Содержание к диссертации
Введение
глАва 1. Математические модели продольного удара стержневых ситем
1.1. Основные типы ударных машин и механизмов 9
1.2. Модели продольного удара в стержневых системах 11
1.2.1. Модели продольного удара стержней как абсолютно твердых тел» 11
1.2.2. Модель удара Герца 12
1.2.3. Модель Релея продольного удара стержней 14
1.2.4. Модель удара сосредоточенной массы по стержню без учета распределенных сил инерции стержня 17
1.2.5. Модель удара сосредоточенной массы по стержню без учета распределенных сил инерции стержня, ориентированная на определение коэффициента динамичности * 20
1.2.6. Модель удара сосредоточенной массы по стержню, ориентированная на определение коэффициента динамичности с учетом приведенной массы стержня... 23
1.2.7. Энергетическая модель удара 27
1.2.8. Модель удара, когда распределенная масса стержневой системы заменена множеством сосредоточенных масс (дискретная модель) 29
1.2.9. Волновая модель продольного удара сосредоточенной массы по стержню, взаимодействующему с абсолютно жесткой
преградой (модель продольного удара Сен-Венана) 37
1.2.10.. Волновая модель продольного удара по стержню с разнородными участками 40
1.3, Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границах стержневой системы 42
1.3.1. Преобразование продольной волны при переходе через произвольное сечение 42
1.3.2. Граница - свободный торец 44
1.3.3. Граница-абсолютно жесткая преграда на торце стержня 50
13.4, Граница - сосредоточенная масса на торце стержня 55
1.3.5. Граница - линейный упругий элемент на торце стержня 61
1.3.6. Граница- сопряжение разнородных участков стержня 67
1.3.7. Граница - идеальное сопряжение разнородных участков стержня при падающих на границу прямой и обратной волн 74
1А Постановка задачи исследования 78
ГЛАВА 2. Математическое моделирование продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду при неудерживающей связи в ударном сечении
2.1, Моделирование удара двухступенчатого стержня о жесткую префаду при меньшей продольной жесткости поперечных сечений ударного участка стержня в направлении жесткой преграды * 80
2.2, Моделирование продольного удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при большей продольной жесткости поперечных сечений ударного участка стержня в направлении жесткой преграды 91
2.3, Моделирование продольного удара многоступенчатого стержня о жесткую преграду в случаях повышения и понижения продольной жесткости поперечных сечений участков в направлении ударного сечения 99
ГЛАВА 3. Математическое моделирование продольного удара однородных стержней о жесткую преграду при неудерживающей связи в сечении их взаимодействия и в сечении взаимодействия с преградой
3.1. Моделирование продольного удара однородного стержня меньшего поперечного сечения по однородному стержню, взаимодействующему с жесткой преградой 123
3.2. Моделирование продольного удара однородного стержня большего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой 134
33, Моделирование продольного удара однородных стержней, при большей продольной жесткости их поперечных сечений в направлении жесткой преграды 142
3.4. Моделирование продольного удара однородных стержней, при меньшей продольной жесткости их поперечных сечений в направлении жесткой преграды 149
ГЛАВА 4. Математическое моделирование продольного удара однородного и неоднородного стержней о жесткую преграду, при неудерживающих связях в сечении их взаимодействия и в сечении, взаимодействующем с преградой
4.1. Моделирование продольного удара стержня меньшего поперечного сечения по ступенчатому стержню, взаимодействующему с жесткой
преградой, при неудерживающих связях в ударном сечении 158
ГЛАВА 5. Математическое моделирование продольного удара ступенчатого и однородного стержней о жесткую преграду, при неудерживающих связях
5.1. Моделирование продольного удара ступенчатого стержня по однородному стержню, взаимодействующему с жесткой преградой, при неудерживающих связях в контактном сечении и в преграде 178
Заключение 200
Библиографический список
- Модели продольного удара стержней как абсолютно твердых тел»
- Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границах стержневой системы
- Моделирование продольного удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при большей продольной жесткости поперечных сечений ударного участка стержня в направлении жесткой преграды
- Моделирование продольного удара однородного стержня большего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой
Введение к работе
Выполнение многих технологических операций в машиностроении, металлургии, горном деле, строительстве, производстве строительных материалов, и прочих многочисленных отраслях связано с ударной обработкой и разрушением различных материалов. Машины, как средства, основанные на применении удара, используются для выполнения работ, связанных с возбуждением в обрабатываемом материале значительных по величине усилий, приводящих к разрушению материала или его деформированию (например, машины для штамповки деталей, ковки, разрушения горных пород, бетонных покрытий, погружения свай и т. д.). Эффективность применения таких машин во многом обусловлена тем, что разрушение материала или его деформирование во многих технологических процессах определяется уровнем возникающих напряжений, а не продолжительностью их воздействия,
В основе технологических операций с использованием машин ударного действия лежит нанесение продольного удара неоднородного упругого стержня или системы стержней.
Постановка задачи о продольном ударе стержня с учетом его распределенной массы и описания движения поперечных сечений волновыми уравнениями была сформулирована в 19 веке в работах Навье, Буссинеска, Сен-Венана, Сирса. В 20 веке исследования продольного удара стержней получили развитие в работах Тимошенко С, П, [134], Динника А, Н. [48], Бержерона Л, [24], Доброгурского С. О. [49], Герсеванова Н. М [40], Бидермана В. Л. [25], Кильчевского Н. А, [70 - 73], ГольдсмитаВ. [41], Кольского Г. [81], Александрова Е. В., Соколинского В. Б, [5], Беляева Ю. В. [20 - 23] , Саймона Р. [119], Фишера Г, [144], Флавицкого Ю. В. [145], Хомякова К. С, [147], Хоукса И., Чакраварта П. [148], Зегжды С. А. [56], Клея Р. В. [75], Иванова К. И., Андреева В. Д. [57 - 60], Алимова О. Д. [7 - 9], Дворникова Л. Т. [47], Шапошникова И, Д. [151], Еремьянца В, Э. [50, 51], Ман-
7 жосова В. К. [96 - 101], Стихановского Б. Н. [130, 131], Мясникова А. А. [103], МалковаО.Б. [93], СаруеваЛ, А, [121, 122], Слистина А. П[125- 127] и других.
В известных работах модель учета неудерживающих связей в задачах продольного удара стержней сводится к тому, что процесс удара считался завершенным, если в ударном сечении возникла деформация растяжения, и происходил разрыв связи» Возможность повторного соударения стержней исследователями, как правило, не рассматривалась. Такая модель продольного удара с одной стороны отсекала информацию о последующем нагружении стержня при повторных соударениях, а с другой стороны представляла некорректную информацию о восстановлении скорости стержня при продольном ударе. В этом плане исследования продольного удара в стержневых системах с учетом неудерживающих связей и возможности повторных ударов актуальны.
Предлагаемая работа посвящена математическому моделированию продольного удара неоднородного стержня и системы стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях с жесткой преградой и в контактных сечениях. При моделировании анализируются волновые процессы, происходящие на участках стержневой системы после разрыва неудерживающих связей.
Целью работы является выявление взаимосвязи между величинами напряже
ний и деформаций, возникающих при ударе и распространяющихся в виде
волн по участкам стержневой системы, и параметрами этой системы с уче
том неудерживающих связей.
Методы исследования основаны на использовании
существующих положений теории удара;
решений задач о продольном соударении стержней с использованием одномерной волновой теории Сен-Венана и метода Даламбера для описания процесса распространения волн в конечных элементах стержневой системы;
математических принципов аналитического решения дифференциальных уравнений;
математического моделирования продольного удара в стержневой системе, представленной в виде множества сопряженных конечных элементов, с учетом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей.
Научная новизна результатов, выносимых на защиту.
Разработана новая модель продольного удара неоднородной стержневой системы с учетом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей в системе,
Впервые осуществлен процесс моделирования продольного удара неоднородного стержня и системы стержней о жесткую преграду с использованием волновой модели с учетом разрыва контактов и их последующего замыкания в сечениях с неудерживающими связями при различных параметрах стержней и различном предударном состоянии,
При решении задачи продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду выявлена связь максимальной продольной деформации в ударном и опасном сечениях стержня, продолжительности ударного нагружения с длиной ударного и опасного участков стержня, а также с площадью поперечных сечений на данных участках.
При решении задачи продольного удара однородного и неоднородного стержней при неудерживающих связях с преградой и в переходном сечении выявлена связь между количеством повторных соударений стержней в сечениях с неудерживающими связями и предударным состоянием стержневой системы, соотношением длин и площадей сечения однородных участков стержней.
Практическая ценность. Результаты исследований могут быть использованы при расчете и проектировании различных технических систем, использующих ударные технологии.
Модели продольного удара стержней как абсолютно твердых тел»
Рассмотрим схему продольного удара, представленную на рис. L2.7.
Стержень 1 массой m{t имея скорость V0 в направлении продольной оси х, наносит удар по левому торцу стержня 2 длиной /, правый торец которого взаимодействует с абсолютно жесткой преградой. Масса стержня равна т2.
Предполагается, что в момент остановки стержня 1 ударная сила достигает максимального значения Ршк и кинетическая энергия Тх ударяющего стержня 1 преобразуется в потенциальную энергию деформации соударяющихся тел. Предполагается также, что все поперечные сечения стержней 1 и 2 находятся в одинаковом напряженном состоянии и продольная деформация є в поперечных сечениях одна и та же. Рассмотренная модель продольного удара позволяет сравнительно просто оценить максимальнее ЯИ&ЧЄЇШЙ ударной силы. Однако данный подход базируется на произвольных предположениях о &p&rrt pe д формирошіїшя со-ударншш тсл? шторми не являются откидными.
И-шеешо точное решение задачи упругою продольного удара однородного стержне о жесткую преграду [5, 9, 108], тщш учитывается рщ:прделсп нж масса стержня. Максимальное по модулю значение напряжений в ударном сечении Б 1,73 разе превышает значения напряжений но энергетической модели и сшттю это с некорректным предположением о характере деформирошшая стержня при ударе
Это дискретная модель стержневой системы. Чем большее количество сосредоточенных масс заменяет массу стержня, тем точнее дискретная модель будет соответствовать модели стержневой системы с распределенной массой. Однако описание такой системы и процедура ее анализа становится громоздкой.
Если, например, масса стержня тс существенно меньше ударной массы М (тс« ЛД то можно пренебречь массой участков (рис. 1.2.10, а), приняв (т/-0, п%2 = 0,.., тп = 0). Тогда из (1.2.83) имеем им = - 8тт Мйм+ 5тт-Р , или й«+Г ( -й = 0- (ІХІА) лгги
Если массу стержня учесть некоторой приведенной массой тт сосредоточенной в ударном сечении (рис. 1.2.83,6), то из (1.2.83) следует или й»+ г! :( -8 - ) = 0. (1.2.8.5)
Если массу стержня учесть некоторой приведенной массой mn, сосредоточенной в точке х„ (рис, 1,2.10, в), то из (1.2.8.3) следует ип = -Ьпп тпііп -Ь Мйм+Ьпт Рп, Им =- 5mm WM4+ Snm PcT , (1.2.8.6)
Процедура описания движения системы может быть распространена, когда число масс, заменяющих массу стержня, равно двум, трем и так далее.
Распространена и другая форма описания движения сосредоточенных масс при продольном ударе механической системы, схема которой представлена на рис. 1.2.11.
При продольном ударе со скоростью v однородного стержня массой тс о жесткую преграду стержень может быть представлен и-м количеством сосредоточенных масс тХ9 т2, ..., тл_2, т ]9тя с упругими элементами жесткостью с12, с2 3,-" л_2,_рсл_ч,с„ (рис, 1.2.11).Причем ЕА l/ +l/c + .+l/c +l/c +l/c l/c, с = / = Л _4 _ ЕА _ЕА 4,2 2,3 н-2тл-1 »"U я где р - плотность материала стержня, А - площадь поперечного сечения стержня, / - длина стержня, Е - модуль упругости первого рода материала стержня, /]2 - длина участка стержня между массами щ и да,, /21 -длина участка стержня между массами т2 и т3, / - длина участка стержня между массами тп1 и тяР / я - длина участка стержня между массами "Vi и mn9ln- длина участка стержня между массами тп и жесткой преградой
Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границах стержневой системы
Рассматриваются стержневые системы, движение поперечных сечений которых вдоль оси стержня описывается волновым уравнением вида дгщ(хд)_ 1 Fufat) а 2 2 л.г м -х- Ч ox at at где Wj(x,0 - смещение сечения на г-м однородном участке стержня; af -скорость распространения волны на г -м однородном участке; х - координата сечения, t - время, /м и // - координаты границ однородного участка.
Решение уравнения по Даламберу представляется в виде суммы двух неизвестных функций ut(x9t) = fi(alt-x) + pi(ait + x), (1.3.1.1} где f. (tf./ -х) - функция, описывающая волну деформации, распространяющуюся со скоростью а. по стержню в направлении продольной оси стержня х (прямая волна); ), (а/ + х) - функция, описывающая волну, распространяющуюся со скоростью at по стержню в противоположном направлении (обратная волна).
Параметры волны не меняются до тех пор, пока они не достигнут границ однородного участка стержня. На границе происходит преобразование волны, возникают эффекты прохождения волны через границу разнородных участков, отражения волны. Естественно, что вопрос прогнозирования и расчета процесса преобразования волны на границе разнородных участков стержня является важным при анализе рассматриваемых механических систем. Эта проблема затронута в работах [5,9] и других публикациях.
Рассмотрим стержневую систему, схема которой изображена на рис, 1.3.1 По стержню распространяется прямая волна, параметры которой в сечении х описываются некоторой функцией fiat — х). м і №ій+ $ х = p(at + x) ip{at + l) Рис. 1.3.1 Предположим, что в сечении х = I имеется некоторая граница. Предположим также, что от рассматриваемого сечения х до границы х = I стержень однороден. Прямая волна f(at - х), которая распространяется по стержню со скоростью а, достигает границы х = 1 через промежуток времени 1-х т = а Так как участок стержня до границы однороден, параметры волны не изменятся и в сечении х - / прямая волна будет описываться функцией f(at-l). Причем . 1-х, a(t )-JC (1.3.1.2) f(at-l) = f{at-l + x-x) = f а т.е. функция f(at -1) соответствует функции f{at - х), но с запаздыванием 1-х на величину т = а
Волна f(at-l) на границе х = 1 преобразуется: часть ее пройдет через границу, а часть отразится. Отраженная волна будет описываться некоторой функцией p{at + l), которая распространяется по стержню со скоростью а противоположно оси Л: И достигнет сечения х также через промежуток времени г. Опишем обратную волну в сечении д: функцией (p{at + х). Причем a(t ) + / a (1.3.1.3) p(at + х) = p{at + I + x-l) = p т.е. функция p(at + x) соответствует функции p{at-\-l) но с запаздыванием 1-х на величину г = а Смещение сечения стержня и(х, t) - f(at -х)± (p{at + х). (1.3.14) Считаем, что параметры прямой волны f(at-I) нам известны. Параметры же обратной волны p{at + х) определяются из условий преобразования волны f(at - /) на границе. Рассмотрим различные граничные условия.
Диаграммы изменения скорости сечения с координатой х и деформации в этом сечении представлены нарис. 13,9.
Полученные результаты позволяют высказать следующее. На интервале 0
Моделирование продольного удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при большей продольной жесткости поперечных сечений ударного участка стержня в направлении жесткой преграды
Рассмотрим модель продольного удара двухступенчатого стержня массой т и длиной /, движущегося со скоростью VQ3 о жесткую преграду (рис. 2.2.1). В переходном сечении :с=/ сопряжение первого и второго участков стержня. Vo X к . Рис 2,2.1. Схема удара двухступенчатого стержня при большей продольной жесткое ш поперечных сечений его ударного участка Движение поперечных сечений стержня описывается волновыми уравнениями д2щ(х,і) 1 д2щ(х,і) dt а дх -О, 0 х /,9 (2.2.1) d2u2(x,t) 1 d1u1(xj) Ы а дх = 0, 1\ х К (2.2.2) где u\(x,t), U2{x t) - продольные перемещения поперечных сечений соответственно первого и второго участков, х - координата сечения, t - время, а - скорость распространения продольной волны деформации. Начальные условия определяют состояние участков стержня перед соударением с преградой: при t =0 5/ от dt dx
Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х=0 и равенство нулю скорости сечения х=1 при взаимодействии второго участка стержня с жесткой преградой: 5к 3/ а также определяют равенство сил и условия сопряжения стержней в сечениях х = / при непосредственном их взаимодействии 1 дх l дх dt dt где Е - модуль упругости первого рода, А\ и Ai - площади поперечных сечений соответственно первого и второго участков. По методу Даламбера решение уравнений (2.2.1) и (2.2.2) представим в виде ul(x,t) = fi(at-x)+n(at+x), 0 /b (2.2.6) «2 ( 0 = h (at -х) + П (at + х\ 1\ х 1{+12, (2.2.7) e{{x,t)J- -= -fi(at-X)+ p[(at+x), (2.2.8) dx УїШ= ЬИ&й= dif{(at-x)+9l(at+x)], (2.2.9) of B2{x,f)= = - fi{at-x)+ {at + x), (2.2.10) OX = a[fi(at-x)+9 2{at+x)l (2.2.11) где f](at-x), f2(at-x) - функции, описывающие прямые волны, распространяющиеся соответственно по 1-му и 2-му участкам в направлении оси х; Р(а/+х), Р2(а/ + х) -функции, описывающие обратные волны, распространяющиеся по первому и второму участкам в противоположном направлении; f{(at-x), fjiat-x), (p\{at + x)i (at + x) - производные функций. Перейдем к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные волны: f\at-x) =ff(at-x)/ ; tp\al + x) = p (at + x)f—. Отно a a сительная продольная деформация в сечении и скорость этого сечения соответст у(х t) — венно: e(x9t) = - f (at-x) + pr(at + x) v {x,t) =- - -= /ХаІ-х)+ рХаі + х).
В данной работе осуществлено моделирование удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при длине /j =0,2/, /=0,4/, /]=0,5/, / =0,6/, /=0,8/ и различном соотношении площадей поперечных сечений предыдущего участка к последующему А-—-: Л=0?5, ,4=0,33, (см. приложения 1, 2). Данные значе А2 ния А выражают большую продольную жесткость поперечных сечений ударного участка стержня (А 1), В качестве примера рассмотрен продольный удар двухступенчатого стержня — А\ о жесткую преграду при 1\ =0,2/ и А=— = 0,5 (рис. 2.2,4). Построено поле со А2 стояний (рис. 2.2,5).
Схема удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при Ц = 0,2/ При /=0 в ударном сечении х=1 сформируется новая обратная волна (p2{U 0)=-0,5 (линия / - 1, рис- 2,2.5) на основании граничного условия (2.2.4), При /=0,8//я эта волна подойдет к переходному сечению х-1\. При падающих слева на переходное сечение начальной прямой волны / (я,0)=0,5 и обратной волны (/,0)=-0,5, сформируются новые прямая волна справа ,/2( bO=W7 (линия 7-6, рис. 2.2,5) и обратная волна слева pj(/i,/)=0383 (линия 1 -2, рис, 2.2.5),
В области первого состояния второго участка IIj поперечные сечения этого участка охвачены начальной прямой / ( 0)=0,5 и новой обратной %(/, 0)=-0,5 волнами. Относительная продольная деформация поперечных сечений в данной области EjCM)"" относительная скорость Р С О =0- Длительность этого состояния для произвольного сечения второго участка определяется разностью ординат і, которые имеют точки линий 1-І и 1-6 для этого сечения. В области первого состояния первого участка її поперечные сечения этого участка охвачены начальной прямой волной /Q(X,Q)=0,5 и обратной волной $(/ьО=0,83 (линия / -2, рис. 2.2.5). 4 =- 0,31 E 2= - 0,07 \П, Лі= 0,55 = v2-0,93 H5 ХИьУ2=-0.89 s Рис, 22.5. Поле состояний при ударе двухступенчатого стержня о жесткую преграду в случае большей продольной жесткости поперечных сечений в направлении жесткой преграды При t=]t2l/a обратная волна f j(/],f)=0,83, отразившись без каких-либо изменений от свободного сечения х=0 в виде прямой волны /ft/],/)=0,83 (линия 2-3, рис. 2.2.5), подойдет слева к переходному сечению, на которое справа будет продолжать падать обратная волна (/,0)=-0,5. Это приведет к образованию новых прямой волны справа f2(l\ft)=-QJ2 (линия 3 - 10, рис. 2,2.5) и обратной волны слева # j (/[,/)=- 0,39(линияЗ -4, рис. 2.2.5).
В области третьего состояния второго участка 1 поперечные сечения этого участка будут охвачены прямой волной (/1,/)=-0,72 и обратной волной (/,0)=-0,5. Относительная продольная деформация поперечных сечений в данной области 2 ( ,/)-0,22, относительная скорость V2(xJ)=-1,22,
В области второго состояния первого участка І2 поперечные сечения охвачены прямой волной /і (/ь0- 0»83 и обратной волной #ї[(/і,/)=-0,83. В результате относительная продольная деформация є\ в данной области будет равна нулю, относительная скорость vj =-1,66.
В области третьего состояния первого участка 13 поперечные сечения будут охвачены прямой волной //(/(,/)=-0,83 и обратной волной # [(/],/)=-0,39. Относительная продольная деформация є\ (#,/)=0,44, относительная скорость РІ=-1Д2.
В момент времени t=2fil/a прямая волна fi(litt)=-0972 (линия 3 - 10, рис. 2,2.5) подойдет к ударному сечению х=1. Ввиду неудерживагощеи связи с жесткой преградой в данном сечении, волна /;}(/],/)=-0372 вызовет отрыв ступенчатого стержня от преграды, В дальнейшем, повторные соударения стержня с преградой не наблюдаются.
Моделирование продольного удара однородного стержня большего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой
При моделировании продольного удара однородного стержня большего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой, математическое описание (ЗЛ .1),(3.1.2) и (3 1,3)- (3.1.7) п. 3.1. остается без изменений. Осуществлено моделирование удара однородных стержней с длинами /] =0,2/, / =0,4/, /f =0,5/, /]=0,6/, / =0,8/, при соотношении площадей поперечных сече " А\ ний предыдущего участка к последующему А - -: А=2 и Л=3, (см. прило 2 жения 8, 9 ). і ll+l2
Рассмотрим продольный удар однородного стержня большего поперечного сечения о покоящийся однородный стержень, взаимодействующий с жесткой пре градой при /і-0,5/ и А-3 (рис. 3.2.1). Методом характеристик построено поле состояний (рис. 3,2-2),
При t=0 начальная прямая волна / ( ,0)=0,5 подойдет к ударному сечению х=1]ш Справа на это сечение падает начальная обратная волна pg(.r,0)=0, поскольку второй стержень покоится- В этом случае в ударном сечении х=1\ сформируются новая прямая волна справа f (at -1\ )=0,75 (линия /-2, рис, 3.2,2) и новая обратная волна слева Щ(а1+1\)-0,25 (линия 1 - 1/а9 рис, 3,2.2),
В области первого состояния первого участка 1 (однородного стержня 1) поперечные сечения этого участка будут находиться под влиянием начальной прямой волны /Q(JC,0)=0,5 и обратной волны Щ(1\90)=0,25, Относительная продольная деформация в данной области J(JC,/)=-0,25, относительная скорость v, ( /)=0,75.
В области первого состояния второго участка П (однородного стержня 2) его поперечные сечения будут охвачены начальными нулевыми прямой /о(а/-0)=0 и обратной pQ(at +0)=0 волнами. Относительная продольная деформация поперечных сечений в области Пі и относительная скорость будут также нулевыми,
В области второго состояния второго участка Пг поперечные сечения охвачены
прямой волной /2 (at-li)=0J5 и обратной волной %(at + 0)=0. Относительная продольная деформация Є2Іх9і)-- 0,75, относительная скорость V2(x,t)=0J51
При t-lla прямая волна /2(аґ-/і)=0,75 подойдет к сечению #=/, которое взаимодействует с жесткой преградой» и отразится от этого сечения в виде обрат . Поле состояний при ударе однородного стержня большего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой ной волны противоположной по знаку iffy {ей + /)=-0,75 (линия 2-3, рис. 3.2.2).
В момент времени t=\,5l/a данная волна подойдет к сечению x-l\. Этими вол нами будут охвачены поперечные сечения второго участка в области его третьего состояния П3. Относительная продольная деформация S2(x9t)=-19 относительная скорость p2(#,f)=0.
В это же время слева к сечению подойдет прямая волна f{(at-Q)=0925 (линия На - 3, рис. 3.2.2), сформировавшаяся в результате отражения обратной волны Щ(аі+1\)=0925 от свободного сечення х=0 при t=lla Данными волнами будут охвачены поперечные сечения первого участка в области его второго состояния І2. Волны f{(at-0) и p[(at+I\) по величине равны между собой, поэтому относительная продольная деформация є\ (x,t) в данной области будет равна нулю. Относительная скорость в области І2 V] ,/)=0,5.
При падающих волнах //(0/-0)=0,25 и (аї + /)=-0,75 на сечение х=1\ в момент времени t=1,51/а в данном сечении сформируются новые прямая волна справа /2(д/-/])=0,75 (линия 3-4, рис. 3.2.2) и обратная волна слева Щ(Ш+1\)=-0925 (линия 3 -21/а, рис. 3.2.2).
При t=2,0l/a прямая волна fi(at-l\)=0,75 подойдет к сечению х-l, взаимодействующее с жесткой преградой, и отразится от сечения в виде обратной волны 2 (a/+ /)=-0,75 (линия 4 -5, рис. 3.2.2), которая достигнет сечения х-1\ в момент времени /=2,5//а.При t=2,5l/a к сечению х=1] слева подойдет прямая волна //(а/-0)=-0,25 (линия 21/а - 5, рис. 3.2.2), возникшая в результате отражения от свободного сечения х 0 обратной волны й ( +/і)=-0,25.
В момент времени t=2,5l/a в сечении х=1\ образуются новые прямая волна fi(at-l\)-0 (линия 5-6, рис. 3.2.2) и обратная волна р{ (at+1\)=-0,5 (линия 5 -31/а, рис. 3.2.2).
Похожие диссертации на Математическое моделирование продольного удара неоднородных стержневых систем о жесткую преграду при неудерживающих связях
