Математическое моделирование механизмов параллельной структуры типа додекапод Данг Суан Хиеп

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Обзор роботов для перемещения в трубах и методов их проектирования 10

1.1 Классификация параллельных механизмов 10

1.1.1 Робот с тремя степенями свободы 12

1.1.2 Робот с шестью степенями свободы 13

1.2 Обзор классических внутритрубных роботов 14

1.2.1 Колесные роботы 16

1.2.2 Винтообразные роботы 18

1.2.3 Змеевидные роботы 19

1.2.4 Шагающие роботы 20

1.3 Трубные роботы параллельной структуры 21

1.3.1 Внетрубный робот 23

1.3.2 Трубный робот 23

1.3.3 Робот типа додекапода Саяпина- Синева 24

1.4 Выводы по первой главе 29

ГЛАВА 2. Математическое моделирование кинематики додекапода и построение его рабочего пространства 31

2.1 Определение числа степеней свободы додекапода 31

2.2 Кинематический анализ

2.2.1 Обратная позиционная задача 34

2.2.2 Прямая позиционная задача 37

2.2.3 Ориентация платформы 39

2.3 Рабочее пространство додекапода 40

2.3.1 Алгоритм конечномерной аппроксимации рабочего пространства додекапода 40

2.3.2 Объем рабочего пространства 43

2.4 Выводы по второй главе 44

ГЛАВА 3. Математическое моделирование динамики додекапода 46

3.1 Математическое обоснование 46

3.2 Динамический анализ шарниров 50

3.3 Динамический анализ штанг 52

3.4 Математическое моделирование динамики додекапода средствами системы Matlab Simulink 55

3.5 Выводы по третьей главе 64

ГЛАВА 4. Синтез алгоритмов движения додекапода в прямолинейных, криволинейных и пересекающихся цилиндрических трубах 65

4.1 Прямолинейные трубы постоянного сечения 65

4.2 Прямолинейные трубы переменного сечения 66

4.3 Криволинейные трубы постоянного сечения 73

4.4 Самопересекающиеся трубы постоянного сечения 79

4.5 Выводы по четвертой главе 80

ГЛАВА 5. Программный комплекс «додекапод» 81

5.1 Структура комплекса 81

5.2 Решение позиционной задачи

5.2.1 Решение прямой позиционной задачи 82

5.2.2 Конечномерная аппроксимация рабочего пространства 84

5.2.3 Вычисление объема рабочего пространства додекапода на основе его конечномерной аппроксимации 87

5.3 Моделирующий модуль 88

5.3.1 Simulink динамическая модель додекапода 88

5.3.2 SolidWorks динамическая модель додекапода 91

5.4. Выводы по пятой главе 96

Заключение 98

Список литературы

• Обзор классических внутритрубных роботов
• Прямая позиционная задача
• Математическое моделирование динамики додекапода средствами системы Matlab Simulink
• Самопересекающиеся трубы постоянного сечения

Введение к работе

Актуальность исследования. Трубопроводные системы играют важную роль в энергетическом комплексе страны. Примерно 23 % отказов трубопроводов приходится на долю дефектов геометрии типа овал, вмятин, гофр и других дефектов, которые приводятся к изменению проходного сечения трубопроводов.

Исследованиями в области диагностики трубопроводов занимались и занимаются много организации и диагностические центры России: институт машиноведения им. A.A. Благонравова РАН (ИМАШ РАН), институт прикладной математики им. М.В. Кельдыша РАН (ИПМ РАН), институт механики МГУ, московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана и другие научные центры России. Теоретические основы проблем трубопроводного транспорта отражены в трудах Глазунова В.А., Градецкий В.Г., Князьков М.М., Афонин В.Л., Яцун С.Ф., Саяпин С.Н., Синев А.В., Ющенко А.С., Eckart Uhlmann, Prakash Bande, Aracil R., Amr Bekhit и многих других ученных.

В 2013 г. в России был запатентовано новое транспортное средство для перемещения по внутренним поверхностям труб, получившие наименование «додекапод» (патент РФ на изобретение № 2475909). По сравнению с известными манипуляторами параллельной структуры, додекапод не только имеет большее рабочее пространство, но и способен самоперемещаться по внутренним (и наружным) поверхностям труб. Диссертационная работа посвящена исследованию этого нового и перспективного класса механизмов параллельной структуры. До настоящей работы такие исследования не проводились.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей параллельного механизма типа додекапода для исследования на их основе кинематики и динамики, а также разработка алгоритмов движения в цилиндрических трубах разных видов.

Задачи диссертационной работы. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Выполнить анализ конструкции следующих платоновых тел: тетраэдр,
октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдра. С использованием результатов этого
анализа обосновать целесообразность разработки нового класса внутритрубных
роботов параллельной структуры на основе додекапода.

1. Разработать математические модели, методы, алгоритмы и программное обеспечение для решения прямой и обратной позиционных задач кинематики односекционного манипулятора параллельной структуры типа додекапод, а также для определения рабочего пространства этого манипулятора и его параметров.

2. Разработать математические модели, методы, алгоритмы и программное обеспечение для решения задачи динамического анализа додекапода.

4. Разработать алгоритмы движения додекапода в цилиндрических трубах следующих типов: прямолинейные трубы постоянного и переменного сечений; криволинейные трубы; пересекающиеся под прямым углом трубы. Найти условия прохождения додекаподом указанных труб.

5. Разработать трехмерную динамическую Solidworks модель додекапода, позволяющую моделировать и визуализировать движение додекапода в трубах.

6. Разработать программный комплекс, реализующий разработанные в
диссертации математические модели, методы и алгоритмы. С помощью этого
комплекса провести вычислительные эксперименты по исследованию
эффективности разработанного математического, алгоритмического и
программного обеспечения.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является новый механизм параллельной структуры типа додекапода. Предметом исследования являются разработка и исследование эффективности моделей, методов и алгоритмов для исследования кинематики и динамики нового механизма параллельной структуры типа додекапод.

Методология и методы исследования. При выполнении исследований и решении поставленных задач использовались научные положения теоретической механики и робототехники, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, глобальной оптимизации.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Разработаны математические модели кинематики и динамики нового механизма параллельной структуры тип додекапод. Разработаны процедуры кинематического анализа додекапода. Предложен метод решения прямой позиционной задачи додекапода путем сведения ее к задаче нелинейного программирования и решения последней гибридным методом на основе оптимизации роем частиц и мультистарта.

2. Разработан метод построения конечномерной аппроксимации рабочего пространства додекапода и на этой основе метод вычисления объема этого пространства.

3. На основе формализма Лагранжа разработаны процедуры
динамического анализа додекапода. Получены обыкновенные
дифференциальные уравнения, описывающие линейные и угловые скорости и
ускорения шарниров и штанг додекапода, а также выражения для усилий в
штангах додекапода.

4. Выполнен синтез алгоритмов движения додекапода в следующих типах
цилиндрических труб: прямолинейные трубы постоянного и переменного
сечений; криволинейные трубы постоянного сечения; пересекающиеся трубы.
На этой основе разработаны математические модели движения додекапода в
указанных типах труб.

Соответствие диссертации паспорту специальности. Работа
соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое

моделирование, численные методы и комплексы программ»:

п.1 - Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности.

п.2 - Разработка, исследование и обоснование математических объектов, перечисленных в формуле специальности.

п.4 - Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ.

п.5 - Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Практическая значимость диссертации состоит в следующем.

1. Разработано математическое, алгоритмическое и программное
обеспечение, предназначенное для

кинематического анализа додекапода (решение прямой и обратной задач кинематики),

построения конечномерной аппроксимации рабочего пространства додекапода и вычисления объема этого пространства,

динамического анализа додекапода (определение линейных и угловых скоростей шарниров и штанг додекапода, а также усилий в штангах додекапода).

2. Разработано математическое, алгоритмическое и программное
обеспечение для синтеза алгоритмов движения додекапода в прямолинейных
трубах постоянного и переменного сечений, криволинейных трубах
постоянного сечения, а также в пересекающихся трубах.

3. Результаты диссертации использованы при выполнении в ИМАШ РАН
научно-исследовательской работы по теме «Биомеханика систем «человек-
машина-среда».

На защиту выносятся следующие положения.

3. Математические модели, методы, алгоритмы и программы, предназначенные для решения обратной позиционной задачи кинематики односекционного манипулятора параллельной структуры типа додекапод, а также для конечномерной аппроксимации рабочего пространства додекапода и вычисления параметров этого пространства.

4. Математические модели, методы, алгоритмы и программы, предназначенные для решения задачи динамического анализа додекапода. Matlab Simulink математическая модель динамики додекапода.

5. Условия прохождения додекаподом цилиндрических труб следующих типов: прямолинейные трубы постоянного и переменного сечений; криволинейные трубы; пересекающиеся под прямым углом трубы. Алгоритмы движения додекапода в цилиндрических трубах указанных типов. Трехмерная динамическая Solidworks модель додекапода, позволяющая визуализировать его движение в трубах.

6. Структура и функциональность программного комплекса ДОДЕКАПОД.

5. Результаты исследования эффективности разработанного

математического, алгоритмического и программного обеспечения.

Апробация работы. Основные положения диссертации и полученные
результаты докладывались на конференциях: XV Молодежная международная
научно-техническая конференция «Наукоемкие технологии и

интеллектуальные системы 2013»; 16^th International Conference on Climbing and Walking Robots and the Support Technologies for Mobile Machines (CLAWAR), Sydney, 2013; Международная конференция «Физико-математические проблемы создания новой техники» (PhysMathTech-2014); The World Congress on Engineering, London, 2014.

Публикации по теме работы. По результатам исследований опубликованы девять научных работ, пять из которых в периодических изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации научных работ.

Личный вклад работы. Постановка задачи была проведена совместно с научным руководителем. Все результаты работы получены автором лично. Программная реализация разработанных методов и алгоритмов выполнена автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пять глав, заключения, списка литературы. Объем основного содержания работы составляет 118 страниц, включая 3 таблицу, 58 рисунка и список литературы из 113 наименований.

Обзор классических внутритрубных роботов

Привлекательность использования платоновых тел при построении модульных роботов обусловлена тем, что из огромного многообразия многогранников, только они являются правильными, и поэтому модули на основе каждого из них имеют унифицированные элементы и возможность неограниченного наращивания вдоль каждой из граней.

При этом, каркасы тетраэдрной и октаэдрной формы обладают наивысшей жесткостью, а кубической формы – наименьшей. Жесткость додекаэдрных и икосаэдрных каркасов занимает промежуточное положение. Все платоновы тела могут быть вписаны в сферу. Из геометрии известно, что при длине ребра a=2, радиус описанной сферы R составит для тетраэдра RT = г = 1,22, октаэдра R0 = 2 = 1,41, куба RK = 3 = 1,73, додекаэдра 3(i+s) (s-s)(i+s) RД = = 2,2 и икосаэдра RИ = = 1,5. Приведенные значения показывают, что при вписывании платоновых тел в сферы одинакового радиуса, ребро наибольшей длины будет иметь тетраэдр и далее, в сторону уменьшения, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Это означает, что при организации ребер платоновых тел, вписанных в сферу одного и того же радиуса, в виде линейных приводов, наибольший рабочий ход приводов будет у тетраэдра, а наименьший - у додекаэдра. По числу конструктивных элементов, образующих платоновы тела (вершины и ребра) самыми простыми из них являются тетраэдр (4 и 6) и октаэдр (6 и 12), далее следуют куб (8 и 12), икосаэдр (12 и 30) и додекаэдр (20 и 30).

Одним из важных функциональных требований, предъявляемых к интеллектуальным (самоорганизующимся) модульным мобильным робототехническим системам, является их способность образовывать роевые робототехнические системы (swarm systems). От таких систем требуется способность не только к индивидуальному функционированию и обмену информацией друг с другом, но и к самоорганизации в пространственные и линейные активные структуры для коллективного решения задач. Сравнительный анализ модулей, выполненных в виду платоновых тел, показал следующее.

Тетраэдрный модуль способен к самоперемещению по горизонтальной поверхности, но из-за низкого уровня манипуляционных возможностей и неспособности к самоогранизации из подобных себе модулей поверхностных и линейных активных структур. Например, для сборки из тетраэдрных модулей пространственных структур антенных зеркал радиотелескопов, требуется участие человека или специального робота-манипулятора [17]. Поэтому данный модуль, несмотря на самую высокую жесткость, не пригоден для применения в роевых робототехнических системах.

Кубический модуль способен к самоперемещению не только по горизонтальной поверхности, но и вдоль внутренних и наружных поверхностей. Однако из-за самой низкой жесткость среди платоновых тел и большего числа элементов по сравнению с тетраэдрным и октаэдрным модулями, а также из-за низкого уровня манипуляционных возможностей, кубический модуль также не пригоден для применения в роевых робототехнических системах.

Икосаэдрный и додекаэдрный модули способны к самоперемещению по горизонтальной поверхности, а также вдоль внутренней и наружной поверхностям. Такие модули имеют среднюю степень жесткости между тетраэдрным и кубическим модулями, самое большое число элементов и самые малые значения рабочих ходов линейных приводов. Эти обстоятельства существенно снижают их манипуляционные возможности и делают также непригодными для эффективного применения в роевых робототехнических системах.

Наиболее пригодным для применения в роевых робототехнических системах является октаэдрный модуль. Он обладает способностью к самоперемещению по горизонтальной поверхности, а также вдоль внутренней и наружной поверхностям. Октаэдрный модуль имеет высокую жесткость, малое число элементов, высокую степень манипуляционных возможностей и способен к самоорганизации с себеподобными модулями в пространственные и линейные активные интеллектуальные структуры. Данный модуль обладает широким спектром функциональных возможностей, делающим его эффективным при использовании как индивидуально, так и коллективно в составе роевых робототехнических систем.

В результате проведенных исследований была синтезирована базовая концепция адаптивного мобильного пространственного робота манипулятора модульного типа, построенная на основе одного из пяти платоновых тел -октаэдра, названная додекаподом.

Прямая позиционная задача

Размещаем данную схему в подсистему Leg, которая будет иметь порты Base, Top, входы Pos, Velocity и Acceleration и один выход Force.

Так как мы рассматриваем только половину цикла перемещения октаэдра, то подвижной имеет смысл делать только переднюю по ходу движения грань, а заднюю сделать неподвижной. Поэтому порт Base стержней должен подключаться к одному из блоков Ground. Достаточно рассмотреть лишь первую половину цикла, так как вторая абсолютно аналогична, за исключением того, что движется задняя грань вместо передней.

К каждому из стержней передней грани должны подсоединяться по два стержня боковых граней на каждый шарнир и один из соседних стержней. Поэтому исходную структурную схему для этого случая необходимо изменить. Результат модификации представлен на рисунке 3.5.

Также размещаем эту схему в новую подсистему FrontLeg. Для удобства последующих построений объединим подсистемы Leg и FrontLeg в единую библиотеку с названием «Leg».

Предлагаемая схема размещения стержней в октаэдрном модуле показана на рисунке 3.6, где цифрами в скобках обозначены стержни, а цифрами без скобок – вершины. Для удобства последующего задания геометрических размеров и прочих параметров целесообразна именно такая индексация. Стрелками показано направление от нижнего цилиндра к верхнему. Simulink-модель, соответствующая данной схеме, приведена на рисунке 3.7. Рисунок 3.6. Схема размещения стержней додекапода

Рисунок 3.7. Структурная схема модулей Поскольку точек соединений с неподвижной гранью додекапода всего три, то каждые два блока Ground будут иметь одинаковые координаты. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, размещаем их рядом. К одному из блоков Ground подключается блок Machine Environment, который задает условия внешней среды. В частности, устанавливается, что конструкция находится под действием гравитационного поля Земли с силой, направленной по оси OY.

Для задания начальных геометрических размеров октаэдра, положений его вершин и ключевых точек, осей действия шарниров, а также массы и инерции отдельных элементов, удобно использовать M-скрипт, в котором задаются соответствующие переменные. Эти переменные затем указываются в качестве параметров компонентов. Таким образом, можно весьма гибко изменять конфигурацию конструкции, не прибегая к редактированию свойств каждого блока по отдельности.

Сначала задаются радиусы окружностей гь и /у, в которые вписаны передняя и нижняя грани. При этом должно выполняться неравенство /у гь, так как начальное положение робота-манипулятора соответствует сжатой передней грани, готовой к перемещению в пространстве. Далее определяются координаты вершин задней грани по формулам МІ =—v-1), 3 (3.35) Ры=(0 1,cos#. rbsinfii), где / є [1,3]. При этом полагаем, что прямолинейный участок трубы расположен вдоль оси х. Аналогично определяются координаты вершин передней грани. Треугольник, образуемый этими вершинами, повернут относительно заднего треугольника на 60. Расстояние между передней и задней гранью обозначим буквой d. Формулы в этом случае имеют вид

Здесь rev1, rev2 - оси вращения нижнего универсального шарнира; rev3, rev4 -оси вращения верхнего универсального шарнира; cyl - ось цилиндрического шарнира. Для стержней передней грани к индексам этих векторов добавляется буква/

Далее требуется определить характерные точки стержней, в качестве которых используем центры масс нижних и верхних цилиндров, их концы, а также точки соединения цилиндрическим шарниром. Одна концевая точка как верхнего, так и нижнего цилиндра уже известна - это одна из вершин передней и задней граней соответственно. Предполагается присоединять цилиндрический шарнир к центрам масс двух частей стержня, поэтому остается только определить одну концевую точку и центр масс. Соответствующие выражения для стержней боковых граней имеют вид схема стержня, Рисунок 3.8. Характерные точки на штанге

Последний этап заключается в задании масс цилиндров и их тензоров инерции. Для этого предварительно определим три параметра: внутренний радиус rin, внешний rout и плотность . Как уже было сказано ранее, внешний диаметр верхнего цилиндра и внутренний нижнего совпадают. Расчет производится с помощью функции inertiaCylinder(), параметрами которой являются величины , rout , rin. Функция возвращает структуру, содержащую массу и (3Х3) тензор инерции.

Теперь необходимо «прописать» соответствующие переменные в библиотечных подсистемах Leg и FrontLeg. При этом подсистемы маскируются параметром ln, который обозначает соответствующий рисунку 3.6 номер стержня. Таким образом, по номеру можно однозначно определить конфигурацию стержня. Окно параметров шарнира Lower Leg Universal для стержня боковой грани имеет вид, представленный на рисунке 3.9.

Параметры Upper Leg Universal аналогичны параметрам Lower Leg Universal, за исключением того, что вместо rev1(ln,:) и rev2(ln,:) указываются rev3(ln,:) и rev4(ln,:) соответственно. Параметры цилиндрического шарнира Legs Cylindrical приведены на рисунке 3.10.

Математическое моделирование динамики додекапода средствами системы Matlab Simulink

Программный комплекс ДОДЕКАПОД реализует основные модели, методы и алгоритмы, разработанные в диссертации. Комплекс включает в себя два основных модуля: - вычислительный модуль; -моделирующий модуль. В вычислительном модуле реализованы следующие методы (глава 2): - метод решения прямой позиционной задачи путем сведения ее к задаче нелинейного программирования и решения последней гибридным методом роя частиц и мультистарта; - метод конечномерной аппроксимации рабочего пространства додекапода; - метод вычисления объема рабочего пространства додекапода на основе его конечномерной аппроксимации Моделирующий модуль включает в себя реализацию следующих математических моделей (глава 3, 4): - Simulink динамическая модель додекапода; - SolidWorks динамическая модель додекапода. В качестве среды программирования комплекса ДОДЕКАПОД использованы средства Matlab 2009 и SolidWorks 2010. На рисунке 5.1 показано главное окно программного комплекса. Программа, реализующая метод решения прямой позиционной задачи с помощью гибридного метода на основе методов роя частиц и мультистарта (п.2.2.2), написана на языке программирования системы Matlab 2009 и включает в себя четыре файла (DodOption.m, FunctionPSO.m, Fitness, т, ForwardKinematics. пі).

Выполнено исследование эффективности предложенного математического, алгоритмического и программного обеспечения. Некоторые результаты исследования иллюстрирует следующий пример. Пусть длины штанг манипулятора равны Ь = [238,6357 269,3776 256,0046 247,4046 185,4388 190,2705]; радиусы основания и платформы равны гв = 90, гр = 81. Положения шарниров на основании и платформе определяют углы

Используем метод роя частиц с параметрами: число частиц S = 50, число итерации 7 = 50. Для повышения вероятности локализации глобального экстремума используем мультистарт с числом стартов К=30.

Результат решения задачи иллюстрирует рисунок 5.2, где красная точка соответствует точному положению точки О ; синие точки представляют собой 11 лучших решений по результатам 30 стартов.

Представленный в пункте 2.2.2 метод построения конечномерной аппроксимации рабочего пространства додекапода реализован в среде программной системы Matlab. Выполнено исследование эффективности разработанных математического, алгоритмического и программного обеспечения.

Рассматриваем аппроксимацию рабочего пространства додекапода со следующими параметрами: /min = 200 мм ; гв=100мм, гР= 100мм, AZ = 5MM, А(р = Представленные результаты показывают, что рабочее пространство рассматриваемого додекапода состоит из двух частей - верхней, похожей на параболоид, и нижней, близкой к виду конусоида. При изменении длин всех штанг основания и платформы получается полное рабочее пространство додекапода. На рисунке 5.5 представлены проекции рабочих пространств додекапода на плоскости OXZ.

Программная реализация алгоритма вычисления объема рабочего пространства додекапода на основе его конечномерной аппроксимации (п. 2.3.4) также выполнена в среде программной системы Matlab. Работоспособность этого алгоритма и указанного программного обеспечения проверена при вычислении приближенного объема рабочего пространства додекапода, представленного в пункте 5.2.2. Объем рабочего пространства оказался равным V = 0,017м3. 5.3 Моделирующий модуль

Модель состоит из трех блоков: блок задания перемещений Movements; уже рассмотренный октаэдрный модуль Plant; блок отображения Scope. На вход Plant поступают три шины - шины перемещений, скоростей и ускорений. Выход блока Plant – также шина, передающая сигналы с датчиков усилий в цилиндрических шарнирах на Scope. Таким образом отображаются графики изменения этих усилий во времени.

Исследование эффективности разработанной Simulink-модели додекапода выполнено в следующих условиях.

В качестве тестового закона изменения длин всех стержней используется часть периода синусоиды (рисунок 5.7), так что Схема управления длинами штанг Схема блока Movements имеет вид, представленный на рисунке 5.8. Здесь Position – источник синусоидального сигнала с параметрами, соответствующими выражению (5.1); Derivative1 и Derivative2 – блоки дифференцирования для получения скорости и ускорения. Полученные сигналы размножаются для передачи всем девяти стержням. Вычислительный эксперимент выполнен при следующих значениях параметров конструкции додекапода: d = 2 м; гь = 3 м; г/= 2 м; rin = 0,03 м; rout = 0,05 м;р = 7750 кг/м3 (плотность стали). Некоторые результаты симуляции представлены на рисунках 5.7, 5.8, где начальное и конечное положения додекапода показаны в изометрической проекции. На выходе Scope получаем графики сил в цилиндрических шарнирах (рисунок 5.9-5.11). Рисунок 5.9.

Самопересекающиеся трубы постоянного сечения

На рисунке 3.5 приняты обозначения: Base_leg1 и Base_leg2 – порты для стержней боковых граней; Base_leg_f – порт для одного из соседних стержней.

Также размещаем эту схему в новую подсистему FrontLeg. Для удобства последующих построений объединим подсистемы Leg и FrontLeg в единую библиотеку с названием «Leg».

Предлагаемая схема размещения стержней в октаэдрном модуле показана на рисунке 3.6, где цифрами в скобках обозначены стержни, а цифрами без скобок – вершины. Для удобства последующего задания геометрических размеров и прочих параметров целесообразна именно такая индексация. Стрелками показано направление от нижнего цилиндра к верхнему. Simulink-модель, соответствующая данной схеме, приведена на рисунке 3.7.

Структурная схема модулей Поскольку точек соединений с неподвижной гранью додекапода всего три, то каждые два блока Ground будут иметь одинаковые координаты. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, размещаем их рядом. К одному из блоков Ground подключается блок Machine Environment, который задает условия внешней среды. В частности, устанавливается, что конструкция находится под действием гравитационного поля Земли с силой, направленной по оси OY.

Для задания начальных геометрических размеров октаэдра, положений его вершин и ключевых точек, осей действия шарниров, а также массы и инерции отдельных элементов, удобно использовать M-скрипт, в котором задаются соответствующие переменные. Эти переменные затем указываются в качестве параметров компонентов. Таким образом, можно весьма гибко изменять конфигурацию конструкции, не прибегая к редактированию свойств каждого блока по отдельности.

Сначала задаются радиусы окружностей гь и /у, в которые вписаны передняя и нижняя грани. При этом должно выполняться неравенство /у гь, так как начальное положение робота-манипулятора соответствует сжатой передней грани, готовой к перемещению в пространстве. Далее определяются координаты вершин задней грани по формулам МІ =—v-1), 3 (3.35) Ры=(0 1,cos#. rbsinfii), где / є [1,3]. При этом полагаем, что прямолинейный участок трубы расположен вдоль оси х.

Аналогично определяются координаты вершин передней грани. Треугольник, образуемый этими вершинами, повернут относительно заднего треугольника на 60. Расстояние между передней и задней гранью обозначим буквой d. Формулы в этом случае имеют вид

Здесь rev1, rev2 - оси вращения нижнего универсального шарнира; rev3, rev4 -оси вращения верхнего универсального шарнира; cyl - ось цилиндрического шарнира. Для стержней передней грани к индексам этих векторов добавляется буква/

Далее требуется определить характерные точки стержней, в качестве которых используем центры масс нижних и верхних цилиндров, их концы, а также точки соединения цилиндрическим шарниром. Одна концевая точка как верхнего, так и нижнего цилиндра уже известна - это одна из вершин передней и задней граней соответственно. Предполагается присоединять цилиндрический шарнир к центрам масс двух частей стержня, поэтому остается только определить одну концевую точку и центр масс. Соответствующие выражения для стержней боковых граней имеют вид

Последний этап заключается в задании масс цилиндров и их тензоров инерции. Для этого предварительно определим три параметра: внутренний радиус rin, внешний rout и плотность . Как уже было сказано ранее, внешний диаметр верхнего цилиндра и внутренний нижнего совпадают. Расчет производится с помощью функции inertiaCylinder(), параметрами которой являются величины , rout , rin. Функция возвращает структуру, содержащую массу и (3Х3) тензор инерции.

Теперь необходимо «прописать» соответствующие переменные в библиотечных подсистемах Leg и FrontLeg. При этом подсистемы маскируются параметром ln, который обозначает соответствующий рисунку 3.6 номер стержня. Таким образом, по номеру можно однозначно определить конфигурацию стержня. Окно параметров шарнира Lower Leg Universal для стержня боковой грани имеет вид, представленный на рисунке 3.9.

Параметры Upper Leg Universal аналогичны параметрам Lower Leg Universal, за исключением того, что вместо rev1(ln,:) и rev2(ln,:) указываются rev3(ln,:) и rev4(ln,:) соответственно. Параметры цилиндрического шарнира Legs Cylindrical приведены на рисунке 3.10.