Содержание к диссертации
Введение
I. Постановки многомерных задач геофильтрации
1.1 Обзор существующих моделей 16
1.2 Физические основы теории фильтрации 19
1.2.1 Грунты. Почвы 19
1.2.2 Состояние воды в грунтах 20
1.2.3 Напор 21
1.2.4 Скорость фильтрации. Закон Дарси. Коэффициент фильтрации .22
1.2.5 Обобщение закона Дарси 25
1.3 Математические модели фильтрации 27
1.3.1 Уравнение неразрывности в насыщенных и ненасыщенных грунтах 27
1.3.2 Уравнения фильтрации 30
1.33 Фильтрация в слоистых грунтах 33
1.3.4 Граничные и начальные условия 36
1.3.5 Плановая и профильная фильтрация 41
1.3.6 Постановка задачи для реальной области 45
II. Построение и исследование численных алгоритмов для решения задач геофильтрации .
2.1 Разностные схемы для модельных задач геофильтрации 48
2.2 Локально-одномерные и локально-двумерные схемы для задач геофильтрации 53
2.2.1 Локально-одномерный метод 53
2.2.2 Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения фильтрации в декартовых координатах 61
2.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач геофильтрации 75
III. Численное моделирование многомерных задач геофильтрации .
3.1 Прогноз процессов фильтрации протекающих в грунтах 93
3.2 Результаты численного моделирования 96
3.2.1 Численный эксперимент для задачи фильтрации в модельной области 96
3.2.2 Численное решение нестационарной трехмерной задачи геофильтрации для зоны мыса Таганий Рог 100
3.2.3 Анализ результатов расчетов 101
3.3 Сравнение эффективности итерационных методов 134
Заключение 143
Список использованных источников 145
- Скорость фильтрации. Закон Дарси. Коэффициент фильтрации
- Уравнение неразрывности в насыщенных и ненасыщенных грунтах
- Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения фильтрации в декартовых координатах
- Численный эксперимент для задачи фильтрации в модельной области
Скорость фильтрации. Закон Дарси. Коэффициент фильтрации
Одним из основных факторов, определяющих массоперенос в грунтах, является миграция жидкости. Далее будем рассматривать грунт как пористую среду, состоящую из минеральных и коллоидных частиц (твердый скелет), а также подземной воды, полностью или частично заполняющей поры. В подземной гидромеханике при изучении процессов движения воды в грунтах основываются на представлении о грунте как о сплошной среде с осредненными макроскопическими параметрами. Степень осреднения зависит от специфики исследуемого процесса. Осреднение проводится по некоторым образцам грунтов, размеры которых должны быть, с одной стороны, достаточно большими, чтобы иметь возможность получить статистически значимые осредненные характеристики, с другой — настолько малыми, чтобы достаточно подробно проследить неоднородность грунта во всей изучаемой области. При решении различных задач размеры осредненной области могут сильно различаться - в пылевидных грунтах они ограничены несколькими миллиметрами, а в зоне гидротехнических сооружений (водохранилищ, магистральных каналов), где область фильтрации охватывает десятки километров, они могут составлять несколько километров. При осреднении все неоднородности в грунте игнорируются и грунт в пределах области осреднения рассматривается как однородная среда. Одной из осредненных макроскопических характеристик грунта является пористость. Отношение объема пор Vn в выделенном участке грунта к объему этого участка V называется пористостью грунта
Величина m характеризует пористость грунта в окрестности некоторой средней точки участка, значительно большего отдельных зерен грунта. Пористость изменяется в результате того, что часть скелета грунта при движении воды может растворяться, если в скелете грунта присутствуют растворимые в воде компоненты. Другой макроскопической характеристикой грунта является проницаемость, характеризующая свойство грунта пропускать через себя жидкость. Величина проницаемости определяется экспериментально. Она зависит от величины зерен грунта и их взаимного расположения. В работе /73/ для определения величины проницаемости предлагается выражение где Р- коэффициент ( для воды он равен 0,0055); а- коэффициент формы частиц фунта диаметра. Под воздействием силы тяжести и гидродинамического давления подземная вода, полностью или частично заполняющая поры, перемещается из одних участков грунта в другие. Движение воды в грунте, именуемое фильтрацией, может охватывать огромные территории и развиваться в течение десятков лет. Однако не вся вода, содержащаяся в грунте, способна принять участие в фильтрационном переносе - часть ее прочно удерживается силами молекулярной природы вблизи частиц грунта. Эти силы настолько велики, что даже при воздействии массовой силы, на несколько порядков превышающей силу тяжести, они продолжают удерживать определенное количество воды (связанная влага). В количественном отношении связанная вода может занимать от 12 (пески) до 100% (плотные глины) пористого пространства. Некоторые глины, не смотря на имеющуюся в них пористость, могут рассматриваться как непроницаемый для фильтрационного потока водоупор. Вода, участвующая в фильтрационном движении, называется свободной, или грунтовой. Насыщенные и ненасыщенные грунты По степени наполнения пор водой можно выделить два основных состояния грунтов: насыщенное и ненасыщенное. При насыщенном состоянии поры грунта полностью заполнены водой. Масса воды тв содержащаяся в единице объема грунта, связана с пористостью соотношением Введем правую систему координат (хі,Хг,Хз). Ось Охз направлена вертикально вверх, плоскость ХіОхг горизонтальная. Напором h называют функцию, связанную с давлением р следующим образом /55/: где Хз- вертикальная координата точки, отсчитываемая от некоторого уровня. Если считать что плотность не зависит от давления (p=const), то в соответствие с уравнением Я.Бернулли получим формулу для пьезометрического напора. Согласно основному закону статики жидкости постоянной плотности в каждой ее точке удовлетворяется равенство h=const. В гидростатических условиях величина напора постоянна, давление уменьшается с высотрЦ Хз. Жидкость в насыщенной пористой среде движется от более высокого пьезометрического напора к более низкому. В теории фильтрации рассматриваются два режима движения грунтовых вод: напорная и безнапорная фильтрация. При напорной фильтрации давление во всех точках живого сечения потока больше атмосферного. Такая фильтрация характерна для напорных водоносных горизонтов, ограниченных с кровли непроницаемой породой, а снизу водоупором. Примером такой фильтрации является фильтрация под гидротехническими сооружениями. Безнапорный режим фильтрации характеризуется наличием свободной поверхности, давление на котором равно атмосферному. Свободная поверхность может со временем изменять свое положение, которое наряду с другими характеристиками фильтрационного потока (напором, скоростью) подлежит определению. Под скоростью фильтрации v понимают объём жидкости, протекающей в единицу времени через единичную площадку среды, перпендикулярно направлению потока. Вектор скорости фильтрации направлен по нормали к той площадке, через которую происходит наибольший расход.
Уравнение неразрывности в насыщенных и ненасыщенных грунтах
В первом случае может использоваться цепочка ЛДС вида (2.2.39), (2.2.40): А, +аЛ2 —»(1 — а)А2 +А3 , 0 ог 1, если сечение области G плоскостями Охххг и Ох2хз являются регулярными сеточными областями. В качестве методов решения СЛАУ можно использовать: маршевый метод (МА), метод циклической редукции (CR), дискретное преобразование Фурье (FA), или комбинацию двух последних методов - FACR /44-47,81,82,90/. Асимптотика числа арифметических операций, необходимого для расчета искомой сеточной функции в регулярной (плоской) области такова: - для МА — 0{N Na+x/\ogNa+l)- если использовать марш-алгоритм, с длинной марша L, подчиненной требованию L = 0(Na I log Na) (здесь и далее считаем Na+l = 0(Na), а = 1,2); - для методов типа FACR - 0(Na Na+l log(logNa+1)) Если коэффициент Кг постоянен, то эта оценка может быть снижена до В частном случае постоянных коэффициентов ЛДС требует ( метод решения МА ) примерно 24- NaNa+l арифметических операций , т.е. приблизительно такое же, что и ЛОС (метод решения — прогонка ). Во втором случае также можно применять схему вида (2.2.39) — (2.2.40) и, целесообразно в качестве метода использовать МА, который будет требовать 0(N +l Na /\ogNa) арифметических операций. В третьем случае целесообразно использовать схему вида (2.2.39) (или любую другую вида Kg+hp — Лу, 1 2S, у 3, РФ8 , P Y, S у , такую, что сечение области G плоскостью Oxgx - было регулярной областью). Для решения разностных задач с оператором Л3 можно, кроме указанных выше алгоритмов использовать прогонку. Систему разностных уравнений целесообразно решать методами MA,CR, FA, FACR с теми же асимптотическими оценками, что и в первом случае. В частном случае постоянных коэффициентов К\ и Кг имеем выигрыш по числу арифметических операций по сравнению с ЛОС (методы решения: МА для ЛДС и прогонка для ЛОС), т.к. ЛДС будет требовать примерно \2N.N,N.+SN.N,N. =20N,N,N. (здесь оценки приводятся для всей сеточной области G). Однако, в программах решения реальных задач эта разница не ощутима. В четвертом случае целесообразно использовать ту же схему, что и в третьем случае с асимптотикой 0{N Na J log Na ) . Если хотя бы один из коэффициентов Ка, Ка+і - постоянен, то оценка для числа арифметических операций станет Области G , имеющие форму, как в описанных выше случаях, будем называть областями специального вида. В пятом случае целесообразно использовать ЛДС вида (2.2.39) — (2.2.40), а в качестве метода обращения разностного оператора на верхнем временном слое использовать вариант МПТМ, который будет построен в 3 Там же показано, что при нежестких ограничениях на величину временного шага т = 0(N l), где N = max{Nl,N2,N3)i данный метод требует числа арифметических операций 0\Na Na+i \Na Nati ) I, что лучше чем для МА в случае неразделяющихся переменных (случай 2 и 4) для областей специального вида. Подведем некоторые итоги. Пусть N0= Nt N2-N3 - общее число узлов сетки, принадлежащих области G , N2 = 0{N ), JV3 = 0{NX). Применение прямых методов MA и FACR позволяет построить на основе ЛДС экономичные алгоритмы решения трехмерных задач фильтрации с хотя бы одним постоянным коэффициентом в областях специального вида МА и алгоритмы с асимптотикой O(N0 ln(ln N0)) в случае переменных коэффициентов и разделяющихся переменных. Во многих случаях специфика практических задач например, случай разделяющихся переменных, специальная форма области и т.д. позволяет использовать эффективные прямые методы решения систем разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальную задачу. Однако, в общем случае область произвольной формы, переменные задачи — не разделяющиеся, универсальными являются итерационные методы. В классе двухслойных итерационных методов следует выделить попеременно-треугольный метод, предложенный А.А. Самарским /78/ и развитый в работах Е.С. Николаева и А.Б. Кучерова /43/, /45-47/.Объясняется это следующими качествами метода: - универсальностью, т.к. метод применим к системам линейных алгебраических уравнений с симметричными и положительно определенными матрицами; - высокой скоростью сходимости; - способностью решать плохо обусловленные системы уравнений, в частности, с большим разбросом коэффициентов, когда максимальные значения коэффициентов превосходят минимальные их значения в 103 раз и более. Опыт использования модифицированного попеременно - треугольного метода решения разностных эллиптических задач показывает, что он требует небольшого числа итераций, незначительно зависящего от диапазона изменения коэффициентов и неравномерности шагов в случае сеток, построенных для областей произвольной формы. В данном подразделе рассмотрены варианты модифицированного попеременно-треугольного метода, предназначенные для решения разностных аналогов двумерных задач фильтрации водного потока в прямоугольнике и в области произвольной формы. В силу сказанного, данный вариант МПТМ можно рассматривать в качестве базового для реализации ЛДС в общем случае для обращения разностного эллиптического оператора на верхнем временном слое.
Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения фильтрации в декартовых координатах
Характер и основные закономерности изменения уровня грунтовых вод зависят от многих факторов.
Метеорологические факторы влияют на суточные и годовые колебания свободной поверхности (уровня фунтовых вод). При прохождении дождя или поливах происходят сложные явления в верхних слоях грунта. Вода впитывается почвой, имеющей определенную сложную структуру, и поглощается корневой системой растений. Затем, поступая в листья растений, вода испаряется - говорят, что происходит транспирация влаги растениями. Часть воды испаряется с поверхности орошаемого участка. В засушливое время года это испарение может быть больше, в период дождей меньше. В зависимости от того превышает ли количество осадков испарение или наоборот меняется положение свободной поверхности.
Оценка опасных метеорологических условий, когда выпадает количество осадков, значительно превышающих допустимые нормы, требует также учета характера залегания водоносного горизонта и информации о строении зоны фильтрации. Под опасными метеоусловиями понимается сочетание таких факторов, при которых может наблюдаться повышение уровня грунтовых вод до уровня фундаментов городских строений, что может привести к аварийным ситуациям.
Процессы, протекающие в грунтах, во многом зависят от человеческого фактора. Так не малую роль играют поливы. По данным городского «Водоканала» садоводческие товарищества, подключенные к городскому водоводу, отбирают 500 кубометров воды в час, а это половина всей воды, подаваемой водоводом. Вся эта влага, в результате полива растений, попадает в почву. После полива или выпадения дождя на поверхности грунтового потока образуется бугор, который в дальнейшем медленно рассасывается, создавая местное повышение уровня. Часто бывает, что это повышение, достигающее иногда одного метра в год и больше, через несколько лет приводит к засолению или заболачиванию орошаемого участка.
Кроме поливов и выпадения атмосферных осадков потери на фильтрацию из поверхностных вод могут создаваться за счет несовершенства поливных устройств, а в условиях города из-за прорывов водопровода. Здесь необходимо учитывать как глубину залегания источника, так и его тип.
В условиях города не мало важную роль играют водозаборные сооружения нецентрализованного водоснабжения. С помощью различных сооружений (скважины, колодцы и т.п.) население использует воды подземных источников для питьевых и хозяйственных нужд, что не может не влиять на водоносный горизонт. Водозаборные сооружения не должны устраиваться на участках, затапливаемых паводковыми водами, в заболоченных местах, а также местах, подвергаемых оползневым и другим видам деформации. Математическое моделирование процессов геофильтрации, протекающих в водоносном горизонте мыса Таганий рог показывает наиболее неблагоприятные зоны фильтрации и помогает выявить наиболее часто затапливаемые участки в районе города. Геологическая и гидрогеологическая характеристика зоны мыса Таганий Рог
На Таганрогском Мысу наблюдаются нежелательные изменения грунтов, связанные с их проседанием и сползанием отдельных пластовых образований в сторону моря. Весьма часто происходит разрушение построек в старой части города (здание общежития №1 ТРТУ, жилые дома по улице Р.Люксембург и др.). Одной из причин являются фильтрационные процессы, протекающие в грунтах.
Рассмотрим геологическую и гидрогеологическую характеристику Восточной части города Таганрога, ограниченной с северо-запада пер. Добролюбовским. Геоморфологически участок расположен в пределах среднечетвертичной древнеэвксинской террасы. Отложения этой террасы, представленные песчано-глинистой толщей перекрыты покровными эолово-делювиальными суглинками. Горизонт погребенной почвы разделяет лессовидные суглинки в пределах древнеэвксинской террасы на два яруса. Первый ярус представлен желто-бурыми макропористыми суглинками и супесями. Мощность этого яруса составляет 7-10 м. Суглинки нижнего яруса менее макропористые, слегка спесчаненные. Мощность их незначительная. Часто верхний ярус суглинков лежит непосредственно на морских отложениях террасы. Цитологический разрез имеет следующую структуру: 1 Слой. С поверхности насыпные грунты уплотнены, представлены суглинком и строительным мусором. Их коэффициент пористости колеблется в пределах 0.792-0.894. 2 Слой. Под насыпными грунтами залегает почвенно-растительный слой и слой гумусированного суглинка. С глубины 1.5 м. залегают макропористые суглинки, слабовлажные, опесчаненные, мощность до четырех метров. Коэффициент пористости около 0.656. 3 Слой. На глубине 5-7 м. расположен слой желто-бурой, макропористой супеси, встречаются пески в виде линз мощностью 0.75м. Коэффициент пористости супесей 0.660. 4 Слой. От 7-Юм. грунт представлен желто-бурыми суглинками. Коэффициент пористости 0.817. 5 Слой. Начиная с глубины 10м. залегают темно-коричневые суглинки, макропористые, влажные. Коэффициент пористости 0.785. 6 Слой. На глубине 16 метров расположен слой желто-бурых, макропористых, влажных суглинков, мощностью около трех метров, которые подстилаются плотными древнеаллювиальными глинами.
Численный эксперимент для задачи фильтрации в модельной области
Разработаны алгоритмы и комплекс программ численного решения трехмерной, нестационарной модели расчета геофильтрации (1.65-1.69) в районе мыса Таганий Рог [59]. Область расчета: реальная область сложной формы - мыс на котором расположен город Таганрог.
Эффект влияния различных факторов на изменение уровня грунтовых вод моделировался источниками различных видов. Рассматривались два основных типа источников: площадный источник — выпадение осадков на всю поверхность мыса; точечный источник — прорыв городского водовода.
Специально создана база данных, содержащая сведения о гидрогеологических условиях исследуемого объекта, использовались данные геоинформационной системы — карты города Таганрога с шагом в 5 метров.
В качестве входной информации о геометрии и строении водоносного горизонта использовались гидрогеологические карты. Геометрия области фильтрации уточнялась на основе данных инженерно-геологических изысканий проводимых в различных точках области при строительстве отдельных зданий, а также математической трактовкой гипотез, основанных на экспериментальных данных. В зоне мыса Таганий Рог верхним слоем грунта являются различного рода суглинки, именно в этом слое происходит движение грунтовых вод. Ниже залегает слой глины, который является подстилающей поверхностью (непроницаемое основание). Построенная модель предназначена для наблюдения и прогнозирования изменения уровня грунтовых вод в течение заданного пользователем времени, для заданного вида и месторасположения источников. То есть можно смоделировать различные аварийные ситуации, приводящие к опасному поднятию уровня подземных вод до фундаментов зданий, или подтопление отдельных территорий города. На (рис.20) представлено начальное положение уровня грунтовых вод. Цифры на рисунке показывают уровень грунтовых вод (в метрах) над уровнем моря. Физические величины и параметры разностной сетки имели следующие значения: Размеры прямоугольной области 9050м х 7550м х 93 м. Расчеты проводились на прямоугольной сетке с шагом 50м по площади города и с шагом 1м по глубине залегания горизонта. Сетка 181x151x93 узла. Расход через поверхность высачивания (цилиндрическая поверхность по контуру мыса) q=0.01 м/сут. Коэффициент фильтрации на водоупорном основании Кі=К2=Кз=0.05 Коэффициенты фильтрации в водоносном горизонте задавались согласно гидрогеологическим картам. Результаты проведенных расчетов представлены на (рис. 20-35). Согласно (рис.20-35) уровень грунтовых вод изменяется в зависимости от интенсивности и продолжительности атмосферных осадков, а также в результате длительной работы точечного источника (типа прорыва городского водовода) большой мощности. Что приводит к образованию бугра грунтовых вод, верхние точки которого могут достигать опасной высоты (рис.23,25,27,29,31,35).
Все расчеты для задачи (1.65-1.69) проводились с учетом реальных метеоданных, с учетом максимально возможного количества осадков характерных для города Таганрога. На (рис.32) отображено положение уровня грунтовых вод при выпадении 40мм осадков в течение недели. Зоны опасного поднятия уровня грунтовых вод изображены на (рис 35). На (рис.21) показано положение свободной поверхности через промежуток времени 1 сутки в результате действия точечного источника. В качестве источника рассматривается прорыв городского водовода. На (рис.23) обозначены зоны опасного поднятия грунтовых вод в результате действия данного источника. Дальнейшее поднятие бугра грунтовых вод для промежутков времени от 2 до 6 суток показано на (рис.22, 26, 28, 30).
Делать выводы о количественном соответствии результатов численного эксперимента с реально наблюдаемыми представляется преждевременным. Можно лишь сказать о качественно верной картине протекания процесса. Так, районы города наиболее подверженные затоплению (грунтовые воды достигают уровня фундаментов домов, затапливают подвалы), совпадают с теми районами, которые были выявлены в результате численных экспериментов. Вычисленное в результате работы модели положение свободной поверхности (уровень грунтовых вод) даёт вполне реалистичную картину её движения.
Для того чтобы добиться количественного совпадения результатов численных и натурных экспериментов, требуется доступ к информации о реальных значениях глубины залегания водоносного горизонта в начальный момент времени, для чего имеются реальные наблюдательные скважины, но доступ к такого рода информации не всегда возможен. Большие размеры исследуемой области делают время работы программы достаточно продолжительным (расчет фильтрации на 1 сутки длится около шести часов), отсюда вытекает необходимость для расчета ситуаций связанных с точечным источником, брать для расчета не весь мыс, а лишь часть его, в которой расположен источник, что значительно уменьшает время счета, в зависимости от величины выбранной расчетной зоны. Начальные и граничные условия при этом выставляются по имеющимся данным о всём водоносном горизонте.
