Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи 11
1.1. Постановка задачи 11
1.2. Свойства потенциала двойного слоя . 15
1.3. Сведение задачи к интегральному уравнению 17
1.4. Восстановление поля и его характеристик в дальней зоне по решению
интегрального уравнения 20
Глава 2. Численная схема 23
2.1. Дискретизация задачи 23
2.2. Составление системы линейных алгебраических уравнений 24
2.3. Вычисление интегралов со слабой особенностью по ячейкам разбиения 27
2.4. Расчет эффективной площади рассеяния 29
Глава 3. Обоснование сходимости численной схемы 30
3.1. Гиперсингулярное интегральное уравнение для задачи дифракции на плоском экране 30
3.2. Используемые обозначения и классы функций 31
3.3. Разрешимость уравнения (3.3) 33
3.4. Доказательство сходимости численной схемы решения уравнения (3.3) 36
Глава 4. Программная реализация численного метода и его тестирование 50
4.1. Описание комплекса программ 50
4.2. Решение интегрального уравнения на поверхности сферы 52
4.3. Дифракция акустической волны на жесткой сфере и жестком диске 57
4.4. Дифракция акустической волны на жестких поверхностях в форме частично заполненных диска и параболоида 65
4.5. Задача дифракции на системе объектов 81
Заключение 84
Литература 86
- Свойства потенциала двойного слоя
- Составление системы линейных алгебраических уравнений
- Разрешимость уравнения (3.3)
- Дифракция акустической волны на жесткой сфере и жестком диске
Свойства потенциала двойного слоя
В статье [7] был предложен численный метод решения данного уравнения, основанный на кусочно-постоянных аппроксимациях неизвестной функции и методе коллокаций. При этом возникала система линейных уравнений, коэффициенты которой выражались через интегралы по ячейкам разбиения с сильной особенностью и эти интегралы вычислялись численно.
В настоящей работе предлагается преобразовать уравнение (1.13), выделив в нем главную особенность в явном виде. За счет этого удается добиться следующего.
Во-первых, при дискретизации граничного интегрального возникает система линейных уравнений, коэффициенты которой, представляются в виде суммы сильно сингулярных и слабо сингулярных интегралов. В отличие от работы [6], сильно сингулярные интегралы вычисляются аналитически. Численно вычисляются только интегралы со слабой особенностью. Эта схема будет описана в п.2.2.
Во-вторых, для частного случая, когда решается уравнение (1.13) на множестве Е, которое есть выпуклое множество на плоскости, удалось доказать сходимость численного метода. Этот результат будет описан в главе 3. Перейдем к преобразованию уравнения (1.13).
Поэтому второй интеграл в уравнении (1.16) есть несобственный абсолютно сходящийся интеграл. 1.4. Восстановление поля и его характеристик в дальней зоне по решению интегрального уравнения Рассмотрим задачу о дифракции акустической волны на жестком теле или системе жестких тел. Пусть первичное поле есть плоская волна c пространственной составляющей: ио(х) = е- , (1.17) где г - радиус вектор точки х, к - заданный волновой вектор, такой, что Полное поле представляется в виде (1.4), где и - неизвестное вторичное поле. При решении задачи описанным методом оно определяется по формуле:
В задачах дифракции акустических волн представляет интерес диаграмма направленности, выражающая зависимость эффективной площади рассеяния отражающего тела от направления. Эффективная площадь рассеяния в направлении единичного вектора т вводится по формуле: x = R-f, R - радиус, f - единичный вектор. Величина v характеризует энергию отраженного поля в направлении вектора т . Получим выражение для величины v через плотность потенциала двойного слоя в выражении (1.12). Подставив в выражение (1.16) выражение (1.12) и, учитывая, что w0=l, получим:
В работе [6] для нахождения приближенного решения интегрального уравнения (1.13) предложен подход, основанный на кусочно-постоянных аппроксимациях неизвестной функции и применении метода коллокаций. п Разобьем поверхность Z на ячейки ahiє1,...,я, так что T,= \JCTJ и 7=1 множество 7f глетj при іФ J имеет нулевую площадь. Предполагается, что контур каждой ячейки сг есть пространственный четырехугольник. Точка коллокации xj выбирается как геометрический центр масс вершин ячеек, единичный вектор нормали Я, строится как нормаль к отрезкам, соединяющим вершины противоположных сторон. Также могут быть использованы треугольные ячейки, при этом такая ячейка трактуется как четырехугольная, у которой одна из вершин сдвоенная. Приближенная площадь ячейки s, определяется как модуль векторного произведения векторов, соединяющих середины противоположных сторон (рис.2.1). Для ячейки сг с вершинами А1,А2,А3,А4 используем формулы
В работах [7,18] описан подход, при котором для нахождения коэффициентов ау интегралы в выражении для этих коэффициентов преобразовывались интегрированием по частям к сумме контурного и поверхностного интегралов, понимаемых в обычном смысле (не сингулярных), и эти интегралы предлагалось вычислять численно.
Интеграл (2.5) может быть посчитан аналитически. Выражение в правой части формулы (2.5) есть потенциал двойного слоя для уравнения Лапласа с постоянной плотностью. По закону Био-Савара [17], дающего выражение для градиента такого потенциала двойного слоя через контурный интеграл, можно записать
Доразбивка ячейки сг на ячейки происходит следующим образом: каждая из сторон ячейки «г, разбивается на отрезки равной длины, причем противоположные стороны разбиваются на одинаковое количество отрезков (рис.2.3). Пусть 4, А2, А3, А4 - вершины рассматриваемой ячейки а , точки Pt и Qj, i = 0,...,ri0 - концы отрезков разбиения сторон 44 и 4Д3, а точки R и Tfc, к = 0,...,щ - концы отрезков разбиения сторон 4Д3 и 44 соответственно. При этом ячейка а будет разбита на Nj = щп0 более мелких ячеек.
Выбирая на противоположных сторонах точки с одинаковым индексом Pt и Qj, а также соседние с ними точки Pj + 1 и Qj + 1, строим отрезки PjQj и /J+1Q+1. Аналогично, выбирая точки R k , Тк и % + 1 , Тк+1 на другой паре противоположных сторон, строим отрезки RfcTfr и R k + 1 T k+1 . При пересечении построенных пар отрезков возникают вершины четырехугольника
Составление системы линейных алгебраических уравнений
Обозначим через А! и А"с множества комплексных функций f = f+if :Ъ С таких, что f є А и feA", і = 1,2, соответственно. Из приведенных выше результатов следует, что уравнение (3.7) при /еЯиХ) однозначно разрешимо в классе функций А . Это решение определяется равенством (3.8), удовлетворяет условию р є А" „ = А„ А и оценке (3.11). При этом операторы G и G можно продолжить на комплексные функции так, что оператор G"1 ставит в соответствие функции f = fl + if 2eHg(T,) функцию р = р +і р єА (L), где (pi =G lfh і = 1,2, а оператор G ставит в соответствие функции р= р[+і р2єА"с(Т,) функцию f = fl+if 2eHg(T,), где f i=G(pb і = 1,2. Операторы G:A"c H (i:) и G l :Нщ A c являются взаимно обратными. Отметим, что эти операторы определяются равенствами (3.6) и (3.8). Имеет место Теорема 1, которая была записана и доказана в [16] Сетухой А.В.:
Теорема 1. 1) Для уравнения (3.3) справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение (3.3) имеет решение (ре Ас для любой правой части /єЯ#(І), либо однородное уравнение имеет ненулевые решения в классе функций AQ; 2) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.3), имеет не более чем конечное число независимых решений; 3) если однородное уравнение однозначно разрешимо в классе функций Ас, то существует константа С такая, что для любой правой части f є Н (S) для решения уравнения (3.3) в классе Ас справедливо условие срєА"с и выполнена оценка (3.11).
В данном пункте доказывается сходимость численной схемы решения уравнения (3.3). При этом рассматривается численная схема, описанная в п.2.2, с равномерным разбиением применительно к случаю плоского экрана. Рассмотрим случай, когда уравнение (3.3) однозначно разрешимо для любой правой части /єЯ (І) (т.е. имеет место первый случай альтернативы Фредгольма, см. теорему 1). Осуществим равномерное разбиение плоскости R2 на непересекающиеся квадратные ячейки со стороной h, например, так, что каждая из ячеек разбиения а задается в виде а=[х1,х2)є R2\ih х1 (і + 1)hjh х2 (j + 1)h\ с некоторыми i,jeZ. Пусть a;, z = l,.../?, - множество всех тех ячеек разбиения плоскости, которые удовлетворяют условию o-j = D, и, кроме того, х1 - центр ячейки ои i = l,.../i (точка пересечения диагоналей квадрата at).
Ниже рассматривается численная схема решения уравнения (3.3), в которой ищутся приближенные значения неизвестной функции (р в точках Xі на основе квадратурных формул по узлам в этих же точках. При этом построение и обоснование излагаемого численного метода могут быть связаны с отысканием приближенного решения в виде кусочно-постоянной функции.
Построенную систему ячеек разбиения T = {crhi = l,.../i} будем называть регулярным разбиением множества S. Обозначим также Ът = \JCTJ . При этом i=l,...N Dj, вообще говоря, не совпадает со множеством Z, но легко показать, что при сформулированном условии на гладкость границы множества Z площадь фигуры X \ Xт есть величина порядка h .
Будем называть функцию q , заданную на множестве Z, кусочно-непрерывной, если множество Z можно разбить на некоторое конечное число ячеек Lb k = l,...JC (не обязательно квадратных), так, что каждое из множеств Ък измеримо по Жордану, Е= \JZk, і:кглі:і=0прикФі к=\,...,К и при этом для каждого k = \,...JC сужение функции (р на множество Х удовлетворяет условию (рє C(S ), и его можно продолжить по непрерывности на замыкание множества Х . Пусть L - нормированное пространство функций, кусочно-непрерывных на множестве S с нормой H = supH ). XGZ Для каждого разбиения Т в пространстве L можно выделить подпространство L, состоящее из функций ф(х) вида (p{x) = (Pi, ХЄСТ;, і = 1,.../і, (3.12) Ф) = о, хєі:\і:т, где (pj, i = l,.../i, - некоторый набор комплексных чисел. При этом V - замкнутое подпространство пространства L размерности п . Пусть также L - нормированное пространство упорядоченных наборов комплексных чисел вида q = (срх,..., рп) с нормой q max \щ\. При этом каждой 7=1,...,И функции (peL вида (3.12) можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор p = ( pl,..., p„)eL и отображение П0 : - есть изоморфизм. Введем на пространстве L оператор проецирования Yl L L так, чтобы при этом П = 1,П р = По ? длярє//. В работах [3,17,25] описана численная схема решения уравнения (3.7) в классе действительных функций методом дискретных особенностей, которая сводит его к системе линейных уравнений относительно неизвестных щ, причем при практической реализации алгоритма данный интеграл может быть сведен к контурному интегралу с использованием закона Био-Савара и вычислен аналитически [17]. Известно, что:
При этом в работе [3] рассматривалось уравнение (3.7) для конкретной правой части /. Можно показать, что рассуждение, приведенное в [3] при доказательстве оценки (3.15), остается в силе при условии срєА. При этом константа зависит от функции (р таким образом, что справедливо следующее свойство.
Разрешимость уравнения (3.3)
В работах [7,18] описан подход, при котором для нахождения коэффициентов ау интегралы в выражении для этих коэффициентов преобразовывались интегрированием по частям к сумме контурного и поверхностного интегралов, понимаемых в обычном смысле (не сингулярных), и эти интегралы предлагалось вычислять численно.
В данной работе для расчета коэффициентов а у предлагаются следующие преобразования. Представим функцию F(x-y) в виде (1.14)-(1.15). Тогда можно записать: Г д dF0(x-y) д dAF(x-y)\ an = + a rv. (2 4) J J.[dnx дпу дпх дпу J у . Частную производную можно внести под знак интеграла, если интеграл дпх понимается в смысле конечного значения по Адамару (1.11). Разобьем выражение в правой части формулы (2.4) следующим образом Интеграл (2.5) может быть посчитан аналитически. Выражение в правой части формулы (2.5) есть потенциал двойного слоя для уравнения Лапласа с постоянной плотностью. По закону Био-Савара [17], дающего выражение для градиента такого потенциала двойного слоя через контурный интеграл, можно записать равенство:
Доразбивка ячейки сг на ячейки происходит следующим образом: каждая из сторон ячейки «г, разбивается на отрезки равной длины, причем противоположные стороны разбиваются на одинаковое количество отрезков (рис.2.3). Пусть 4, А2, А3, А4 - вершины рассматриваемой ячейки а , точки Pt и Qj, i = 0,...,ri0 - концы отрезков разбиения сторон 44 и 4Д3, а точки R и Tfc, к = 0,...,щ - концы отрезков разбиения сторон 4Д3 и 44 соответственно. При этом ячейка а будет разбита на Nj = щп0 более мелких ячеек.
Выбирая на противоположных сторонах точки с одинаковым индексом Pt и Qj, а также соседние с ними точки Pj + 1 и Qj + 1, строим отрезки PjQj и /J+1Q+1. Аналогично, выбирая точки R k , Тк и % + 1 , Тк+1 на другой паре противоположных сторон, строим отрезки RfcTfr и R k + 1 T k+1 . При пересечении построенных пар отрезков возникают вершины четырехугольника
D ik D i + 1,k D i + 1,k + 1 D ik + 1 одной из ячеек а7 доразбиения ячейки сг , m = 1,...,Nj. Заметим, что хотя вершины ячейки т могут не лежать в одной плоскости, указанные пары отрезком пересекаются. Например, пересечение отрезков PjQj и RfcTfr следует из следующего рассуждения. Разместим в точках А1, А2, А3, А4 точечные массы (1 - р)(1 - q), р(1 -q), pq и (1 - p)q соответственно, где
Тогда центр масс такой системы точек, с одной стороны, лежит на отрезке PjQj, а с другой стороны на отрезке RfcT , т.е. этот центр масс и есть искомая точка Dj к. Для каждой такой построенной ячейки а построим узел у, вектор нормали п и определим ее площадь s тем же способом, что и для основных ячеек разбиения (см. формулы (2.1)). Отметим, что построенный алгоритм численного решения интегрального уравнения (1.13) требует для реализации (с точки зрения задания геометрии суммарной поверхности Z) знания только массива вершин ячеек разбиения т ,
В главе 1 было получено выражение (1.21) для функции v(f), выражающей зависимость эффективной площади рассеяния от направления, определяемого вектором т . При численных расчетах поле и приближенно записывается в виде (2.2). При этом выражение (1.21) для величины v(f) аппроксимировалось формулой:
Гиперсингулярное интегральное уравнение для задачи дифракции на плоском экране Пусть множество S есть плоская поверхность, лежащая на координатной плоскости Ох1х2. Рассмотрим интегральное уравнение (1.13), на такой поверхности. Такое уравнение возникает в рассматриваемой краевой задаче для уравнений Гельмгольца (1.5)-(1.9), в случае, когда поверхность 2 есть плоский экран.
В этой главе будем рассматривать поверхность Z как множество на плоскости Ох1Х2. Предположим дополнительно, что множество S есть замыкание выпуклого открытого множества (на плоскости). Интегральное уравнение (1.13) можно переписать в виде
Будем обозначать через # (G), где //є(ОД], G - открытое множество в R", нормированное пространство действительных функций f(x), определенных на множестве G, для которых ограничено выражение, определяющее норму: H/ILG=supl/WI+sup biM,
Теорема 1. 1 Операторы G:A"c H (i:) и G l :Нщ A c являются взаимно обратными. Отметим, что эти операторы определяются равенствами (3.6) и (3.8). Имеет место Теорема 1, которая была записана и доказана в [16] Сетухой А.В.: ) Для уравнения (3.3) справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение (3.3) имеет решение (ре Ас для любой правой части /єЯ#(І), либо однородное уравнение имеет ненулевые решения в классе функций AQ; 2) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.3), имеет не более чем конечное число независимых решений; 3) если однородное уравнение однозначно разрешимо в классе функций Ас, то существует константа С такая, что для любой правой части f є Н (S) для решения уравнения (3.3) в классе Ас справедливо условие срєА"с и выполнена оценка (3.11).
Доказательство сходимости численной схемы решения уравнения (3.3) В данном пункте доказывается сходимость численной схемы решения уравнения (3.3). При этом рассматривается численная схема, описанная в п.2.2, с равномерным разбиением применительно к случаю плоского экрана. Рассмотрим случай, когда уравнение (3.3) однозначно разрешимо для любой правой части /єЯ (І) (т.е. имеет место первый случай альтернативы Фредгольма, см. теорему 1).
Дифракция акустической волны на жесткой сфере и жестком диске
Программа "Решение краевой задачи с отражением" осуществляет решение краевой задачи (1.5)-(1.9) в случае, когда суммарная поверхность X находится в полупространстве JC3 0, область Q есть область вне поверхности Z в указанном
полупространстве и на участке границы, лежащем на плоскости х3 = 0, ставится условие ди/дп = 0. Такая задача возникает при моделировании дифракции акустической волны на телах, расположенных на жесткой плоской поверхности или над такой поверхностью. При этом учет поверхности осуществляется методом отражений. Строится поверхность Z , симметричная поверхности Z относительно плоского экрана, и рассматривается задача (1.5)-(1.9) вне поверхностей Z и Z , причем на поверхности Z правая часть доопределяется по формуле f(x ) = f(x), х є І , х - симметричная точка.
Для решения систем линейных уравнений использовалась стандартная процедура, реализующая метод LU разложения матрицы. Все остальные программы и процедуры описанных программных модулей являются оригинальными. Для ввода геометрии объектов и визуализации результатов использовался пакет программ "АегЕсо" разработанный авторами Кирякиным В.Ю., Лифановым И.К., Сетухой А.В.
Для тестирования численной схемы решения интегрального уравнения (1.13), описанной в главе 2 (система (2.3)), было рассмотрено уравнение (1.13) на сфере и использованы известные спектральные соотношения для интегрального оператора в правой части этого уравнения. Пусть X - поверхность сферы радиусом а = \ с центром в начале координат. Известно (см. [32]), что собственными функциями указанного интегрального оператора являются функции g вида: где Pn - полиномы Лежандра, х = х(ср,в)єі:, (рив- сферические координаты точки х, x Rcosecosp, x2=Rcosesin(p, x3=Rsine. Каждая такая функция является решениям уравнения (1.13) для правой части
Были получены численные решения уравнения (1.13) для правых частей вида (4.1) для различных значений параметра к в уравнении (1.13) (волнового числа), и различных значений параметров п и т в формуле (4.1). Для решения бралось разбиение сферы на 1500 ячеек (рис. 4.1), получаемое при равномерном разбиении по сферическим координатам (30 ячеек по координате в, 50 ячеек по координате ф). При этом полученные численные решения сравнивались на сетке с узлами в центрах ячеек разбиения с соответствующими значениями функции g = Y, являющейся точным решением данного уравнения. На рис. 4.2-4.3 приведены цветовые диаграммы распределения модуля низвестной функции g по поверхности сферы, полученные при численном решении задачи в сравнении с аналогичными диаграммами для точного решения для случаев к = 2, п = т = 3 и к = 5, п = т = 5.
Распределение модуля плотности потенциала двойного слоя g по поверхности сфер. Случай к = 2,п = т = Рис. 4.3. Распределение модуля плотности потенциала двойного слоя g по поверхности сфер. Случай к = 5,п = т = 5 Количественные данные о разности численных и аналитических решений сведены в таблицы 4.1-4.3
В таблице 4.1 приведены значения собственных чисел, соответствующие исследованным сочетаниям параметров к и п, а в таблицах 4.2 и 4.3 - значения средней (єср) и максимальной (ємакс) погрешностей численного решения интегрального уравнения, полученных для правых частей вида (4.1) (при этом во всех случаях параметр т выбирался как т=п). Указанные погрешности определялись по формулам
Видно, что для = 0.1 и к = 1 средняя и максимальная относительные погрешности решения интегрального уравнения составляют доли процента. При значении к = 10 погрешности значительно выше.
В данной задаче можно ввести аналог длины волны Л = — (указанное значение - Л есть длина акустической волны для задачи (1.1)-(1.4), которая соответствует уравнению (1.13)) . При значении волнового числа = 10 диаметр разбиения всего примерно в 5 раз меньше длины волны, что по-видимому недостаточно. Соотношение между длиной волны и количеством ячеек приведены в Таблице 4.4.
Для тестирования построенного численного метода решения краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца (1.6)-(1.9) были получены решения такой задачи, возникающие при моделировании дифракции плоской монохроматической акустической волны на жесткой сфере и на жестком круговом диске. При этом искалось полное поле акустического давления вида (1.4), где первичное поле имеет вид (1.1) с пространственной составляющей (1.17).
Для вторичного поля возникает краевая задача (1.6)-(1.9), в которой X есть поверхность облучаемого тела, с правой частью (1.7).
В задачах дифракции акустических волн представляет интерес диаграмма направленности, выражающая зависимость эффективной площади рассеяния отражающего тела от направления. Эффективная площадь рассеяния в направлении единичного вектора т вводится по формуле (1.19) и вычисляется по формуле (2.10).
В задаче о дифракции акустической волны на жестком круговом диске рассмотрен случай, когда первичная плоская волна падает вдоль оси диска
Схема разбиения диска и построения диаграммы направленности (вектор к сонаправлен с осью диска - рис. 4.4). На примере этой задачи было исследовано влияние размера ячеек разбиения на получаемые диаграммы рассеяния. Кроме того, было проведено сравнение результатов, получаемых при вычислении интеграла в формуле (2.8) для коэффициентов ду по формуле (2.9) с результатами, когда эти интегралы вычисляются по упрощенным формулам: aij=K1(xi ,y j )Sj , (4.2) / у, йй=0, i,j = 1,...,n. Использовалось разбиение диска на ячейки о-, равномерное по полярным координатам на диске со значениями числа ячеек разбиения п = 100 = 5x20, п = 400 = 10x40 и п = 1600 = 20x80 (здесь первый сомножитель - число ячеек разбиения по радиусу, второй - по дуге окружности на диске, см. рис. 4.4). На рис. 4.5-4.7 приведены диаграммы направленности в виде зависимостей