Содержание к диссертации
Введение
1 Существующие технологии моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов 14
1.1 Обзор особенностей работы стальных канатов при внешнем воздействии 14
1.2 Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок 19
1.3 Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара 23
1.4 Современные подходы к задачам оптимизации параметров стальных канатов 25
1.5 Обзор программных комплексов по моделированию напряженно-деформированного состояния стальных канатов 27
1.6 Постановка задач исследования 29
2 Математическое моделирование напряженно деформированного состояния и оптимизация параметров стальных канатов 31
2.1 Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок... 31
2.2 Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара 42
2.3 Постановка задачи оптимизации 47
2.4 Оптимизация геометрических и физических параметров стальных канатов 48
2.4.1 Формулирование задачи оптимизации параметров 48
2.4.2 Численный алгоритм оптимизации параметров стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок 49
2.4.3 Численный алгоритм оптимизации параметров стальных канатов при действии поперечного удара 52
2.5 Выводы по разделу 2 56
3 Реализация численных схем решения в виде комплекса программ 58
3.1 Комплекс программ моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов 58
3.2 Численные методы решения нелинейных уравнений и систем 72
3.3 Комплекс программ оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов 80
3.4 Численные методы решения задач оптимизации 94
3.5 Выводы по разделу 3 97
4 Экспериментальное исследование напряженно деформированного состояния стальных канатов 98
4.1 Цели и задачи экспериментального исследования 98
4.2 Исследование влияния геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние стальных канатов 98
4.3 Натурный эксперимент
4.3.1 Характеристика объекта испытания 104
4.3.2 Описание хода натурного эксперимента 107
4.3.3 Приборы и оборудование 110
4.3.4 Результаты натурного эксперимента
4.4 Проверка адекватности метода математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок 117
4.5 Проверка адекватности метода математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара 121 4.6 Тестирование численных алгоритмов оптимизации параметров стальных канатов 124
4.7 Выводы по разделу 4 127
Основные результаты и выводы 129
Список сокращений 131
Список литературы .
- Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара
- Оптимизация геометрических и физических параметров стальных канатов
- Комплекс программ оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов
- Проверка адекватности метода математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок
Введение к работе
Актуальность темы.
В инженерной практике широко распространены системы, в которых основными силовыми элементами, обеспечивающими прочность конструкции при внешнем воздействии, являются стальные канаты. К таким системам относятся воздушные линии электрических проводов, канаты висячих мостов и покрытий большепролетных производственных и общественных зданий. При этом в указанных системах внешнее воздействие на силовые элементы представляет собой произвольную статическую поперечную нагрузку. Однако с течением времени появляется новая техника, требующая решения многих прикладных задач, относящихся к работе стальных канатов при действии динамических нагрузок.
В последнее время все чаще внедряются специальные физические препятствия для предотвращения несанкционированного въезда автотранспортных средств на территорию охраняемых объектов различного назначения. Наиболее широкое распространение в качестве физического препятствия на эксплуатируемых объектах получили противотаранные устройства шлагбаумного типа. Принцип действия данных устройств заключен в быстром перекрытии проезжей части дорожного полотна перемещающейся стрелой изделия. Главной конструктивной особенностью таких устройств является то, что основными силовыми элементами, воспринимающими ударную нагрузку, вследствие таранного удара автомобилем, являются стальные канаты, расположенные внутри стрелы изделия.
В настоящее время определение напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок сводится, как правило, к анализу дифференциальных уравнений математической физики. Это требует привлечения для решения инженерных задач специалистов, обладающих глубокими математическими познаниями, что, в свою очередь, приводит к увеличению сроков и затрат на принятие решений в процессе проектирования и конструирования.
Также отметим, что в данной области существует ряд задач, которые еще не нашли удовлетворительного разрешения с помощью известных экспериментальных и теоретических методов. Среди таких актуальных задач выделяется поиск методов оптимального конструирования и проектирования систем с основными силовыми элементами, выполненными из стальных канатов, методами математического моделирования.
Невозможно представить современную техническую науку без исследования методов и средств оптимизации процессов и объектов предметной области. Подчас аналитические подходы, использующие классические методы дифференциального и вариационного исчислений, оказываются непригодными для решения многих нелинейных задач, к каким относится моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов. Поэтому разработка и совершенствование методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния и оптимизации параметров стальных канатов, испытывающих воздействие поперечных статических и ударных нагрузок, является актуальной задачей.
Степень разработанности темы.
Значительный вклад в развитие теории гибких нитей внесли В.К. Качурин, Н.С. Москалев, Р.Н. Мацелинский, Г.С. Веденников, А.А. Соколов, А.В. Перельмутер, Е.М. Сидорович и другие.
Общие вопросы по определению напряженно-деформированного состоя
ния стальных и синтетических канатов, в том числе и колебаний, даны в моно
графиях В.Л. Бидермана, И.М. Бабакова, В.П. Селяева, В.А. Светлицкого,
Д.Р. Меркина, В.К. Качурина, С.П. Тимошенко, И.И. Мигушова,
Б.С. Расторгуева, Н.Н. Попова.
Вопросами, связанными с поиском оптимальных компоновочных параметров строительных конструкций, занимались А.Р. Ржаницын, В.П. Селяев, Е.В. Горохов, В.В. Бирюлев, Я.И. Ольков, И.С. Холопов, А.Г. Юрьев, В.Н. Алехин и другие. Применительно к стальным канатам современные подходы оптимизации компоновочных параметров использованы в работах Л.Г. Дмитриева, А.В. Перельмутера, А.В. Касилова, В.В. Трофимовича.
Тем не менее, вопросы математического моделирования напряженно-деформированного состояния и оптимизации параметров стальных канатов в статической и динамической постановке задачи в настоящее время изучены и проработаны недостаточно.
Целью диссертационной работы является развитие методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния, а также создание численных алгоритмов оптимизации параметров стальных канатов при воздействии поперечных статических и ударных нагрузок с дальнейшей реализацией в виде комплекса проблемно-ориентированных программ.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи.
-
На основе анализа существующих методик и комплексов программ моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов разработать метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок, позволяющий определять количественные характеристики напряжений, а также выявлять формы равновесия деформированного состояния на всем интервале изменения отношения первоначальной стрелы провеса к пролету стального каната.
-
Разработать метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок, позволяющий определять усилия и перемещения в канате, а также значение инерционной нагрузки и время ее действия при значительных отклонениях от первоначального равновесного состояния и углах поворота сечений.
-
Разработать численные алгоритмы оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов, обладающих заданной прочностью и жесткостью при минимальной затрате материала, в условиях поперечных статических и ударных нагрузок.
-
Создать комплекс программ моделирования напряженно-деформированного состояния и оптимизации параметров стальных канатов, воспринимающих поперечные статические и ударные нагрузки, и провести исследование по влиянию геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние стальных канатов.
Объект исследования: основные силовые элементы механических систем, выполненные из стальных канатов, работающие по восприятию поперечных статических и ударных нагрузок.
Предмет исследования: методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов для определения действительных напряжений и деформаций, возникающих в результате действия поперечных статических и ударных нагрузок.
Методы исследований основаны на теории математического моделирования с использованием аппарата дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных, положениях теоретической механики, методах математического программирования, проведении натурного и вычислительного экспериментов. Реализация алгоритмов выполнена на языке программирования С# в среде Visual Studio Express 2010 с использованием математического пакета Mathcad для расчетных модулей.
Научная новизна работы.
Новыми являются следующие научные результаты.
-
Разработан метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок, учитывающий полный диапазон отношения первоначальной стрелы провеса к пролету стального каната, что обеспечивает нахождение количественных характеристик напряжений, а также определение форм равновесия деформированного состояния каната.
-
Разработан метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок, принимающий во внимание значительные отклонения каната от первоначального равновесного состояния и углы поворота его сечений, что позволяет определять действительные усилия и перемещения, а также значение инерционной нагрузки и время ее действия.
-
Разработаны эффективные численные алгоритмы на основе модифицированной функции Лагранжа, позволяющие определять оптимальные геометрические и физические компоновочные параметры стальных канатов, воспринимающих поперечные статические и ударные нагрузки.
-
Создан комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий разработанные методы и численные алгоритмы, обеспечивающий решение задачи оптимизации параметров и моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок.
Практическая значимость работы состоит в следующем.
Применение представленных в диссертационной работе результатов исследований, а также комплекса программ, реализующих численные алгоритмы оптимизации параметров, позволяет при конструировании и проектировании систем с основными силовыми элементами из стальных канатов, работающих по восприятию поперечных статических и ударных нагрузок, создать изделия и конструкции с наилучшими (оптимальными) характеристиками.
Разработаны защищенные патентами РФ на полезную модель новые конструктивные решения противотаранного барьера и фундамента для его установки, применение которых повышает надежность и увеличивает срок эксплуатации данных изделий.
Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в ЗАО «ЦеСИС НИКИРЭТ», г. Пенза, при проведении опытно-конструкторских работ и разработке проектно-конструкторской документации опытного образца противотаранного барьера (патент на полезную модель №131741) и металлического свайного фундамента (патент на полезную модель №123425) для его установки. Результатом внедрения явились постановка на производство и серийный выпуск разработанных изделий, что подтверждается сертификатом соответствия в системе ГОСТ Р № 0698601.
Достоверность результатов работы обеспечивается: использованием современных методов математического моделирования, вычислительной математики, фундаментальных положений теоретической механики; сопоставлением полученных данных и их согласованностью с результатами тестовых расчетов, а также результатами, полученными другими авторами; подтверждением теоретических результатов исследований данными натурного эксперимента.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок, ориентированный на определение количественных характеристик напряжений и формы равновесия деформированного состояния стального каната.
-
Метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов, позволяющий определять действительные усилия и перемещения, а также значение инерционной нагрузки и время ее действия в случае поперечных ударных нагрузок в расширенном диапазоне отклонений от первоначального равновесного состояния и углов поворота сечений.
-
Численные алгоритмы оптимизации геометрических и физических компоновочных параметров стальных канатов, воспринимающих поперечные статические и ударные нагрузки, реализованные с использованием модифицированной функции Лагранжа.
-
Комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий разработанные методы и численные алгоритмы, для решения задач оптимизации параметров и моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических и ударных нагрузок.
Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам: 1 – «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; 4 – «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; 5 – «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента»; 7 – «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели».
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные результаты исследований докладывались на VIII всероссийской научно-технической конференции «Современные охранные технологии и средства обеспечения комплексной безопасности объектов» (Пенза, 2010); региональном
молодежном форуме «Открытые инновации – вклад молодежи в развитие региона» (Пенза, 2013); международной научно-практической конференции молодых ученых и исследователей «Наука молодых – интеллектуальный потенциал XXI века» (Пенза, 2014); международных научных чтениях «Информационно-вычислительные технологии и математическое моделирование в решении задач строительства, техники, управления и образования» (Пенза, 2014).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, в том числе 7 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 4 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, 2 патента на полезную модель.
Личный вклад автора. Все основные научные результаты, приведенные в диссертации и сформулированные в положениях, выносимых на защиту, получены автором лично. В работах, опубликованных в соавторстве, научному руководителю принадлежат формулировки концепций решаемых задач и постановка цели исследования. Лично автором предложен метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных ударных нагрузок, численные алгоритмы оптимизации параметров, разработан комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента, а также проведены экспериментальные исследования, интерпретированы и обобщены полученные результаты, сформулированы выводы.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, выводов по работе, списка литературы из 143 наименований и приложения. Основной текст изложен на 146 страницах и содержит 51 рисунков, 3 таблицы.
Методы математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечного удара
Задачи по определению НДС стальных канатов имеют свою богатую историю, которая относится к механике тонких стержней и жестких нитей и начинается с конца XVII века. Первые исследования по упругим на изгиб линиям (эластикам) принадлежат Я. Бернулли и Л. Эйлеру. Ш. Кулон впервые рассмотрел вопрос о кручении стержней применительно к волосу, шелковой и металлической нитям и сформулировал законы кручения. Ж. Лагранж в трактате по аналитической механике отдельную главу посвятил статике гибкой и упругой на изгиб нити. Дальнейшее развитие теория тонких стержней получила в работах Г. Кирхгофа и А. Клебша [46].
Значительный вклад в развитие теории гибких нитей внесли В.К. Качурин [27, 28], Р.Н. Мацелинский [43], Н.С. Москалев, Г.С. Веденников, А.В. Перельму-тер [57, 58, 59], А.А. Соколов, Е.М. Сидорович и другие. Механические системы с основными силовыми элементами, выполненными из стальных канатов, рассмотрены с позиций континуального подхода в работах В. Ренкина, Д. Мелана, Д. Штаермана, С.П. Тимошенко, Н.М. Кирсанова [29, 30], И.С. Дурова и других. Изучению НДС выше указанных систем с позиций численного анализа посвятили свои работы В.А. Смирнов [88], В.П. Селяев [83, 84, 85], А.А. Петропавловский, А.В. Александров, Н.Н. Шапошников, В.С. Сафронов и другие [76].
Уравнения, описывающие НДС стальных канатов, являются нелинейными относительно искомых перемещений, поскольку последние входят в уравнения не только в первой, но и второй и третьей степенях. Следует отметить, что решение нелинейных задач вообще является сравнительно трудоемким процессом, требующим индивидуального анализа уравнений для выбора более или менее рационального метода.
Применяющиеся для решения методы являются, как правило, определенной модификацией общих математических методов, пригодных для более широкого круга инженерных задач.
Применительно к уравнениям, описывающим НДС стальных канатов, все методы решения можно разделить на две группы. Аналитические методы, применяющиеся главным образом к системам с одним или, в крайнем случае, с двумя нелинейными параметрами; и численные, применяющиеся к системам со многими нелинейными параметрами.
Аналитические методы часто дают решения в замкнутой форме путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений.
Все численные методы решения нелинейных уравнений, описывающих НДС стальных канатов и получивших большое развитие за последние годы, можно с определенной степенью условности разделить на три вида: итерационные; шаговые и специальные.
Среди итерационных методов, применяющихся при моделировании НДС стальных канатов и основанных на последовательном приближении к искомому решению, распространен метод Ньютона и различные его модификации [59]. Идея метода Ньютона состоит в замене графика некоторой нелинейной функции y=f(х) касательной, проведенной в точке х=х0, и последовательном повторении этого процесса. При этом, естественно, предыдущий результат решения используется для каждого следующего приближения до достижения любой желаемой точности. Иногда пользуются одной из модификаций метода Ньютона, геометрический смысл которой заключается в том, что касательная в некоторой точке графика функции заменяется прямой, проходящей через эту точку и некоторую другую, принадлежащую кривой. Этот метод получил название метод хорд.
Среди численных методов при моделировании НДС стальных канатов находят применение также различного рода релаксационные методы, являющиеся также итерационными. Суть релаксационных методов состоит в последовательном улучшении решения путем приведения в соответствие максимальных невязок и соответствующих значений неизвестных на каждом этапе счета. Физический смысл этих методов заключается в том, что невязки решения можно трактовать как величины внешних сил, обеспечивающие равновесие системы при деформациях. Поскольку невязки с каждым этапом счета уменьшаются, происходит ослабление действия этих сил, т. е. силы или связи, что одно и то же, релаксируют.
Тесно связан с релаксационными методами метод Зейделя. Отличается от предыдущих методов в основном порядком решения. Этот метод применяется для решения линейных систем уравнений. Если в релаксационных методах порядок решения уравнений определяется, как правило, наибольшими значениями невязок и «поправки» решения начинают с соответствующих уравнений, то в методе Зей-деля порядок решения является циклическим и предопределен сразу.
Представленные нелинейные итерационные методы при больших величинах внешней нагрузки могут, очень медленно сходится, а в отдельных случаях вообще расходится. Для ускорения сходимости итерационного процесса используется метод корректировки энергии деформации системы. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока величина невязки в уравнении равновесия работы внешних сил и внутренней энергии деформации не будет превышать требуемых условий точности расчета. Далее производится переход на следующую, более высокую ступень нагружения, и итерационный процесс начинается вновь. Завершение итерационного цикла происходит после достижения внешней нагрузкой расчетной величины, и невязка из условия равновесия усилий на последней стадии нагружения не будет превышать принятых параметров точности расчета.
Особый интерес для решения нелинейных уравнений представляют шаговые методы, геометрический смысл которых заключается в замене графика нелинейной функции некоторой ломаной линией с достаточно малым шагом расположения общих точек, принадлежащих кривой и ломаной. Простейшим является метод Эйлера и его модификации. Суть метода Эйлера состоит в прямой замене нелинейной функции некоторой ломаной «ломаной Эйлера», звенья которой в каждой вершине имеют направление касательной в этой же точке кривой. Решение по методу Эйлера имеет достаточно высокую точность только при малых значениях шага, так как представляет собой, по сути, на каждом шаге ряд Тейлора с удержанием только первых двух членов. Для получения более точного решения пользуются различного рода модификациями метода Эйлера, применяя направление касательных в средних точках каждого шага, итерационную обработку решения на каждом шаге и другие приемы.
Значительной точностью обладает метод Рунге-Кутта, заключающийся в том, что на каждом отрезке (шаге) решение представляется большим количеством членов ряда Тейлора. Вполне понятно, что метод Рунге-Кутта обеспечивает большую точность решения, однако является более трудоемким, чем метод Эйлера.
Существуют специальные методы решения, основанные на использовании свойств стальных канатов. Учитывая, что в стальных канатах существует тесная связь между внешней нагрузкой и формой равновесия, специальные методы решения в основном используют именно ее. С этой точки зрения представляет интерес метод моделирования НДС стальных канатов на специальные виды нагрузок по линейной теории, позволяющий определить только усилия.
Другой специальный метод моделирования НДС стальных канатов заключается в формальных преобразованиях, дающих возможность привести произвольную нагрузку на стальной канат к равновесной нагрузке и тем самым значительно облегчить решение.
Эффективными оказываются численно-аналитические методы, в частности, метод разложения дифференциального уравнения в степенные ряды с конечным числом членов. Такой подход дает возможность получить решение для прогибов в виде аналитической зависимости от некоторого параметра нагрузки, характеризующего ее количество. Последнее обстоятельство приобретает особую важность при исследовании вопросов определения наихудших сочетаний нагрузок для стальных канатов. Следует заметить, что метод разложения решения в степенные ряды в реализации имеет определенные трудности, для преодоления которых применяют ряд приемов, например представление решения в виде обратно степенного ряда.
Для правильного применения численных методов при моделировании НДС стальных канатов большое значение приобретает анализ схемы счета или, пользуясь терминологией математиков, анализ «устойчивости вычислительной схемы», не допускающей накопления погрешностей в процессе счета и позволяющей получить результат, достаточно достоверный в пределах точности исходных данных задачи [8].
Оптимизация геометрических и физических параметров стальных канатов
Оптимальной системой с главными несущими элементами, выполненными из стальных канатов, назовем систему, удовлетворяющую заданным непротиворечивым требованиям к конфигурации, прочности, жесткости и оптимизирующую при этом качество решения по выбранному критерию.
Поставленная задача формулируется следующим образом: по заданному внешнему воздействию, расстоянию между опорами (пролету) и физическим характеристикам материала каната определить его оптимальные физические и геометрические параметры так, чтобы канат обладал достаточной прочностью и жесткостью при минимальной затрате материала. Условно примем, что минимальной затрате материала соответствует наименьшая теоретическая площадь поперечного сечения каната. Цель достигается при удовлетворении заданных ограничений по начальным усилиям, стреле провеса, допустимым прогибам в заданном сечении и максимальным напряжениям.
Параметры, характеризующие стальные канаты можно разделить на две группы: 1. Физические параметры - площадь поперечного сечения, расчетное сопротивление материала и т.д.
В общем, задача оптимизации параметров заключается в нахождении вектора значений аргументов, при которых целевая функция достигает минимума. В качестве целевой функции будем использовать продольное усилие. Площадь поперечного сечения и распор являются аргументами, по которым производится минимизация. Предварительно аргументам целевой функции, присваиваются некоторые значения, являющиеся начальным приближением.
Рассмотрим стальной канат, расчетная схема которого представлена на рисунке 2.2. Целевая функция имеет вид [18]: Т1(А,Н1) = [о]-А, (2.68) где Т1(А,Н1) - функция продольного усилия, Н; А - площадь поперечного сечения, м 2 ; Н 1 - распор, Н; [о] допустимое напряжение материала, Па. При этом накладывается ограничение по жесткости: м(д, ) [w], (2.69) где w(H1,X1), [w] - значение и предельно допустимое значение прогиба в заданном сечении с абсциссой jc1, м.
Поскольку распор, как и площадь поперечного сечения не известен до момента его определения, а он входит в уравнения для расчета продольного усилия и прогиба, то все последующие выражения запишем в виде функций от площади поперечного сечения и распора.
Функция продольного усилия равна: T1(A,Н1) = H12+(Q1(R1А,Rw,0) + H1gfi)2 , (2.72) где Q1(R1 А,R1 В,0) - значение функции поперечной силы в шарнирно опертой балке пролетом / в сечении с абсциссой х=0 от совместного действия нагрузки, вызывающей начальное очертание и дополнительной нагрузки, Н; - угол наклона хорды АВ, град.
Из формулы (2.72) видно, что расчет продольного усилия сводится к нахождению распора в точках крепления, так как функции внутренних усилий в шарнирно опертой однопролетной балке определены выше.
При действии нагрузки, вызывающей начальное очертание, функция поперечной силы определяется по формуле (2.9), функция изгибающего момента по формуле (2.10). При совместном действии начальной и дополнительной нагрузки функция поперечной силы определяется по выражения (2.11), функция изгибающего момента по выражения (2.12). Функция равномерно-распределенной нагрузки от собственного веса постоянна при всех значениях абсцисс и рассчитывается по уравнению (2.13).
Распределенная нагрузка задается массивом точек контура, для последующей кубической сплайн-интерполяции функции. Предполагается, что координаты функции нагрузки от деформации стального каната не зависят.
В параметры функций поперечных сил и изгибающих моментов включены слагаемые от опорных реакций. Определяются опорные реакции из условия равновесия балки. При действии нагрузки, вызывающей начальное очертание из решения системы уравнений (2.14)-(2.15). При совместном действии начальной и дополнительной нагрузки из решения системы уравнений (2.16)-(2.17).
Для определения распора в точках крепления воспользуемся уравнением неразрывности деформаций: L0 +M(A,H1) + Mt =L1(H1) , (2.73) где L0 - начальная длина, м; L(A,H1) - упругая деформация, м; Lt - температурная деформация, м; L1(H1) - конечная длина, м. Для нахождения начальной и конечной длины необходимо построить линию равновесия начального и деформированного состояния.
Линия равновесия от действия начальной нагрузки описывается функцией (2.7), если начальные стрела провеса и нагрузка больше нуля ( /0 0A(F0;. 0V 0(JC) 0)), функцией (2.25), если начальная стрела провеса больше нуля, а начальная нагрузка отсутствует (/0 0AF0;. =0A 0(JC) = 0), функцией (2.28) во всех остальных случаях. Распор от действия начальной нагрузки определяется по формуле (2.24) при выполнении условия /0 0 л (F0i 0 v q0 (х) 0), при условии /0 0 л F0i = 0 л q0 (х) = 0 определяется из уравнения (2.26), во всех остальных случая Н0 равен нулю. Начальная длина определяется по формуле (2.22) в ситуации, когда /0 0A(F0! 0V 0(JC) 0), по формуле (2.27) когда /0 0л 0,=0лд0(х) = 0 и по выражению (2.29) во всех остальных случаях. Конечная линия равновесия от совместного действия начальной и дополнительной нагрузки примет очертание по уравнению (2.8). Длина в деформированном состоянии находится из выражения (2.23).
Стальной канат работает только на растяжение. Материал подчиняется закону Гука. Упругая деформация от изменения нагрузки, вызывающей начальное очертание до совместного действия начальной и дополнительной нагрузки при постоянном значении площади поперечного сечения, модуля упругости материала и распора можно записать: М(ЛЯ Ц.}1 + Га 1-,Л) + ]к (2.74) J где Е - модуль упругости материала, Па. Величина температурной деформации определяется по формуле (2.36). Прогиб, включающий упругую деформацию и кинематическое перемещение, можно представить в виде функции от абсциссы и распора, вызванного совместным действием начальной и дополнительной нагрузки:
Рассматриваемая задача оптимизации относится к классу однокритериаль-ных многопараметрических задач условной оптимизации, так как на одну целевую функцию влияет несколько параметров, при этом на нее накладывается ряд ограничений в виде уравнений и неравенств. В этом случае зависимость между целевой функцией и оптимизационными параметрами является нелинейной и выражена не в явном виде, причем оптимизируемая функция продольного усилия вовсе неизвестна. В связи с этим, получение зависимости целевой функции от оптимизационных параметров в аналитическом виде явно затруднено. Исходя из этого, для нахождения экстремума целевой функции разработан метод на основе модифицированной функции Лагранжа.
После нахождения наименьшей теоретической площади поперечного сечения и распора появляется возможность определить вертикальные составляющие опорных реакций в точках крепления. Для опоры A по формуле (2.38) и для опоры B по формуле (2.39).
Комплекс программ оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов
Обзор существующих компьютерных программных комплексов, реализованных с использованием метода конечных элементов, показал, что проводимые в них расчеты основаны на анализе модели, то есть позволяют определять напряженно-деформированное состояние по расчетной схеме, заранее заданной рядом геометрических и физических параметров. При этом теоретическая площадь поперечного сечения элементов является одной из обязательных физических величин, без которой невозможен расчет модели. При таком подходе отсутствует возможность ставить и решать задачи оптимизации параметров, так как площадь по 81 перечного сечения является аргументом, по которому производится минимизация и не известна до момента ее определения [12].
Поэтому на основе приведенных в разделе 2 численных алгоритмов разработан комплекс прикладных программ, позволяющий определять оптимальные физические и геометрические параметры стальных канатов. В этом заключается отличие разработанной системы от существующих программных комплексов. Условием при оптимизации является достаточная прочность и жесткость при минимальной теоретической площади поперечного сечения. Расчет ведется по заданному внешнему воздействию, пролету, разности отметок и горизонтальному смещению опор, физическим характеристикам материала и начальному очертанию.
Комплекс состоит из двух программ. 1. Программа оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014619644) [81]. Главное окно программы представлено на рисунке 3.17. массив абсцисс точек приложения сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки -хш, хщ, м; массив точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки - q0i, q1, кН; массив абсцисс точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки - xq0i, Щ1 , м. Во время ввода исходных данных программой проводится проверка по следующим критериям: количество сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки должно соответствовать количеству абсцисс точек приложения; значения абсцисс точек приложения сосредоточенных сил начальной и дополнительной нагрузки не должны превышать значение пролета; количество точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки должно соответствовать количеству абсцисс данных точек; значения абсцисс точек контура распределенной начальной и дополнительной нагрузки должны задаваться в порядке возрастания и не должны превышать значение пролета; значения модуля упругости, допустимого напряжения, объемного веса и коэффициента линейного расширения материала, а также пролета должны быть больше нуля.
В случае не корректного ввода исходных данных, в строке состояния появляется сообщение с указанием конкретной проблемы. Кнопка «Расчет» становится не активной. Для выполнения расчета, необходимо проверить и исправить введенные значения. После осуществления ввода уточненных параметров появляется возможность сделать расчет, нажав соответствующую кнопку.
После вычислений, выводится окно результатов расчета со значением минимально допустимой площади поперечного сечения из условия прочности и жесткости при заданных физических и геометрических параметрах, что полностью соответствует характеристике принятой в государственных стандартах на стальные канаты, а именно расчетной площади сечения всех проволок в канате. Панель представлена на рисунке 3.18.
При этом программа определяет распор, вертикальные составляющие опорных реакций в точках крепления, максимальное продольное усилие, максимальную ординату конечной линии равновесия и соответствующую ей абсциссу, а так же при заданной абсциссе сечения линии равновесия определяет ординату и прогиб в данном сечении.
Численный алгоритм поиска оптимальных физических и геометрических параметров стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок отражен в виде схемы представленной на рисунке 3.19.
Проверка адекватности метода математического моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок
В качестве оценки адекватности предложенных численных алгоритмов, а также проверки достоверности получаемых результатов, выполним тестовые расчеты двух задач.
Аналитическое решение первой задачи представлено в [69]. Подобрать сечение стального каната с опорами на разных уровнях пролетом /=100 м, если на него действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q1=1,962 кН/м и нагрузка, равномерно распределенная на половине пролета интенсивностью g1=3,924 кН/м. Угол наклона хорды, соединяющей точки крепления =45. Допустимое напряжение материала [о] =981 МПа. Модуль упругости материала "=196200 МПа. Нагрузка вызывающая начальное очертание отсутствует. Расчетная схема представлена на рисунке 4.22.
Автором получено минимально допустимое значение площади поперечного сечения A=0,00081 м2 при заданных физических и геометрических параметрах стального каната. В результате решения по предложенному численному алгоритму оптимизации параметров при действии поперечных статических нагрузок значение составило A=0,000804 м2. Расхождение результатов менее 1%, что говорит о хорошей сопоставимости с данными, полученными по другой методике расчета.
Обзор литературы показал, что в настоящее время отсутствуют методы, а соответственно и примеры по оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов при действии поперечной динамической нагрузки. Поэтому оценивать достоверность результатов, получаемых с помощью численного алгоритма оптимизации параметров при действии поперечного удара, будем на примере задачи со статически действующей нагрузкой, аналитическое решение которой представлено в [28]. Это возможно, потому что воздействие поперечной статической нагрузки является частным случаем вертикального поперечного удара при начальной скорости взаимодействия, ударяющего тела со стальным канатом, равной нулю.
Расчетная схема ко второй задаче представлена на рисунке 4.23. Расчетная схема стального каната: начальное состояние линии равновесия; – конечное состояние линии равновесия от внешнего воздействия Стальной канат с опорами на одном уровне пролетом l=60 м нагружен начальной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q0=0,4905 кН/м.
Начальная стрела провеса в середине пролета f0=2 м. Дополнительная нагрузка интенсивностью q1=4,905 кН/м действует на участке шириной d=40 м. Модуль упругости материала E=196200 МПа. Площадь поперечного сечения A=0,004 м2.
В результате аналитического решения в работе [28] получены значения распора Н1= 835,812 кН и прогиба в середине пролета w(H1,q1,x1)=0,31 м от совместного действия начальной и дополнительной нагрузки.
Решим обратную задачу. Найдем минимальную площадь поперечного сечения из условия прочности и жесткости, распор от совместного действия начальной и дополнительной нагрузки в виде инерционной и саму инерционную нагрузку. Для этого приравниваем предельно допустимый прогиб [w] к полученному в работе [28] значению w(H1,q1,x1). Задаемся расчетным сопротивлением материала []=1570 МПа. Массу ударяющего тела определяем как произведение дополнительной равномерно распределенной нагрузки на ширину участка действия, значение m=20000 кг. Ширина зоны взаимодействия ударяющего тела со стальным канатом равна ширине участка приложения дополнительной равномерно распределенной нагрузки. Начальная скорость ударяющего тела в момент взаимодействия равна нулю. Направление удара вертикальное.
В таблице 4.3 представлены данные, полученные с помощью разработанного численного алгоритма оптимизации параметров при действии поперечного удара, положенного в основу одноименного комплекса программ. Заметим, что определяющим условием при решении задачи явилось ограничение по деформациям.
Результаты, полученные по предложенному алгоритму в геометрически нелинейной постановке, также хорошо согласуются с данными полученными другим методом расчета. Расхождение значений составило не более 5%.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что предложенные алгоритмы по оптимизации геометрических и физических параметров имеют достаточную надежность.
1. Проведены исследования влияния геометрических параметров на аргументы целевой функции. При этом выявлена, значительная обусловленность НДС стальных канатов от предельно допустимого прогиба, первоначальной стрелы провеса и горизонтального смещения опор. Полученные данные исследований позволяют при конструировании и проектировании систем с основными силовыми элементами, выполненными из стальных канатов создать изделия и конструкции с наилучшими характеристиками.
2. На основе проведенных исследований, разработана, изготовлена и запатентована система с основными силовыми элементами, выполненными из стальных канатов, состоящая из двух изделий – металлического свайного фундамента и противотаранного барьера, которые являлись объектом испытания.
3. Проведен натурный эксперимент, в ходе которого исследовано НДС стальных канатов с помощью тензорезисторов, наклеенных на опоры противотаранно-го барьера, благодаря которым удалось определить изменение напряженного состояния в реальном масштабе времени.
4. Во время испытания в зоне контакта автомобиля с противотаранным устройством осуществлялась видеосъемка высокоскоростной камерой, которая позволила определить время действия инерционной нагрузки и детально оценить работу разработанных изделий при действии поперечного удара.
5. В результате натурного эксперимента объект испытания подтвердил свои заявленные технические характеристики. Сопоставление полученных экспери 128 ментальных и теоретических значений параметров НДС стальных канатов показало расхождение в результатах не более 5%. Таким образом, натурное испытание свидетельствует об эффективности принятых предпосылок и методов математического моделирования НДС стальных канатов.
6. Сравнение параметров НДС стальных канатов, полученных с помощью вычислительного и натурного экспериментов, а также с результатами, полученными другими методами расчета, подтвердило адекватность предложенных методов математического моделирования и численных алгоритмов оптимизации параметров. Расхождения значений параметров НДС, принятых за основные критерии сравнения, составило не более 5%.