Введение к работе
Актуальность. Хорошо известно, что эффективным средством решения задач математической физики и механики являются сеточные методы и, в частности, метод конечных элементов С МКЭ ). Исследовании точности схем МКЭ для классических задач математической физики посвящена обширная литература.
На практике часто встречаются задачи, входные данные которых нерегулярны. К ним относятся краевые задачи с вырождающимися дифференциальными операторами. Вырождение коэффициентов дифференциального оператора может быть обусловлено самой постановкой задачи. Это имеет место,например, в хорошо известном уравнении Чаплыгина,описывающего установившееся движение частиц газа с дозвуковыми скоростями, или в уравнении изгиба пластины с острым краем.Вырождение коэффициентов может возникать также при особой замене переменных в невырожденном уравнении,например, при переходе от декартовых координат к полярным. Различные теоретические и практические аспекты построения схем МКЭ для вырождающихся уравнений сравнительно мало изучены.
Целью работы является построение и исследование сходимости схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка.
Методы исследования. В работе используются методы теории функциональных пространств и операторов в функциональ-яых пространствах, вариационные методы и методы теории про-экционно-сеточных схем.
- 4 -Научная новизна. 1. Доказаны теоремы вложения пространств Соболева с весом для областей со свойством конуса; получены весовые аналоги теорем Дени-Лионса и Браыбла-Гиль-берта.
-
Получены оценки погрешности конечно-элементной интерполяции в весовых нормах.
-
Предложены схемы МКЭ для вырождающегося уравнения второго порядка и исследована их сходимость в энергетической и L -нормах.
Теоретическая и практическая ценность.Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе погрешности сеточных методов для задач с особенностями, а также при численном решении конкретных задач механики и математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" С Казань, 1991 ); на IV Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" С Абрау-Дюрсо, 1992 ); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1989-1992 гг., на семинаре кафедры вычислительной математики Казанского университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве^ дения, трех глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Работа изложена на 118 страницах машинописногс текста.