Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике Лобанов Юрий Юрьевич

Введение к работе

Актуальность темы

Диссертация посвящена разработке методов численного функционального (континуального) интегрирования и их применению для исследования моделей в квантовой и статистической физике. Метод континуального интегрирования является важным аппаратом для решения широкого круга проблем в различных областях физики и математики.

Начало использованию континуальных интегралов и их исследованию было положено еще в 30-е годы в работах А.Н.Колмогорова и Н.Винера в теории случайных процессов. В вышедшей в 1930 году книге П.Дирака "Принципы квантовой механики" на основе принципа суперпозиции и вероятностной трактовки амплитуды перехода между квантовыми состояниями также была высказана идея использования континуального интегрирования. В 50-е годы эта идея получила мощный дополнительный стимул для развития, связанный в первую очередь с работами Р.Фейнмана по квантовой механике и квантовой электродинамике, в которых был введен и использован (правда, еще без надлежащего математического обоснования) знаменитый "фейнмановский интеграл по траекториям"¹. Концепция этого интеграла послужила основой для создания новой альтернативной формулировки квантовой механики. Идеи Фейнмана получили дальнейшее развитие в работах М.Каца по исследованию диффузионных процессов. С другой стороны, в работах Ю.Швингера по квантовой электродинамике были использованы уравнения в функциональных производных, также требовавшие развития методов интегрирования в функциональных пространствах. Источниками уравнений в функциональных производных явились, кроме того, работы Е.Хопфа по статистической гидродинамике и исследования Н.Н.Боголюбова в области статистической физики. Вслед за тем появилось большое количество работ, в которых континуальные интегралы стали широко применяться в различных областях физики и математики, в том числе при решении дифференциальных уравнений в частных производных и стохастических дифференциальных уравнений.

Одной из основных областей использования континуальных интегралов является квантовая физика. Континуальное интегрирование является в настоящее время основным методом численного исследования непертурбативных явлений в квантовой калибровочной теории,

^^Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир, 1968.

континуальные интегралы находят широкое применение в квантовой механике, теории поля, статистической физике, физике атомного ядра, физике твердого тела, квантовой статистике, теории сверхпроводимости, квантовой оптике, статистической радиотехнике, радиационной физике частиц высоких энергий и во многих других областях². Поскольку в квантовой теории поля во многих случаях отсутствует дифференциальная постановка задачи, основным методом исследования долгое время являлась теория возмущений. Однако, как оказалось, ряд явлений не может быть описан в рамках этого подхода (сильные взаимодействия, а также так называемые непертурбативные эффекты). Существующий также метод квазиклассического приближения не учитывает специфические квантовые эффекты и не дает возможности исследования широкого круга интересных физических явлений. В связи с этим, метод моделирования, основанный на приближенном континуальном интегрировании, являющийся практически единственным способом получения численных результатов в этих случаях приобретает особенно важное значение.

Широкое применение континуальных интегралов стимулировало развитие их теории и методов приближенного вычисления. Поскольку "мера Фейнмана" не удовлетворяет условию счетной аддитивности, т.е. не является мерой в математически строгом смысле, возникли различные подходы к фейнмановским интегралам, обосновывающие их конструкцию и предлагающие способы их приближенного вычисления. Одним из способов определения континуальных интегралов в квантовой теории путем сведения их к обычным (римановым) интегралам высокой кратности является введение пространственно-временной решетки. На этом пути был получен ряд важных численных результатов. При проведении расчетов на решетке возникает проблема исследования существования и единственности континуального предела, зависимость результатов от шага решетки, возникновение эффектов конечного размера и решеточных артефактов, проблемы с топологией на решетке (неоднозначность определения топологического заряда и др.). Основным методом численных расчетов при этом является метод Монте-Карло, обеспечивающий получение результатов с погрешностью, определяемой лишь в вероятностном смысле и требующий чрезвычайно больших затрат счетного времени и оперативной памяти ЭВМ. В связи с этим особую актуальность приобретает создание новых высокоэффективных методов детерминированного вычисления

²Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. - Киев: Наукова думка, 1987.

континуальных интегралов, что и явилось одной из задач данной диссертации.

Начало математически строгому изучению континуальных интегралов по счетно-аддитивным мерам было положено в работах Н.Винера, которым была введена в пространстве непрерывных на отрезке функций мера континуального интегрирования, носящая теперь его имя. Долгое время наиболее изученными являлись именно винеровские интегралы, однако в последнее время большое внимание уделяется их обобщению, а также исследованию функциональных интегралов по другим мерам в соответствующих пространствах. В последние годы в мире были получены значительные результаты в области теории и использования интегралов по мере Лебега, обобщающие концепцию винеровского интеграла. В то же время, в большинстве работ физического направления, использующих континуальные интегралы, речь идет об интегралах по траекториям, а не о собственно континуальных интегралах. При этом математическому обоснованию используемых методов не всегда уделяется достаточное внимание. Напротив, в чисто математических работах, содержащих строгие формулировки и доказательства, как правило отсутствует применение получаемых результатов к конкретным физическим проблемам. Образовался, таким образом, разрыв между теорией и практическим применением метода континуального интегрирования. Одной из задач данной диссертации является заполнение этого разрыва.

Первые результаты по приближенному вычислению континуальных интегралов по гауссовым мерам связаны с работами Р.Камерона, которым был получен аналог формулы Симпсона для винеровских интегралов по пространству непрерывных функций³. Впоследствии рядом авторов были построены приближенные формулы и других типов, в том числе и для интегралов по другим мерам⁴. Весьма актуальной является разработка методов приближенного вычисления функциональных интегралов применительно к задачам квантовой и статистической физики.

Актуальным является также применение численных методов для исследования моделей в физике с использованием ЭВМ. Одной из важных задач теоретической физики является исследование топологической структуры вакуума в квантовой калибровочной теории. Возможность

³Cameron R.H. A "Simpson rule" for the numerical evaluation of Wiener's integrals in function space. // Duke Math. J. - 1951. - Vol. 18, N1. - Pp. 111-130

⁴Egorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. - Dordrecht a.o.: Kluwer Ac. Publ., 1993.

переходов между состояниями, обладающими различными значениями топологического заряда, связана с наличием в евклидовой метрике классических решений полевых уравнений, имеющих нетривиальную топологию (инстантоны), что впервые было обнаружено в 1975 году А.М.Поляковым. Поскольку топологические эффекты, связанные с инстантонными решениями, являются непертурбативными, то есть не могут быть исследованы в рамках теории возмущений, основным методом исследования является численное моделирование, основанное на приближенном вычислении интегралов по траекториям (функциональных интегралов), что нашло свое отражение в данной диссертации.

Одной из важных областей использования континуальных интегралов является также исследование открытых квантовых систем (ОКС), т.е. систем, взаимодействующих с окружающей их средой. Задача описания временной эволюции ОКС важна как с практической, так и с методологической точек зрения. В рамках такого подхода естественным образом описываются неравновесные необратимые процессы, сопровождающиеся диссипацией энергии, что находит применение в различных областях квантовой физики и химии. Это обуславливает актуальность проводимых в диссертации исследований по численному моделированию открытых квантовых систем на основе метода приближенного функционального интегрирования.

Актуальным является также проводимое в диссертации применение метода континуального интегрирования для исследования потенциальных моделей ядра в ядерной физике. Континуальные интегралы предоставляют удобный способ изучения широкого круга ядерных систем, недоступных для численного исследования другими методами. Однако, при формулировке задачи для многочастичной ядерной системы на пространственно-временной решетке, нахождение характеристик тяжелых ядер является сложной задачей даже для высокопроизводительных компьютеров. В первую очередь это касается свойств основного состояния систем (энергии связи, массы и т.д.). Соответственно, актуальными являются проведенные в диссертации расчеты энергии связи нуклонов в некоторых ядрах, позволяющие уточнить аналогичные данные, полученные другими авторами методом Монте-Карло и вариационным методом. В диссертации осуществлялись также разработка метода и проведение расчетов матрицы плотности в модели Двойной Ядерной Системы (ДЯС), описывающей процесс слияния ядер при их глубоконеупругих столкновениях в реакциях с участием тяжелых ионов. Данная модель объясняет механизм образования составного ядра и позволяет

оценить вероятность его формирования, что имеет важное значение для подготовки экспериментов по синтезу сверхтяжелых элементов.

Таким образом, актуальность представленных в диссертации исследований по разработке и использованию методов приближенного функционального интегрирования определяется важностью функционально-интегрального формализма для моделирования процессов и явлений в квантовой и статистической физике, особенно в тех случаях, когда другие методы оказываются неприменимыми. В связи с тем, что существующие в настоящее время вероятностные методы вычисления функциональных интегралов являются недостаточно эффективными, особую актуальность имеет проводимая в диссертации разработка новых высокоэффективных детерминированных методов функционального интегрирования, обобщающая и совершенствующая имеющиеся методы приближенного вычисления функциональных интегралов. Разработанные методы использованы в диссертации для численного моделирования с использованием ЭВМ в актуальных задачах квантовой физики.

Цели и задачи диссертации

Фундаментальная проблема, на решение которой направлена диссертация, это разработка, обоснование и тестирование эффективных методов приближенного вычисления наблюдаемых величин и характеристик в моделях статистических и квантовых систем в рамках формализма функционального интегрирования.

Целями диссертации являются:

1. Создание новых методов приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам для моделирования в квантовой и статистической физике.

2. Разаботка и программная реализация алгоритмов численного нахождения функциональных интегралов, обеспечивающих наперед заданную точность получаемых результатов.

3. Тестирование разработанных численных методов на точно решаемых моделях (модель квантового гармонического осциллятора, многочастичная модель Калоджеро).

4. Построение континуальных моделей в квантовой и статистической физике на основе представления амплитуд перехода и вероятностей в виде функциональных интегралов.

5. Использование разработанных методов приближенного

функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой механике и квантовой теории поля.

Научная новизна

Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Новизна проявляется в следующих элементах исследования:

5. В диссертации разработаны новые приближенные методы для вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах. В отличие от существующих методов приближенного функционального интегрирования, созданные методы обладают большей степенью общности; по сравнению с расчетами на решетке с использованием метода Монте-Карло, разработанные в диссертации методы дают возможность использования детерминированных алгоритмов с гарантированной, а не вероятностной оценкой погрешности и обладают более высокой эффективностью (требуют меньшего времени вычисления и меньшего объема памяти ЭВМ).

6. Для амплитуды перехода между квантовыми состояниями в моделях евклидовой квантовой механики получено новое выражение в виде континуального интеграла по нормированной условной мере Винера. В отличие от известной формулы Фейнмана-Каца, данное выражение содержит интегрирование по пространству непрерывных на отрезке [0,1] функций, принимающих нулевые значения на концах отрезка. Это позволяет применять к данному выражению теорию интеграла Лебега для аналитического исследования и для численных расчетов.

7. На основе полученного соотношения для амплитуды перехода в виде функциональных интегралов построены новые выражения для свободной энергии квантовой системы (энергии Гельмгольца), для энергии основного состояния системы, для корреляционной функции и пропагатора, для разности энергий основного и первого возбужденного состояний в случае дискретного спектра, для квадрата модуля волновой функции основного состояния. Данные выражения позволяют использовать методы статистической физики и функционального интегрирования по вероятностным мерам для расчетов в квантовой механике при конечной температуре и, в отличие от известных

из квантовой механики соотношений, дают возможность исследовать характер стремления этих величин к термодинамическому пределу.

4. Для пропагатора открытых квантовых систем получено новое выражение. В отличие от существующего выражения в виде двойного фейнмановского интеграла, данное соотношение записывается в форме двойного континуального интеграла по условной мере Винера. Это позволяет применять развитые в диссертации методы приближенного вычисления интегралов Винера для численного исследования временной эволюции открытых квантовых систем.

5. Получено выражение для топологического заряда и топологической восприимчивости в квантовых системах с периодическим потенциалом. В отличие от аналогичных выражений на решетке, данный результат не подразумевает дискретизации пространства и времени, а связывает искомые величины с функциональными интегралами в пространстве непрерывных на отрезке функций. Благодаря этому исключается возможность ошибочного изменения топологического заряда при недостаточно малом шаге решетки.

6. Для матричного элемента оператора эволюции квантовой системы, состоящей из взаимодействующих между собой фермионов, получено новое выражение на основе использования полного набора антисимметризованных многочастичных состояний. В отличие от существующего аналогичного выражения для дискретизованного отрезка времени, полученное соотношение не требует дискретизации, а позволяет выразить матричный элемент через кратный функциональный интеграл по условной мере Винера в упорядоченном подпространстве прямого произведения пространств непрерывных функций.

7. На основе разработанного метода приближенного функционального интегрирования получены новые численные результаты, которые позволяют исследовать границы применимости теоретического приближения разреженного инстантонного газа, сравнивать предсказания моделей ядра с данными экспериментов и уточнить получаемые в рамках этих моделей величины энергий связи нуклонов.

В отличие от решеточного подхода, данные результаты получены без предварительной дискретизации пространства и времени, т.к.

дискретизация в разработанных в диссертации методах используется лишь на последнем этапе расчетов при вычислении (с требуемой точностью) римановых интегралов и, в отличие от расчетов на решетке, не является способом определения самого функционального интеграла.

Практическая значимость

В диссертации разработаны методы приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам, моделирующих наблюдаемые величины и характеристики квантовых систем. Данные методы включают в себя построение аппроксимаций, обладающих свойством точности на классе функциональных многочленов заданной степени. Благодаря этому, разработанные методы обладают более высокой эффективностью по сравнению с вероятностными методами и другими аппроксимациями, не учитывающими свойства интегрируемого функционала.

В рамках разработанных численных методов для функциональных интегралов по гауссовым мерам, основанных на аппроксимациях, являющихся точными на классе функциональных многочленов, автором диссертации разработаны алгоритмы и создан комплекс компьютерных программ FUNINT, включающий в себя программу для вычисления функциональных интегралов общего назначения для случая условной меры Винера в пространстве непрерывных функций, программу нахождения функциональных интегралов по гауссовой мере для расчетов в квантовой теории поля, программу для расчетов в ядерной физике методом численного функционального интегрирования и программу для вычисления функциональных интегралов при нахождении характеристик открытых квантовых систем.

В результате применения разработанных методов и созданных компьютерных программ для численного моделирования топологических эффектов, связанных с квантовым туннелированием в модели с "двугорбым" потенциалом и в модели квнтового маятника, были вычислены характеристики, лучше согласующиеся с теоретическим приближением инстантонного газа и с меньшими затратами счетного времени и памяти ЭВМ по сравнению с результатами других авторов, полученными методом Монте-Карло. Аналогично, при расчете энергии основного состояния в многомерной модели Калоджеро разработанные в диссертации методы позволили получить более точные результаты с меньшими затратами вычислительных ресурсов

(счетные времена, требуемый объем памяти ЭВМ). Результаты вычисления энергии связи нуклонов в потенциальной ядерной модели, полученные в диссертации, лучше согласуются с экспериментальными данными, чем результаты других авторов. Разработанный в диссертации метод приближенного функционального интегрирования позволяет эффективно вычислять матрицу плотности при численном моделировании открытых квантовых систем.

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. Методы приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах, в том числе метод вычисления функциональных интегралов с весом, кратных функциональных интегралов, метод приближенного вычисления функциональных интегралов для систем взаимодействующих между собой фермионов, открытых квантовых систем.

2. Доказательство сходимости приближений, получаемых по построенным приближенным формулам, к точному значению интеграла и оценка остаточных членов формул, позволяющая гарантировать точность результатов вычислений.

3. Формулировки квантовых моделей гармонического и ангармонического осциллятора, модели с "двугорбым" потенциалом взаимодействия, многочастичной модели Калоджеро, потенциальных моделей ядра в терминах функциональных интегралов по гауссовым мерам в линейных пространствах на основе представления амплитуд переходов между квантовыми состояниями в виде функциональных интегралов.

4. Результаты тестирования эффективности разработанных численных методов на точно решаемых моделях (модель квантового гармонического осциллятора, многочастичная модель Калоджеро).

5. Результаты моделирования с использованием разработанных приближенных методов, алгоритмов и созданных компьютерных программ:

численное исследование континуальных квантово-механических моделей, указанных в п.З, путем вычисления и анализа наблюдаемых величин и характеристик в рамках этих моделей;

исследование Р(ф)2 модели двумерной евклидовой теории ПОЛЯ с полиномиальными взаимодействиями в континуальном пределе, численный анализ стремления функциональных интегралов в этой модели к термодинамическому пределу;

исследование непертурбативной топологической структуры основного состояния квантовой системы с периодическим потенциалом (модель квантового маятника), численный анализ топологического заряда и топологической восприимчивости;

исследование открытых квантовых систем при моделировании неравновесных процессов (квантовое туннелирование с диссипацией сквозь потенциальный барьер, процесс слияния ядер в модели Двойной Ядерной Системы);

исследование многочастичных ядерных систем в рамках потенциальной модели ядра, расчеты и анализ энергий связи в моделях ядер дейтерия, трития, модели а - частицы.

Достоверность и обоснованность

Полученные в диссертации теоретические результаты обоснованы применением известных методов теории меры и функционального анализа. В частности, доказательство сходимости приближений к точному значению функционального интеграла основывается на применении теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Обоснованность численных результатов обусловлена использованием хорошо зарекомендовавших себя методов Симпсона, Гаусса и Коробова при вычислении обычных (римановых) интегралов, являющихся составной частью метода приближенного вычисления функциональных интегралов.

Достоверность проведенных исследований и справедливость оценок остаточных членов приближенных формул для функциональных интегралов, полученных в диссертации, подтверждается результатами вычисления ряда интегралов, допускающих аналитическое нахождение.

Достоверность полученных выражений для физических величин в виде функциональных интегралов и сделанных выводов о сходимости результатов к континуальному и термодинамическому пределам подтверждаются численным анализом точно решаемых моделей.

Достоверность результатов численных расчетов в моделях квантовой механики, квантовой теории поля, ядерной физики подтверждаются

сравнением с имеющимися данными экспериментов, с теоретическими оценками, с аналитическими и численными результатами других авторов.

Личный вклад автора

Все основные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором диссертации.

При этом разработка теоретических соотношений для функциональных интегралов в моделях квантовой и статистической физики выполнена автором полностью; автором диссертации внесен определяющий вклад в выбор программы научных исследований и в создание численных методов для приближенного вычисления функциональных интегралов, а также в анализ результатов моделирования с использованием ЭВМ.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому моделированию и семинаре по теоретической физике РУДЫ, на семинаре по вычислительной физике Лаборатории информационных технологий ОИЯИ, семинарах кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, кафедры прикладной математики и кафедры кибернетики МИЭМ, а также на следующих конференциях:

6. Всесоюзная конференция "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики Новосибирск, 1987

7. International IMACS Conference on Math. Modelling and Applied Mathematics, Moscow, 1990

8. International Colloquium on Differential Equations and Applications, Budapest, Hungary, 1991

9. 4-th International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Tutzing, Germany, 1992

10. International Conference on Path Integrals in Physics, Bangkok, Thailand, 1993

11. International Conference on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, Dubna, Russia, 1993

12. International Conference on Dynamical Systems and Chaos, Tokyo, Japan, 1994

8. 5-th International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Dubna, Russia, 1996

9. NATO Advanced Study Institute on Functional Integration: Basics and Applications, Cargese, France, 1996

10. International Conference on Computational Physics, Granada, Spain, 1998

11. International Conference on Path Integrals from peV to TeV (50 Years after Feynman's Paper), Florence, Italy, 1998

12. Workshop on Stochastics and Quantum Physics, Aarhus, Denmark, 1999

13. International Mathematics Conference, Minsk, Belarus, 2000

14. International Conference on Path Integrals from Quarks to Galaxies, Antwer-pen, Belgium, 2002.

15. International Conference on Irreversible Quantum Dynamics, Trieste, Italy, 2002

16. International Congress on Mathematical Modelling, Dubna, 2002.

17. International Conference on Computational Methods in Applied Mathematics, Minsk, 2003.

18. International Conference on Mathematical Modelling and Analysis, Trakai, Lithuania, 2005.

19. International Conference on Path Integrals from Quantum Information to Cosmology, Prague, Czech Republic, 2005.

20. International Science Conference "The Modeling of Nonlinear Processes and Systems Moscow, 2008.

Структура и объем диссертации

Похожие диссертации на Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике

Методы некоммутативной компьютерной алгебры при исследовании некоторых моделей теоретической физикиКорняк Владимир Васильевич

Асимптотическое исследование некоторых нелинейных моделей математической физикиНесмеянов Алексей Александрович

Численное исследование моделей волновой и квантовой физики в постановке обратной параметрической спектральной задачиВо Чонг Тхак

Численное исследование критических режимов в нелинейных полевых моделях физикиБояджиев Тодор Любенов

Исследование многоточечных начально-конечных задач для неклассических моделей математической физикиЗагребина, Софья Александровна

Исследование оптимального управления решениями начально-конечной задачи для неклассических моделей математической физикиДыльков, Андрей Геннадьевич

Исследование математических моделей теории трехчастичного кулоновского рассеяния и их применение к задачам атомной физикиБилык Виктор Анатольевич

Применение мелкозернистого локально-параллельного программирования при решении задач математической физики методом сетокЗаручевская Галина Васильевна

Решение некоторых задач математической физики методами Монте-КарлоКузнецов, Андрей Николаевич

Методы оценки и повышения точности решения задач физики плазмы методом частиц в ячейкахМесяц Екатерина Александровна