Многоуровневые дискретные и дискретно-континуальные подходы к локальному расчету строительных конструкций Моджтаба Аслами

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзорно-аналитическое исследование постановок, методов и комплексов программ для математического моделирования работы строительных конструкций . 14

1.1. Постановки краевых задач расчета строительных конструкций 14

1.2. Метод конечных разностей. 16

1.3. Вариационно-разностный метод. 18

1.4. Метод конечных элементов . 20

1.5. Численно-аналитические методы. 22

1.6. Комплексы программ математического моделирования работы строительных конструкций. 26

1.7. Вейвлет-анализ и его приложения при моделировании работы конструкций. 27

1.8. Методы локального расчета строительных конструкций. 28

1.9. Основные результаты и выводы по Главе 1 30

Глава 2. Математические основы многоуровневых дискретных и дискретно-континуальных подходов к локальному расчету строительных конструкций . 31

2.1. Корректные быстрые алгоритмы прямых и обратных вейвлет-преобразований по одномерному дискретному базису Хаара 31

2.2. Корректные быстрые алгоритмы прямых и обратных вейвлет-преобразований по двумерному дискретному базису Хаара 40

2.3. Корректный алгоритм осреднения функции, разложенной по одномерному дискретному базису Хаара. 52

2.4. Корректный алгоритм осреднения функции, разложенной по двумерному дискретному базису Хаара. Москва – 2015 Диссертация Моджтаба Аслами Содержание

2.5. Корректный алгоритм многоуровневой аппроксимации функции, разложенной по одномерному дискретному базису Хаара 66

2.6. Корректный алгоритм многоуровневой аппроксимации функции, разложенной по двумерному дискретному базису Хаара 74

2.7. Основные результаты и выводы по Главе 2 83

Глава 3. Операторные и вариационные постановки краевых задач расчета строительных конструкций . 85

3.1. Постановка двумерной задачи теории упругости 85

3.2. Постановка задачи об изгибе пластины 87

3.3. Постановка двумерной задачи теории упругости с выделением направления постоянства физико-геометрических параметров конструкции. 89

3.4. Постановка задачи об изгибе пластины с выделением направления постоянства физико-геометрических параметров конструкции. 91

3.5. Постановка двумерной задачи теории упругости с выделением направления кусочного постоянства физико-геометрических параметров конструкции. 94

3.6. Постановка задачи об изгибе пластины с выделением направления кусочного постоянства физико-геометрических параметров конструкции. 101

3.7. Основные результаты и выводы по Главе 3 108

Глава 4. Многоуровневые дискретные подходы к локальному расчету строительных конструкций . 110

4.1. Введение. 110

4.2. Континуальная и дискретная постановки задач в исходном базисе. 111

4.3. Переход к дискретной постановке в базисе Хаара. 112

4.4. Переход к редуцированной постановке и решение задачи 113

4.5 Сведения о программной реализации многоуровневых дискретных подходов к локальному расчету строительных конструкций 114

Москва – 2015 Диссертация Моджтаба Аслами Содержание

4.6 Верификация и апробация реализации многоуровневых дискретных подходов к локальному расчету строительных конструкций 115

4.7. Основные результаты и выводы по Главе 4 124

Глава 5. Многоуровневые дискретно-континуальные подходы к локальному расчету строительных конструкций 125

5.1. Понятие о дискретно-континуальном методе конечных элементов 125

5.2. Дискретно-континуальная постановка двумерной задачи теории упругости 126

5.3. Дискретно-континуальная постановка задачи об изгибе пластины 144

5.4. Редуцированная дискретно-континуальная постановка двумерной задачи теории упругости в базисе Хаара. 169

5.5. Редуцированная дискретно-континуальная постановка задачи об изгибе пластины. 173

5.6. О точном аналитическом решении многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 178

5.7 Сведения о программной реализации многоуровневых дискретно-континуальных подходов к локальному расчету строительных конструкций. 179

5.8 Верификация и апробация реализации многоуровневых дискретно-континуальных подходов к локальному расчету строительных конструкций. 180

5.9. Основные результаты и выводы по Главе 5 189

Заключение. 191

Литература.

• Метод конечных элементов
• Корректные быстрые алгоритмы прямых и обратных вейвлет-преобразований по двумерному дискретному базису Хаара
• Постановка двумерной задачи теории упругости с выделением направления постоянства физико-геометрических параметров конструкции.
• Верификация и апробация реализации многоуровневых дискретных подходов к локальному расчету строительных конструкций

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Разработка, исследование, развитие и верификация численных (дискретных) и численно-аналитических (дискретно-континуальных) методов и реализующих комплексов программ для математического (компьютерного) моделирования работы строительных конструкций остаются исключительно актуальными задачами ввиду того, что в этом существует постоянная практическая необходимость. Данный факт объясняется несколькими причинами. Во-первых, к числу характерных особенностей развития строительной отрасли в последние десятилетия относится возрастающий объем работ, связанный с реконструкцией и переделкой старых зданий, в том числе по итогам мониторинга строительных объектов (в подобных ситуациях существует опасность, что непроверенные корректным расчетом конструктивные изменения приведут к возникновению аварийной ситуации), а также существенное увеличение числа домов, возводимых по индивидуальным проектам с использованием нестандартных строительных материалов и оригинальных конструктивных решений, обусловленных реальными условиями и пожеланиями заказчика. Во-вторых, современный этап развития вычислительной техники сопряжен с резким увеличением парка высокопроизводительных персональных компьютеров с развитым программным обеспечением, возрастанием доступности высокопроизводительных вычислительных кластеров. В-третьих, совершенствуются и развиваются математические средства (это даже в большей степени обеспечивает повышение эффективности методов, чем собственно техническое развитие компьютерной техники).

Основной тенденцией развития численных методов является, как известно, построение алгоритмов и комплексов программ, позволяющих моделировать поведение сложных конструкций в целом, что приводит к громадным вычислительных схемам. Тем не менее, наиболее опасной с позиции прочности является напряженно-деформированное состояние (НДС) в сравнительно небольшом количестве локальных зон, при этом, как правило, априори известных для опытного расчетчика. Это места локальных изменений в строительном объекте при его реконструкции, конструкции локальных усилений и иные зоны, связанные с разного рода концентрациями напряженного состояния. Во всех таких случаях требуется адекватное «локальное» расчетное обоснование, которое при правильном выборе реализующих численных и численно-аналитических методов сводится к вычислительным схемам, характеризующимся относительно небольшим количеством неизвестных, позволяющим проводить локальные высокоточные расчеты без применения сверхмощных компьютеров. Представляется, что наиболее перспективным, мощным и гибким средством проведения таких исследований является вейвлет-анализ (теория всплесков), позволяющий вы-полнить декомпозицию решения на локальные и глобальные компоненты, оце-нить тем самым влияние различных фактов. Применение аппарата вейвлет-анализа для корректного численного и численно-аналитического расчета и анализа работы конструкций также является предметом исследования в рамках настоящей диссертационной работы, которая ориентирована в том числе и на раз-

витие дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ), предложенного и развитого в работах А.Б. Золотова, П.А. Акимова и М.Л. Мозгале-вой при участии автора.

Работа выполнялась в рамках фундаментального научного исследования (ФНИ) «Разработка, исследование и верификация корректных многоуровневых численных и численно-аналитических методов локального расчета строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа» в соответствии с Планом ФНИ Российской академии архитектуры и строительных наук (РААСН) и Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации (Минстроя России) /ФНИ 7.1.8; 2013-2015 гг./.

Степень разработанности темы исследования. Актуальность проблемы высокоточного определения НДС строительных конструкций в локальных, наиболее ответственных зонах отмечалась многими исследователями прошлого и нынешнего столетия. Традиционными, но не всегда эффективными подходами здесь являются: использование достаточно мелких аппроксимирующих сеток в рамках применяемых дискретных методов (как правило, это метод конечных элементов (МКЭ); применение неравномерных сеток, сгущающихся в исследуемых зонах; использование конечных элементов с функцией формы специального вида (например, полиномов высокого порядка), применение метода суперэлементов, технологии «вырезания» фрагментов, содержащих интересующие локальные зоны, использование метода Монте-Карло и др. Вейвлет-анализ, последние десятилетия, стремительно завоевывающий популярность в различных технических науках, все еще не получил должного распространения на данный класс задач. Данную диссертацию следует рассматривать с позиций развития ДКМКЭ в том, что касается зрения разработки дискретно-континуальных подходов к локальному расчету строительных конструкций и построения соответствующего реализующего программно-алгоритмического обеспечения.

Цели и задачи исследований. Целью работы является разработка, исследование, программно-алгоритмическая реализация, апробация и верификация эффективных многоуровневых дискретных и дискретно-континуальных подходов к локальному расчету строительных конструкций на основе использования аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа.

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

1. Обзор и исследование математических основ дискретных и дискретно-континуальных методов локального расчета строительных конструкций, в том числе программно-алгоритмическая реализация и апробация корректных алгоритмов быстрых (прямых и обратных) вейвлет-преобразований по дискретным базисам Хаара (одномерным и двумерным), корректных алгоритмов осреднения функций, разложенных по дискретным базисам Хаара, корректных алгоритмов многоуровневой аппроксимации функций, разложенных по дискретным базисам Хаара на основе выполнения обоснованных процедур редукции.

2. Формулировка операторных и вариационных континуальных постановок краевых задач расчета строительных конструкций на основе использования

метода стандартной (расширенной) области А.Б. Золотова и инструментария теории обобщенных функций (для дискретно-континуальных подходов реализуется выделение направления регулярности (постоянства, кусочного постоянства) физико-геометрических параметров (характеристик) рассматриваемой конструкции (т.е. основного направления) и соответствующих участвующих в формулировке производных, вследствие чего формируется обыкновенное дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами, включающими краевые условия).

3. Дискретная аппроксимация операторных коэффициентов определяющих уравнений на основе соответствующих им функционалов с использованием техники метода конечных элементов (МКЭ) или метода конечных разностей (МКР), связанная с построением ряда нестандартных матриц жесткости, реализуемым на основе общематематических подходов.

4. Формулировка дискретных и дискретно-континуальных постановок краевых задач расчета строительных конструкций в дискретном базисе Хаара и последующая редукция разрешающих многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными или кусочно-постоянными коэффициентами.

5. Программная реализация, верификация и апробация разработанных подходов, решение модельных, тестовых и практически важных задач локального расчета строительных конструкций.

Объект исследования. Строительные конструкции, в том числе с регулярными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений, их наиболее ответственные и опасные (с позиции прочности) локальные зоны.

Предмет исследования. Высокоточное определение локального напряженно-деформированного состояния строительных конструкций в наиболее ответственных и опасных (с позиции прочности) зонах.

Методология и методы исследования. При подготовки диссертации были использованы современные достижения математики в области функционального анализа (теория обобщенных функций, теория операторов и др.), численных и численно-аналитических методов, связанные в том числе с использованием аппарата вейвлет-анализа. Реализация авторских алгоритмов и разработка авторских комплексов программ проводилась на основе использования языка программирования высокого уровня Fortran. При проведении верификационных исследований использовались комплексы программ промышленного типа, реализующие метод конечных элементов (ANSYS Mechanical, «Лира»).

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Предложены и исследованы эффективные с точки зрения последующей программно-алгоритмической реализации математические формулировки, алгоритмы и подходы, обеспечивающие построение корректных дискретно-континуальных постановок задач расчета строительных конструкций, в частности, сведение исходных задач в начале к обыкновенному дифференциальному уравнению второго или четвертого порядка с операторными коэффици-

ентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе уравнений первого порядка.

2. Предложены дискретные и дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе использования аппарата кратномас-штабного вейвлет-анализа и алгоритмов построения конечноэлементных аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.

3. Предложены корректные алгоритмы редукции дискретных постановок краевых задач расчета строительных конструкций, позволяющие обеспечить высокую точность моделирования работы строительных конструкций (в части определения параметров напряженно-деформированного состояния) в наиболее ответственных локальных зонах исследуемых объектов.

4. Предложены корректные алгоритмы редукции дискретно-континуальных постановок краевых задач расчета строительных конструкций, позволяющие обеспечить высокую точность моделирования работы строительных конструкций (в части определения параметров напряженно-деформированного состояния) в наиболее ответственных локальных зонах исследуемых объектов.

Теоретическая значимость работы. Разработаны, исследованы, апробированы и верифицированы корректные многоуровневые дискретные и дискретно-континуальные подходы к локальному расчету конструкций, основанные на использовании аппарата вейвлет-анализа и позволяющие обеспечить высокую точность математического (компьютерного) моделирования работы строительных объектов в части определения НДС в том числе в наиболее ответственных и опасных (с позиции прочности) локальных зонах.

Практическая значимость работы состоит в:

1. разработанных многоуровневых дискретных подходах к локальному расчету строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа;

2. разработанных многоуровневых дискретно-континуальных подходах к локальному расчету строительных конструкций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа и развития дискретно-континуального метода конечных элементов;

3. создании авторских комплексов программ, которые могут стать составной частью при построении комплексов программ промышленного типа;

4. решения модельных тестовых и практически важных задач расчета строительных конструкций.

Внедрение результатов исследования. Разработанные многоуровневые дискретные и дискретно-континуальные подходы к локальному расчету конструкций, реализующее алгоритмическое обеспечение и комплексы программ используются в ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО».

Достоверность и обоснованность научных положений основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами контрольных расчетов с привлечением верифицированных в системе РААСН комплексов программ промышленного типа; сопос-

тавлении результатов расчетов с решениями, полученными по известным аналитическим и численным методам; сопоставлении между собой результатов расчетов, полученных по разработанным многоуровневым дискретным и дискретно-континуальным подходам к локальному расчету строительных конструкций; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС. На защиту выносятся:

5. Сведение исходных проблем решения краевых задач расчета строительных конструкций с регулярными (постоянными и кусочно-постоянными) физико-геометрическими параметрами (характеристиками) по одному основному направлению к многоточечным краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

6. Редуцированные дискретные расчетные модели строительных конструкций, основанные на использовании аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа в рамках метода стандартной (расширенной) области.

7. Редуцированные дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций, основанные на сохранении континуального характера задачи по основному направлению и использовании конечноэлементной аппроксимации в сочетании с аппаратом кратномасштабного анализа по неосновному координатному направлению в рамках метода стандартной (расширенной) области.

8. Алгоритмы и комплексы программы для локального расчета строительных конструкций, являющиеся основой для построения комплексов программ промышленного типа.

9. Дискретные и дискретно-континуальные решения серии верификационных задач, показавшие возможности и преимущества разработанных многоуровневых подходов к локальному расчету строительных конструкций.

Личный вклад автора диссертации. Личный вклад автора диссертации заключается в разработке, исследовании, программно-алгоритмической реализации, апробации и верификации многоуровневых дискретных и дискретно-континуальных подходов к локальному расчету строительных конструкций на основе использования аппарата кратномасштабного вейвлет-анализа и развития дискретно-континуального метода конечных элементов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях: III Международная научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике» (Россия, г. Томск, 2014 г.); XI Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Россия, г. Москва, 2014 г.); III, IV международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» /«Золотовские чтения»/ (Россия, г. Москва, 2014, 2015 гг.); V Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Россия, г. Иркутск, 2014 г.); XXIII, XXIV Польско-Словацко-Российский семинар «Теоретические основы строительства» (Польша, г. Вроцлав, г. Шклярска-Поремба, 2014 г.; Рос-

сия, г. Самара, 2015 г.); объединенные научные семинары кафедры информатики и прикладной математики НИУ МГСУ и Научно-образовательного центра компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов НИУ МГСУ под руководством чл.-корр. РААСН, д.т.н. П.А. Акимова и чл.-корр. РА-АСН, д.т.н. A.M. Белостоцкого (Россия, г. Москва, 2014-2015 гг.); научные семинары ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО» под руководством чл.-корр. РААСН, д.т.н. A.M. Белостоцкого (Россия, г. Москва, 2014-2015 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 19 работах, из которых 8 опубликованы в изданиях, индексируемых в базах входящих в базы Scopus и/или Web of Science, 7 опубликованы в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 283 наименования и 6 приложений. 220 страниц основного текста и 101 страница приложений включают 99 рисунков и 19 таблиц.

Метод конечных элементов

По некоторым оценкам метод конечных разностей (МКР), называемый также в литературе [134] методом сеток, является первым численным методом, который успешно применили для решения задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела [156]. Наибольшее развитие МКР получил именно с появлением компьютерной техники. Суть данного метода весьма проста. Все функции, входящие в заданные дифференциальные уравнения и в выражения для заданных граничных условий, заменяются сеточными (в рассматриваемой области задается аппроксимирующая сетка). Производные в указанных уравнениях внутри области и в краевых условиях заменяются соответствующими разностными соотношениями (главной проблемой МКР является именно построение правильной разностной схемы, которая будет сходится к решению) в соответствии с формулами численного дифференцирования. Таким образом, реализуется переход от исходной континуальной постановки к дискретной на выбранной сетке. Иными словами, МКР, как правило, связан с непосредственной реализацией разностного оператора, соответствующего исходным дифференциальным уравнениям задачи. По результатам этой процедуры, выполняемой на множестве точек (узлов) внутри области, формируется разрешающая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных, при этом значения неизвестной функции в узловых точках связаны с граничными условиями в соответствующих выбранных точках на границе. Характер Москва – 2015 Диссертация Моджтаба Асламиной особенностью разрешающей СЛАУ в МКР является разреженная (узколенточная) структура матрицы коэффициентов. Такая система может быть затем решена прямым (точным) методом (обычно для линейных задач) или итерационным (обычно для нелинейных задач) с последующей интерполяцией в промежутках между узлами, что позволяет, в конечном счете, получить приближенное решение рассматриваемой задачи. Возможность относительно легко распространить методику на решение геометрически и физически нелинейных задач, является развитием заложенной в методе достаточно простой идеи и частично объясняет то большое внимание, которое было уделено такому подходу.

Используемые в практических приложениях конечноразностные схемы многообразны в силу того, что функции и операции дифференцирования могут аппроксимироваться по разным формулам и любому количеству узлов сетки. Вместе с тем достаточно широкий выбор вариантов аппроксимации может вызвать определенные разногласия в общей дискретизации задачи, если не выполнять следующие условия: аппроксимации левой и правой, а также отдельных частей уравнений должны быть согласованы (так, например, аппроксимация одинаковых производных в разных частях уравнений должна быть одинаковой); результирующая матрица разностного оператора должна быть хорошо обусловлена.

МКР, разумеется, не лишен недостатков. Последние практически сразу обнаруживаются, когда решаются задачи со сложным очертанием области (возникают проблемы, связанные с адекватным заданием граничных условий) и к тому же, когда желательны сравнительно точные решения. Для МКР также характерны определенные затруднения при учете смешанных граничных условий, рассмотрении многосвязных областей и стыковок областей, описываемых различными дифференциальными уравнениями. В силу отсутствия, в известной степени, автоматизма при переходе от континуальных соотношений к дискретным, в частности, в случае «неумелого» использования МКР даже для самосопряженной задачи можно получить несимметричную аппроксимацию. В целом, следует отметить, что выражения граничных условий являются особенно чувствительными для решения, и их некорректное задание может привести к неудовлетворительному результату в целом. Тем не менее, использование специальных приемов, в частности введение законтурных точек, позволяет добиваться описания граничных условий с порядком точности адекватным порядку точности внутри области. В целом, высокие требования к точности результатов, как правило, влекут за собой необходимость введения большого числа узловых точек. Отчасти по этим причинам со временем МКР стали вытеснять более сложные методы. К основным достоинствам МКР можно отнести, в частности, возможность построения корректных аппроксимаций разностными уравнениями повышенного порядка точности; возможность использования сеток с переменными шагами; наличие эффективных алгоритмов решения СЛАУ высокого порядка с разреженными матрицами.

При выборе способа аппроксимации большое значение имеет простота и ал-горитмичность составления разностной схемы по исходной задаче. Весьма эффективным в этом отношении является метод стандартной (расширенной) области, предложенный А.Б. Золотовым [73]. Среди российских и советских ученых-механиков и математиков, внесших значительный вклад в становление и развитие МКР отметим Н.П. Абовского, В.Б. Андреева [14,173], П.М. Варвака, Р.Ф. Габбасова [47-49], С.К. Годунова [55], А.В. Гулина [169], М.И. Длукача, М.Л. Мозгалевой […], К. Мортона [161], Е.С. Николаева [171], Ю.П. Попова, В.А. Постнова [153], Р. Рихт-майера [161], В.С. Рябенького [162], А.А. Самарского [166-171], В.Н. Сидорова [179], Р.П. Федоренко [204], R. LeVeque [263] и др [69].

Корректные быстрые алгоритмы прямых и обратных вейвлет-преобразований по двумерному дискретному базису Хаара

Высокоточное математическое и компьютерное моделирование зданий, сооружений и комплексов связано с необходимостью многоуровневого (глобального и локального) исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) строительных конструкций. Дело в том, что большинство дефектов и разрушений в строительных объектах носит локальный характер, тогда как несущая способность, связанная с состоянием предельного равновесия, определяется глобальным поведением объекта. В этой связи на практике часто требуется определить напряжения, перемещения и деформации в конкретных локальных (опасных с точки зрения расчетчика) и притом известных заранее зонах строительных конструкций (например, там, где потенциально возможно возникновение опасных напряжений). Таким образом, возникает задача так называемого локального расчета строительных конструкций.

Исторически первым и наиболее малоэффективным с вычислительной точки зрения приемом является использование достаточно подробной аппроксимирующей сетки на всей области, занимаемой рассматриваемой конструкций. С одной стороны, такой подход обеспечивает получение высокоточного решения в интересующих исследователя локальных зонах конструкции (как и во всех остальных зонах конструкций), с другой он сопряжен с неоправданно большим объемом, по существу, избыточной вычислительной работы.

Вторым приемом, широко рекомендуемым в литературе по численным методов (прежде всего, по методу конечных элементов) является использование неравномерных аппроксимирующих сеток, сгущающихся в интересующих исследователя локальных зонах. Вместе с тем, строгое математическое обоснование построения подобных сеток в части формулировок правил и принципов соответствующего сгущения, как правило, отсутствует. Некоторой альтернативой является использование конечных элементов со специальной функцией формы в виде полинома высокого порядка.

Третий прием, широко используемый в современной практике расчетного обоснования строительных объектов, состоит в «вырезании» интересующих исследователя фрагментов области, занимаемой объектом, с заданием на границе области вырезания условий, основанных либо на результатах более грубых расчетов, либо на каких-либо априорных оценках. В основе указанного, применительно к строительным конструкциям, лежит так называемый метод фрагментации, разработанный А.Б. Золотовым и О.В. Садовым [164,165]. В качестве альтернативы можно рассматривать использование техники метода суперэлементов.

Четвертый прием – это использование метода Монте-Карло, показавшее свою эффективность при поиске локальных решений даже в многомерных проблемах большой вычислительной размерности, но имеющее, тем не менее, важнейший недостаток в виде низкой скорости сходимости [182].

Настоящая диссертации продолжает серию работ, начатую П.А. Акимовым [3,74-84], Д.Н. Алексеевым [13], А.Б. Золотовым [73-87] и М.Л. Мозгалевой [3,76-84], посвященных разработке численных методов исследования локального НДС строительных конструкций на основе использования аппарат кратномасштабного вейвлет-анализа. Теоретической основой построения соответствующих локальных аппроксимирующих сеток в данном случае является представление решений соответствующих краевых задач строительной механики через фундаментальные функции дифференциальных операторов с последующим использованием принципа Сен-Венана [139,146] (поведение фундаментальной функции (в том числе в части скорости убывания) предопределяет характер укрупнения сетки, причем при отсутствии убывания фундаментальной функции построение локальных аппроксимирующих сеток нецелесообразно) [129].

Проведено обзорно-аналитическое исследование традиционных, вариаци онных и операторных постановок, численных и численно-аналитических методов, комплексов программ для математического моделирования работы строительных конструкций, в том числе рассмотрены современные численные методы моделирования работы строительных конструкций (метод конечных разностей, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов), отмечены их основные преимущества и недостатки; современные численно-аналитические методы моделирования работы строительных конструкций (метод Канторовича, метод Власова, метод Канторовича-Власова, метод конечных полос, метод конечных слоев, метод конечных призм), отмечены их основные преимущества и недостатки; приложения аппарата вейвлет-анализа для моделирования работы строительных конструкций, отмечены значительные перспективы развития данного направления исследований; традиционные подходы к локальному расчету строительных конструкций, обоснована актуальность и значимость ведения научных разработок в данном направлении. Проведенный обзор позволяет подтвердить актуальность, теоретическую и практическую значимость, а также научную новизну заявленной темы дис сертационной работы.

Постановка двумерной задачи теории упругости с выделением направления постоянства физико-геометрических параметров конструкции.

Если значения u0j1h, j1=1, 2, ..., N, j2 =1, 2, ...,TV, определенные по формуле (2.2.26), являются точными, то последующее возникновение ошибок при вычислениям по формулам (2.2.28)-(2.2.32) исключено. Тем не менее, на практике может потребоваться определенное уменьшение точности в угоду другим значимым факторам. В частности, можно использовать рассматриваемый ниже алгоритм осреднения, описанный вначале для случая N = 4.

Обратимся теперь к изложению алгоритма осреднения для наиболее об щего случая, т.е. при произвольном JV". Введем обозначения: р - индекс, соответ ствующий номеру уровня, р = 0, 1, 2, ...,М; j1,j2 - индексы, соответствующие но мерам базисной функции на рассматриваемом уровне, Под многоуровневой аппроксимацией, рассматриваемой в настоящей диссертации, понимается разложение функции по локальному вейвлет-базису и рассмотрение соответствующих компонент этой функции на каждом из уровней такого базиса, при этом степень локальности определяется размером носителя базисной функции на каждом уровне. Очевидно, что во многих практических приложениях (в частности, при решении задач строительной механики) не требуется аппроксимация функций во всех точках заданных областей с одинаковым числом

Москва – 2015 уровней. Максимальное количество уровней аппроксимации целесообразно использовать лишь в отдельных подобластях (зонах), расположение и размер которых обычно известны заранее, а в остальных точках области возможно некоторое сокращение количества уровней аппроксимации без существенной потери точности или же с относительно небольшой погрешностью [2-4,7-10,133,228-230,232-235].

Положим рассматривается отрезок [а, Ь], где а и Ъ - соответственно координата начала и конца отрезка. Разделим данный отрезок на (п -1) равных частей, где п = 2м, М - некоторое целое число (максимальный уровень функций Хаара (количество уровней)). Координаты точек деления х„ i = l, 2, ...,п определяются по очевидной формуле (ниже h - шаг деления) Xi=a + (i-V)h, i = l, 2, ..., n, где h = {b-a)l{n-\). (2.5.1) Аппроксимируемая дискретная (сеточная) функция имеет вид: У = [у0) УІ2) - У(п) ]Т, (2.5.2) где y(i) - значение функции в точке с координатой .. Вектор (2.5.2) можно представить в виде y = Qv, (2.5.3) где Q - матрица нормированных базисных дискретных функций Хаара, записанных по столбцам; v - вектор коэффициентов разложения дискретной функции у(і) по дискретному базису Хаара, имеющий следующую структуру

Пусть vr - соответствующий редуцированный вектор коэффициентов разложения дискретной функции у(і) по дискретному базису Хаара vr=[ (vr,0) (уг,1)т ... (угМ)т]т, (2.5.12) где vr,p - п -мерный вектор, получающийся путем исключения из вектора vр элементов vР, которых соответствует хР = 0, причем "Г = ХХ /. (2.5.13) p=0j=1 Очевидно, что можем записать v = Rv, (2.5.14) где R - прямоугольная матрица размером пхп, которую будем называть матрицей редукции (основной задачей далее является ее построение). 2.5.3. Некоторый простой пример. Рассмотрим частный случай п = 32. Очевидно, имеем (см. (2.5.4), (2.5.5)): Диссертация Моджтаба Аслами Глава M = 5; N0=16; N1=8; N2=4; N3=2; N4=1; N5=1 (2.5.15)

Мультииндексы и глобальная индексация элементов редуциро ванного вектора коэффициентов разложения функции по базису Хаара. Можем перейти к глобальной системе индексации элементов вектора (2.5.12): где х1,х2 - декартовы координаты; /1,/2 - соответственно размеры области вдоль координатных осей Ох1,Ох2.

Разделим область (2.6.1) по горизонтали на (N -1) равных частей и по вертикали на (N -1) равных частей, где N = 2м, М - некоторое целое число (максимальный уровень функций Хаара (количество уровней)). Координаты точек деления определяются по очевидным формулам х1, = (i1 - Щ, i1 = 1, 2, ..., N; x2J = (i2 - 1)h2, i2 = 1, 2, ..., N, (2.6.2) где h1 и h2 - шаги деления по осям Ох1, Ох2 соответственно, Л1=/1/(ІУ-1); h2=l2/(N-1). (2.6.3) Аппроксимируемая дискретная (сеточная) функция имеет вид: у = [у(1,1) ... y(1,N) у(2,1) ... y(2,N) ... y(N,1) ... y(N,N) ]T, (2.6.4) где y(i,j) - значение функции в точке с координатами (x1i,x2j).

Верификация и апробация реализации многоуровневых дискретных подходов к локальному расчету строительных конструкций

Современный этап развития строительной механики связан с широким применением численных (дискретных) методов. Решение инженерных задач часто сводится к исследованию довольно-таки сложных двумерных и трехмерных систем, допускающих лишь численное решение, причем соответствующее число степеней свободы может превышать несколько миллионов (это относится, в частности, прежде всего, к задачам моделирования поведения высотных и уникальных зданий, большепролетных сооружений, связанных систем типа «сооружение – жидкость» и «сооружение – основание»). При использовании численных методов исходные континуальные постановки краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных (в простейшем случае – обыкновенных дифференциальных уравнений) сводятся к разрешающим системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых значений неизвестных в узлах используемой аппроксимирующей сетки. Корректное и высокоточное решение таких СЛАУ, имеющих при решении практически задач весьма большие порядки, сопряжено с огромным объемом вычислительной работы, потенциально критичной не только для персональных ЭВМ, но в ряде случаев даже для суперкомпьютеров.

Рассматриваемый в настоящей главе альянс метода конечных разностей (МКР) или метода конечных элементов (МКЭ) с аппаратом кратномасштабного вейвлет-анализа (КМА) позволяет уменьшить размерности соответствующих задач локального расчета строительных конструкций, зданий, сооружений и комплексов при одновременном сохранении высокой точности получаемых результатов в намеченных исследователем наиболее ответственных локальных зонах Москва – 2015 (зонах краевого эффекта (эффекта малого параметра), местах концентрации напряжений, приложения сосредоточенных нагрузок и т.д.).

Континуальная и дискретная постановки задач в исходном базисе Рассмотрим краевую задачу, описываемую уравнением Lu=F, (4.2.1) где L - оператор краевой задачи, сформулированный с учетом краевых условий в рамках метода стандартной (расширенной) области, предложенного А.Б. Золо-товым; й - искомая вектор-функция; F - заданная вектор-функция правых частей. Постановке (4.2.1) соответствует функционал энергии вида Ф(й) = 0.5 (Ьй,й) - (F, и), (4.2.2) стационарной точкой которого является решение (4.2.1), где запись типа (/,), как и прежде, здесь и далее обозначает скалярное произведение функций f и g . Дискретная постановка задачи имеет вид: Лйп=/п, (4.2.3) где А - дискретный (разностный; вариационно-разностный; конечноэлемент-ный) аналог исходного континуального оператора из постановки (4.2.1) (для удобства у соответствующего дискретного оператора сохранено тоже обозначение); - заданная вектор-функция правых частей; п - размерность дискретной задачи.

Следует отметить, что на этапе формирования дискретной аппроксимирующей модели рассматриваемой конструкции диссертантом использовались, в частности следующие типы конечных элементов: двухузловой одномерный стержневой конечный элемент [258,262,283], изопараметрический четырехугольный конечный элемент двумерной теории упругости [258,262,283] и изопараметрический четырехугольный конечный элемент плиты типа Миндлина [239,262].

Для формирования матрицы дискретного оператора могут применяться различные способы, например, стандартная техника метода конечных элементов (при использовании конечноэлементной аппроксимации в (4.2.3)) или метод базисных (локальных) вариаций А.Б. Золотова [84].

Рассмотрим переход от исходного единичного базиса к базису Хаара. С этой целью воспользуемся матрицей перехода Q, состоящей из базисных векторов Хаара, записанных по строкам (см., например, параграфы 2.2 или 2.3 настоящей диссертации). Тогда, переходя в дискретном аналоге (4.2.2) к новому базису, будем иметь:

Как уже неоднократно отмечалось, для многих практических задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела отсутствует необходимость в получении высокоточного решения во всей области. Наибольший интерес представляют, как правило, отдельные локальные зоны, расположение и размер которых нередко известны исследователю заранее (так называемые зоны гарантированной точности). При отсутствии необходимости в нахождении полного решения возможно сокращение числа неизвестных без существенной потери точности или же с относительно небольшой погрешностью локального решения. При решении задачи в базисе Хаара целесообразно исключить из разрешающей системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) неизвестные, являющиеся коэффициентами при базисных функциях, носитель которых достаточно удален от исследуемой зоны. Процедура исключения осуществляется на основе применения алгоритмов осреднения и редукции, описанных в Главе 2 настоящей диссертации.

Заметим, что в приложениях могут использоваться два типа осреднения: осреднение по узлам (тип осреднения, при котором матрица редукции одинакова для всех компонент узловых неизвестных (степеней свободы), т.е. различные компоненты узловых неизвестных осредняются (редуцируются) в одном и том же узле одинаково) и осреднение по степеням свободы (тип осреднения, при котором матрица редукции не является одинаковой для всех компонент узловых неизвестных), т.е. различные компоненты узловых неизвестных могут осредняться (редуцироваться) в одном и том же узле по-разному).