Введение к работе
Область исследования. Диссертационная работа посвящена разработке нового метода моделирования динамических систем различной физической природы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Метод предназначен для построения математических моделей, качественное исследование которых при традиционном подходе к моделированию вызывает серьезные математические трудности. В данном случае под традипионнным понимается подход, который выполняется в следующие два этапа: на первом этапе на основе экспериментальных наблюдений или научных законов строится математическая модель (например, в механике такой моделью могут служить уравнения Лагранжа второго рода), а затем, на втором этапе, выполняется ее качественное исследование с целью изучения поведения динамической системы в зависимости от значений параметров и функций, которые входят в уравнения модели. Такое исследование предполагает, как правило, во-первых, нахождение особых фазовых траекторий (состояний равновесия, сепаратрис, предельных циклов) фазового портрета модели динамической системы, а во-вторых — получение качественной картины разбиения на траектории как окрестностей этих особых траекторий, так и фазового пространства в целом (например, нахождение областей притяжения состояний равновесия или предельных циклов). Применение с этой целью известных качественных методов исследования дифференциальных математических моделей (первого метода Ляпунова, критериев Дюлака и Бендиксона, теории индекса, метода топографической системы кривых Пуанкаре, метода точечных отображений, методов усреднения и др.) не позволяет в общем случае получить необходимые сведения в полном объеме либо в силу того, что некоторые из этих методов предназначены исключительно для изучения локальных топологических структур особых фазовых траекторий, либо в силу практической неразрешимости математических задач, возникающих при их реализации. В последнем случае прибегают, как правило, к исследованию не самой м а веской модели. а"той К0Т0Рая
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ j БИБЛИОТЕКА I
из неё получается некоторыми упрощениями (линеаризацией, усреднением и т.д.). Полученные.таким образом результаты требуют обоснования их справедливости для порождающей модели, верны только при определенных условиях, имеют в общем случае локальный характер и полного представления о поведении исследуемой динамической системы не дают. В диссертации предлагается иной подход к моделированию, который позволяет, с одной стороны, избежать перечисленные выше трудности выполнения качественных исследований математической модели, а с другой стороны, — получить достаточно полное представление о свойствах поведения соответствующей ей динамической системы. Суть этого подхода заключается в следующем. Составляется фазовый портрет моделируемой динамической системы, причем основой для этого могут служить либо экспериментальные результаты, либо результаты наблюдения за поведением динамической системы, либо требуемые свойства ее поведения. Затем на основе методов качественной теории дифференциальных уравнений синтезируется математическая модель по заданному или требуемому фазовому портрету. Далее выполняется сравнение построенной таким образом математической модели с математической моделью, полученной на первом этапе при традиционном подходе. В результате определяются функции, добавление которых к уравнениям последней модели обеспечивает ее поведение в соответствии с заданным фазовым портретом. Задача разработки метода реализации второго подхода является фундаментальной проблемой данной диссертационной работы и формулируется следующим образом: синтезировать дифференциальную математическую модель динамической системы по заданной совокупности особых фазовых траекторий и заданной топологической структуре ее фазового портрета в целом. Эта фундаментальная проблема состоит из двух частей, которые названы основными задачами. Первая основная задача заключается в специальном выборе направлений сравнения и построении их направляющих векторов, число которых в каждой точке фазового пространства равно его размерности и которые образуют локальный базис. Важность этой задачи обусловлена тем,
что именно от указанного выбора зависит возможность решения фундаментальной проблемы. Вторая основная задача состоит в математической формализации свойств фазового портрета и решается построением функций, которые представляют собой проекции вектора фазовой скорости исследуемой математической модели динамической системы на направления сравнения. Алгоритмы решения этих задач могут быть реализованы с помощью комплекса проблемно-ориентированых программ, которые представлены в диссертации. Этот комплекс программ назван "Model's elements" и предназначен для синтезирования математических моделей конкретных динамических систем и выполнения вычислительных экспериментов с использованием компьютера.
Метод решения фундаментальной проблемы и сопутствующие ему алгоритмы использованы в диссертационной работе для составления математических моделей механических движений материальных тел. В частности, синтезированы: 1) математическая модель целенаправленного плоского движения материальной точки; 2) математическая модель относительных колебаний маятника, установленного на вращающейся платформе; 3) математическая модель стабилизации вертикального положения перевернутого маятника с подвижной точкой опоры. Полученные математические модели использованы для нахождения управляющих сил, обеспечивающих требуемые свойства движений рассмотренных объектов.
Актуальность. Актуальность постановки фундаментальной проблемы обусловлена тем, что ее решение открывает новые возможности для построения математических моделей и не требует их качественных исследований, выполнение которых в общем случае, во-первых, приводит к математическим трудностям и, во-вторых, полученные с их помощью результаты не содержат достаточно полных сведений о поведении математической модели динамической системы.
Решение фундаментальной проблемы предполагает использование фазового портрета, который наиболее полно отражает все возможные случаи поведения соответствующей динамиче-
ской системы. Для аналитического задания свойств поведения динамической системы требуется сравнение в каждой точке её фазового пространства вектора фазовой скорости с направлениями, число которых должно быть равно размерности этого пространства. Выбор направлений сравнения и построение их направляющих векторов является важной и актуальной задачей, от решения которой во многом зависят прикладные возможности аналитического способа задания свойств фазового портрета.
Регулярных методов аналитического задания глобальной топологической структуры разбиения фазового портрета на траектории (если не считать использование соответствующих дифференциальных уравнений) не существует. Поэтому представленный в диссертации метод задания свойств фазового портрета с помощью функций, зависящих только от фазовых координат, является актуальным. Этот метод актуален и для решения фундаментальной проблемы. Он создан на основе обобщений и существенного развития методов решения обратных задач качественной теории дифференциальных уравнений и представляет самостоятельный научный и прикладной интерес.
Реализация алгоритмов метода решения фундаментальной проблемы для синтезирования математических моделей конкретных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов требует в общем случае вьшолнения большого объема аналитических выкладок и вычислений. Поэтому создание комплекса проблемно-ориентированных программ для осуществления этих действий с использованием компьютера и облегчения труда исследователя, представляется актуальной задачей. Кроме того, комплекс программ позволяет строить графические схемы топологических структур особых траекторий искомой модели и тем самым осуществлять верификацию результатов, получаемых на каждом шаге процесса построения математической модели.
Синтезированные в работе математические модели механических движений материальных тел (целенаправленного движения материальной точки; относительных колебаний маятника, установленного на вращающейся платформе; стабилизации
вертикального положения перевернутого маятника с подвижной точкой опоры) представляют самостоятельный теоретический и прикладной интерес, а также актуальны как с точки зрения демонстрации применения разработанных в диссертации методов и алгоритмов, так и с точки зрения проверки их достоверности и правильности применения.
Цель работы — создание нового математического метода синтезирования математических моделей динамических систем по фазовым портретам, позволяющим наиболее полно отражать свойства поведения моделируемой динамической системы, которые либо заданы, либо установленны в результате наблюдений (экспериментов) — метода, с помощью которого практически выполнимо построение математических моделей динамических систем со сложным поведением и применение которого не требует, в отличие от традиционного подхода, проведения дополнительных исследований, представляющих серьезные математические трудности. Целью работы является также: решение обратной задачи качественной теории дифференциальных уравнений о построении систем уравнений, имеющих заданную совокупность особых траекторий и заданную топологическую структуру разбиения на траектории в целом; разработка комплекса проблемно-ориентированных программ с целью применения компьютеров для реализации алгоритмов метода решения фундаментальной проблемы при практическом синтезировании математических моделей и проведении вычислительных экспериментов; построение математических моделей движений конкретных динамических систем с целью демонстрации применения алгоритмов и методов, представленых в диссертации, и проверки их достоверности.
Методы исследования. Математической основой разработки метода и алгоритмов решения фундаментальной проблемы диссертации являются основные положения качественной теории динамических систем на плоскости, методы системного анализа и математического моделирования, метод Н. П. Еруги-на построения дифференциальных уравнений, которые имеют заданную интегральную кривую, и метод Фроммера—Куклеса
исследования особых точек обыкновенных дифференциальных уравнений. При вьшолнении вычислительного эксперимента в диссертации использован метод Рунге-Кутта численного интегрирования дифференциальных уравнений с переменным шагом. Для представления в графическом виде результатов аналитических построений математических моделей использовались команды пакета прикладных программ Maple V, предназначенные для построения с применением компьютера графических схем векторных полей и фазовых портретов.
Научная новизна диссертации состоит в следующем. Подход к математическому моделированию реализован по схеме "от свойств поведения динамической системы — к ее математической модели", в отличие от схемы традиционного подхода "от математической модели — к свойствам ее поведения". Разработанный новый метод математического моделирования основан на решении обратной задачи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений о построении систем уравнений на плоскости по заданной совокупности их особых траекторий и заданной топологической структуре разбиения на траектории в целом. Научная новизна состоит также в использовании направлений сравнения и соответствующих им направляющих векторов, число которых в каждой точке фазового пространства моделируемой динамической системы равно размерности этого пространства и применение которых позволяет добиться отсутствия у искомой математической модели особых точек, отличных от заданных. Для синтезирования математических моделей, имеющих сложные состояния равновесия, использован метод Фроммера—Куклеса, что позволило впервые получить и теоретически обосновать конструктивные алгоритмы построения таких моделей. Математические модели, полученные представленным в работе методом решения фундаментальной проблемы, не требуют проведения дополнительных исследований, необходимых при традиционном подходе. Разработан новый метод аналитического задания (или математической формализации) свойств топологической структуры фазового портрета моделируемой динамической системы. Создан коплекс проблемно-
ориентированных программ, предназначенных для реализации с применением компьютера алгоритмов метода математического моделирования динамических систем с заданными свойствами их поведения. Проведены вычислительные эксперименты по математическому моделированию управляемых движений материальных тел и использованию синтезированных моделей для нахождения управляющих сил, обеспечивающих достижение целей управления.
Полученные в диссертации результаты являются новыми. Они обобщают, развивают и дополняют результаты отечественных ученых Н. П. Еругина, А. С. Галиуллина, А. А. Шестако-ва, М. И. Альмухамедова, А. Ф. Андреева, Р. Г. Мухарлямова, И. А. Мухаметзянова, В. И. Зубова, В. В: Амелькина, Л. Э. Рейзиня, И. С. Куклеса, Ш. Р. Шарипова, зарубежных ученых Р. Е. Гомори, Ж. Аржеми, Рональда Свердлова, Н. О. Комарова, Ж. Жомэ и других ученых.
Практическая значимость. Создан эффективный метод, позволяющий для решения прикладных задач синтезировать математические дифференциальные модели динамических систем с требуемыми или заданными свойствами поведения независимо от объема, разнообразия и сложности этих свойств. Разработан метод аналитического задания топологической структуры фазового портрета математической модели динамической системы на плоскости, который может быть использован для решения важной проблемы математической формализации свойств моделируемой динамической системы. Создан пакет проблемно-ориентированных программ, предназначенный для практической реализации алгоритмов синтезирования математических моделей с заданными свойствами и для проведения вычислительных экспериментов с применением компьютеров. Построенные математические модели движений материальных тел могут быть использованы для решения задач теории колебаний, вибрационной механики, задач управления робототехиическими системами. Математические модели, полученные представленным в диссертации методом моделирования, содержат функции (называемые функциями Еругина), значения которых не влияют на
топологические структуры этих моделей. Функции Еругина могут быть использованы для обеспечения дополнительных требуемых или желаемых свойств синтезируемых математических моделей.
Полученные в работе результаты могут быть применены как для построения математических моделей динамических систем произвольной физической природы, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями и обладает заданными свойствами, так и для нахождения управляющих функций, обеспечивающих выполнение этих свойств.
Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов математического моделирования, теории управления, теории нелинейных колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений.
Достоверность полученных результатов. Представленный в работе метод математического моделировования основан на известных положениях качественной теории дифференциальных уравнений, на строгом использовании аналитических и качественных методов исследования дифференциальных уравнений. Все новые теоретические результаты диссертации математически строго доказаны. Наболее важные утверждения сформулированы в виде теорем, доказательства которых содержат полные описания и обоснования конструктивных алгоритмов синтезирования математических моделей. Достоверность полученных в работе результатов, алгоритмов, методов и программ комплекса "Model's elements", а также правильность их применения были проверены вычислительными экспериментами по моделированию движений конкретных динамических систем по заданным фазовым портретам. Проверка состояла в выполнении графических построений векторных полей и фазовых портретов синтезированных математических моделей. Эти построения были выполнены с использованием компьютера и программ пакета Maple V Release 5.
Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом.
Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в 35 работах, список которых приведен в конце автореферата и среди которых две монографии, статьи в журналах и межвузовских сборниках, тезисы международных конференций, депонированные работы. 11 работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК Минобразования Российской Федерации.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1985 г.); на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 1994 - 2000 г.г.); на 5-м и 6-м Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем" (Москва, ИПУ РАН, 1998, 2000 г.г.); на 5-й Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Крым, Алушта, 2000 г.); на научном семинаре по устойчивости движения и управлению движениями материальных тел Российского университета дружбы народов (Москва, 1995 - 1999 г.г.); на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого университета путей сообщения (Москва, 2001 - 2004 г.г.); на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. Дородницына РАН (Москва, 2004 г.); на научном семинаре по аналитической механике и теории устойчивости Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (2001 г.); на научном семинаре факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (Нижний Новгород, 1998 г.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (Саранск, 2003 г.); на совместном заседании кафедр математического моделирования и информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета (Тверь, 2004 г.), а также на других конференциях и семинарах.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав и списка литературы, включает 71 рисунок, в том числе и графические схемы, построенные на компьютере с использованием математического пакета прикладных программ Maple V. Первый параграф каждой главы является вводным. Общий объем работы 318 страниц. Библиография включает 137 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.
