Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Математическое моделирование в задаче о достижимости цели в малом для плоского управляемого движения МКА 13
1.1 Основные черты, характеристики малых космических аппаратов (МКА) 13
1.3 Построение динамической модели движения МКА и модели управления МКА 25
1.4 Основные определения и постановка основных диссертационных задач 36
1.5 Обзор предшествующих результатов по теме диссертации 42
1.6 Постановка задачи о достижимости цели в малом в случае плоского движения МКА 52
1.7 Решение задачи о достижимости цели в малом в случае плоского движения МКА 53
1.8 Моделирование 63
1.9 Вопрос о сильной достижимости цели в малом для МКА 69
1.10 Решение задачи о недостижимости цели в малом для МКА в плоском случае
Глава 2 CLASS Математическое моделирование в задаче о достижимости цели в малом для пространственного управляемого движения МКА 83 CLASS
2.1 Постановка задачи 83
2.2 Вспомогательные результаты из дифференциальной геометрии 85
2.3 Решение задачи достижимости цели в малом в случае пространственного движения МКА 90
2.4 Моделирование 111
Глава 3 Минимизации расхода топлива при управлении в малом МКА 118
3.1 Задача о минимизации расхода топлива при управлении в малом для МКА 118
3.2 Моделирование 125
3.3 Задача о быстродействии в малом для МКА 126
Глава 4 Планирование и аппроксимация управления, алгоритмическая и программная реализации в вопросах управления для МКА 129
4.1 Постановка задачи о проектировании управления для МКА 129
4.2 Проектирование вариантов управления для МКА на основе траекторных измерений 134
4.3 Аппроксимация управления для МКА в классе кусочно-постоянных функций 152
4.4 Выводы по 4-й главе 166
Заключение 167
Список литературы
- Основные определения и постановка основных диссертационных задач
- Вспомогательные результаты из дифференциальной геометрии
- Задача о быстродействии в малом для МКА
- Проектирование вариантов управления для МКА на основе траекторных измерений
Введение к работе
Актуальность работы. В конце ХХ-го - начале XXI-го века в мировой космической практике совершенно явно проявилось новое направление -создание и эксплуатация малых космических аппаратов (МКА). Основные причины возникновения - способность решать крупные технические, хозяйственные и оборонные задачи «малыми средствами»: МКА - это малая масса, небольшая энерговооруженность, укомплектованность современной электронной аппаратурой и вычислительной техникой, новые подходы в архитектуре аппарата, в методах его проектирования и главное - относительно небольшая стоимость МКА при всей сложности и разнообразии решаемых задач. К таким основным задачам для МКА, относятся: дистанционное зондирование Земли в оптическом и радиодиапазонах, космическая связь, глобальная навигация, астрономические наблюдения, космология, обслуживание больших космических платформ и станций (возможно, населенных людьми) и задачи в интересах министерства обороны РФ.
К основным актуальным задачам эксплуатации МКА, несомненно, относятся вопросы управляемости такими аппаратами в различных условиях и сопутствующие этому процессу задачи.
В работе решена актуальная задача: как составить математическую неавтономную (нестационарную) модель и научиться управлять МКА, снабженного двумя центрально-симметричными двигателями тяги, чтобы МКА, стартуя из одной точки космического пространства, достиг бы заданной точки, расположенной на некоторой космической платформе, не выходя за пределы наперед заданной окрестности этой космической платформы.
К основным задачам диссертации о достижимости цели МКА примыкает целый ряд второстепенных, «обслуживающих» задач, некоторые из которых имеют и самостоятельное значение (например, задача о законе распределения «случайных» оценок параметров траектории МКА).
Идея, реализованная в диссертации, имеет значение для решении современных проблем, как в теории моделирования и управления движением объектов вообще, так и для отдельной проблемы моделирования и управления движением в малом для МКА.
Цели работы. Предложить на основе методов математического моделирования конструктивный метод управления «в малом» малыми космическими аппаратами, который позволил бы, перевести аппарат из одной точки пространства в другую, с учетом ограничений на технические характеристики МКА, в классе «наиболее простых» кусочно-постоянных управлений, которые реализуют малые двигатели тяги МКА.
Реализовать этот метод алгоритмически и программно и решить ряд практических задач управления МКА, на которых продемонстрировать возможности метода. Решить ряд сопутствующих задач, посвященных методам выбора классов управлений для МКА из некоторого из набора, заранее заложенного в возможности двигательной установки МКА, на основе обработки траекторной информации.
Задачи исследования. Актуальность исследования и цели работы конкретизированы в задачах исследования:
-
Построение динамической модели неавтономного движения МКА, меняющей свой вид на основе траекторной информации, и модели управления МКА с двумя бортовыми двигателями коррекции.
-
Решение задачи о достижимости (недостижимости) цели в малом в плоском и пространственном случаях неавтономного движения МКА.
-
Постановка задачи о быстродействии в малом для управляемого движения МКА. Постановка задачи о минимизации расхода топлива при управлении в малом для МКА.
-
Проектирование вариантов управления для МКА на основе траекторной информации. Задача об аппроксимации управления для МКА в классе кусочно-постоянных функций.
-
Моделирование и оценка сложности алгоритмов обработки траекторной информации для МКА.
Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются малые космические аппараты (МКА). Результаты исследования закреплены в модельных экспериментах над МКА. На основе исследований выдвинуты конкретные выводы относительно эффективной эксплуатации МКА.
Предмет исследования. Модернизированные модели движения объектов вообще и МКА, в частности, новые модели управления МКА в случае двух центрально-симметричных двигателей коррекции в ранее не изучавшемся варианте «управляемости в малом». Методы оценки параметров движения МКА на основе траекторной информации и выбор вариантов управления МКА.
Соответствие специальности. Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам:
п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»,
п.З«Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ»,
п. 8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования».
Степень разработанности темы диссертации. Тема моделирования движения и управления движением объектов, в том числе космических, к настоящему времени имеет двоякое освещение в науке и ее приложениях. С одной стороны, имеется обширная библиография по этому вопросу, а такие имена, как акад. Петров А.А., Краснощеков П.С., выдающийся американский математик Дж. фон Нейман, и их современных учеников и последователей широко известны в мире математического моделирования и его приложений. С другой стороны, при решении конкретных задач моделирования возникает потребность модернизации общих принципов построения моделей (работы P.P. Назирова, Г.Н. Мальцева, А.В. Семенова и др.). В современных подходах отсутствует «гибкая по виду» модель движения объектов, приспособленная под быстро меняющиеся во времени внешние факторы. Такая модернизация
предпринята в диссертации: построены динамичные по виду модели движения, когда силы, порождающие движение меняют свой вид во времени.
Аналогичная ситуация складывается в теории оптимального управления. Работы акад. Л.С.Понтрягина, Н.Н. Красовского, Р.В. Гамкрелидзе, американских математиков Р. Беллмана, М. Атанса, П. Фалба, их последователей (работы Л.А. Макриденко, Н.Н. Севастьянова, В.Ф. Фатеева и др.) являются основой проведенного в диссертации исследования.
Одновременно в силу объективных причин возникла ранее не освещавшаяся, новая проблема учета «специфических ограничительных условий», налагаемых на некоторые объекты управления, в частности, малые космические аппараты. Речь идет об ограниченных областях маневрирования МКА при причаливании к космическим платформам, о весьма ограниченном запасе горючего, об ограниченности управляющих воздействий классом самых простых управлений и др. Под эти новые условия эксплуатации объектов (в частности, МКА) была разработана теория «управляемости (достижимости) в малом», распространенная на общий случай неавтономного движения. Для линейных и некоторых автономных моделей подобные вопросы решались в школе академика Е.А. Барбашина.
Вопросам развертывания систем МКА уделяется большое внимание в разных странах (Россия, США, Европа, Китай), в то же время специфические вопросы управления МКА в ограниченных условиях (управление в малом), рассмотренные в диссертации, - новые.
Проведенные в диссертации исследования находятся в русле научных работ, проводимых на кафедре САПР ВС РГРТУ под руководством докт. техн. наук, профессора В.П. Корячко.
Освещение степени разработанности темы диссертации базируется на 62 библиографических источниках.
Методы решения задач. Решение поставленных задач осуществлено путем использования современного, разработанного автором подхода и инструментария на базе классических методов: - математического и физического моделирования; - теории оптимального управления; -качественной теории дифференциальных уравнений; - структурного программирования; - вычислительной математики.
Научная новизна. Основные идеи и результаты предлагаемой работы:
-
Обоснование динамической по виду модели движения объекта при воздействии внешних сил (применительно к МКА), центрально-симметрической компоновки двух бортовых двигателей коррекции (БДК) МКА и модели управления таким объектом; постановка задачи управляемости в малом объектом (в частности, МКА) в случае нелинейных неавтономных моделей для достижения объектом заданной цели.
-
Решение задачи о достижимости (и недостижимости) цели в малом, вопроса о сильной достижимости цели в малом в случае плоского неавтономного движения МКА.. Постановка и решение задачи об управляемости в малом для пространственного неавтономного движения МКА, вспомогательные результаты из дифференциальной геометрии для
качественного анализа полученных результатов; моделирование плоского и пространственного случаев движения МКА.
-
Постановка задачи о минимизации расхода топлива при управлении в малом для МКА, и предложение ее решения в инженерном плане; постановка новой задачи о быстродействии в малом для МКА и обоснование ее решения в инженерном плане
-
Модернизация общего метода наименьших квадратов, описание полученных законов распределения отклонения оценок от истинных значений параметров движения МКА. Математическое моделирование по выбору вариантов управления МКА, движущегося по круговой орбите вокруг Земли.
Практическая значимость. Получены новые методы моделирования движения объектов и моделей управления объектами в «стесненных условиях» (управляемость в малом). Созданы программы, решающие новые задачи управляемости в малом объектом, в частности, МКА в случае нелинейных неавтономных моделей для достижения объектом (МКА) заданной цели. В инженерном плане реализованы две практические задачи: как минимизировать время достижения объектом (в частности, МКА) заданной цели; как минимизировать расход горючего для достижения объектом (в частности, МКА) заданной цели.
Достоверность результатов. В основу исследований положена достоверная информация об исследуемых объектах, что подтверждается анализом ранее проводившихся исследований другими авторами. Результаты коллег по смежным вопросам соответствуют результатам диссертации. В диссертации используется апробированный ранее научно исследовательский и методический аппарат в точном соответствии с его предписаниями. Достоверность подтверждается аналогичными методами работ на других объектах, как автором диссертации, так и другими авторами. Аналитические выкладки диссертации подтверждены результатами различных численных моделирований и экспериментов. Теоретические и практические результаты совпадают. Достоверность работы подтверждена квалифицированным рецензированием опубликованных работ.
Реализация и внедрение результатов. Теоретическое и практическое использование результатов диссертации подтверждено актами внедрения в различных организациях технических отраслей (акты приведены в приложении к диссертации):
-
АО «Государственный Рязанский приборный завод» (ГРПЗ);
-
ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет» (РГРТУ);
-
ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный университет им. С.А. Есенина» (РГУ).
Теоретическое и практическое использование результатов диссертации подтверждено внедрением программ в государственных фондах (Роспатент, ОФЭРНиО).
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Динамическая по виду модель движения объекта, симметричная компоновка двигателей коррекции и модель управления таким объектом (в частности, применительно к МКА)
-
Метод решения задачи достижимости (недостижимости) цели в малом объектом (МКА) в случае нелинейных неавтономных моделей плоского движения МКА; метод решения задачи достижимости цели в малом для МКА в случае нелинейных неавтономных моделей пространственного движения. Моделирование.
-
Метод решения задачи о быстродействии в малом для МКА в инженерном плане; метод решения задачи о минимизации расхода топлива при управлении в малом для МКА в инженерном плане.
-
Метод оценки параметров движения МКА и выделения оптимального класса управляющих воздействий на МКА, заранее заложенного в возможности силовой установки МКА, на основе описания законов распределения оценок параметров движения МКА; математическое моделирование выбора вариантов управления МКА, движущегося по орбите вокруг Земли; эффективность метода выбора в сравнении с другими методиками.
Апробация результатов. Основные положения исследования изложены в монографии (в соавторстве), а также в опубликованных научных статьях и тезисах докладов. Результаты исследований докладывались и обсуждались на 5-ти научных конференциях различного уровня.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 16 публикациях автора: 1 научная монография, 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 3 статьи в рецензируемых сборниках трудов учебных заведений, 5 тезисов докладов на международных и всероссийских конференциях, зарегистрировано 2 программных продукта в государственных фондах РФ.
Общий объем опубликованных работ - более 13 п. л.
Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором лично, кроме некоторых специально оговоренных случаев (соавторство работ). Все заимствования известных результатов, полученных другими авторами, оговорены в работе ссылками на оригиналы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, заключения, списка цитированной литературы, приложения. Объем диссертации - 184 с, библиографический список- 103 наименования.
Основные определения и постановка основных диссертационных задач
Опишем некоторые технические параметры конкретных МКА на примере государственной программы США по созданию и быстрому разворачиванию группировки малых КА серии Tacsat (Tactical satellite) для дистанционного зондирования Земли, функционирующих на орбитах высотой 400 - 600 км. К примеру, малый КА Topsat (112 кг) (разработчик Rutherford Appleton Laboratory): оптическая схема - внеосевая, пространственное разрешение - 2,5 м, полоса захвата - 15 км, масса сканирующего аппарата - 32 кг, энергопотребление - 30 Вт. Или космический аппарат Alsat-2 (130 кг): разработчик - компания EADS Astrium, оптическая схема Корша, пространственное разрешение - 2,5 м, полоса захвата - 17,5 км, масса сканирующего аппарата - 18,5 кг. Или МКА Bejing-1 (168 кг): разработчик - лаборатория SSTL, оптическая схема Dall-Kirkham, пространственное разрешение - 4 м, полоса захвата - 24 км, масса сканирующего аппарата - 25 кг, энергопотребление - 12 Вт.
За последние два года тенденция космической промышленности России и США к созданию малых КА, обладающих еще более полными функциональными возможностями, заметно усилилась. В настоящее время запущены или подготовлены к запуску новые МКА: в России - серий «Аист», «SamSat», «Космос», «Метеор-М», «МКА-ФКИ», «SkySat-2», «DX-1», «TechDemoSat-1», «UKube-1», «AISSAT-2» и др., в США - серий Bejing, Nigeriasat, Alsat, Tacsat, Razaksat, EROS-B и др.
Россия и США не являются монополистами в области использования МКА. К примеру, МКА UKube-1 (Великобритания) - миниатюрный спутник массой около 4 кг. Он несет 4 комплекта полезной нагрузки, куда входит экспериментальное оборудование, предназначенное для изучения околоземного космического пространства и его воздействия на состояние и работоспособность бортовых систем космического аппарата, а также для орбитальной проверки перспективных технологий для дистанционного зондирования Земли. На борту спутника также установлен образовательный модуль FunCube, созданный с целью популяризации среди британских школьников знаний о космосе, электронике и радио.
МКА AISSAT-2 (Норвегия) - наноспутник массой около 7 кг. Его основной задачей является оперативное наблюдение и слежение за движением морских судов в территориальных водах Норвегии. Основной полезной нагрузкой спутника является приемник системы автоматической идентификации судов (АИС).
Институтом гидродинамики фон Кармана (Бельгия) в рамках Международной программы QB50 по исследованию геофизических полей Земли планируется в ближайшие годы вывести на орбиту 50 МКА. В этой программе участвуют и российские организации.
Общепринято, что МКА, отличающийся малой массой, малой энерговооруженностью и небольшой стоимостью - это новая ступень, новый этап в развитии современной космической техники. Технические параметры МКА, его небольшая энерговооруженность (для класса МКА коэффициент энерговооруженности, определяемый как K = M/N, где N- мощность системы энергоснабжения, М- масса МКА, достаточно мал и находится в диапазоне от 1,3 до 2,3 [Вт/кг]), ограниченные возможности двигателей коррекции орбит, возможность стартовать в космосе с больших космических платформ или станций (возможно, населенных людьми), небольшое время эксплуатации (1 - 2 года) диктуют новые требования и условия к методам управления МКА.
Бортовые корректирующие двигатели (БКД) МКА. Формирование орбитальной структуры МКА и поддержание в течение достаточно длительных сроков (5 и более лет) устойчивости ее функционирования может быть обеспечено путем учета расчетной траектории движения, правильном учете возмущающих функций, а также путем управления движением МКА с помощью бортовых двигателей коррекции (БДК), в частности, для поднятия траектории или для перемещении МКА с одной космической платформы на другую. Как показывают расчеты [14, 15, 16], при проектировании существования МКА в течении пяти и более лет, обойтись без БДК просто невозможно. Так для мини-КА массой 350 кг на орбите высотой 540 км с миделевым (средним) сечением в направлении полета не более 1,5 м2 снижение высоты орбиты за три года составит 55 км, а уже через 5,5 лет МКА сгорит в плотных слоях атмосферы Земли.
Важной особенностью МКА является ограничение энергопотребления бортовой аппаратурой и, в частности, БДК. На МКА, как правило, не удается разместить солнечные батареи (СБ) большой мощности, так как с ростом мощности батарей неизбежно растут их масса, размеры и момент инерции. Так для мини-КА массой около 400 кг стандартной является поверхность солнечных батарей в 5 м2-7 м2 , а снимаемая с них в начале полета мощность не превысит 1500 Вт. Износ же СБ за пять лет, как показывает опыт, составляет, в среднем, до четверти их номинального запаса. Кроме того, почти для всех МКА (за исключением тяжелого и сверхтяжелого классов) характерно отсутствие системы ориентации СБ, что значительно снижает эффективность фотоэлектрических преобразователей.
В космической практике в качестве двигательных установок на МКА применяются установки с небольшой ценой тяги - порядка 40 Вт/г, а суммарное потребление БДК составляет 200 - 250 Вт. Ограничение массы и габаритных размеров также сильно влияет на конструктивный облик БДК. Для наилучшей управляемости МКА вектор тяги двигателя должен проходить через центр масс КА, причем с уменьшением его размеров и массы требование к точности соблюдения этого условия возрастает. Наличие же баков с рабочим телом и, как следствие, изменение положения центра масс МКА с течением времени с одной стороны накладывает ограничения на компоновку аппарата, а с другой - требует наличия на борту достаточно мощной системы ориентации корпуса, способной парировать возмущающие моменты.
Вспомогательные результаты из дифференциальной геометрии
Как уже отмечалось, для теории оптимального управления и ее многочисленных приложений, в том числе приложений в космических экспериментах и в вопросах управления МКА, важна задача об определении управления, обеспечивающего приведение МКА к заданному состоянию (или к заданной точке), даже без учета требования по оптимальности относительно того или иного критерия. Аналитически эта задача в общем случае неразрешима.
Поэтому проблему оптимального управления решают с привлечением численных методов, хорошо разработанных к настоящему времени (инженер-исследователь не вникает в существо программных приложений, используя их как готовый инструмент). Так в некоторых прикладных задачах оптимальное управление и движение находятся численным методом спуска от какого-либо допустимого управления, решающего эту краевую задачу [49, 50]. Современные аспекты применения численных методов при эксплуатации рассматриваемых в диссертации МКА рассмотрены, например, в работах [10, 11], [13], [21, 22].
В названных работах рассматриваются вопросы построения алгоритмов практически весьма точного численного прогнозирования движения МКА (и небесных тел вообще) на основе применения численных методов высоких порядков и преобразований, регуляризирующих и стабилизирующих уравнения движения. Приведены примеры различного использования классических численных методов при решении конкретных задач управления МКА и прогноза их деятельности.
В монографиях [49, 50] излагаются методы Рунге-Кутта высоких порядков, метод тейлоровских разложений, неявные одношаговые алгоритмы Эверхарта, экстраполяционные методы, многошаговые методы, учитывающие свойства движения космических тел, метод многооборотного интегрирования. На многочисленных примерах показана эффективность в задачах небесной механики численных методов высоких порядков в сочетании с регуляризирующими и стабилизирующими преобразованиями уравнений движения космических тел.
В диссертационной работе уделено внимание предлагаемой модернизации численного метода Рунге-Кутта при расчете моментов переключения управления при приходе МКА на гипотетическую поверхность переключения. Рассмотрены и другие приложения численных методов, в частности использование разложения Холецкого для оценки точности экспериментов по выбору классов управлений МКА.
Обобщая, можно сказать, что теория решения оптимизационных задач начала бурно развиваться в связи с применением вычислительной техники, так как этот тип задач является чрезвычайно трудоемким. Подобные исследования проводились в колоссальном объеме, что было связано с насущными потребностями техники, военной отрасли, космонавтики, атомной энергетики, а также многих других отраслей. Помимо перечисленных главных источников автор проводила поиск новых идей и методов в работах [51-64].
Главный нерешенный вопрос в перечисленных работах, который двигал исследованиями автора - это распространение идей управляемости в малом на неавтономные системы и приложения результатов к практике эксплуатации МКА.
Механика движения искусственных спутников Земли (ИСЗ) за время существования космонавтики достаточно хорошо изучена. К примеру [20], для автономного движения МКА в поле тяготения Земли (без учета возмущаемых факторов) уравнение движения в некоторой специальным образом подобранной системе координат будет иметь вид
Перейдя к специальным образом ориентированной системе координат уже в плоскости движения МКА, принимая во внимание систему (1.21) и условие (1.22), вводя математические модели природных сил, возмущающих траекторию МКА, и при наличии допустимого управления, систему (1.21) можно свести к общей системе стандартного вида, которая и будет изучаться в данной работе.
Обобщая таким образом всю ситуацию по исследованию достижимости цели для МКА, можно сказать, что плоское управляемое движение МКА описывается векторным дифференциальным уравнением второго порядка (1.11) либо (1.13).
В итоге исследований требуется ответить на следующий вопрос. Задача (о достижимости цели в малом для плоского движения МКА). При каких условиях, наложенных на движение МКА и тем самым на на систему (1.11) - (1.13), МКА, двигаясь в фазовой плоскости, достигнет начала координат за конечное время, стартуя из любой точки Ь, расположенной в окрестности V(0)1
В практике эксплуатации МКА такие случаи с особыми точками их траектории, возникающими спонтанно вследствие изменений условий полета, возможны. Так, в 1978 г. советский спутник серии «УС–А» дистанционного зондирования Земли вследствие мощной вспышки на Солнце, ввиду изменения баллистической функции, попал в особую точку траектории, перешел на неконтролируемую орбиту и упал на территории Канады.
Задача о быстродействии в малом для МКА
Механику управляемого движения МКА в космическом пространстве, говоря обобщенно (для удобства восприятия и нумерации формул, повторим некоторые сведения из главы 1), можно описать векторным дифференциальным уравнением третьего порядка x(t) = G(x) + F(x, t) + OL(t)u, (2.1) где х- x(t) = [x t), x2(t), x3(t)] T - вектор-столбец фазовых координат МКА, зависящий от времени t, Т - стандартный символ транспонирования; x(t) = [xl(t), x2(t), x3(f) ] T - вектор производных от координат по времени; G(x) = [gl(x), g2(x), g3(x)]T - известная функция, описывающая динамику движения МКА по плоской орбите; F{x,f) = \_fx{x,f), f2(x,t), f3(x,t)] т - векторная функция, учитывающая влияние природных воздействия на МКА (притяжение Земли и Луны, атмосферное сопротивление, световое давление и пр.); ос(/) -непрерывная (или кусочно-непрерывная, иногда постоянная или кусочно-постоянная) функция - допустимое управление для МКА удовлетворяющее условию (\/t) ос(о 1; (2.2) и = [щ,и2,щ]т - трехмерный постоянный вектор (вектор усиливающих коэффициентов) в пространстве движения МКА. Если ввести в рассмотрение баллистическую векторную функцию МКА S(x,t) = G(x) +F(x,t), то уравнение (2.1) можно представить в равносильном (векторном) виде: x{t) = S(x, t) + (x(t)u, (2.3) при этом параметр t входит в функцию S(x, t) явно, а не опосредовано через функцию x = x{t) (движение МКА неавтономно). По условию (соответствующему практике управления МКА) функции sl{x,t) = gx{x)+ fx{x,t) и s2(x, t) = g2(x) + f2(x, t) принадлежат классу C(H,t) -множеству непрерывных функций, имеющих непрерывные частные производные по переменным х1,х2,х3 на области Н - области произвольного вида содержащей начало координат, и полные производные по времени / на временном отрезке [t0, Т], все до я?-го порядка включительно. Натуральное число я?, а также границы интервала времени [t0,T] таковы, что все дальнейшие построения возможны. Полагаем также (по условию), что при любом ненулевом управлении из (2.2) выполняются условия существования, единственности и продолжаемости решения системы (2.1) на некоторой подобласти области Н, которую мы будем всякий раз оговаривать. По условию же функция S(x, t) (как функция и от параметра /) равна нулю только в начале координат х = 0, независимо от значения t, если же ХФО, ТО (V t) S(x, t) Ф О .
Вспомогательные результаты из дифференциальной геометрии Кривизна и кручение траектории. Понятие о натуральных уравнениях Гладкая в силу условий траектория % МКА в ортонормированной прямоугольной системе координат (0,i,j,k) может быть задана векторным уравнением %: М = M(t) = x[(t)i + x2(t)J + x3(t)k, (2.4) где М = M(f), а вектор М = ОМ, (для удобства восприятия координаты текущего вектора будем иногда менять: x=x1(t)), y=x2(t), z = x3(t); точка М символизирует МКА).
Вектор х называют вектором касательной к траектории % в точке М є %. Приведем некоторые необходимые для дальнейших исследований основы теории гладких кривых, почерпнутые из работы [64].
Скаляр % B (213) (это традиционное обозначение [62], в данном контексте не обозначающее траекторию МКА) называется кручением (или второй кривизной) кривой у в точке М .
Отсюда следует, что вектор И параллелен соприкасающейся плоскости (мы по-прежнему предполагаем, что к Ф 0 УМ є у) и, кроме того,
Для того чтобы линия у содержалась в некоторой прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна этой линии в каждой точке была равна нулю. В случае условий леммы канонический репер RM линии у построить нельзя.
Для заданной гладкой кривой у векторы т, v, р являются определенными векторными функциями длины дуги 5 кривой у .
При описанной в п 2.2 естественной параметризации траектории, точке О соответствует значение 5 = 0, а достаточно близкой к началу координат точке М соответствует малый параметр ds = h. Проведем анализ поведения МКА % = х(Х0 =0,t0 =0,t,a0(f),u) = = х(0,О, t, а0, и) (последнее обозначение здесь и далее введено для удобства использования), когда МКА движется по закону (2.1) в окрестности начала координат при постоянном управлении ос0 =
Из равенства (2.22) вытекает, что при к О векторы Т и Т сонаправлены, а при к О - противоположно направлены (приращение ds = h, h 0 означает, что текущая точка М взята по другую сторону от начала координат). Это означает, что траектория МКА % = x(0,0j,a0,u) пересекает нормальную плоскость в начале координат.
Из условия (2.23) вытекает, что траектория % целиком (в рассматриваемой окрестности) лежит по одну сторону от спрямляющей плоскости, касаясь ее в начале координат. Полагая (для определенности), что кручение к20 0, получим, что при п 0 векторы о и о сонаправлены, а при п 0 - противоположно направлены. Следовательно, траектория % пересекает соприкасающуюся плоскость, переходя (по касательной) с одной ее стороны на другую.
Если все пространство разбить на октанты соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостями (являющимися гранями трехгранника Френе), проходящими через начало координат (при этом ось (Ох) сонаправлена вектору
7Т, ось (Оу) сонаправлена вектору b , а ось (Oz) сонаправлена вектору Т) и пронумеровать эти октанты в положительном направлении римскими цифрами (верхние знаки у координат определяют направление оси луча координат: + («плюс») - это движение к + о, - («минус») - это движение к - со ),
Проектирование вариантов управления для МКА на основе траекторных измерений
В данной главе предложено решение задачи проектирования в реальном времени вариантов управления МКА на основе траекторных измерений с целью обеспечения надежности и безопасности функционирования МКА. Выбор вариантов управления осуществляется на основе оценки траекторных параметров движения МКА. Получены законы распределения ошибок оценивания. Определена сложность алгоритма. Проведено математическое моделирование для реальной задачи управления МКА.
Вопрос о проектировании вариантов управления космическими аппаратами был и остается весьма актуальным (см., например, [21]) и, в более широком плане, находится в русле современных тенденций по разработке моделей и системных проектных решений для инфраструктуры управления техническими системами и, в более общем смысле, научно-технической сферой [70, 71].
С одной стороны, в силу малости размеров и массы МКА и, как следствие, ограниченности запасов горючего и возможностей двигателей маневрирования, а с другой стороны в силу сложности решаемых задач, как отмечено в первой главе работы, вопросы оптимизации управления МКА выходят на первый план. Это также связано с вопросом безопасности функционирования космических объектов, так как маневры МКА совершаются вблизи больших и дорогостоящих космических платформ.
Для управляемых малых космических аппаратов имеет место следующее утверждение (обоснованное практикой эксплуатирования МКА).
Утверждение. Чем проще класс управляющих воздействий на МКА, тем безопаснее и надежнее управление аппаратом (при условии, что в этом классе управлений цель достижима).
Далее вводятся термины «безопасное управление», «надежное управление», «сложность управления» применительно к рассматриваемым в диссертационной работе задачам управления МКА
Безопасное управление. Управление МКА безопасно, если оно (управление) приводит к цели управления с приемлемым для объекта риском (значением функции риска) и не приводит, тем самым, к катастрофическим для объекта (или целей управления) последствиям.
Надежность управления. Управление МКА надежно, если для случайных параметров (величин), входящих в управление, получены законы их распределения, позволяющие контролировать вероятности появления этих величин и прогнозировать последствия появления этих величин.
Сложность управления. Управление МКА щ считается более сложным,
чем управление щ, если на техническую реализацию управления и2 необходимо затратить больше материальных ресурсов (горючего, времени, управляющих команд, форм маневров), чем на менее сложное управление щ в каком-то (принятом для МКА) усреднении сравниваемых критериев.
Классы управлений. Для МКА выделяются следующие классы (множества) управлений (или действительных управляющих функций) в зависимости от технических возможностей силовых установок (двигателей) МКА:
Заметим, что вводимые классы управлений для МКА расположены в порядке увеличения сложности управления МКА (при увеличении индекса класса). Функция риска. Для контроля (или выделения) наилучшего (в определенном ниже смысле) класса управления в рассмотрение вводится так называемая функция риска. Это некоторая действительная функция F(u), определенная на множестве допустимых управлений и обладающая следующим свойством: для любых индексов i,j, таких, что i j, и любых управлений и5є/і5 upeUj, значения
Надежность управления при этом обеспечивается построением (описанием) двух наиболее полных вероятностных законов: закона распределения отклонения оценок от истинных значений параметров а на основе распределений Стьюдента и закона распределения отклонения оценочной дисперсии отклонения от номинального её значения на основе закона «хи-квадрат» [72, 73, 74].
Заметим, что при более простом классе управлений (то есть при увеличении надежности и безопасности управления) функционал качества может принимать бльшее значение, чем при управлении из более сложного класса управляющих воздействий.
Подчеркнем, что в данной работе решается только вспомогательная часть общей задачи управляемости в малом, сформулированной в первой главе, и решение которой предложено в первых трех главах диссертации. А здесь предлагается решение серии задач, подчиненных проектированию вариантов управления МКА в реальном времени на основе траекторных измерений, другими словами, выбору классов управлений из их совокупности {Д, U2, U3, U4}.
Классические работы [72, 73] говорят о том, что уменьшение дисперсии ошибок измерений влечет прямо пропорциональное увеличение точности оценивания траекторных параметров МКА. Для дальнейших теоретических обоснований приведем одну известную теорему [74].
Теорема 4.1. (А.А. Марков). Если имеются зависимые (или коррелированные) случайные ошибки измерений Аг и если при условии N - о для дисперсии суммы ошибок имеет место стремление N2 то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин Аг сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Результаты работы [72] о свойствах МНК-оценок, теорема 4.1 позволяют модернизировать ОМНК с целью усиления точности оценивания параметров МКА на основе идеи сокращения данных [75] для последующего проектирования управления МКА.
Опишем вначале модель измерений параметров МКА, которые влияют на выбор управления МКА. Выбор какого-то класса управлений из их совокупности {U1,U2,U3,U4} зависит от значения (оценки) вектора траекторных параметров
МКА a = (a1,..., an). Эти подлежащие оцениванию параметры линейным образом входят в модель косвенных измерений, которые осуществляются наземными (или бортовыми для МКА) средствами в некоторые моменты времени t1,...,tN, такие, что t0 t1 t2 ... tN T, начальный и конечный моменты измерений заданы:
Замечание. Присутствующие в модели (4.6) коэффициенты xx(t\..., xn(t) имеют то же обозначение, что и вектор фазовых координат х=(х1,...,хп) в модели (4.1). Такое «совпадение имен» различных по природе объектов не влияет, очевидно, на изложение и восприятие материала и соответствует контексту всей работы.
Опишем двухэтапный алгоритм (комментируя при необходимости его шаги), позволяющий увеличить точность оценивания параметров по ОМНК, увеличение точности, в свою очередь, будет влиять на выбор класса управляющих воздействий на МКА. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 4.1