Математическое моделирование поверхностных волн в магнитных жидкостях с цилиндрической формой поверхности Рунова Ольга Александровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Моделирование волн на поверхности цилиндрической конфигурации магнитной жидкости, окружающей длинное пористое ядро в однород ном продольном магнитном поле 14

1.1 Построение математической модели 14

1.2 Решение краевой задачи 19

1.3 Результаты численного исследования дисперсионного уравнения 25

2 Неустойчивость и распад столба магнитной жидкости, окружающей длинное пористое ядро в магнитном поле соленоида 39

2.1 Математическая модель 39

2.2 Вывод дисперсионного уравнения 44

2.3 Численное исследование дисперсионного уравнения 48

3 Распад цилиндрического столба магнитной жидкости с неоднородным (слоистым) ядром 59

3.1 Постановка задачи 59

3.2 Решение краевой задачи 63

3.3 Численный анализ модели 69

4 Неустойчивость и разрушение струи газа в магнитной жидкости 77

4.1 Построение математической модели 77

4.2 Дисперсионное уравнение и его численный анализ 80

4.3 Определение линий тока жидкости и силовых линий магнитного поля 85

Заключение 91

Список использованных источников

• Решение краевой задачи
• Результаты численного исследования дисперсионного уравнения
• Численное исследование дисперсионного уравнения
• Определение линий тока жидкости и силовых линий магнитного поля

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей распространения и неустойчивости поверхностных волн в магнитных жидкостях с цилиндрическими поверхностями раздела. Решенные в диссертации задачи представляют интерес в связи с широким применением магнитных жидкостей в различных областях современной науки и техники.

Магнитные жидкости синтезируют искусственно путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости. Обладая способностью к намагничиванию, такие жидкости взаимодействуют с приложенным магнитным полем, которое способно влиять на их движение. На этом основано практическое применение магнитных жидкостей. Магнитные жидкости используются в качестве магнитоуправляемых смазок в узлах трения; магнитожидкостных герметизаторов, имеющих ряд важных преимуществ перед известными уплотнительными устройствами; в печатающих и чертежных устройствах; в медицине для направленного транспорта лекарственных препаратов; в аппаратах химической технологии, в устройствах транспорта магнитных жидкостей в условиях невесомости.

Большое теоретическое и практическое значение имеет исследование распространения и неустойчивости поверхностных волн в магнитных жидкостях на пористом основании. В связи с исследованием процессов кипения магнитных жидкостей представляет интерес изучение неустойчивости и разрушения струи газа (пара) в таких жидкостях в приложенном магнитном поле.

Вышеприведенные примеры показывают, что исследование поверхностных волн в магнитных жидкостях в приложенном магнитном поле, имеет практический, а также теоретический интерес и является актуальным.

Исследованию распространения поверхностных волн в слое обычной (немагнитной) жидкости, находящейся на пористом основании, посвящены ста-тьи^1,2. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро решена в работе³. Неустойчивость формы магнитной жидкости в поле проводника с током рассмотрена в статье⁴. Результаты изучения неустойчивости струи газа в обычной (немагнитной) идеальной жидкости приведены в работе⁵. Задача исследования распространения и неустойчивости поверхностных волн в маг-

¹ Слезкин Н. А. О влиянии пористости дна на плоскую стоячую волну тяжелой жидкости / Н. А. Слезкин // Из
вестия АН СССР. МЖГ. – 1984. – № 4. – С. 160-163.

² Столяров, И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столя
ров, Н. Г. Тактаров // Известия АН СССР. МЖГ. – 1987. – № 5. – С. 183-186.

³ Миронова, С. М. Распространение волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окру
жающей длинное пористое ядро / С. М. Миронова, Н. Г. Тактаров // Известия РАН. МЖГ. – 2012. – № 4. –
С. 104-110.

⁴ Волкова, Т. И. Неустойчивость формы магнитной жидкости в поле проводника с током / Т. И. Волкова,
В. А. Налетова // Известия РАН. МЖГ. – 2014. – № 1. – С. 5-13.

⁵ Дразин, Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Ф. Дразин; Пер. с англ. Под ред. А. Т. Иль
ичева. – М. : ФИЗМАЛИТ, 2005. – 288 с.

нитных жидкостях с цилиндрическими поверхностями раздела на пористом основании, а также задача о неустойчивости и разрушении струи газа в магнитной жидкости в приложенном магнитном поле ранее не рассматривались.

Объект исследования – поверхностные волны в магнитных жидкостях.

Предмет исследования – математические модели поверхностных волн в магнитных жидкостях с цилиндрическими формами поверхности.

Цель диссертационной работы – построение и численное исследование новых математических моделей распространения и неустойчивости поверхностных волн в магнитных жидкостях с цилиндрическими поверхностями раздела. В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи:

1. исследовать распространение и неустойчивость волн на поверхности цилиндрической конфигурации магнитной жидкости, окружающей бесконечно длинное ядро из пористого материала круглого сечения и находящейся в однородном магнитном поле; провести численный анализ дисперсионного уравнения, описывающего распространение поверхностных волн;

2. исследовать распространение и неустойчивость волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей однородное пористое ядро, в магнитном поле соленоида; найти условия устойчивости (неустойчивости) столба магнитной жидкости;

3. исследовать распространение и неустойчивость поверхностных волн в цилиндрическом столбе магнитной жидкости, окружающей неоднородное (слоистое) ядро, состоящее из внутреннего сплошного твердого цилиндра и окружающей его коаксиально расположенной пористой цилиндрической оболочки;

4. исследовать неустойчивость и разрушение струи газа в магнитной жидкости в приложенном магнитном поле;

5. разработать численный метод и программный комплекс, позволяющие исследовать дисперсионные уравнения, описывающие распространение поверхностных волн; строить графики зависимостей частоты и коэффициента затухания колебаний волны от волнового числа; строить векторные поля и силовые линии магнитного поля.

Научная новизна. В диссертации впервые проведено исследование распространения и неустойчивости поверхностных волн в цилиндрическом столбе магнитной жидкости, окружающей: 1) однородное пористое ядро; 2) неоднородное (слоистое) ядро, состоящее из внутреннего сплошного твердого цилиндра и коаксиально расположенной пористой цилиндрической оболочки, в однородном магнитном поле, а также в поле соленоида. Построена и исследована математическая модель неустойчивости и разрушения струи газа в магнитной жидкости в приложенном магнитном поле.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрической конфигурации магнитной жидкости, окружающей ядро из пористого материала в однородном магнитном поле в неограниченном пространстве.

2. Математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей длинное пористое ядро круглого сечения, в магнитном поле соленоида.

3. Математическая модель распространения и неустойчивости поверхностных волн в цилиндрическом столбе магнитной жидкости, окружающей неоднородное (слоистое) ядро, состоящее из внутреннего сплошного твердого цилиндра и окружающей его коаксиально расположенной пористой цилиндрической оболочки.

4. Математическая модель неустойчивости и разрушения струи газа в несжимаемой, неэлектропроводной магнитной жидкости в приложенном магнитном поле.

5. Программный комплекс, разработанный на основе модифицированного численного метода, для исследования дисперсионных уравнений, описывающих распространение поверхностных волн.

Методы исследования. Для построения математических моделей распространения волн в магнитных жидкостях на пористом основании использовались методы гидродинамики и теории волн. При анализе и исследовании полученных математических моделей использовались методы математической физики, в частности приближенные методы решения краевых задач, метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных; методы теории функций комплексного переменного, высшей алгебры, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование дисперсионных уравнений, численные расчеты были выполнены с использованием пакета Ma-thematica и программ, разработанных на языке С++.

Практическая значимость. Результаты исследований, проведенных в диссертации, могут быть использованы для расчета различных технических устройств и технологических процессов, в которых используются магнитные жидкости, взаимодействующие с магнитным полем. Например, в аппаратах химической технологии, магнитожидкостных герметизаторах, в печатающих устройствах, медицине, в устройствах транспорта магнитных жидкостей в условиях невесомости.

Достоверность научных положений диссертации обеспечивается использованием хорошо известных уравнений Дарси движения жидкостей в пористых средах и других уравнений гидродинамики, применением известных математических методов, а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи результаты, полученные ранее в предположении отсутствия магнитного поля и пористой среды. В частности, из полученных результатов при условии, что радиус пористого цилиндра стремится к нулю, как частный случай следуют известные ранее результаты по распространению поверхностных волн на поверхности струи магнитной жидкости. Для волн, распространяющихся на поверхности жидкого цилиндра при отсутствии магнитного поля, как частный случай следует результат Релея о распаде струи обычной жидкости.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях: Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», 30 октября – 01 ноября 2012 г., г. Пермь; XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред, 18 – 22 февраля 2013 г., г. Пермь; Международная конференция XV Харитоновские тематические научные чтения «Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны», 18 – 22 марта 2013 г., г. Саров; Международная научно-практическая конференция с элементами научной школы для молодых ученых «49-е Евсевьевские чтения», 22 – 23 мая 2013 г., г. Саранск; VI Международная математическая школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е. В. Воскресенского, 6 – 12 июля 2013 г., г. Саранск; XIX Зимняя школа по механике сплошных сред, 24 – 27 февраля 2015 г., г. Пермь; VIII Международная научная конференция «Актуальные вопросы науки и образования», 19 – 22 мая 2015 г., г. Москва; Международная научная конференция «Фундаментальные исследования», 9 – 16 июня 2015 г., г. Хаммамет, Тунис; XI Международная научная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики», 29 июня – 3 июля 2015 г., г. Петергоф, Россия; XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 20 – 24 августа 2015 г., г. Казань.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 16 публикациях, в том числе 4 из списка, рекомендованного ВАК РФ и свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016611005.

Личный вклад. Постановка задач исследования осуществлена совместно с научным руководителем. Личный вклад автора заключается в решении поставленных задач, в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором полностью самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 117 наименований, а также приложения. Общий объем диссертационной работы составляет 144 страницы машинописного текста, включая 39 рисунков и 8 таблиц.

Решение краевой задачи

Численное исследование дисперсионного уравнения осуществлялось модифицированным численным методом, основанном на методе дихотомии и методе хорд. Метод дихотомии дает в общем случае грубое значение корня дисперсионного уравнения. Для уточнения корня воспользуемся методом хорд. Использование метода хорд обусловлено тем, что в методе не требуется непосредственного вычисления производной функции на каждой итерации. Это существенно уменьшает объем вычислений в связи с громоздкостью коэффициентов дисперсионного уравнения. На основе данного модифицированного численного метода были написаны программы для исследования дисперсионных уравнений, рассматриваемых в диссертации.

Для исследования дисперсионного уравнения написана программа на языке С++ (см. Приложение 1). Числовые расчёты проводились для следующих значений параметров, входящих в дисперсионное уравнение (1.2.3): р=1г/см3; Для симметричных возмущений (т = 0) и фиксированных значений а = 0,5 см, а0 = 1,1 см, 0 Я 0 40 Э интервал 0 к 1,8 см"1 делится кри 26 тической точкой kc (Хс= 2n/kc х которая находится из условия Q = 0, на два интервала. В интервале 0 к кс происходит нарастание возмущений ((3 0 ) и волны отсутствуют. Амплитуда возмущения растет с наибольшей скоростью при при котором р достигает максимума. Размер образующихся при распаде жидкого столба капель равен кт 2п/кт [89]. При к —» кс движение жидкости замедляется, т.е. СО —» О , (3 —» 0 . В интервале к к 1,8 см"1 существуют затухающие (р 0) волны. В таблице 1.3.1 приведены значения критического волнового числа кс, максимального волнового числа кт и соответствующего ему максимального значения безразмерного коэффициента нарастания возмущений В т=В ( )в зависимости от напряженности магнитного поля //0 для а=0,5 см, а0 = 1,1 см, т=0 и перечисленных выше значениях остальных параметров. Здесь Р () = Р()[а/ря03Г1/2- безразмерная величина.

Значения волновых чисел кс,кт и безразмерного коэффициента нарастания возмущений р м в зависимости от напряженности магнитного поля Н0 при а = 0,5 см, а = 1,1 см, В таблице 1.3.2 приведены значения кс кт и fi m = $ (кт) в зависимости от радиуса пористого ядра а (0,2 см а 0,9 см) при фиксированном значении а0 = 1,1 см, //()= 20 Э и перечисленных выше значениях остальных параметров.

Значения волновых чисел kc,km и безразмерного коэффициента нарастания возмущений Р т в зависимости от радиуса пористого ядра а при фиксированном значении а0 = 1,1 см, Но= 20 Э, га = а, см 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 см-1 0,621 0,622 0,623 0,624 0,625 0,626 0,629 0,633 km, см–1 0,422 0,424 0,428 0,431 0,432 0,433 0,437 0,440 р т -0,831 -0,817 -0,810 -0,802 -0,787 -0,780 -0,750 -0,728 Из таблицы 1.3.2 видно, что критическое волновое число слабо зависит от радиуса пористого цилиндра и остается равным кс = 0,6 см _1.

В таблице 1.3.3 приведены значения &с, кт и р т = $ (кт) в зависимости от а0 (0,7 см а0 1,4 см) при фиксированной радиусе пористого ядра а = 0,5 см,

Таблица 1.3.3 - Значения волновых чисел кс , кт и безразмерного коэффициента нарастания возмущений р м в зависимости от а0 при фиксированном значении а = 0,5 см, Н0 = Из таблицы 1.3.3 видно, что при увеличении радиуса невозмущенной поверхности магнитной жидкости критическое и максимальное значения волнового числа уменьшаются при фиксированном а = 0,5 см. Максимальное значение безразмерного коэффициента нарастания возмущений по модулю также уменьшается.

На рис. 1.3.1 приведены графики зависимостей безразмерной частоты С0Ч ) = С0( )[а/ра03Г1/2 от волнового числа к для т = 0 при а = 0,5 см; Рисунок 1.3.1 ао = 1Д см. Номерами 1 - 5 обозначены кривые, рассчитанные для различных значений напряженности невозмущенного магнитного поля 7/0 = 0, 10, 20, 30, 40 Э соответственно. Из рис. 1.3.1 видно, что значения частоты колебаний волны с ростом волнового числа к увеличиваются. С ростом напряженности магнитного поля 7/0 значения Q(k) также увеличиваются. На рис. 1.3.2 представлены графики зависимостей безразмерного коэффициента затухания р (к) от волнового числа к для т = 0 при а = 0,5 см; а0 = 1,1 см. Номерами 1 - 5 обозначены кривые, рассчитанные для Я0 = 0, 10, 20, 30, 40 Э соответственно.

На рис. 1.3.5 приведены графики зависимостей безразмерного коэффициента затухания (k) от волнового числа k при m =0 и фиксированных значениях H0 =20 Э, a0 = 1,1 см для разных значений радиуса пористого ядра a . Номерами 1 – 5 обозначены кривые, рассчитанные для a = 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 см соот ветственно. Рисунок 1.3.5 Из рис. 1.3.5 видно, что максимальные значения коэффициента затухания волны (3 (&)с ростом а увеличиваются. С ростом волнового числа значения (3 (&) при каждом заданном а сначала резко возрастают, а затем монотонно убывают. Следует отметить, что при т=0, а0 = 1,1 см, Я0 = 20 Э и изменении а от 0,5 см до 0,9 см безразмерная частота СО (к) слабо зависит от радиуса пористого цилиндра, т. е. при изменении величины а зависимость С0 ( ) практически не изменяется и имеет вид, аналогичный приведенному на рис. 1.3.1. На рис. 1.3.6 приведены графики зависимостей безразмерной частоты колебаний волны (k)от волнового числа k при m =1, а = 0,5 см, а0 = 1,1 см. Номерами 1 – 5 обозначены кривые, рассчитанные для различных значений невозмущенного магнитного поля H0 = 0, 10, 20, 30, 40 Э соответственно.

Результаты численного исследования дисперсионного уравнения

Числовые расчёты проводились для следующих значений параметров, входящих в дисперсионное уравнение (2.2.3): р = 1 г/см3, а = 20 г/с2, Г = 0,8, Л = 0,01 г/см-с, = 0,02 см2, 0 А: 1,5 см"1, =1,8 , Щ = 2 , 13 =1 , Щ= 1 , 0 Я0 40 Э (эрстед, 1 Э =(1 / 4л) 10 3 А/м 79,6 А/м).

Для симметричных возмущений (т = 0) и фиксированных значений а = 0,5 см, а0 = 1,1 см, 0 Я0 находится из условия D = 0, на два интервала. В интервале 0 к кс происходит нарастание возмущений ((3 0 ) и волны отсутствуют. Амплитуда возмущения растет с наибольшей скоростью при к = кт, при котором (3 достигает максимума. Размер образующихся при распаде жидкого столба капель равен 1т 2п/кт. При к к движение жидкости за медляется, т.е. СО —» 0 , (3 —» 0 . В интервале кс к 1,5 см ! выполняется D 40 Э интервал 0 к 1,5 см"1 делится критической точкой кс (Хс= 2п/кс), которая 0 и существуют затухающие (р 0) волны.

В таблице 2.3.1 приведены значения кс, кт, (3 от =$\кт) в зависимости от 7/Q для а=0,5 см, а0 = 1,1 см, Ъ = 1,5 см, т=0 и перечисленных выше значениях остальных параметров. Здесь Р ( 0 = Р()[а/ра03Г1/2 - безразмерная величина.

Из таблицы 2.3.1 видно, что с возрастанием напряженности магнитного поля критическое и максимальное значения волнового числа уменьшаются при фиксированных значениях радиусов пористой среды, невозмущенной поверхности жидкости и соленоида. Максимальное значение безразмерного коэффициента нарастания возмущений по модулю также уменьшается.

В таблице 2.3.2 приведены значения kC, k m, (3 от = (кт) в зависимости от радиуса пористой среды а для т = 0 , а0 = 1,1 см, Ъ = 1,5 см, Я0 = 20. Таблица 2.3.2 - Значения волновых чисел kc,km и безразмерного коэффициента нарастания возмущений р т в зависимости от радиуса пористой среды а при т = 0, a 0 = 1,1 см, 6= 1,5 см, Я = а, см 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Таблица 2.3.3 - Значения волновых чисел kc,km и безразмерного коэффициента нарастания возмущений р т в зависимости от радиуса невозмущенной поверхности жидкости a Q при т = 0, а = 0,5 см, 6= 1,5 см, Я0 = 20 Э На рис. 2.3.1 приведены графики зависимостей безразмерной частоты С0 () = СО()[а/р 203-1/2 от волнового числа к. Номерами 1 - 5 обозначены кривые, рассчитанные для следующих значений напряженности невозмущенного магнитного поля Я0: 0, 10, 20, 30, 40 Э. Радиусы пористой среды, невозмущенной поверхности жидкости и соленоида зафиксированы и равны я=0,5 см, а = 1,1 см, Ь = 1,5 см.

Из рис. 2.3.1 видно, что значения безразмерной частоты колебаний со () монотонно увеличиваются с ростом волнового числа к. При увеличении значений напряженности магнитного поля значения оо (&) также увеличиваются при каждом фиксированном к Рисунок 2.3.1

На рис. 2.3.2 представлены графики зависимостей безразмерного коэффициента затухания (3 (к) от волнового числа к при т = 0, а = 0,5 см; а = 1,1 см, Ь= 1,5 см. Номерами 1 - 5 обозначены кривые, рассчитанные для Я0 = 0, 10, 20, 30, 40 Э соответственно. Из рис. 2.3.2 видно, что значения безразмерного коэффициента затухания волны (3 (к) с ростом волнового числа к сначала возрастают, а затем, по достижению максимума, монотонно убывают. В случае т = 1 частота больше, а затухание возмущений сильнее, чем при т = 0 при одинаковых значениях прочих параметров. Для т 2 движение явля ется апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений.

На рис. 2.3.3 приведены графики зависимостей (k) от волнового числа k для разных значений радиуса невозмущенной поверхности жидкости a0 при m=0 и фиксированных значениях H0 =20 Э, a= 0,5 см, b = 1,5см. Номерами 1 – 5 обозначены кривые, построенные для a0 = 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1 см соответственно.

Из рис. 2.3.3 видно, что значения частоты колебаний волны с ростом волнового числа k увеличиваются. С ростом радиуса невозмущенной поверхности жидкости a0 при фиксированном значении k значения (k) также увеличиваются. На рис. 2.3.4 приведены графики зависимостей безразмерного коэффициента затухания волны (k) от волнового числа k. Номерами 1 – 5 обозначены кривые, рассчитанные для следующих значений радиуса невозмущенной поверхности жидкости a0 = 0,7; 0,8; 0,9; 1.0; 1,1 см. Радиусы пористой среды и соленоида зафиксированы и равны a= 0,5 см, b = 1,5 см; напряженность магнитного поля равна H0 =20 Э.

Численное исследование дисперсионного уравнения

Рассматривается неустойчивость и распад струи газа в несжимаемой, неэлектропроводной магнитной жидкости с постоянной магнитной проницаемостью. Предполагается, что струя газа имеет форму круглого, бесконечно длинного цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Силой тяжести пре небрегается. Однородное приложенное магнитное поле с напряженностью Н0 в невозмущенном состоянии направлено вдоль оси струи с радиусом а. Задача решается в неподвижной цилиндрической системе (г, 0, z) координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Ось z направлена по оси струи. Плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с плотностью жидкости и принимается равной нулю. Величины, относящиеся к струе, обозначаются в необходимых случаях индексом 1, а к жидкости - 2. Пусть X - длина поверхностной волны и со - ее

частота. Предполагая выполненным неравенство соА2 /v »1, где - кинематическая вязкость, воспользуемся моделью идеальной жидкости [66, 116].

Уравнения движения магнитной жидкости при сделанных предположениях имеют вид [81]: Здесь , V , р - плотность, скорость, давление. Влияние магнитного поля на движение жидкости здесь связано с механическими максвелловскими напряжениями на поверхности струи, возникающими вследствие скачка магнитного поля.

Предполагая, что амплитуда поверхностной волны много меньше ее длины [66, 123], линеаризуем первое уравнение (4.1.1) и введем потенциал скорости ф (v =grad9), удовлетворяющий уравнению Лапласа в цилиндрических координатах:

Потенциал скорости ищем в виде Ф = Ф(г)ехр[/(fe + я9 - coOL где к = 2%/Х - продольное волновое число; п = О, 1, 2,... - азимутальное волновое число. Подставляя ф в (4.1.2), получим дифференциальное уравнение Бесселя Ф» + Ф (г) - (к2 + )Ф(г) = О, г г общее решение которого имеет вид Ф(г) = С11п(кг) + С2Кп(кг), где /и и Кп - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка п. Следует принять С1 = О, так как 1п (кг) - оо при г - оо. Уравнение деформированной поверхности струи запишем в виде r = fl + 5(9,z,0, где = 0 Qxp[i(kz + nQ- Ш)], 0 - малая по сравнению с X величина. На поверхности струи нормальная компонента скорости жидкости должна равняться нормальной скорости перемещения поверхности, т.е. X) = d z/dt, или в линейном приближении V = Э/& при Г = Я . Отсюда, с учетом равенства X) = Эф/Эг, следует _іЩ 0Кп(кг) № + rce-coOL (4.1.3) кКп(ка) Магнитное поле в области струи и жидкости определяется из уравнений Максвелла для неэлектропроводной среды в магнитостатическом приближении [95]: гоШ. = 0, divjatf =0 (j =l, 2) . Из этих уравнений следует, что магнитное поле имеет потенциал \/. (Я. = grad\/.), удовлетворяющий уравнению Лапласа А\/. =0. Потенциал \/. запишем в виде \/; =H0z+ \fjw (j = 1, 2), где Z/0Z - потенциал невозмущенного поля, а \/ - малое возмущение, связанное с деформацией поверхности струи. Функции \\f.w будем искать в виде:

Записывая уравнения Лапласа A\/\w = 0 в цилиндрических координатах в областях 1 и 2, получим два дифференциальных уравнения Бесселя для функций Ч Дг). Решения этих двух уравнений имеют вид: % = С31п(кг) + С4Кп(кг) , 2 = С51п{кг) + С6Кп(кг) .

Здесь следует принять С4=0, С5 =0, так как Кп(кг) н о при г О, а при г —» оо что приводит к бесконечно большим величинам соответ ствующих потенциалов.

Граничные условия для магнитного поля на поверхности струи г = а + Ъ) где индексами п и Т обозначены нормальная и тангенциальная компоненты вектора. Выражая поле через потенциал, эти условия можно записать в виде: Здесь n - нормаль к поверхности струи, направленная внутрь жидкости и имеющая вид: п = (п ,п,п ) = (1, ,— 2Ст= — Давления в областях 1 и 2 имеют вид: рх = рю = const, р2 = р20 + pw, где pw- возмущение давления в жидкости; р10, р20- невозмущенные давления. Условие (4.2.1) в линейном приближении: НД Э _Ь 1+Щ+Щ] (4.2.2) 471 dz w 4ті dz [а2 а2 дв2 dz 2 J Здесь возмущение давления в жидкости определяется равенством: pw = -рЭф/Э? [66]. Поскольку плотность газа принимается равной нулю, возмущение давления в газе будет равно нулю. 47ІЛ2[І1Г(Л-1) Й(Л-1)-І2/Й(Л-1Х(Л-1)] Здесь Q - безразмерная частота; Л - безразмерная длина волны; Q = Hl(QLla) l - безразмерный параметр, характеризующий отношение магнитных и капиллярных сил, действующих на поверхности струи. Если Q = О (или jLLx = Ll2), то получается результат, приведенный в [33, 109].

На рис. 4.2.1 приведены графики зависимости квадрата безразмерной частоты 22 от безразмерной длины волны Л для нескольких значений магнитной проницаемости \Х2 жидкости. Номерами 1 - 4 обозначены кривые, рассчитанные для \Х2= 1; 1,5; 2; 2,5 соответственно. При этом бралось значение Q = 20, которому соответствуют, например, следующие значения: а = 1 см, р = 1 г/см3, Я0 = 20 Э, = 20 г/с2. Магнитная проницаемость газа во всех расчетах бралась равной 1 (Щ=1).

Оси координат являются асимптотами для всех графиков. При Л = Л час тота а = 0. Длина волны Л называется критической. Части графиков при лежат выше оси абсцисс и соответствуют устойчивости струи, поскольку в этом случае и частота 1 имеет вещественные значения. Область Л Л соответствует неустойчивости струи, так как при этом Q.2 0, и часто та 1 будет иметь два комплексно сопряженных значения, что приводит к неустойчивости. Как известно, размер пузырей, образующихся при распаде струи будет порядка длины волны X =Л -(2na), соответствующей величине Л , при которой О.2 достигает минимума 12, поскольку амплитуда волны растет в этом случае с наибольшей скоростью. В самом деле, рост амплитуды определяется множителем ехр( СО t), принимающим наибольшее значение при Л = Л , при котором со=(от, где сот = т-л/а/ра3. На рис. 4.2.2 приведены графики зависимости величины Q2 от Л (О Л 4) для различных значений Q при п = 0; щ= 1; \i2 = 2. Номерами 1 - 5 обозначены кривые, построенные для 2 = 0, 20, 40, 80, 100 соответственно.

Определение линий тока жидкости и силовых линий магнитного поля

Из (4.2.4) следует, что все возмущения с « 1 устойчивы, так как в силу свойств Бесселевых функций (/ 0, К 0) выполняется неравенство 12 0 при любых значениях Лии 1. Рассмотрим случай и=0, учитывая равенства 1 0 (х) = 1г (х), К 0 (х) = —К1 (х). В этом случае возмущения поверхности струи не будут зави 82 сеть от угла Э и она будет иметь осесимметричную форму, имеющую вид последовательных сжатий и расширений.

На рис. 4.2.1 приведены графики зависимости квадрата безразмерной частоты 22 от безразмерной длины волны Л для нескольких значений магнитной проницаемости \Х2 жидкости. Номерами 1 - 4 обозначены кривые, рассчитанные для \Х2= 1; 1,5; 2; 2,5 соответственно. При этом бралось значение Q = 20, которому соответствуют, например, следующие значения: а = 1 см, р = 1 г/см3, Я0 = 20 Э, = 20 г/с2. Магнитная проницаемость газа во всех расчетах бралась равной 1 (Щ=1).

Оси координат являются асимптотами для всех графиков. При Л = Л час тота а = 0. Длина волны Л называется критической. Части графиков при лежат выше оси абсцисс и соответствуют устойчивости струи, поскольку в этом случае и частота 1 имеет вещественные значения. Область Л Л соответствует неустойчивости струи, так как при этом Q.2 0, и часто та 1 будет иметь два комплексно сопряженных значения, что приводит к неустойчивости. Как известно, размер пузырей, образующихся при распаде струи будет порядка длины волны X =Л -(2na), соответствующей величине Л , при которой О.2 достигает минимума 12, поскольку амплитуда волны растет в этом случае с наибольшей скоростью. В самом деле, рост амплитуды определяется множителем ехр( СО t), принимающим наибольшее значение при Л = Л , при котором со=(от, где сот = т-л/а/ра3.

На рис. 4.2.2 приведены графики зависимости величины Q2 от Л (О Л 4) для различных значений Q при п = 0; щ= 1; \i2 = 2. Номерами 1 - 5 обозначены кривые, построенные для 2 = 0, 20, 40, 80, 100 соответственно.

В таблице 4.2.1 приведены значения Л , Л и О. при Q = 20 для раз-личных значений \Х2. Видно, что при увеличении \Х2 критическая длина волны личина c увеличивается, размер образующихся пузырей m также увеличивается. Ве- при этом уменьшается. Это означает, что с увеличением размера пу зырей скорость их роста и частота возникновения уменьшаются.

В таблице 4.2.2 даны значения Л , Л и 1 при Ll2 = 2 для различных значений Q. Видно, что при увеличении Q (a, следовательно, при увеличении магнитного поля) значения Л и Л возрастают, 1 - уменьшаются. Это оз начает, что с ростом магнитного поля размер пузырей, образующихся при распаде струи, увеличивается, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Неустойчивость струи газа с возрастанием магнитного поля сдвигается в область более длинных волн. 4.3. Определение линий тока жидкости и силовых линий магнитного поля

Движение жидкости является нестационарным (зависящем от времени), в связи с этим поверхность струи, а также картины векторных полей, линий тока жидкости и силовых линий магнитного поля непрерывно изменяются со временем. Для определенности будем рассматривать линии тока и силовые линии в момент времени t = 0, в какой-либо другой момент времени они будут несколько отличаться от нижеприведенных, но качественно их вид будет таким же.

Уравнение поверхности струи при t = 0 имеет вид: г = а + ,0 cos(kz) . Примем следующие значения величин: п = 0; 0 = 0,2 см; а = 1 cм; к = 0,5 см –1; значение частоты СО, найденное из дисперсионного уравнения, равно 3,3 с-1 при Q = 100 (#0 = 44,7 Э).

Численное интегрирование дифференциального уравнения (4.3.1) дает картины векторного поля скоростей (рис. 4.3.1) и линий тока (рис. 4.3.2). Векторы скорости везде направлены по касательным к соответствующим линиям тока. 6 S

Численное интегрирование дифференциального уравнения (4.3.2) дает картины векторов напряженности H магнитного поля (рис. 4.3.3) и силовых линий магнитного поля (рис. 4.3.4). Рисунок 4.3.3

Рисунок 4.3.6 Выводы к главе 4. Исследовано распространение и неустойчивость волн на поверхности цилиндрической струи газа в магнитной жидкости в приложенном магнитном поле, направленном вдоль оси струи. Для симметричных возмущений (п = 0) область безразмерных длин волн 0 Л 4 делится критической точкой Л на две области, в одной из которых (0 Л Л ) существуют незатухаю щие волны, а в другой Л Л - все возмущения нарастают со временем, при-водя к неустойчивости струи и ее распаду на пузыри газа. Показано, что при увеличении магнитного поля критическая длина волны Л и размер пузырей образующихся при распаде струи, увеличиваются; а скорость роста пузырей и частота их возникновения уменьшаются. Приведены картины векторных полей, линий тока жидкости, силовых линий магнитного поля, линий равного давления при t = 0. Полученные результаты представляют интерес в связи с изучением кипения магнитных жидкостей.