Матричные интегральные преобразования для математического моделирования физических полей в многослойной среде Яремко Олег Эмануилович

Введение к работе

Актуальность темы исследования. При создании новых технологий возникает необходимость в проектировании конструкций на основе различных композиционных материалов. Эффективные композиционные смазочно-охлаждающие жидкости (СОЖ) являются необходимым элементом технологического процесса. Задачи оптимизации и совершенствования способов и техники подачи СОЖ, выбора оптимальных режимов относятся к числу важнейших технико-экономических проблем современного машиностроения. Для управления свойствами поверхностного слоя при технологической обработке необходимо иметь математическую модель процесса, позволяющую по значениям основных параметров СОЖ, а также граничных и начальных условий, установить температурные поля и поля напряжений в любой момент времени как в зоне обработки СОЖ, так и за ее пределами. Математическое моделирование позволяет определять оптимальные технологические режимы. Теоретической основой для исследований данного направления является моделирование взаимосвязанных многокомпонентных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах.

Добыча нефти и газа из пористых пластов и основные технологии добычи, водоснабжение, проблема охраны грунтовых вод служат естественным источником постановки задач теории фильтрации. В большинстве современных приложений теории фильтрации приходится рассматривать кусочно-однородные системы, многокомпонентные растворы или двух- и трехфазные смеси как с постоянными, так и с подвижными границами. Практическая потребность в развитии методов теории фильтрации обуславливает необходимость исследования многокомпонентных математических моделей для многослойных сред. Влияние технологической среды химических производств фильтрации и сушки может вызывать преждевременный износ оборудования. Совершенствование технологий фильтрации и сушки требует исследования взаимосвязанных многокомпонентных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах.

Создание и совершенствование существующих аналитических методов исследования линейных и нелинейных взаимосвязанных многокомпонентных моделей – значимая проблема математического моделирования и современной вычислительной математики.

Линейные взаимосвязанные многокомпонентные модели учитывают перекрестные эффекты, поэтому они дают более точные результаты, чем линейные несвязанные модели. Многие нелинейные взаимосвязанные задачи в результате линеаризации приводят к линейным многокомпонентным математическим моделям тепломассопереноса, что подтверждает их универсальный характер. Сложность математического моделирования многокомпонентных многослойных систем обусловлена отсутствием точных аналитических методов их решения даже для линейных моделей. При отсутствии аналитического описания мо-

дели результаты вычислительного эксперимента не позволяют в полной мере спрогнозировать работу изучаемых систем.

Таким образом, большое количество важных (с точки зрения их практических приложений) взаимосвязанных математических моделей приводит к краевым и смешанным задачам для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Краевые и смешанные задачи описывают как однородные среды, когда коэффициенты уравнений являются непрерывными, так и кусочно-однородные и неоднородные среды, когда коэффициенты уравнений кусочно-постоянны.

Степень разработанности темы исследования. В работах Боли Б., Уэй-нер Дж., Дейнеки В. С., Сергиенко И. В. , Коляно Ю. М., Карташова Э. М., Ломакина В. А. , Латышева А.А. и Юшканова А.А. изучен ряд важных взаимосвязанных математических моделей механики деформируемого твердого тела, термомеханики, диффузии, кинетической теории и т.д. в однородных и кусочно-однородных средах. Физическая неоднородность тел привлекает внимание исследователей к линейным и нелинейным задачам тепломассопереноса, теории потенциалов, теории упругости и термоупругости. Областью приложений построенной в работе теории является решение проблем классической и неклассической теории тепломассопереноса. Метод Лапласа и метод Фурье в решении взаимосвязанных задач теплопроводности не дают результатов. Метод Лапласа приводит к существенным трудностям в выборе контура интегрирования при возвращении к оригиналам. Скалярный вариант метода Фурье с разрывными коэффициентами, предложенный Уфляндом Я. С. и др., пригоден только для решения несвязанных задач.

Из аналитических методов решения взаимосвязанных задач отметим методы теории функций, которые приводят к краевым задачам Римана. Этими методами проведены исследования взаимосвязанных динамических задач термоупругости в работах Дересевича Х., Чедвика П., Снеддона И., Подстригача Я. С., Новацкого В. Вместе с тем решение взаимосвязанных динамических задач кусочно-однородных сред по большей части приводилось к интегральным уравнениям Фредгольма, т.е. решение не выписывалось явно.

Известные методы решения краевых и смешанных задач в канонических областях: метод разделения переменных, метод скалярных гибридных интегральных преобразований, - не работают при исследовании взаимосвязанных математических моделей кусочно-однородных сред, т.к. не учитывают характер взаимодействия основных и перекрестных эффектов. Для аналитического исследования взаимосвязанных математических моделей физических полей кусочно-однородных сред должен быть создан аналог интегральных преобразований Фурье, Фурье - Бесселя, Вебера для составного промежутка.

Тип дифференциального уравнения и вид среды, в которой рассматривается задача, как известно, обусловливают структуру интегральных преобразований. Метод интегральных преобразований позволяет строить аналитическое представление структуры полей в несвязанных математических моделях много-

слойных сред в виде интегрального изображения. В работах Лебедева М. М., Ленюка М. П., Найда Л. С, Проценко B. C., Уфлянда Я. С, Fokas A.S. и др. в 70-х гг. прошлого столетия рассмотрены интегральные преобразования Фурье, Фурье - Бесселя, Фурье - Лежандра, Фурье - Ханкеля, Ханкеля - Лежандра на составных неограниченном, полуограниченном и конечном промежутках.

Известные аналитические методы описания взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса плохо адаптированы к изменению и к анализу чувствительности модели при варьировании ее параметров. Создание метода матричных интегральных преобразований, выполненное в работе, и установление его вариативного характера позволило найти интегральные изображения взаимосвязанных физических полей в кусочно-однородных средах с плоской или осевой симметрией в виде, удобном при вычислениях как для больших так для малых значений t.

Пусть F₁,F₂ -матричные интегральные преобразования, соответствующие многокомпонентным моделям M1и М₂. Необходимость комплексного описание пары моделей М₁ и М₂ приводит к определению нового понятия - оператора преобразования J_1,2=F₁-F~¹. Метод операторов преобразования, получивший дальнейшее развитие в нашей работе, представляет собой еще один аналитический метод исследования математических моделей. Понятие оператора преобразования фактически содержится в методе отражений Кельвина, Вейер-штрасса, Пуассона, Сонина. Теория операторов преобразования развита в монографиях Марченко В. А. В исследованиях Киприянова И. А. операторный метод применяется в теории сингулярных краевых задач. Отдельные элементы метода операторов преобразования использовались при решении задачи Коши для волнового уравнения методом отражений, см. Р. Курант. Применение метода продолжается в работах Лычева С. А., Самко С. Г., Килбаса А. А., Маричева О. И., Ситника С. М. Метод отражений был использован в спектральной теории одномерных уравнений Шредингера. Монография Баврина И. И. посвящена операторному методу в комплексном анализе.

В настоящее время исследования взаимосвязанных математических моделей включают в себя следующие основные направления:

1. численные методы: сеточный метод, метод конечных элементов, метод радиально базисных функций, радиально базисных нейронных сетей;

2. аналитические методы: метод интегральных преобразований Лапласа, метод интегральных преобразований Фурье;

3. методы теории краевых задач Римана.

На протяжении двух последних столетий наблюдался интенсивный рост интереса к развитию метода интегральных преобразований в математическом моделировании. По данным полнотекстовой базы научно-технической литературы . за последние десять лет было опубликовано 108745 научных работ по данной тематике, содержащих в описании ключевые слова integral transform.

Цель работы: создание теории матричных интегральных преобразований и основанных на ней аналитических, численных методов исследования математических моделей, алгоритмов, комплексов программ для моделирования явлений взаимосвязанного тепломассопереноса.

Для достижения этой цели решались задачи:

4. установить функциональные связи между различными линейными математическими моделями тепломассопереноса;

5. разработать теорию матричных интегральных преобразований, учитывающую перекрестные эффекты, в качестве теоретической основы математического моделирования процессов взаимосвязанного тепломассопере-носа;

6. сформулировать условия сопряжения, учитывающие перекрестные эффекты, и разработать технику применения матричных интегральных преобразований для анализа тепломассопереноса в многослойных средах в модифицированной постановке;

7. разработать концепцию операторов преобразования с целью интерпретации вновь сформулированной модели тепломассопереноса в терминах эталонной математической модели тепломассопереноса.

8. модифицировать метод последовательных приближений на основе идеи последовательного отражения модельного решения от границы для вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса;

9. установить отличия взаимосвязанных и несвязанных математических моделей;

10. разработать технику применения теории операторов преобразования для интерпретации результатов наблюдений взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах;

11. обосновать и распространить метод расщепления интегрального преобразования Фурье на матричный случай для решения задач с подвижными границами;

9) разработать итерационный вычислительный алгоритм определения ком
понент взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в
виде процедуры отражения решения модельной смешанной краевой зада
чи от границ;

10) разработать нейросетевое программное обеспечение на радиально ба
зисных нейронных сетях для численного решения начально-краевых задач
в многослойных телах.

Научная новизна диссертации определяется новизной постановки задач исследования и следующими основными результатами.

1. Средствами теории матричных интегральных преобразований впервые установлены функциональные связи между любыми линейными математическими моделями тепломассопереноса посредством изоморфизма. В результате разработан новый подход к аналитическому исследованию процессов тепломассопереноса, в котором на основании имеющейся ин-

формации об известной модели тепломассопереноса устанавливают информацию о вновь поставленной модели тепломассопереноса.

2. Разработана теория матричных интегральных преобразований в качестве основы математического моделирования процессов взаимосвязанного тепломассопереноса в различных однородных и кусочно-однородных средах, позволившая получить замкнутые выражения компонент термодинамических процессов в однородных и кусочно-однородных средах.

3. Модифицирована постановка внутренних условий сопряжения и выполнен аналитический расчет компонент взаимосвязанного тепломассопере-носа в многослойных средах методом матричных интегральных преобразований.

4. В рамках предложенной теории матричных интегральных преобразований разработана концепция операторов преобразования, опирающаяся на групповую природу интегральных преобразований. На ее основе впервые установлена возможность интерпретации вновь сформулированной модели тепломассопереноса в терминах эталонной математической модели тепломассопереноса.

5. Представлен и протестирован модифицированный метод последовательных приближений компонент взаимосвязанного тепломассопереноса, в котором в качестве нулевого приближения выступает модельное решение, а последующие приближения находятся методом последовательных отражений от внешней и внутренних границ.

6. В результате аналитических исследований и проведенного вычислительного эксперимента впервые выявлены существенные отличия взаимосвязанных математических моделей от несвязанных: на одних и тех же данных компоненты взаимосвязанной и несвязанной моделей тепломассопе-реноса могут отличаться до 19%.

7. Предложен новый подход интерпретации результатов наблюдений для взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах, при котором решение ретроспективной задачи и задачи продолжения поля получаются из решений соответствующих задач в однослойных средах.

8. Разработан модифицированный метод матричных интегральных преобразований, состоящий в расщеплении ядра на пространственную и временную компоненты, что позволило описать процессы тепло - и массопере-носа в кусочно-однородных средах с переменными граничными условиями.

9. Разработан итерационный вычислительный алгоритм определения ком
понент взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса
для многослойных тел с плоской симметрией, в котором реализована
процедура отражения решения модельной смешанной краевой задачи от
границы.

10. Модифицирован метод фундаментальных базисных решений вычисления компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослойных средах, учитывающий перекрестные эффекты в условиях сопряжения.

Теоретическая значимость работы. Построенная теория матричных интегральных преобразований вносит значительный вклад в развитие аналитических методов математического моделирования взаимосвязанных процессов в однородных и неоднородных средах. Понимание закономерностей взаимодействия основных и перекрестных эффектов взаимосвязанной модели, учитываемых в рамках теории матричных интегральных преобразований, позволило найти решение сложных задач математического моделирования тепломассопе-реноса, диффузии, теории упругости, провести анализ чувствительности модели к изменению ее параметров. Разработанные на основе теории матричных интегральных преобразований вычислительные методы повышают точность математического моделирования.

Практическая значимость работы. Создан комплекс программ символьного вывода формул для решения начально-краевых задач с небольшим числом слоев, разработано нейросетевое программное обеспечение в среде MatLab численного решения начально-краевых задач в многослойных средах. В этом комплексе программ решение аппроксимируется взвешенной суммой фундаментальных решений и, в отличие от универсальных программных систем конечно-элементного анализа ANSYS и PDETool, не требует триангуляции границы области. Разработанные в рамках исследования алгоритмы и комплексы прикладных программ в системе компьютерной алгебры Maxima могут быть использованы в анализе и синтезе физических процессов переноса, фильтрации, диффузии в технических системах, в машиностроении при использовании композиционных материалов; нейросетевое программное обеспечение в среде MatLab адаптировано для численного решения начально-краевых задач в многослойных телах. Предложенные тестовые задачи служат для проверки эффективности новых численных методов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач комплексно использованы аналитические методы, включая теорию интегральных преобразований, метод отражений в теории краевых задач, метод операторов преобразования, метод фундаментальных решений в качестве базисных функций. Для оценки точности вычислительных методов построены аналитические решения ряда модельных уравнений. Разработанные математические методы и алгоритмы реализованы в виде комплексов программ. Символьные вычисления проводились в системе компьютерной алгебры Maxima, численные процедуры реализованы в среде программирования Borland Delphi и Matlab.

На защиту выносятся следующие научные результаты, полученные автором лично или вклад автора в которые был определяющим:

1. теория матричных интегральных преобразований и техника их применения для исследования многокомпонентных моделей тепломассопереноса в многослойных средах;

2. функциональные связи между линейными математическими моделями тепломассопереноса, установленные посредством операторов преобразования, и новый подход к аналитическому исследованию процессов теп-ломассопереноса, в котором из имеющейся информации об эталонной модели тепломассопереноса извлекают информацию о вновь поставленной модели тепломассопереноса;

3. модифицированная постановка внутренних условий сопряжения и аналитический, численный расчеты компонент взаимосвязанного тепломассо-переноса в многослойных средах с модифицированными условиями сопряжения;

4. концепция операторов преобразования, опирающаяся на групповую природу интегральных преобразований, и интерпретация в рамках этой концепции модели взаимосвязанного тепломассопереноса многослойных сред в терминах эталонной;

5. модифицированный метод последовательных приближений компонент взаимосвязанного тепломассопереноса, в котором приближения находятся отражением от внешней и внутренних границ;

6. анализ компонент взаимосвязанных и несвязанных математических моделей на одних и тех же данных (на примере обобщенной задачи Неймана для полуограниченной среды);

7. интерпретация результатов наблюдений для взаимосвязанных математических моделей тепломассопереноса в многослойных средах в терминах эталонной математической модели;

8. модифицированный метод матричных интегральных преобразований, состоящий в расщеплении ядра на пространственную и временную компоненты, для описания процессов тепло - и массопереноса в кусочно-однородных средах с переменными граничными условиями;

9) итерационный вычислительный алгоритм определения компонент мате
матических моделей тепломассопереноса для многослойных тел с плос
кой симметрией на основе процедуры отражения решения модельной
смешанной краевой задачи от границ;

10) модифицированный метод фундаментальных базисных решений и
комплекс программ с нейросетевой реализацией в среде МаtLab для вы
числения компонент взаимосвязанного тепломассопереноса в многослой
ных средах.

Достоверность и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается результатами сравнения с тестовыми задачами, с данными, полученными по другим методикам. Адекватность разработанных аналитических методов и алгоритмов подтверждается тем, что результаты для

предельного случая, т.е. без учета перекрестных эффектов или в том случае, когда среда однородная, совпадают с аналогичными результатами других авторов. Основные результаты по теме диссертации:

опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ [9-41], тринадцать работ [9-14, 17-19, 35-36, 38-39] входят в систему цитирования SCOPUS;

изложены в монографиях [1-8];

опубликованы в других периодических журналах [58-70];

изложены в трудах международных конференций и семинаров [42-57]: международной математической конференции, посвященной памяти Ганса Хана, г. Черновцы, 1994; международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора С. П. Пулькина (г. Самара, 1997); международной научной конференции PARCA-2010 (г. Тамбов, 2010); международных научных конференций по моделированию нелинейных процессов и систем, СТАНКИН, г. Москва, 2011, 2015;

доложены на научных семинарах:

академика РАН С. М. Никольского, (1999); академиков РАН В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, (2003); академика И. К. Лифанова, (2007); академика РАН Е. И. Моисеева, (2007); члена-корреспондента РАН И. А. Шишмарева, (2007); д.ф.-м.н., проф. Л. А. Аксентьева в КФУ, (2008); кафедры дифференциальных уравнений Черновицкого государственного университета, (1998); кафедр компьютерных технологий (2016) и математики и суперкомпьютерного моделирования, зав. каф. проф. Ю. Г. Смирнов (2015); кафедры прикладной математики МГТУ «Станкин», зав. каф. проф. Л. А. Уварова, ( 2017); «Обратные задачи математической физики», рук. (2018).

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа соответствует формуле научной специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки) в пунктах 1, 2, 3, 4, 5.