Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих результатов по исследованию нагрузок, испытываемых затворами водопропускных сооружений 12
1.1. Приложения исследований по плоским отрывным течениям жидкости к практическим задачам в водопроводных галереях шлюзов 12
1.2. Исследование напряженно-деформированного состояния затворов средствами технической теории упругости 16
1.3. Обзор метода граничных интегральных уравнений 20
2. Построение расчетной модели на основе метода граничных элементов для водопропускных сооружений шлюзов 23
2.1. Верификация метода расчета 25
2.2. Неединственность задачи Гольдштика в круге 32
2.3. Метод граничных элементов – численная реализация метода граничных уравнений для течения 35
2.4. Разработка модели течения жидкости за затвором галереи методом граничных интегральных уравнений 38
2.5. Отрывное течение за затвором галереи со смешанными граничными условиями 44
2.6. Сравнение результатов вычислений 49
2.7. Разветвленная часть галереи с двумя выпусками 54
3. Приложение разработанной методики к расчету статических нагрузок во время оперативной работы затворов водопропускных сооружений 63
3.1. Моделирование напряженно-деформированного состояния не полностью закрытых затворов 63
3.2. Расчет напряженно-деформированного состояния не полностью закрытых затворов 68
4. Интерфейсы программ 74
4.1. Расчет статических нагрузок во время оперативной работы затворов 74
4.2. Расчет скоростей в области галереи, примыкающей к выступу 83
4.3. Моделирование течения идеальной жидкости методом конечных элементов 91
Заключение 94
Список литературы
- Исследование напряженно-деформированного состояния затворов средствами технической теории упругости
- Обзор метода граничных интегральных уравнений
- Метод граничных элементов – численная реализация метода граничных уравнений для течения
- Расчет напряженно-деформированного состояния не полностью закрытых затворов
Исследование напряженно-деформированного состояния затворов средствами технической теории упругости
Исследуя в комплексе влияние отрывных течений на конструкции гидротехнических сооружений, обозначим круг задач в данной области. Будем рассматривать методы математического моделирования и определения напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных пластинчатых и оболочечных конструкций, имеющих нарушения регулярности в виде ребер, изломов, различных утолщений, накладок и тому подобных особенностей при произвольной нагрузке и произвольных граничных условиях в приложении к затворам галерей шлюзовых камер. Рассмотрим методы моделирования и определения НДС гидротехнического затвора как конструкции, в которой ребра жесткости имеют значительную жесткость и являются основными несущими элементами наряду с пластиной [11].
До начала 50-х годов для конструирования и расчета применялся приближенный метод расчета в соответствии с общими методами строительной механики [45,49,51]. Этот метод состоит в расчленении всей конструкции на отдельные плоские системы, учете только основных напряжений в элементах и последующем суммировании их в местах примыкания и пересечения расчетных плоскостей. Результаты расчета достаточны для принятия основных решений на ранних стадиях проектирования, но не учитывает работы всех элементов как единого целого.
С 50-х годов выполняется расчет конструкции как пространственной системы. При этом способе расчета плоский затвор состоит из нескольких «жестких планов» - конструкций, воспринимающих при работе на изгиб нагрузки, действующие только в ее плоскости [21,39,41].
С 70-х годов развитие ЭВМ позволило применять к расчету численные методы, наиболее практически значимым из которых является метод конечных элементов (МКЭ) [11,22,38]. Конструкция с позиции МКЭ представляет собой композицию конечных элементов – пластинок, моделирующих обшивку и стенки ребер жесткости; дискретных стержневых элементов, имеющих продольную, крутильную и изгибную жесткости.
В настоящее время в исследовании влияния ребер жесткости на пластинчатые и оболочечные конструкции определилось три возможных подхода к решению вопроса.
Суть первого заключается в изучении ребристых пластин как составных конструкций «пластина – ребро». Такой подход исследовался в работах И.Г. Бубнова [1], С.П. Тимошенко [47], С.Г. Лехницкого [27,28]. Энергия деформации изгиба системы «пластина – ребра» представляется в виде суммы энергий деформации изгиба гладкой пластины и ребер жесткости. Упругая система «пластина – ребра» представляется в виде композиции из полос пластины и ребер. Дифференциальные уравнения равновесия и дополнительные условия, отражающие непрерывность деформаций и силовую картину взаимодействия полос пластины с ребрами на линиях их стыковки, получены из принципа минимума потенциальной энергии упругой системы. Второй подход, основные положения которого формулируются в том числе в работах В.В. Новожилова [36], А.И. Биргера [1], заключается в соответствующей замене ребристой оболочки на оболочку без ребер, но уже с другими механическими характеристиками. То есть, вместо оригинала рассматривается оболочка с априори заданной анизотропией материала, учитывающей общее изменение ее жесткости в направлениях расположения подкрепляющих ее элементов. При этом предполагается, что система подкрепляющих ребер регулярна. Ребра работают на изгиб в плоскости нормальной к срединной плоскости пластины (или поверхности оболочки). Тонкостенная конструкция подкреплена достаточно большим числом ребер жесткости, расположенных на достаточно малом расстоянии друг от друга; допускается как подкрепление пластины (оболочки) ребрами одного направления, так и ортогональной системой ребер жесткости; ребра симметричны относительно срединной поверхности пластины (оболочки).
Третий подход, интенсивное развитие которого началось сравнительно недавно, заключается в том, что конструкция «оболочка – ребра» рассматривается как континуальная, но при этом возможен локальный учет подкрепляющих элементов типа ребер жесткости или включений других назначений, входящих в основную тонкостенную конструкцию. Основой этого подхода является теория обобщенных функций (распределений). Так, в работах Н.А. Назарова [35] дифференциальные уравнения равновесия подкрепленных оболочек выводятся из дифференциального вариационного принципа механики. При этом за основу берутся некоторые из предположений дискретной модели ребристых пластин и оболочек: действия ребер сосредоточены по линиям, совпадающим с координатными линиями срединной поверхности; соединения оболочки с ребрами выполняются так, что удовлетворяются условия совместности деформаций. Предполагается, что жесткости ребер на кручение в тангенциальной плоскости можно не учитывать. Полученные уравнения интегрируются с помощью метода Бубнова-Галеркина. Качественно новый подход в трактовке упругих систем «оболочка - ребра» предложен П.А. Жилиным [19,20]. Уравнения основных поверхностей в выражении для потенциальной энергии системы подкрепленной оболочки записываются с помощью обобщенных функций Хевисайда. На основании свойств этих функций и интегрирования по толщине упругой системы потенциальная энергия представляется в виде суммы потенциальной энергии «гладкой» оболочки и потенциальной энергии подкрепляющих ее элементов. После чего вариационным методом выводится система дифференциальных уравнений равновесия оболочки с включениями в виде ребер жесткости. Влияние ребер учитывается в уравнениях в виде дополнительных слагаемых, содержащих множители с дельта-функцией и ее производными. Такой подход позволяет освободиться от ряда предположений, касающихся взаимодействия оболочки с подкрепляющими ее элементами.
Обзор метода граничных интегральных уравнений
Увеличенный фрагмент рисунка 2.2 (со = 21.012). На Рисунке 2.20 приведен увеличенный фрагмент картины течения, полученный в п.2.4 для условий Дирихле. Сравнение результатов показывает, что Рисунки 2.19, 2.20 не имеют значительных различий, так же как и значения скорректированных величин завихренности: со = 21.012 в первом случае и со = 21.065 во втором. Однако следует отметить, что выполнение вычислений с использованием значений производной от функции тока на ее границе требует вычислений коэффициентов типа Д7 - существенно сингулярной функции, что оказывает отрицательное влияние на время выполнения программы: время выполнения программы из п.2.4 равно 2035 сек.(MatLab - 4919), в данном параграфе - 7878. Таким образом, использование модели с граничными условиями, наложенными лишь на функцию тока, является предпочтительным.
Вычислению сингулярных коэффициентов Д.у уделено внимание в книге [24]. Рассмотрим нахождение интеграла Д. (2.40) с использованием стандартных гауссовых квадратур, примененное в МГИУ с постоянными граничными элементами. Вычисление определенного интеграла от функции / методом Гаусса выполняется по интервалу -1 1 с помощью формулы J/(#)/# = w /(# ), (2.49) где п - количество точек интегрирования (точки Гаусса), и В,к и wk, (k = 1,2,...,) - абсциссы и веса гауссовой квадратуры порядка п [45]. Рассмотрим конечный элемент у, по которому выполняется интегрирование. Этот элемент определен координатами (х-,у.) и (xj+1,yj+1) его точек, выраженных в глобальной системе координат. Для интегрирования по формуле (2.49) необходимо перейти к локальной системе координат. В точке z. (серединном элементе) элемента вводится локальная система координатных осей х и/. Локальные координаты (х ,0) точки z на у -м элементе связаны с глобальными координатами системы ху выражениями
Сравним восстановленные значения функции тока и ее производной на границе с использованием формул (2.41) и (2.52) на следующем примере. Расчетной областью является квадрат, на границе которого для функции у/ определены смешанные граничные условия (Рисунок 2.21). Хотя в настоящей работе исследуются более сложные области, для данного сравнения рассмотрим квадрат, т.к. для него приведен результат вычислений в [24]. Рисунок 2.21. Расчетная область Точное решение: у/ = 100(1 + х). Приведем в Таблице 1 полученный результат. Колонка 1 - формула (2.41), колонка 2 - метод Гауссовых квадратур (2.52) из [24]. Для интегрирования методом Гаусса: количество точек Гаусса я = 4, абсциссы
Параграф 7 – является основной содержательной частью главы 2. В нем исследуется течение в поворотной области галереи с двумя выпусками (Рисунок 2.22). В судоходных шлюзах с большими напорами скорости течения достигают значительных величин, что приводит к возникновению волнений и вихрей против выпусков. Скорости течения на выходе потока распределены неравномерно (выше у вогнутой стенки), что может привести к размыву бетонных конструкций головы шлюза. Для разветвленных галерей известны опытные результаты. В работе [16] для достижения желательного распределения скоростей было предложено применить гасители скоростей в виде выступов, расположенных на вогнутой стороне вертикальной стенки галереи. При изучении предложенных гасителей были произведены лабораторные исследования скоростей потока в выпускных отверстиях галерей, как без применения гасителей, так и с ними [16]. Как показывают эти опыты, результатом применения таких гасителей является более равномерное распределение скоростей по ширине выпуска, причем абсолютные величины наибольших скоростей струи падают примерно в два раза. Вследствие чего обеспечиваются хорошие качества стоянки судов, ожидающих входа в шлюз и возможность ожидающим судам заблаговременно подходить к голове шлюза, что дает экономию во времени шлюзования.
Для математического моделирования течения в галерее с одним выпуском и в [9] была применена модель Гольдштика. В модели предполагается, что в общем вихревом течении за выступом расположена зона обратного вихревого течения. Полученный результат показывает, что наличие выступа позволяет снизить скорости у внешних границ галерей и сдвигает области обратного течения у нижних границ, что подтверждает опытные исследования.
План обходной разветвленной галереи с выступами Рассмотрим течение на участке I, обозначенном на Рисунке 2.22. Упрощенная модель участка, которая будет исследоваться в данном параграфе, представлена на Рисунке 2.23. Течение в этой области состоит из трех вихревых течений: с завихренностью -си0,си0 0 в области D0, с завихренностью а\,а\ 0 в области Д, с завихренностью со2,со2 0 в области D2. Сложность решения задачи заключается в том, течение полностью вихревое, не потенциальное. Требуется сопрягать три вихревых течения, каждое со своей завихренностью. Сформулируем задачу: найти непрерывно-дифференцируемую функцию, удовлетворяющую нелинейному уравнению:
Метод граничных элементов – численная реализация метода граничных уравнений для течения
Методика [11], подробно описанная в п. 3.1. применяется для расчета напряженно-деформированного состояния затвора, исследуемого в параграфе 2.4. Затвор рассматривается как пластина, подкрепленная перекрестной системой ребер жесткости параллельно сторонам. Определим, что материал пластины и ребер жесткости - сталь с модулем Юнга Е = 2х105МПа и коэффициентом Пуассона v = 0.3. Размер пластины по оси х: а = 3м, по оси у: Ь = 3м.
Вертикальные параллельные кромки шарнирно опертые, а другие две (горизонтальные) - свободные. Пластина подкреплена двумя горизонтальными ребрами жесткости и двумя вертикальными ребрами. Координаты расположения ребер х1=1.0 м, х2=2.0 м, =1.0 м, у2=2.0 м (Рисунок 3.1). Обшивка пластины имеет постоянную толщину h = 0.012 м.
Полученная в п. 2.4 картина течения, а также найденные значения функции тока позволяют вычислить при помощи формул численного дифференцирования скорости за затвором и перед ним. Действительно, из формулы полного дифференциала функции тока dy/ = -Vydx + Vxdy, и учитывая, что скорость направлена вдоль поверхности затвора, получаем простую разностную формулу для абсолютной величины вектора скорости. Для расчета результирующего давления на затвор воспользуемся уравнением Бернулли для установившегося течения идеальной жидкости, из которого получим: g = A-A= (V12-v22), (3.21) где р - ускорение свободного падения, Vj, v2 - скорости, рассчитанные в параграфе 2.4. На Рисунке 3.2 изображен график результирующего давления на затвор для различной высоты поднятия затвора. Для каждого режима поднятия затвора давление имеет разнонаправленный характер. Максимальное значение результирующего давления, к примеру для режима поднятия затвора на 30%, за затвором составляет 0ршш =243.7кПа, перед затвором: Пд =65.6кПа. Т.к. максимальное давление с разных сторон затвора действует в разных точках, то требуется принимать в рассмотрение не только абсолютные величины давлений, но и моменты сил давлений. Анализ результатов показывает (рисунок 3.2), что наибольшее результирующее давление перед затвором сосредоточено на уровне середины затвора и возникает в момент открытия затвора. С другой стороны наибольшее результирующее давление за затвором сосредоточено на нижней кромке и увеличивается по мере открытия затвора. Неоднородность распределения давлений приводит к вибрациям при подъеме затвора и подтверждается при исследовании НДС затвора.
На Рисунке 3.2 показаны графики результирующих давлений на затвор. На Рисунках 3.2-3.4 приняты следующие обозначения графиков: 1 - затвор поднят на 50%, 2 - затвор поднят на 30%, 3 - затвор поднят на 10%, 4 - затвор закрыт (нагрузка гидростатическая: напор - 5м). Для получения значения прогибов, графики которых показаны на Рисунках 3.3-3.8, нагрузки q(x,y) подставляются в (3.8). Касательные напряжения сгх, ау, определяемые на тех же уровнях, вычисляются по формулам
Для расчета нагрузок на затвор галереи шлюза создана программа с пользовательским графическим интерфейсом. В программе выполняется построение картины течения в галерее, учитывающее наличие области вихревого течения за затвором, происходит вычисление скорости течения перед затвором и за ним. Указав необходимые значения параметров, можно получить величины нагрузок на затвор. Теоретическая основа программы описана в параграфах 2.4, 3.1. Программа зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности от 03 июля 2014г. за №2014616781: «Расчет давления на затвор обходной водопроводной галереи судоходного шлюза», код представлен в Приложении.
Текстовые поля «Номер текущей итерации» и «Величина завихренности» отображают номер итерации и соответствующее ей значение завихренности и не доступны для редактирования. На объекте интерфейса Plotter отображается текущая линия раздела. Нажатие кнопки «Plot» запустит процесс нахождения линии раздела (Рисунок 4.2). Нажатие кнопки «Stop», которая доступна после запуска, останавливает работу программы.
По умолчанию ребра распределены по пластине равномерно. Перемещение между ребрами выполняется с помощью кнопок со стрелками. Нажатие на кнопку с надписью х или у сменит ось, расположение ребер которой отображаются в следующей строке, соответственно на у или х. Нажатие кнопки «Рассчитать» приводит к расчету прогибов пластины для давления, показанного в окне «Гидродинамические характеристики». На объекте Plotter строится график прогиба (Рисунок 4.6).
Также становится доступным выпадающий список, расположенный в первой строке окна, который определяет какой из графиков отображается на экране. Список состоит из следующих строк: «Прогиб w1», «Изгибное Sx», «Изгибное Sy», «Нагрузка q», «Нагрузка гидростатическая». На Рисунках 4.7-4.10 показан результат выбора элементов из выпадающего списка.
Для моделирования течения жидкости по галерее с одним выпуском, состоящего из разнонаправленных вихревых течений, создана программа с пользовательским графическим интерфейсом. Интерфейс предназначен для удобного ввода данных пользователем и получения картины течения и величин скоростей течения. Теоретическая основа программы описана в параграфе 2.4. Программа зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности от 11 апреля 2013г. за №2013613636: «Метод граничных интегральных уравнений для расчета вихревых течений в водопропускных галереях шлюза».
Расчет напряженно-деформированного состояния не полностью закрытых затворов
Через 6 (x-xy) обозначены функции Хевисайда. Заметим, что функции Хевисайда не являются обобщенными функциями [10], и с ними можно выполнять обычные функции дифференцирования. Функция wJx,y) - какое-нибудь частное решение уравнения V4 w0 = . 0 D Для получения решения задачи необходимо определить неизвестные числовые коэффициенты. Для этого вычислим коэффициенты Фурье wmy(y) (3.5) и wnx(x)(3.6): о wnx(x) = wnx(x)
Алгоритм [11] заканчивается составлением системы линейных уравнений. Для этого надо умножить (3.13) на Л2р/3 и рассмотреть значение функции в точке Решая систему линейных уравнений (3.19), (3.20) совместно с системой уравнений, построенной по граничным условиям (3.2), (3.3) определяем неизвестные числовые коэффициенты Заметим, что форма записи решения в виде (3.8) позволяет удовлетворить практически любым граничным условиям.
Методика [11], подробно описанная в п. 3.1. применяется для расчета напряженно-деформированного состояния затвора, исследуемого в параграфе 2.4. Затвор рассматривается как пластина, подкрепленная перекрестной системой ребер жесткости параллельно сторонам. Определим, что материал пластины и ребер жесткости - сталь с модулем Юнга Е = 2х105МПа и коэффициентом Пуассона v = 0.3. Размер пластины по оси х: а = 3м, по оси у: Ь = 3м.
Вертикальные параллельные кромки шарнирно опертые, а другие две (горизонтальные) - свободные. Пластина подкреплена двумя горизонтальными ребрами жесткости и двумя вертикальными ребрами. Координаты расположения ребер х1=1.0 м, х2=2.0 м, =1.0 м, у2=2.0 м (Рисунок 3.1). Обшивка пластины имеет постоянную толщину h = 0.012 м.
Полученная в п. 2.4 картина течения, а также найденные значения функции тока позволяют вычислить при помощи формул численного дифференцирования скорости за затвором и перед ним. Действительно, из формулы полного дифференциала функции тока dy/ = -Vydx + Vxdy, и учитывая, что скорость направлена вдоль поверхности затвора, получаем простую разностную формулу для абсолютной величины вектора скорости. Для расчета результирующего давления на затвор воспользуемся уравнением Бернулли для установившегося течения идеальной жидкости, из которого получим: g = A-A= (V12-v22), (3.21) где р - ускорение свободного падения, Vj, v2 - скорости, рассчитанные в параграфе 2.4.
На Рисунке 3.2 изображен график результирующего давления на затвор для различной высоты поднятия затвора. Для каждого режима поднятия затвора давление имеет разнонаправленный характер. Максимальное значение результирующего давления, к примеру для режима поднятия затвора на 30%, за затвором составляет 0ршш =243.7кПа, перед затвором: Пд =65.6кПа. Т.к. максимальное давление с разных сторон затвора действует в разных точках, то требуется принимать в рассмотрение не только абсолютные величины давлений, но и моменты сил давлений. Анализ результатов показывает (рисунок 3.2), что наибольшее результирующее давление перед затвором сосредоточено на уровне середины затвора и возникает в момент открытия затвора. С другой стороны наибольшее результирующее давление за затвором сосредоточено на нижней кромке и увеличивается по мере открытия затвора. Неоднородность распределения давлений приводит к вибрациям при подъеме затвора и подтверждается при исследовании НДС затвора.
На Рисунке 3.2 показаны графики результирующих давлений на затвор. На Рисунках 3.2-3.4 приняты следующие обозначения графиков: 1 - затвор поднят на 50%, 2 - затвор поднят на 30%, 3 - затвор поднят на 10%, 4 - затвор закрыт (нагрузка гидростатическая: напор - 5м). Для получения значения прогибов, графики которых показаны на Рисунках 3.3-3.8, нагрузки q(x,y) подставляются в (3.8). Касательные напряжения сгх, ау, определяемые на тех же уровнях, вычисляются по формулам 6Щ
Для расчета нагрузок на затвор галереи шлюза создана программа с пользовательским графическим интерфейсом. В программе выполняется построение картины течения в галерее, учитывающее наличие области вихревого течения за затвором, происходит вычисление скорости течения перед затвором и за ним. Указав необходимые значения параметров, можно получить величины нагрузок на затвор. Теоретическая основа программы описана в параграфах 2.4, 3.1. Программа зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности от 03 июля 2014г. за №2014616781: «Расчет давления на затвор обходной водопроводной галереи судоходного шлюза», код представлен в Приложении.
Текстовые поля «Номер текущей итерации» и «Величина завихренности» отображают номер итерации и соответствующее ей значение завихренности и не доступны для редактирования. На объекте интерфейса Plotter отображается текущая линия раздела. Нажатие кнопки «Plot» запустит процесс нахождения линии раздела (Рисунок 4.2). Нажатие кнопки «Stop», которая доступна после запуска, останавливает работу программы.
Окно «Гидродинамические характеристики» Также в окне построен график результирующего давления, действующего на затвор. Нажатие кнопки «Прогиб» приводит к открытию окна, в котором выполняется построение графика прогиба, изгибных напряжений, давления и гидростатической нагрузки на затвор (Рисунок 4.5). В открывшемся окне необходимо указать значения следующих параметров: