Математическое моделирование взаимодействия электромагнитных волн терагерцового диапазона частот с наноструктурированными объектами на основе графена Вареница Виталий Викторович

Содержание к диссертации

Введение

Выбор и обоснование математических методов исследования наноструктурированных объектов на основе графена .12

1.1 Открытие графена 12

1.2 Математическая теория графена .16

1.3 Электропроводность графена, формула Кубо 21

1.4 Уравнения электродинамики для графена .27

1.5. Метод FDTD решения прикладных задач электродинамики

1.6 Анализ существующих методов решения краевых задач электродинамики и постановка задачи на математическое моделирование наноструктурированных объектов на основе графена..34

1.7 Выводы по разделу 1 .40

2 Математическое моделирование электродинамических объектов

2.1 Электродинамические объекты. 42

2.2 Математическое моделирование резонаторов, волноводов и периодических структур 46

2.3 Математическое моделирование экранированных систем и свободного пространства 51

2.4 Математическое моделирование 3-D периодических структур 59

2.5 Численные итерационные методы решения краевых задач для электродинамических структур с нелинейными средами 63

2.6 Выводы по разделу 2 71

3. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитных волн с наноструктурированными объектами на основе графена и численные методы решения краевых задач дифракции электромагнитных волн 73

3.1 Краевая задача электродинамики для канала Флоке и ее аналитическое решение 72

3.2 Декомпозиционный метод математического моделирования наноструктурированных объектов на основе многослойных структур графен-диэлектрик 79

3.3 Численный метод определения матрицы проводимости автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с неоднородным графеновым заполнением 85

3.4 Математическое моделирование параметрических явлений в многослойной структуре графен-диэлектрик .93

3.5 Численный проекционный метод определения усиления ЭМ-волны в многослойной структуре графен-диэлектрик 98

3.6 Выводы по разделу 3 103

4. Комплекс программ для вычислительного эксперимента по моделированию взаимодействия электромагнитных волн терагерцового диапазона частот с наноструктурированными объектами на основе графена 104

4.1 Комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента 104

4.2 Исследования управляемых фильтров на основе графена с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента .114

4.3 Исследования управляемых поляризаторов на основе графена .122

4.4 Исследования параметрических усилителей и генераторов на основе графена .129

4.5 Выводы по разделу 4 134

Основные результаты и выводы по работе 136

Список литературы

• Электропроводность графена, формула Кубо
• Математическое моделирование 3-D периодических структур
• Численный метод определения матрицы проводимости автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с неоднородным графеновым заполнением
• Исследования управляемых фильтров на основе графена с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента

Введение к работе

Актуальность темы. Графен впервые был впервые получен в 2004 году, он еще недостаточно хорошо изучен, однако, благодаря уникальным свойствам, уже привлекает к себе повышенный интерес специалистов в различных областях науки и техники. За открытие и исследования графена А.К. Гейму и К.С. Новосёлову была присуждена Нобелевская премия по физике за 2010 год. Гра-фен среди всех твердых тел обладает максимальной подвижностью электронов, и ей можно управлять, что объясняет его перспективность для создания нового поколения устройств терагерцового диапазона частот, который в настоящее время интенсивно осваивается. Разработка и создание таких устройств требует глубокого изучения наноструктурированных объектов. Ввиду очевидных сложностей и значительных затрат на экспериментальные исследования графеновых приборов, сопряженных с разработкой и построением специального технологического и измерительного оборудования основным методом исследования и проверки технических решений представляется метод компьютерного моделирования. Однако в настоящее время практически отсутствуют методики и программные средства для моделирования наноструктурированных объектов на основе графена. Это составляет основную проблему на пути создания устройств и приборов терагерцового диапазона на основе графена.

Существующие в настоящее время вычислительные методы, подобные методу конечных элементов (FEM) и конечно-разностным методам во временной области (FTDT), на основе которых реализованы алгоритмы в известных коммерчески доступных пакетах прикладных программ «High Frequency Structure Simulator» (Ansoft), «Advanced Design System» (Agilent), MSC (MacNeil-Schwendler), Microwave Office, Microwave Studio, FEKO широко используются в решении прикладных задач электродинамики. Размер шага дискретизации по пространству в методах FEM, FTDT должен быть значительно меньше длин электромагнитных (ЭМ) волн и топологических размеров исследуемой структуры. Типичные геометрические размеры наноструктурированных объектов на основе графена составляют десятки нанометров, это предполагает создание сетки с меньшим шагом, что, в свою очередь, требует больших затрат памяти и времени на выполнение расчетных процедур. Методы FEM, FTDT ориентированы на расчет поля внутри счетной области, если же требуется найти параметры поля на значительном удалении от объекта дифракции, то необходимо увеличение счетной области, что приводит к существенному увеличению и времени моделирования. Существующие модификации методов для нахождения параметров поля на удалении требуют постобработки, что также сопряжено с дополнительными затратами времени.

Численное исследование физических явлений и эффектов в нанострукту-рированных объектах на основе графена в терагерцовом диапазоне частот требует развития новых подходов к математическому моделированию, опирающихся на мощные вычислительные методы, один из таких подходов основан на декомпозиции с применением аналитических и численных решений для базовых элементов (автономных блоков).

Теоретической основой исследования являются научные работы отечественных ученых А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, В.С. Владимирова, С.Л. Соболева, А.Г. Свешникова, В.И. Дмитриева, А.С. Ильинского, В.В. Никольского, Б.З. Ка-ценеленбаума, В.Г. Феоктистова, И.В. Бойкова, Ю.Г. Смирнова, О.А. Голованова.

Математическое моделирование взаимодействия ЭМ-волн терагерцового диапазона частот с устройствами и приборами на основе интегральных проекционных форм в настоящее время затруднено ввиду отсутствия адекватных методов и алгоритмов. В этой связи тема диссертационной работы, посвященная математическому моделированию высокого уровня для наноструктурирован-ных объектов на основе графена, являющихся основой построения перспективных устройств и приборов терагерцового диапазона частот ЭМ-волн, является актуальной. Выполненные оценки по критериям сокращения объема памяти и времени проведения вычислительных процедур показывают перспективность методов математического моделирования на основе проекционных моделей в интегральной форме для устройств и приборов на базе графена, это обусловило направления настоящего исследования.

Цель работы состоит в создании новых эффективных методов и алгоритмов математического моделирования процессов взаимодействия ЭМ-волн тера-герцового диапазона частот с наноструктурированными объектами на основе графена и в разработке комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента над наноструктурированными объектами на основе графена.

Для достижения поставленной цели решаются следующие взаимосвязанные задачи.

1. Обоснование метода математического моделирования процесса взаимодействия электромагнитных волн с многослойной структурой графен-диэлектрик на основе уравнений Максвелла в виде материальных уравнений поверхностной проводимости графена, описывающих характеристики наност-руктурированных устройств в терагерцовом диапазоне частот.

2. Разработка численного метода определения матрицы проводимости автономных блоков в виде отрезков каналов Флоке с однородным заполнением графеном, а также двумерных периодических структур из полос графена на диэлектрической подложке.

3. Разработка численного проекционного метода решения краевой задачи дифракции в многослойных структурах графен-диэлектрик на основе связанной системы уравнений Максвелла и выполнение математического моделирования параметрических явлений усиления и генерирования электромагнитных волн на комбинационных частотах в наноструктурированных объектах на основе графена.

4. Разработка комплекса программ для математического моделирования наноструктурированных объектов на основе графена и проведение комплексного исследования характеристик наноструктурированных объектов на основе графена с выработкой рекомендаций по использованию комплекса.

Объектом исследования диссертационной работы являются нанострук-турированные объекты на основе графена и их взаимодействие с ЭМ-волнами терагерцового диапазона частот.

Предметом исследования являются математическое моделирование нано-структурированных объектов на основе графена и решение краевых задач дифракции ЭМ-волн в таких объектах.

Методы исследования. В процессе решения поставленных задач использованы уравнения математической физики, методы теории матриц, уравнения прикладной электродинамики, а также методы вычислительной математики.

Соответствие паспорту специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам: 1 – «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», 4 – «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», 5 – «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

5. На основе уравнений Максвелла и уравнения поверхностной проводимости графена разработан метод математического моделирования процессов взаимодействия электромагнитных волн с многослойной структурой графен-диэлектрик и двумерной периодической структурой из нанолент графена, который обеспечивает разработку и комплексное исследование наноструктуриро-ванных устройств терагерцового диапазона частот электромагнитных волн.

6. Разработан базирующийся на интегральных проекционных формах декомпозиционный численный метод решения краевой задачи дифракции в автономных блоках в виде прямоугольного параллелепипеда с однородным заполнением графеном, отличающийся определением матрицы проводимости автономных блоков и применением базисных функций с однородно-периодическими краевыми условиями, что позволяет вычислять дескриптор автономного блока в виде матрицы проводимости.

7. Разработан численный метод решения краевой задачи дифракции электромагнитных волн в многослойной структуре графен-диэлектрик на основе проекционно-интегральных форм для связанных систем уравнений Максвелла на комбинационных частотах в режимах параметрического усиления и генерации электромагнитных волн с использованием базисных функций с однородно-периодическими краевыми условиями.

8. Разработан комплекс программ и получены результаты комплексных исследований процессов взаимодействия электромагнитных волн с нанострукту-рированными объектами на основе графена, реализующими устройства обработки сигналов терагерцового диапазона частот: управляемого фильтра; управляемого поляризатора; параметрического усилителя и генератора.

Теоретическая значимость работы заключается в следующем: – доказаны положения, вносящие вклад в методологию математического моделирования процессов взаимодействия электромагнитных волн с наност-руктурированными объектами, разработан новый численный проекционный метод с однородно-периодическими базисными функциями;

– доказана эффективность вычислительных алгоритмов, построенных на основе проекционных моделей в интегральной форме по сравнению с существующими алгоритмами на основе конечно-разностного метода (FTDT) во временной области;

– разработан численный проекционный метод применительно к связанным уравнениям Максвелла, обеспечивающий создание устройств параметрического усиления и генерирования электромагнитных волн на комбинационных частотах.

Значение результатов исследования для практики заключается в создании средств компьютерного моделирования графеновых приборов терагерцово-го рабочего диапазона, обеспечивающих их разработку и исследование при сокращении затрат средств и времени. Определены пределы и перспективы практического использования математических моделей наноструктурированных объектов на основе графена в практике разработки и создании устройств и приборов терагерцового диапазона частот электромагнитных волн.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается:

– использованием апробированных фундаментальных уравнений Максвелла, краевые задачи дифракции сформулированы и решены без упрощения уравнений и краевых условий;

– использованием идеи математического моделирования на основе известного численного проекционного метода, базирующейся на анализе практики использования передовых методов вычислительной математики;

– качественным и количественным совпадением результатов математического моделирования многослойных периодических структур на основе графе-на с результатами, полученными ранее методом FTDT;

– использованием современных методик сбора исходной информации из разделов научного знания: уравнений математической физики и прикладной электродинамики, вычислительной математики, функционального анализа, общепринятых математических моделей.

На защиту выносятся.

9. Метод математического моделирования процессов взаимодействия электромагнитных волн наноструктурированных объектов различной геометрии на основе графена в виде системы материальных уравнений поверхностной проводимости графена, отличающейся от известных решением уравнений Максвелла совместно с материальными уравнениями поверхностной проводимости графена.

10. Декомпозиционный численный метод определения проекционно-интегральной формы матрицы проводимости автономных блоков в виде прямоугольного параллелепипеда с неоднородным заполнением графеном с использованием базисных функций с однородно-периодическими краевыми условиями.

11. Численный проекционный метод определения характеристик взаимодействия электромагнитной волны с многослойной структурой графен-диэлектрик на основе проекционно-интегральной формы для связанных систем уравнений Максвелла на комбинационных частотах в режимах параметрического усиления и генерации электромагнитных волн.

12. Комплекс программ и результаты исследований взаимодействия электромагнитных волн с наноструктурированными объектами различной геомет-

рии на основе графена, реализующими управляемые устройства обработки сигналов терагерцового диапазона частот: управляемого фильтра; управляемого поляризатора; параметрического усилителя и генератора.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы и разработанный пакет моделирующих программ внедрены на ряде предприятий.

Разработаны и внедрены в АО «НИТИ им. П.И. Снегирева» (г. Санкт-Петербург), АО «НПП «Краснознаменец» (г. Санкт-Петербург), АО «НПП «Рубин» (г. Пенза) на этапах проектирования комплексы программ для математического моделирования устройств обработки сигналов терагерцового диапазона частот ЭМ-волн на основе графена. Результаты работы использовались при выполнении НИР по гранту РФФИ №12-02-97025-р_поволжье_а, 2012-2014 «Исследование электродинамических свойств нового класса наноструктурных материалов на основе нанотрубок, нанопроволок, графена в микроволновом, тера-герцовом и инфракрасном диапазонах волн».

В Приложении приведены соответствующие акты внедрения.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международном симпозиуме «Надежность и качество сложных систем» (г. Пенза, ПГУ, 2014), на II Всероссийской Микроволновой конференции (26-28 ноября 2014 г., Москва. IRE–ИРЭ им. В.А.Котельникова РАН), на 37 Межвузовской научно-технической конференции «Пути повышения эффективности применения ракетно-артиллерийских комплексов, методы их эксплуатации и ремонта» (2013 г., Пенза, Пензенский филиал военной академии материально-технического обеспечения).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 работ, в том числе 8 – в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 150 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 57 рисунков, список литературы из 115 наименований.

Электропроводность графена, формула Кубо

Графеновый материал получают в результате механического воздействия на высокоориентированный пиролитический графит (киш-графит) (рисунок 1.2) [8]. Плоский материал графита помещается между липкими лентами (скотч) и расщепляется, создавая достаточно тонкие слои. В процессе расщепления получают плёнки графена (однослойные и двуслойные), которые представляют определенный практический интерес. Затем скотч с образцами графитового материала прижимают к подложке окислённого кремния. При использовании этой технологии очень трудно получить плёнку с заданными параметрами (размер и форма) в фиксированных частях подложки (горизонтальные размеры плёнок графена составляют около 10 мкм) [9]. Толщина слоя графенового материала определяется при помощи электронного микроскопа (толщина изменяется в пределах 1 нм), также можно использовать и комбинационное рассеяние. Применяя электронную литографию и реактивное плазменное травление, можно создавать заданную форму плёнки графена для электрофизических измерений.

Графен можно приготовить из графитового материала используя химические методы [10]. Кристаллы графита подвергаются воздействию смеси азотной и серной и кислот. Графит подвергается окислению и на краях кристалла появляются карбоксильные структуры графена. При помощи тионилхлорида их превращают в хлориды. Под воздействием октадециламина в растворах дихлорэтана, тетрахлорметана и тетрагидрофурана они переходят в графеновые структуры толщиной около 0,54 нм. Графеновые пленки могут быть получены восстановлением монослойной пленки оксида графита в атмосфере гидразина с последующим отжигом в смеси аргон-водород. Качество графена, полученного восстановлением оксида графита, ниже по сравнению с качеством графеном, полученного скотч-методом вследствие неполного удаления различных функциональных групп.

В статьях [11,12] рассматривается оригинальный метод химического получения графенового материала, помещенного в полимерную матрицу. Известны также еще два метода ориентированные на химмическое получение графена при помощи радиочастотного плазмохимического осаждения из фазы газового состояния(PECVD) [13] и метод «роста» при высоком давлении и температуре (HPHT) [14]. Последняя методика может использовать для получения плёнок значительной площади.

Если расположить между электродами кристалл пиролитического графита и подложку то, как было исследовано в работе [15], можно добиться, что пленки графита, среди них могут оказаться плёнки необходимой толщины, под воздействием электрического поля с поверхности графита перемещаются на подложку кремния (окислённого). Чтобы предотвратить пробой (напряжение между электродами составляет 1 до 13 кВ), между электродами помещали тонкую пленку слюды.

В работах [16, 17] рассматриваются технологические методы, посвящённые получению графенового материала на подложках карбида кремния SiC. Графитовая структура формируется при термическом разложении поверхности материала SiC (получение графена ближе к промышленному) причём качество получаемой образца зависит от того, как остабилизируется поверхность кристалла: C-стабилизированная или Si-стабилизированная поверхность. В первом случае качество графеновых пленок выше. В работах [18,19] группа ученых, занимающая стабилизацией поверхностей, показала, что толщина слоя графенового материала составляет больше одного монослоя. В электрической проводимости принимает участие только один слой в непосредственной близости к подложки, поскольку на границе SiC-C из-за разности работ выхода двух материалов создается некомпенсированный электрический заряд. Свойства таких плёнок эквивалентны свойствам графена.

Идеальный графеновый материал состоит исключительно из 6-ти угольных ячеек. Присутствие 5-ти угольных и 7-ми угольных ячеек приводить к дефектам. Наличие ячеек пятиугольных приводит к свертыванию атомной плоскости в конус. Структура с 12-ти такими дефектами известна как фуллерен. Присутствие ячеек семиугольных приводит к образованию седловидных искривлений плоскости графена.

Математическое моделирование 3-D периодических структур

В настоящее время одним из наиболее распространенных методов решения задач прикладной электродинамики, основанных на дискретизации уравнений Максвелла в дифференциальной форме (1.23), является метод конечных разностей во временной области (Finite Difference Time Domain, FDTD) [37]. Метод FDTD относится к классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений Максвелла Алгоритм численного метода был предложен Кей-ном Йи (Калифорнийский университет) в 1966 г. в статье [37]. Название «Finite-difference time-domain» и аббревиатура FDTD были даны Алленом Тафловом – «Северо-западный университет», штат Иллинойс.

Под FDTD понималось использование вычислительного алгоритма Йи для численного решения уравнений Максвелла в дифференциальной форме. В современном смысле FDTD включает множество разнообразных возможностей: моделирование электродинамических сред с дисперсными и нелинейными характеристиками, применение различных сеток (помимо п предложенной прямоугольной сетки Йи), использование методов пост процессорной обработки результатов и т. д.

С 1990 года метод конечных разностей становится одним основным методов моделирования разных оптических приложений. Метод может быть применен для решения широкого класса задач. Это моделирование сверхдлинных электромагнитных волн в геофизике и микроволн для изучения сигнатурной радиолокации, расчет характеристик антенн для разработки беспроводных устройств связи, решение задач в оптическом для исследования фотонных кристаллов, наноплазмоники, солитонов и биофотоники. Число публикаций, посвященных методу FDTD, к 2006 году достигло более двух тысяч. В настоящее время известно порядка 30-ти коммерческих программ на базе FDTD.

Вариации электрического поля E в уравнениях Максвелла (1.23) зависят от пространственного распределения магнитного поля H. Вариации магнитного поля H в пространстве зависят от распределения электрического поля Е. Сетки для электромагнитных полей E и H смещены на половину шага дискретизации по времени и по пространственным переменным. Конечно-разностные уравнения на основе уравнений Максвелла позволяют определять электромагнитные поля E и H на временном шаге на основании известных значений электромагнитных полей на предыдущем шаге. Алгоритм Йи позволяет получать во времени эволюционное решение от начала вычислительного процесса с заданным временным шагом.

В разностном методе FDTD существует проблема неточного моделирования границы объекта на сетку. Кривая поверхность, которая разделяют среды и не согласованна с сеткой, будет искажаться лестничным приближением. Для решения этой проблемы можно применять дополнительную сетку с большим разрешением для областей пространства, где находятся материальные тела со сложной структурой[38]. Можно изменять разностные уравнения в узлах сеток, которые находятся вблизи границы между соседними материальными телами [39]. Одним из наиболее перспективным направлением решения является использование эффективной диэлектрической проницаемости вблизи границы раздела между телами (subpixel smoothing) [40-41].

Вычислительная схема метода FDTD не предусматривает табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости среды от частоты. Табличное задание можно аппроксимировать многочленами Дебая, Друде, Лоренца. Аппроксимация в большинстве случаев не имеет физического смысла и представляется численно.

Чтобы ограничить геометрические размеры сетки, в методе FDTD вводятся поглощающие краевые условия, моделирующие распространение электромагнитной волны в бесконечность. Для этого применяются поглощающие крае 32 вые условия Мура или Ляо [42] или согласованные слои (Perfect Matched Layers, PML). Поглощающие условия Мура и Ляо проще, чем согласованные слои PML. Согласованные слои PML являются поглощающей приграничной областью, а не краевыми условием. Они позволяют получить значительно меньшие коэффициенты отражения от границы области.

Идеально согласованные слои (PML) были предложены в 1994 году мАтематиком Жаном Пьером Беренже [43]. Идея согласованных слоев (PML) Бе-ренже базируется на разбиении электромагнитных полей E и H на две компоненты, для которых решаются уравнения. В дальнейшем были предложены формулировки для PML, которые эквивалентны первоначальной формулировке Беренгера. В однонаправленном методе PML используется анизотропная поглощающая материальная среда. Это позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках решений уравнений Максвелла [44]. Однонаправленный метод PML, как и метод PML, имеют недостататок – в них не учитывается затухание электромагнитных волн. Это не позволяет использовать метод PML в непосредственной близости к рассеивающим телам.

Указанный недостаток преодолевается в методе оборотного PML (Convolutional PML), который основан на аналитическом распространении уравнений Максвелла на комплексную плоскостью. В этом случае решение экспоненциально затухает [45]. Метод CPML также позволяет осуществлять ограничении бесконечных проводящих и дисперсных материальных сред.

В некоторых случаях применение метода согласованных слоев PML приводит к неустойчивости расчетов в FDTD. Эту проблема устраняется путем помещения дополнительной поглощающей стенки [46].

Численный метод определения матрицы проводимости автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с неоднородным графеновым заполнением

Электродинамические падающие сигналы (+) и отклики (-) на них Е ((От), Н ((дт) в (2.48) будем рассматривать как систему прямых и обратных собственных волн каналов волноводного трансформатора с коэффициентами (амплитудами) 4(a)(coJ, где (х)т - комбинационные частоты, к - номера нормальных волн в каналах, a - номера волновых каналов. Знак (+) соответствует прямым (падающим) электромагнитным волнам, знак (-) - обратным электромагнитным волнам. Коэффициенты (амплитуды) 4(a)(coJ на сечениях волноводного трансформатора Sa выбираются так, чтобы поперечные компоненты электромагнитного поля сигнала E (t), H (t) и электромагнитного поля отклика E (t), H (t) имели вид следующих рядов Фурье: -+ifc(a)v "+(a) 14(a) К,) k=l ҐЯ (а и)ї - Je±k(a)((uJ] V aK,), (2.49) где e±jt(a)(com), h±k(a)((x)m) - поперечные электрические и магнитные компоненты собственных волн в волновых каналах. Волновые каналы, присоединенные к сечениях Sa трансформатору, подчинены принципу взаимности «U(a)«»J = WG J WQ J =-4(«)( J и нормированы \ (ek{a)((uJx a)((um))-dSa = 5knRk{a)(Gim) (2.50) Sa где Sa - поперечное сечение волнового канала; 7 (а)(сот) - коэффициент нормировки, Ґ1, если к = п, okn =\ [О, если к Ф п.

При решении краевых задач дифракции для волноводных трансформаторов с линейными включениями (средами) значения коэффициентов нормировки в (2.50) выбирают обычно равными единице. Поперечные компоненты 4(o0(coJ, \(а)(ыт) собственных волн каналов волноводных трансформаторов с нелинейными включениями (средами) необходимо нормировать так, чтобы в выбранных точках наблюдения на входных сечениях каналов, напряженности электрического и магнитного полей в точке наблюдения были равны единице. Предложенная нормировка позволяет иметь информацию о напряженности электрических или магнитных полей по значениям амплитуд электромагнитных волн Сца)((х)т). Выбирать точки наблюдения на поперечных сечениях каналов волноводного трансформатора необходимо там, где напряженность электромагнитного максимальна. Связь между коэффициентами падающих волн с+пф)(щ) и коэффициентами отраженных волн q(a)(coJ для волноводных трансформаторов с нелинейными включениями (средой) можно установить при помощи нелинейных уравнений (а)Ю= (а)К;С+) (2.51) х = 1,2,...,Р; k = l,2,...,Na; т = 0, ± 1, ± 2,..., ± М, где М- число комбинационных частот, iVa - число собственных волн в ос-м вол-новодном канале, с - аргумент функции, который определен на множестве { (СОД q+(2)(0)2),..., С+пф)(щ),..., с;р(р)(Юм)} Для волноводных трансформаторов с линейными материальными средами подобная связь между коэффициентами с+ф)(щ) и с а)(щ) осуществляется с помощью матриц рассеяния S. Система нелинейных функций Fk(a)((x)m, с+) может быть использована для математического описания волноводного трансформатора с нелинейной средой и является дескрипторов нелинейных электродинамических систем. Представляя нестационарные сигналы E (t), H (t) рядами Фурье (2.45) и (2.48), определяем амплитуды (коэффициенты) с -р) (coz) падающих волн в каналах волноводного трансформатора. Коэффициенты отраженных волн с (а)(сода) в локальных координатах, определяем при помощи дескриптора Fk{a)((dm; с+), зная коэффициенты с+пф)(щ) падающих волн. Применяя выражения (2.48) и (2.6), определяем нестационарный отклик E (t), H (t). Дескриптор волноводного трансформатора с нелинейной средой Fk(a)((i)m, с+) определяются из решения краевой нелинейной задачи дифракции для уравнений Максвелла [36]: dD(E(t)) - rottf(0 = + J(E(t)); dt (2.52) dt где E(t) = E(t, x, y, z), H(t) = H(t, x, y, z) - векторы напряженности электрического и магнитного полей, J(E(t)) - вектор плотности электрического тока, D(E(t)) - вектор электрической индукции, B(H(t)) - вектор магнитной индукции.

Для нелинейной анизотропной среды величины D(E(t)), B(H(t)), J(E(t)) в выражении (2.52) являются векторными функциями от векторных аргументов. Для нелинейной изотропной среды заполнения волноводного трансформатора зависимости D(E(t)), B(H(t)), J(E(t)) определяются следующими выражениями:

Исследования управляемых фильтров на основе графена с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента

На рисунке 3.6, а показана двумерная периодическая структура из полос графена, расположенных на диэлектрической подложке. Математическое моделирование двумерных периодических структур сводится к анализу волноводного трансформатора в виде ячейки периодической структуры с каналами Флоке на входных сечениях (рисунок 2.4, б).

Решение краевой задачи дифракции ЭМ-волн для ячейки периодической структуры в виде волноводного трансформатора будем искать как соединение двух базовых автономных блоков (рисунок 3.6). В декомпозиционном алгоритме применяются: 1. Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с неоднородным графеновым заполнением и каналами Флоке на входных сечениях (рисунок 3.6, а), 2. Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с однородным диэлектрическим заполнением и каналами Флоке на входных сечениях (рисунок 3.6, б). Матрица проводимости для автономного блока с диэлектрическим однородным заполнением получена аналитически в п. 3.2 данной диссертационной работы. Разработаем на основе методики, изложенной в п. 2.3, численный метод определения матрицы проводимости автономного блока с неоднородным гра-феновым заполнением и каналами Флоке на входных сечениях

Диэлектрическая подложка = 2,2 Схема математического моделирования наноструктурированного объекта на основе графена: а) двумерная периодическая структура из полос графена; б) ячейка периодической структуры в виде волноводного трансформатора Собственные волны каналов Флоке распадаются на две подсистемы Е-волны (3.18) и Н-волны (3.19). Объединяя эти подсистемы в одну, запишем обобщенные выражения для собственных электромагнитных волн каналов Флоке волноводного трансформатора: Щ ) = \М )±гк ±(«)=(±4(«)± (3.38) )exp(±.T,(a)za), M«))exp(± (a)za), fc = l,2,...,oo, a = l,2, где L ч, hk,a\ - поперечные электрические и магнитные компоненты собственных волн канала Флоке; е , hkz,a\ - продольные электрические и магнитные компоненты собственных волн канала Флоке; Г ч - постоянные распространения собственных волн канала Флоке; к(а) - комплексный индекс, указывающий тип (моду) волны и входное сечение автономного блока.

Поперечные электрические и магнитные составляющие компонентов собственных волн канала Флоке образуют полную ортогональную систему функций (базис) {4(а)Л(а)} Любое поперечное электромагнитное поле на входных сечениях Sa (a = 1,2) волноводного трансформатора представляется по этим системам в ортогональные ряды Фурье: a=2X(a) (a) k=1 (3.39) оо а=1 («Л(а) а = 1 2 k( k=1 где ak(a) , bk(a) - коэффициенты представления касательного электрического и магнитного полей. На каждом входном сечении Sa (a =1, 2) волноводного трансформатора касательные электрические и магнитные поля поле можно представить в виде суперпозиции прямых и обратных волн каналов Флоке [85]: Яа=Ж(а)+ (а))г (а) к=\ (3.40) На = Z (4(a) - Ск(а)) 4(a), СХ = 1, 2, к=Г где Сц , Сц - амплитуды падающих и отраженных волн. Из рядов Фурье (3.40) (3.40) и условия нормировки (3.20) следуют следующие интегральные выражения: J (4 x/(a)) -dSa + j (ekWxHl) dSa = akW +bkW = 2c + kW; (3.41) Sa Sa j (4 xK(a)) -dSa-j (ekW xK)-dSa = ak{a) -bk{a) = 2c- a). (3.42) Sa Sa Интегральные выражения (3.41, 42) являются частными случаями условия неасимптотического излучения (2.24). Сформулируем для автономного блока (волноводного трансформатора) с включением в виде полоски графена и виртуальными каналами Флоке на входных сечениях S1 и S2 (рисунок 3.6, а) краевую задачу дифракцию. Электромагнитное поле в области графена V волноводного трансформатора должно удовлетворят уравнениям Максвелла (1.26): rottf = гюєпє,(со,и )Ё, (3.43) шЁ=-т ьН. в области V0-V - уравнениям Максвелла: TotH = i(ae0E, (3.44) TotE = -i(O\i0H; на входных сечениях Sj и условию неасимптотического излучения (3.42): J (4 хк(а) ) -dsa -j (еца) х я;(а) ) dS a = a kW -b kW. Sa Sa

Замкнутое аналитическое решение краевой задачи дифракции (3.42-44), для автономного блока с включением в виде графена недоступно. Сведем краевую задачу дифракции к интегральной проекционной форме, используя в качестве проекционного базиса функции, полученные из решения краевой задачи на собственные значения для прямоугольного резонатора с однородно-периодическими краевыми условиями на гранях параллелепипеда (рисунок 3.7): rot Я. =/со,01Е; 1 - [ в области К, (3.45) rotEk=-i(Ok\i Hk, J на гранях. (3.46) Ek(S1) = Ek(SA), Hk(S1) = Hk(SA); Ek(S2) = Ek(S5), Hk(S2) = Hk(S5); Elr(SA = EASA, H ASA = HAS A. к 3 к v 6/ к v 3 к v o/ Область прямоугольного резонатора (V0 ) совпадают с областью волноводного трансформатора.