаружены большие периоды отражения рентгеновского излучения. Они свидетельствуют о том, что "такие крупные образования, как макромолекулы или даже группы макромолекул с входящими в них ароматическими конденсированными углеродными сетками, гидроароматическими цепочками, различными функциональными группировками и т.п., могут быть так ориентированы друг относительно друга, что образуют собственную упорядоченную структуру" [9]. Таким образом, надмолекулярной организации углей свойственны структурные элементы, подобные тем, которые наблюдаются в сравнительно простых полимерных системах.
То же самое подтверждается данными электронной микроскопии углей. Этим методом установлено, что в веществе угля имеются надмолекулярные образования глобулярного типа с линейными размерами порядка 10 -г- 100 им. Известно, что такие структурные элементы могут возникать из полимерных цепочек. В [9] отмечается, что наличие таких соединений в "макромолекулярной структуре углей дает возможность макромолекулам как бы сворачиваться вследствие превосходства сил внутримолекулярного взаимодействия над силами межмолекулярного, а также в результате достаточно высокой гибкости макромолекул в этом участке. Образуются глобуло подобные структуры, являющиеся аморфной частью надмолекулярной структуры".
Подчеркнем, что, несмотря на сложность и нерегулярность макромолекулярной структуры углей, причем независимо от степени их метаморфизма, во всех углях существуют структурные единицы, обнаруживаемые различными способами [9]. Сравнительно недавно для учета неоднородности строения структурных единиц было предложено использовать химические модели ОМУ. В них структура конструируется из достаточно больших блоков с молекулярной массой М до 2000 и выше, включающих 3 -10 типичных первичных кластеров с М = 200 -г- 450 [18-21]. Такая логика снова приводит к необходимости учета существования многих масштабных уровней структурной организации вещества угля и еще раз указывает на перспективность применения в исследованиях его строения фрактальных методов.
Вместе с тем рассмотренные представления о структуре и общих свойствах углей достаточно противоречивы и трудно поддаются согласованию в рамках единой концепции. Такая концепция в известном смысле должна строиться заново, а формулировка се исходных положений вызывает необходимость глубоко вникнуть в общие вопросы проблемы рационального изучения сложного объекта.
На основании анализа литературных данных составлен обзор сложившихся представлений о структуре и свойствах ископаемых углей. Рассмотрены вопросы согласования экспериментальных данных, в рамках представлений о физической, органической и неорганической составляющих строения угольного вещества. Отмечена видимая противоречивость основных гипотез происхождения органической массы углей и особенностей ее структуры: низкомолекулярной, коллоидной и высокомолекулярной. В качестве актуальной и принципиально важной задачи современной науки о природных углях сформулирована проблема аутореферентности - создания адекватного формализма их описания, т.е. их математического моделирования, исключающего кажущуюся несогласованность и противоречивость различных аспектов исторически сформировавшихся представлений о структуре углей. 2. Сформулировано положение о наиболее перспективном направлении реше ния проблемы ауторефсрентности, сочетающем идеи о высокомолекулярной природе унифицированных сред и качественном сходстве их структур с полимерными систе мами. Предложено использовать новейшие достижения в физике и химии полимеров, учитывающие принципиально важную роль флуктуации в фазовых превращениях типа золь-гель фазовых переходов, ответственных за образование сложных стохастических сетчатых структур в высокомолекулярных системах. 3. Показано, что при моделировании структуры углей необходима модернизация представлений о среднестатистических структурных единицах с учетом специфики структурных особенностей угольного вещества на различных масштабных уровнях. Обоснована бесперспективность подходов к изучению и моделированию сетчатых об разований в угольном веществе, концентрирующихся на установления специфики раз личных связей в высокомолекулярных сетках. Показана необходимость использования методов описания, основанных на идеях симметрии подобия (масштабной инвариант ности или скейлинга), свойственной сложным системам с многими масштабными уровнями их стохастической структурной организации вплоть до ее надмолекулярной формы. При столь радикальной методологической перестройке неизбежно обращение к фундаментальным основам геометрии и физики фракталов, по определению самопо добных в самом общем смысле (с размерностями подобия необязательно равным целым числам).
Фрактальный дробовой шум сорбционных процессов в газонасыщенных углях
Проблемы моделирования сложных систем неупорядоченного строения и протекающих в них процессов связаны с вопросом установления принципиальной роли флуктуации. Одно из направлений исследования этого вопроса основано на результатах изучения импульсных процессов. Во-первых, оно наиболее просто. Во-вторых, имеет прямое отношение к задачам формальной и диффузионной кинетики. Эти задачи имеют важное значение для моделирования свойств газонасыщенных углей, что объясняется необходимостью учета особенностей транспорта компонентов таких систем и взаимодействий компонентов, формально допускающих описание в терминах теории диффузионно-контролируемых химических реакций, простейший вариант которой построен для мономолекулярных реакций.
Стандартной моделью мопомолскулярной реакции является поглощение диффундирующих частиц неподвижными стоками (ловушками). Для описания кинетики таких процессов (без учета флуктуации) достаточно задания двух параметров: коэффициента диффузии D (характеризует транспорт подвижной компоненты) и константы скорости реакции к ( определяет скорость собственно химического превращения при взаимодействии частиц с ловушками). Влияние флуктуации проявляется как па стационарных, так и нестационарных стадиях реакции. В частности, достаточно хорошо исследована роль флуктуации начальной плотности реагентов. На больших временах, когда концентрация подвижного компонента мала, в кинетике реакции основную роль играют большие полости в расположении ловушек: сами по себе они маловероятны, но их вклад в затягивание кинетики существенен. Они определяют асимптотику кинетических закономерностей, обнаруживающих при больших временах фрактальный характер. В то же время стабильные ловушки можно рассматривать как специфическое свойство материала, определяемое особенностями его структуры. Это означает, что при учете флуктуации рассматриваемую систему можно считать неупорядоченной или неоднородной средой, для описания которой необходимо использование фрактальных представлении. Одна из таких возможностей реализуется путем придания константе скорости мопомолскулярной реакции смысла случайной величины [45-47].
Эта модификация особенно интересна в связи с проблемами моделирования сорбции на углях и, в частности, сорбции газов в условиях капилляроподобной конденсации их вещества в объеме углей. В этих условиях угли значительно разупрочия-ются, что сопровождается достаточно резким изменением их электрофизических свойств. Объяснение этих эффектов с помощью кинетической теории прочности приводит к необходимости предполагать существование в структуре углей связей, способ-пых разрываться в сорбционных процессах. Очевидно, что энергия разрыва не может не зависеть от случайных стерических напряжений и от хаотически распределенных в угле гетероатомов, т.е. эта энергия также является случайной величиной. Следовательно, при формальном отождествлении процессов разрыва связей с реакцией химического характера, константа се скорости должна считаться случайной величиной. Кроме того, и энергия сорбции на отдельных центрах становится случайной величиной, порождая фрактальный характер сорбционных процессов. Важно подчеркнуть, что стандартные методы диффузионной кинетики, использующие диффузионное приближение, сглаживают флуктуации. Поэтому нужны специальные приемы для построения флуктуационной кинетики. Целесообразно оставаться в рамках полностью дискретных стохастических процессов (или полунепрерывных), характеризуемых корреляционными функциями или их спектральными плотностями. Здесь появление стохастичности в константе скорости должно обусловить специфичность низкочастотных областей спектра случайной величины, описывающей число частиц в системе. Она известна как флнккер-шум и может быть связана с фрактальными характеристиками среды.
Прежде всего, остановимся на смысле представления о константе скорости как случайной величины, В общей теории днффузионно-контролирусмых реакций константа скорости является функцией времени [48]. Обычно предполагается, что такая зависимость обусловлена относительной медленностью транспорта реагентов по сравнению со скоростью реакций, в которых они участвуют. Однако любое разупорядоче-ние в их системе (геометрическое, энергетическое, временное) приводит к неопределенностям в задании константы скорости как функции времени. Это нетрудно увидеть, представив коэффициент диффузии в виде D = зг / г, где хг - среднеквадратичное смещение диффундирующей случайными прыжками элементарной единицы реагента за характерное время прыжка г. Процесс перемещения можно рассматривать как мономолекулярную реакцию с константой скорости к = ]/т. Тогда D = jr к [49]. Фрактальные свойства системы реагентов могут оказывать влияние па зависимость от времени как величины [31], так и величины к [47, 50]. Поэтому фрактальные системы играют важную роль в установлении характерных особенностей кинетики реакций с различным перемешиванием [50], в которой происхождение аномалий кинетических закономерностей связывают с константой скорости реакции, зависящей от времени по закону где параметр а определяется фрактальной размерностью системы,
Величина параметра or зависит от характера разупорядочения в системе, и необходимы модели, показывающие возможные варианты его генезиса. Возможные модели относительно просто устанавливаются на классе пуассоновских импульсных процессов [51]. В связи с этим подчеркнем, что в [45] была показана тесная связь дробового шума, процессов рождения - гибели и задач формальной кинетики. Особенно сен фрактальный дробовой шум, позволяющий раскрыть важное значение фрактальной идеологии в кинетике химических реакций [52].
Главное преимущество выбранных импульсных процессов проявляется в возможности рассмотрения химических процессов, не прибегая к общей теории случайных функций. При этом обходится трудность построения приближенных моделей на базе стохастических дифференциальных уравнений [53, 54], когда детерминированное движение и флуктуации имеют независимое происхождение. Кроме того, с помощью пуассоповских потоков [55, 56] можно изучать такие импульсные процессы, в которых параметры пуассоновского процесса являются случайными величинами.
Представление о фрактальном дробовом шуме возникло при изучении закономерностей импульсного образования массы М(() фрактального объекта внутри некоторого объема за, происходящего в результате дискретного накопления отдельных порций каждая из которых формируется в виде импульса с началом по времени в момент /„, длительности О„, с амплитудой тп и форма которого задается нормированной.
Размерности множеств: топологическая, фрактальная - Минковского и Хаусдорфа
В проблеме математического описания фракталов естественно использовать концепции общей теории систем. На пути к этим концепциям постулируется [35], что физические процессы в самой отвлеченной форме описываются в терминах операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические объекты. Сложность физических объектов и явлений требует использования математических моделей, оперирующих своими специфическими объектами, причем эти объекты могут быть не очень четко определены [60, 61]. Фракталы являются именно таким объектами, что требует внимательного обсуждения математического аппарата фрактальной идеологии.
Возникновение понятия фрактала связано с существенным расширением представлений о геометрии природы, одним из объектов которой являются каменные угли. За последние 10 - 15 лет выяснилось, что для описания многих структур природного происхождения недостаточны привычные геометрические формы, присущие традиционной евклидовой геометрии и ее обобщениям в виде соответствующих метрических аналогов. Для последних свойственны представления о множествах точек, о гладких линиях, поверхностях и сплошных объемах, размерности которых нелочис-лепны. В настоящее время стало ясно, что помимо таких форм реально существуют другие, качественно отличные от первых своей нецелочисленпой размерностью. Они были названы геометрическими фракталами, а их дробные размерности, получившие название фрактальных размерностей, являются важнейшими характеристиками таких необычных форм.
Понятие абстрактного множества является первичным. Поэтому оно строго неопределимо, т.е. несводимо к каким-то другим представлениям, признаваемым очевидными. Множеством принято называть «объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых пашей интуицией или нашей мыслью» [26, 62]. Эти объекты называются элементами множества. Если их ограниченное число, то множество называется конечным. Все остальные множества бесконечны, Сравнение таких множеств производится с помощью понятия мощности. Среди них различают счетные и несчетные множества, Первые имеют ту же мощность, которую имеет множество всех натуральных чисел. Мощность несчетных множеств равна мощности континуума (например, всех действительных чисел)
При построении теории фракталов самым важным является вопрос о размерности множеств. Этот вопрос решается с помощью операций покрытия и разбиения.
Покрытием множества М называется семейство подмножеств этого множества, объединение которых совпадает с исходным М [35, 62]. Покрытие превращается в разбиение, если каждый элемент М точно находится только в одном из подмножеств, представляющих разбиение. Эти подмножества называются классами разбиения.
Представление о фрактальной размерности опирается на понятие дробной производной. Отсюда следует необходимость уяснения общих концепций, позволяющих ввести понятие предельного перехода. Именно оно лежит в основе таких фундаментальных для анализа операций, как дифференцирование и интегрирование.
Понятие предельного перехода основано па возможности измерять расстояние между точками вещественной оси. При обобщении на многомерное пространство вводится понятие метрического пространства. Так называют совокупность объектов, для которых указаны взаимные «расстояния», удовлетворяющие некоторым естественным условиям. Наличие расстояний позволяет ввести и изучить свойства предельного перехода независимо от природы элементов, участвующих в этом построении [63].
Тем не менее, в наиболее общей форме изучением предельных переходов и непрерывностью занимается топология. Это важно подчеркнуть в связи с тем, что реальное существование фрактальных структур обнаружилось в результате исследования нелинейных явлешш, где широко применяются геометрические образы и представления. Особенно важными оказались исследования преобразований геометрических фигур в плоскости и пространстве и выяснение свойств фигур, сохраняющихся при таких преобразованиях. При этом выяснилась ограниченность чисто геометрических методов и необходимость обращения к группе топологических преобразований [64]. Топология, выделившись из геометрии, занимается изучением инвариантных свойств фигур при гомеоморфных преобразованиях. Важно отмстить, что в «резиновой геометрии», допускающей растяжения, сжатия и другие непрерывные преобразования, встречающиеся при обсуждении фракталов, теряет смысл измерение углов, длин и площадей. Основными становятся понятия окрестности и открытого множества [64]. Эти понятия приобретают в топологии свою специфику.
Фундаментальные понятия теории метрических пространств (предельная точка, сходимость последовательности точек, непрерывность отображения и т.п.) исходят понятия метрики, но могут быть описаны исключительно в терминах открытых множеств (окрестностей точек). Поэтому ключевой становится идея считать исходным понятием само семейство открытых множеств [62]. При этом вводятся определенные аксиомы, отражающие основные свойства семейства открытых множеств метрического пространства, и вводится фундаментальное общее понятие топологического пространства [65].
Конструирование понятия топологического пространства производится с помощью понятия топологическая структура (топология) и опирается на аксиомы топологии. Вводится в рассмотрение произвольное множество X и некоторое семейство его подмножеств т = {[/,; і є 1} (множество / произвольной мощности). Говорят, что семейство т задает топологию, если это семейство удовлетворяет трем условиям, называемым аксиомами топологии: все множество Л" и пустое множество 0 принадлежат семейству г; объединение любого семейства множеств из г также принадлежит семейству г; пересечение конечного числа множеств из гтакже принадлежит г. Множество А , рассматриваемое вместе с заданной в А" топологией г, называется топологическим пространством (как правило, обозначается в виде пары (А г)). Элементы множества А называются точками, а подмножества U,, принадлежащие семейству г, - открытыми множествами этого топологического пространства. Семейство т всех открытых множеств метрического пространства является топологическим пространством (X, р). Оно задаст в А топологию, называемую метрической топологией. Любое евклидово пространство R" также является топологическим, а его топология называется обычной или евклидовой [65]. Основные требования, необходимые при физическом подходе к введению такого важнейшего понятия фрактальной идеологии, как размерность множества [66], связаны с понятием гомеоморфизм, которое использует понятие непрерывного отображения и вводится следующими определениями [65]:
Основы современной теории полимеризации. Скейлинг в полимерных системах
До сих пор основное внимание уделялось вопросам специфики физико-химических явлений в области промежуточной асимптотики, происходящих в унифицируемой среде и определяемых только ее внутренними степенями свободы. В природных условиях, а также в производственных процессах угледобычи эта среда па самом деле не является изолированной системой. Она представляет собой часть гораздо большего по сравнению с самой собой образования, обычно называемого углепород-ным массивом, разные составляющие которого оказывают влияние друг на друга. Поэтому согласно общим принципам теории систем углепородный массив естественно рассматривать как открытую иерархическую, т.е. самоорганизующуюся систему, в которой ее отдельные части стремятся вести себя подобно целому [82]. Следовательно, структурам, вмещающим природные угли, должны быть свойственны те же типологические черты, которые характерны для углей; эти структуры должны обладать свойствами самоподобия. Другими словами, с учетом определения фрактала по Б.Мандельброту, углепородные массивы можно рассматривать как природные стохастические фракталы существенно макроскопических размеров. При этом проявления самоподобия на различных масштабах могут быть специфичными и требуют специального анализа.
Проблемы изучения свойств углей восходят к задачам гсотсхнологии, связанным с управлением состоянием массивов горных пород. Фундаментальным вопросом проблем управления является разработка адекватных моделей горного массива и протекающих в нем процессов [83, 84].
В настоящее время в горной науке господствует представление о горном массиве как о системе с распределенными параметрами [85]. При таком подходе адекватное моделирование массива должно осуществляться методами физики сплошных сред. В этом случае горный массив отождествляется с твердой деформируемой средой с различными разрывами сплошности, в которых могут аккумулироваться газы и жидкости. Тем самым априори принимается, что в процессах, протекающих в горном массиве, участвует очень большое число степеней свободы. Последнее означает, что такой способ моделирования с необходимостью предполагает полевую форму описания процессов, что приводит к серьезным трудностям анализа геомеханической обстановки в нетривиальных практически важных случаях. Возможность существенного упрощения проблемы связана с использованием модельных систем с сосредоточенными параметрами, имеющих сравнительно небольшое число степеней свободы. Такие модели представляют особенно большой интерес при рассмотрении резко нерегулярных изменений состояния массива, характерных для процессов формирования опасной геомеханической обстановки, В этом отношении представляется перспективным использование методов теории нелинейных динамических систем, в которых происходят диссипативные процессы. В этих случаях на больших временах (/ - оо), детерминированная динамика дисеппативного нелинейного процесса в условиях неизолированности системы, в которой процесс протекает, имеет, по крайней мере, один аттрактор [28, 85, 86]. Нелинейный и диссипатнвный характер явлений и процессов в горных породах с практической точки зрения обусловлен, прежде всего, процессами разрушения, пластического деформирования и переноса. Нслзолировашюсть ближайших окрестностей горных выработок очевидна, а детерминированность динамики массива заключается в том, что фундаментальные уравнения движения массива не содержат случайных величин.
Аттрактором является притягивающее компактное подмножество в пространстве состояний изучаемой системы, имеющее достаточно низкую размерность, к которому при / - оо стремятся вес фазовые траектории системы из некоторой окрестности аттрактора. Соответственно, на состояния па аттракторе не оказывают прямого влияния различные начальные состояния системы [86]. Существование аттрактора означает, что для эффективного описания сложной системы вполне достаточно сравнительно небольшого числа величин, характеризующих ее поведение в состояниях из окрестности аттрактора. Число п этих величин определяет размерность фазового пространства, в которое аттрактор может быть целиком вложен. Другой важной величиной является размерность v самого аттрактора. Определение этих размерностей и установление их смысла оказывается задачей принципиального значения для разработки сравнительно простого моделирования процессов изменения состояния породных массивов вблизи горных выработок.
Значение п всегда целочисленно. Оно определяет количество величин, достаточных для сравнительно простого моделирования временной эволюции состояния породного массива. Значение v может быть как целочисленным, так и дробным. В последнем случае аттрактор имеет фрактальное строение с дробной размерностью v (размерность Хаусдорфа). Фрактальные или странные аттракторы ответственны за возникновение хаотической динамики [28, 85, 86]. В режиме детерминированного хаоса существует очень сильная зависимость от начальных условий: любые две первоначально близкие траектории на странном аттракторе со временем расходятся по экспоненциальному закону. Из-за этого динамика приобретает неустойчивый и тем самым непредсказуемый характер.
Есть серьезные основания предполагать, что именно в этом состоит причина формирования опасных ситуаций в горных выработках (удароопасности или выбросоопасности) [83]. Это же предположение приводит к выводу о самоподобии таких явлений и позволяет построить математическую модель, описывающую это свойство. В каждой конкретной обстановке как правило ясен смысл хотя бы одной из характерных величин (смешение участка границы выработки, скорость газовыдсления и т.д.). В результате регистрации ее значений в разные моменты времени формируется временной ряд, который содержит в себе достаточно богатую информацию обо всех других переменных и позволяет определить размерности лиг [87]. Метод определения заключается в следующем [88-90].
