Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Описание модели и простейшие решения. Постановка задачи о распаде разрыва 13
1.1. Описание модели .13
1.2. Стационарные решения – состояние равновесия 18
1.3. Условия Гюгонио 19
1.4. Стационарные решения – докритические, сверхкритические и разрывные решения 21
1.5. Стационарные решения - зональные течения 26
1.6 Постановка задачи о распаде разрыва на сферическом поясе 28
Глава 2 Уравнения мелкой воды в осесимметричном случае. Исследование сходимости численных решений к точным 31
2.1. Уравнения модели в осесимметричном случае 31
2.2. Разностная схема в осесимметричном случае 31
2.3. Сходимость численных решений к точным стационарным решениям 35
2.4. Задача о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере в осесимметричном случае .39
Глава 3 Численное моделирование задачи о распаде разрыва в двумерном случае. Влияние центробежного ускорения
3.1. Уравнения модели в двумерном случае .42
3.2. Разностная схема в двумерном случае .43
3.3. Описание задачи о распаде разрыва в сферическом поясе 49
3.4. Постановка численных расчетов для различных конфигураций 51
3.5. Расчет волнообразования при наличии одного «хребта» типа шеврона 52
3.6. Расчет волнообразования при наличии двух «хребтов» типа шеврон
3.7. Расчет волнообразования при наличии «хребта» в виде эллипсоидального кольца .56
3.8. Расчет устойчивости зонального течения относительно периодического возмущения границ 3.9. Расчет устойчивости зонального течения относительно одиночного возмущения границы 60
3.10. Расчет распада разрыва при наличии зонального течения и системы шевронов на фоне равновесного состояния 62
3.11. Об учете влияния центробежного ускорения на течения на сфере .63
Глава 4 Затухающий источник в модели мелкой воды на вращающейся сфере без учета центробежного ускорения 66
4.1. Уравнения модели без учета центробежного ускорения .66
4.2. Модель мелкой воды с переменной угловой скоростью 67
4.3. Звуковые характеристики 69
4.4. Описание решения: численный эксперимент 70
4.5. Численный эксперимент в случае покоящейся сферы 71
4.6. Численный эксперимент в случае вращающейся сферы 75
4.7. Выводы 78
Заключение .80
Список литературы
- Стационарные решения – докритические, сверхкритические и разрывные решения
- Постановка задачи о распаде разрыва на сферическом поясе
- Задача о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере в осесимметричном случае
- Расчет устойчивости зонального течения относительно одиночного возмущения границы
Введение к работе
Актуальность исследований.
Под идеализированной гидродинамикой атмосферы будем понимать
движение несжимаемой среды (жидкости) на поверхности сферы,
вращающейся с постоянной угловой скоростью в поле силы тяжести с постоянным ускорением, направленным к центру сферы.
Для математического описания гидродинамики атмосферы широко применяются различные варианты модели мелкой воды, представляющие собой гиперболические системы квазилинейных дифференциальных уравнений, заданные на компактном многообразии – поверхности вращающейся притягивающей сферы.
Не смотря на большое число публикаций по этой тематике, математические модели, описывающие гидродинамику атмосферы изучены недостаточно. Структура получаемых решений, особенности типа фронтов в атмосферных движениях требуют более детального исследования. Приложения таких моделей весьма разнообразны. Впервые численное решение задачи о распространении волн от местного подъема поверхности жидкости встречается в книге (Л. Н. Сретенский, 1936).
В настоящей работе изучаются уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере с «выколотыми полюсами» - в сферическом поясе. Полюса окружены сколь угодно малыми круговыми окрестностями, на границах которых ставятся условия отражения волн. В этих уравнениях учтены горизонтальные составляющие силы Кориолиса и центробежной силы.
Цели и задачи диссертационной работы:
Цель данной работы — математическое моделирование крупномасштабных волновых движений жидкости и газа в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере.
Задачи исследования:
Аналитическое и численное исследование решений уравнений мелкой воды, описывающих волны в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере.
Построение и исследование точных стационарных и нестационарных, в том числе разрывных, решений уравнений мелкой воды в сферическом поясе.
Построение разностной схемы для численного решения этой системы.
Разработка программы с целью изучения волновых движений на сфере, поиска и описания общих свойств и закономерностей.
Аналитическое и численное исследование решений уравнений мелкой воды, описывающих затухающие движения газа.
Методы исследования: для решения поставленных задач использовались методы аналитического и численного моделирования.
Научная новизна.
Впервые исследуется модель мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере с учетом центробежного ускорения. Существенным отличием расчетов по такой модели от расчетов по имеющимся моделям является наличие состояний равновесия отличных от сферического (твердотельное вращение, зональное течение, и их сопряжение через контактный разрыв).
Впервые сформулирована задача о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере, как задача Коши с разрывными начальными данными. Подробно рассмотрены начальные данные, представляющие собой состояния равновесия с различными глубинами, которые граничат друг с другом через сильный разрыв; и состояние равновесия, которое граничит с зональным течением через контактный разрыв. Такие начальные данные определяют затем развитие волновых движений на сферическом поясе.
Для численного моделирования данной задачи предложена новая консервативная разностная схема, аппроксимирующая дивергентную форму записи уравнений мелкой воды в сферическом поясе, полученную из интегральных законов сохранения. Данная схема построена методом расщепления по физическим процессам. Она является условно устойчивой по
Куранту и допускает явную реализацию без прогонок и итераций по нелинейности.
Впервые проведены численные расчеты задачи Коши с разрывными начальными данными следующего типа: для геометрических конфигураций с различными глубинами:
«хребет» типа шеврон (V-образный многоугольник),
два разнонаправленных и произвольно расположенных «хребта» типа шеврон,
«хребет» типа эллипсоидального кольца,
для геометрических конфигураций с различными скоростями (зональным течением):
зональное течение с локальным возмущением на границе,
зональное течение с периодическим возмущением на обоих границах,
система идентичных шевронов, в каждом из которых задано зональное течение.
Создана программа для численного решения рассматриваемых задач.
Найдены и описаны общие свойства распространения волн при распаде разрывов в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере не зависящие от конкретной геометрии начальных разрывов: начальная геометрическая конфигурация водяных «хребтов» воспроизводится в области пояса антиподальной исходной, а затем в начальной позиции. Такая картина повторяется, затухая по величине и асимптотически выходя на состояние равновесия - волны размываются, поглощенные общим потоком. Зональное течение на фоне состояния равновесия оказывается устойчивым относительно возмущения границы контактного разрыва - как одиночного, так и периодического волнообразного. При этом возмущение границы порождает систему вихрей, интенсивных вначале и затухающих со временем.
Впервые исследованы инвариантные решения типа простых волн, описывающие затухающие движения газа из кольцевого источника — параллели — по поверхности сферы в сток такого же вида. Доказано существование двух типов движения — сверх- и докритического. Исследована структура звуковых характеристик на данном решении.
Теоретическая и практическая ценность работы. Сформулирована и рассчитана задача о распаде разрыва в сферическом поясе, обобщающая классическую задачу в газовой динамике. Приведенные расчеты задач о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере имеют наглядную физическую интерпретацию. Образования в виде шевронов наблюдаются на снимках со спутников поверхности Земли и других планет (как
облаков в атмосфере, так и течений в океане). Повышение уровня жидкости в виде эллипсоидального кольца моделирует распространение волн при падении метеорита или другого крупного объекта в океан. Система идентичных шевронов, в каждом из которых задано зональное течение визуально похожа на цепочки вихрей в атмосферах газовых планет гигантов. Таким образом имеет место качественное совпадение расчетов с природными явлениями.
Положения, выносимые на защиту:
-
Сформулирована задача о распаде разрыва для гиперболической системы уравнений мелкой воды в протяженном сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере, как задача о развитии волнового движения на сферическом поясе из начальных данных, порожденных равновесными решениями для различных геометрических конфигураций, отличающихся глубиной (высотой) и скоростью.
-
Для численного решения системы дифференциальных уравнений мелкой воды в сферическом поясе построена консервативная разностная схема первого порядка, допускающая явную реализацию, без итераций и прогонок по нелинейности.
-
Численно исследована устойчивость осесимметричных стационарных решений, как непрерывных, так и разрывных, системы дифференциальных уравнений мелкой воды.
-
Задача о распаде разрыва для уравнений мелкой воды в протяженном сферическом поясе решена численно
для геометрических конфигураций с различными глубинами:
«хребет» типа шеврон,
два разнонаправленных и произвольно расположенных «хребта» типа шеврон,
«хребет» типа эллипсоидального кольца,
для геометрических конфигураций с различными скоростями (зональным течением):
зональное течение с локальным возмущением на границе,
зональное течение с периодическим возмущением на обоих границах,
система идентичных шевронов, в каждом из которых задано зональное течение.
5. Найдены и описаны общие свойства и закономерности волновых движений
возникающих в этих конфигурациях: фокусировка (кумуляция) волн,
воспроизведение волны в антиподальной и начальной позициях на сфере,
устойчивость зональных течений относительно возмущения границы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались
на семинаре под руководством академика Л.В. Овсянникова и д.ф.-м.н. А.П. Чупахина в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,
на семинаре под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. А.В. Фурсикова в Институте вычислительной математики РАН,
- на семинаре под руководством академика Ю.И. Шокин и проф.
В.М. Ковени в Институте вычислительных технологий СО РАН,
на семинаре под руководством д.ф.-м.н. Г.В. Демиденко в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН,:
- на семинаре под руководством академика РАН, профессора Б.Г.
Михайленко в Институте вычислительной математики и математической
геофизики СО РАН,
на семинаре под руководством д.ф-м.н., профессора В.В. Пененко и д.ф-м.н. и профессора В.И. Кузина в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
на Объединенном семинаре Института вычислительной
математики и математической геофизики СО РАН,
а также на следующих научных конференциях: Международная научная
студенческая конференция (Новосибирск, 2005, 2006),
Международная конференция "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 2005), Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященной 50-летию ИГиЛ (Новосибирск, 2007), Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007, Москва, 2009), Международная конференция МЕТОДЫ АЭРОФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ (ICMAR) (Новосибирск, 2007, 2010), VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007), Международная конференция “Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения”, посвящённая 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), Всероссийская конференция «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2009), Всероссийская конференция молодых ученых ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ: ТЕОРИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТ И НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ (Новосибирск, 2005, 2009, 2010, 2012), Международная школа-семинар МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АЭРОДИНАМИКИ (Евпатория, Украина,
2010, 2011), Международная конференция «Современные проблемы
прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика»
посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко (Новосибирск,
2011), Всероссийская конференция посвященная 80-летию академика С.К.
Годунова МАТЕМАТИКА В ПРИЛОЖЕНИЯХ (Новосибирск, 2009),
Всероссийская конференция «Актуальные проблемы вычислительной
математики и математического моделирования» (Новосибирск, 2012),
Международная конференция «Дифференциальные уравнения.
Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 2013), Международная конференция «Турбулентность и волновые процессы», посвященная 100-летию со дня рождения академика М.Д. Миллионщикова (Москва, 2013), Всероссийская научная школа молодых ученых "МЕХАНИКА НЕОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЯХ ВНЕШНИХ СИЛ" (Москва, 2010, 2014).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1]–[4]. Работы выполнены в соавторстве с А.П. Чупахиным, В.В. Остапенко и А.А. Черевко. Вклад авторов в совместных работах является равным.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Вклад соавторов равновелик.
Диссертантом предложена и реализована новая консервативная разностная схема, аппроксимирующая дивергентную форму записи уравнений мелкой воды в сферическом поясе, полученную из интегральных законов сохранения.
В работе [1] численно исследована модель мелкой воды на сфере с переменной угловой скоростью без учета центробежного ускорения.
В работе [2] диссертантом реализованы численные эксперименты по моделированию задачи о распаде разрыва в сферическом поясе в осесимметричном случае. Проведен численный анализ устойчивости стационарных решений при докритическом, сверхкритическом и разрывном режимах течений.
В работе [3] предложена консервативная разностная схема,
аппроксимирующая дивергентную форму записи уравнений мелкой воды в сферическом поясе.
В работе [4] численно решены два типа задач о распаде разрыва в сферическом поясе в двумерном случае: при сопряжении состояний равновесия
с различными глубинами и при сопряжении состояния равновесия с зональным течением.
Диссертантом были реализованы: программы расчета по одномерной и двумерной разностным схемам, программа для анализа устойчивости стационарных решений при докритическом, сверхкритическом и разрывном режимах течений.
Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем работы: Диссертация объемом 121 страница состоит из введения, четырех глав, заключения, 40 иллюстраций и списка литературы из 102 наименований.
Стационарные решения – докритические, сверхкритические и разрывные решения
Рассматриваются движения идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности р и глубины h на поверхности сферы радиуса г, причем h«r. На жидкость действует сила тяжести, создающая постоянное ускорение g = const, направленное к центру сферы. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью w = (0,0, Q0), Q0 - компонента угловой скорости, направленная вдоль оси Oz. В рамках длинноволнового приближения, предполагающего малость глубины жидкости по сравнению с радиусом сферы [47], давление в жидкости на глубине , определяется по гидростатическому закону
Скорость жидкости v = (и, V), осредненная по глубине, лежит в плоскости касательной к сфере (рис.1). Рис. 1. Общая схема движения жидкости на сфере относительно декартовой и к квадрату числа Фруда F = V0/«JgH0 , Н0 связанной с ней сферической систем координат исправить обозначения Дифференциальные уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере с учетом силы Кориолиса и центробежной силы имеют вид [47]: где D = dt+ vde + (sin 9) lVd p - полная производная вдоль поверхности сферы, t - время, и, V - меридиональная и долготная компоненты вектора скорости v, 0 в 7г - дополнение к широте, 0 (р 2п- долгота, rQ = R - параметр, обратный к числу Россби RQ = V0/2rCl0 , /0 = FF0/2rQ0, /0 = F 2 - параметр обратный - характерная глубина слоя по вертикали, Ц), VQ - характерные широтная и долготная компоненты скорости.
Уравнения (1.2) записаны в неинерциальной, вращающейся со сферой с угловой скоростью С10, системе координат. Параметр мелкой воды є = Н0 /г предполагается малым по сравнению с r0 и /0. Для крупномасштабных движений в атмосфере Земли параметры г0 и /0 имеют один порядок малости (см таблицу 1), так что эффекты вращения и гравитации оказывают сопоставимое влияние на движение жидкости на поверхности или газа в атмосфере планеты.
Как и в случае «плоской» мелкой воды, имеет место газодинамическая аналогия: система (1.2) без учета центробежного ускорения совпадает с уравнениями динамики политропного газа с показателем адиабаты у = 2 для специальных движений, которые могут быть названы сферическими
Поскольку система уравнений мелкой воды (1.2) записана в недивергентной форме, то на ее основе можно строить гладкие решения [46]. В то же время данная система, подобно классической системе уравнений мелкой воды на плоскости [43, 22] является гиперболической и, поэтому, допускает разрывные решения. Для корректного описания таких разрывов в соответствии с общей теорией гиперболических систем [77] ее необходимо сформулировать как полную систему законов сохранения с выпуклым расширением [7, 60].
Перейдем от уравнений (1.2) к системе, записанной в форме интегральных законов сохранения.
Рассмотрим на поверхности сферы односвязную область S с кусочно-гладкой границей 3S. Предполагается, что в точках излома границы ее компоненты пересекаются под ненулевым углом (рис. 2). В этой области интегральные законы сохранения массы жидкости и её полного импульса имеют вид: координат и связанные с ней базисные вектора ах, Ъх локальной декартовой системы координат в плоскости, касающейся сферы в точке A Предполагая, что ось вращения проходит через центр сферы, рассмотрим декартову систему координат Oxyz , начало которой О лежит в центре сферы так, что ось Oz совпадает с осью вращения. В этой системе скользящий вектор w (угловая скорость вращения сферы) имеет координаты w = (0,0,Q0), (1.7) где Q0- угловая скорость вращения. В сферических координатах (0,(р) , связанных с декартовыми координатами (х, у, z) соотношениями x = rsin 9cos# , y = rsm0sm p, z = rcos 9, (1.8) законы сохранения (1.3) и (1.4) можно представить в следующей дифференциальной форме [34]. (rhsmO)t + (q sin 6% +Q(p=Q, (1.9) (rqsin6 )f+((ui+ a)sin6 ) +(Kq + b) +r/2Fsin6 = 0, (1.10) где использованы обозначения r df(t,e,(p) r df(t,e,(p) r df(t,6,(p) dt в дО v дер q = qa, Q = qb, t; = va, V = \b, (1.11) a = a(6?, p) и Ъ = Ъ{6,(р) - единичные вектора, касательные соответственно к меридиану р = const и параллели в = const, проходящим через точку s = s(e, p) на сфере. Покомпонентная форма записи закона сохранения полного импульса (1.10) имеет вид: (rqsm0)t+((qu + )sm0)f,+(qV)m-(QV + )cos0 = Jt 2 JO Jcp 2 (1.12) = W(Whsm2ecose + Qsm2e), (rQsm0)t+(Qusm0)e+(QV + )9 +qVcos0 = -Wqsm20i (1.13) где W = aor. Дифференциальные уравнения (1.9), (1.12) и (1.13) образуют замкнутую систему для нахождения функций h, q и Q, на сфере с «выколотыми полюсами» (в 0,л/2).
Поскольку сила Кориолиса F (1.5) и центробежная сила Fc (1.6) представляют собой распределенные источниковые члены, не вносящие вклада в условия Гюгонио на сильном разрыве, система (1.9), (1.10), подобно классическим уравнениям мелкой воды, допускает разрывные решения с ударными волнами и контактными разрывами [39].
Важной особенностью системы (1.14)-(1.16) является наличие состояний равновесия твердотельно вращающейся жидкости [47] (и = V = 0), в которых глубина задается формулой (рис. 3) h(e) = y/(h0,y,e) = h0+ysin2e, (1.17)
где h0 - произвольная положительная величина, у = г02 / 8/0. Заметим, что используемая система координат является неинерциальной, так что данное состояние равновесия отвечает твердотельному вращению сферы покрытой слоем жидкости.
Рассмотрим уравнений мелкой воды на сфере в осесимметричном случае, не зависящие от угловой координаты ср. В этом случае система уравнений (1.9), (1.12) и (1.13) примет следующий вид: где источниковые члены в правых частях уравнений (1.19) и (1.20) определяются по формулам f = Q + W2hsin2 9cos6 , F = -q, y, = Fcos6» + sin2(9, (1.21) ОД = [ ?], D[q] = [qv + gh2/2], D[q] = [Qu]. (1.22) Из законов сохранения (1.18)-(1.20) получаются следующие соотношения которым удовлетворяют параметры точного решения на линии его разрыва в = 9(0. В (1.22) квадратными скобками обозначен скачок функции на линии разрыва [/?] = h2 -hl, D = г в, - скорость распространения ударной волны. Эти соотношения совпадают с классическими условиями Гюгонио для одномерных уравнений теории мелкой воды над горизонтальным дном [22].
Постановка задачи о распаде разрыва на сферическом поясе
Данная схема с учетом искусственных вязкостей (w , (w2)", (W3)" , коэффициенты которых cl, с2 и с3 выбираются по результатам тестовых расчетов, имеет первый порядок аппроксимации как по времени, так и по пространству. При решении разностной начально-краевой задачи при докритическом течении на границе, на ней задается точное значение расхода. При сверхкритическом втекании потока на границе задаются точные значения расхода и глубины. При сверхкритическом вытекании потока граничные условия не задаются, а значение расхода на границе вычисляется при помощи разностного уравнения, в котором разности направлены против потока. Во всех приводимых далее расчетах полагается, что радиус сферы г = 1, а коэффициент запаса в условии устойчивости 1=0.5. Замечание. В настоящее время для сквозного расчета разрывных решений широкое распространение получили разностные схемы типа TVD, повышенного порядка аппроксимации в смысле тейлоровского разложения на гладких решениях [22]. Однако в работах [35, 54] было показано, что все эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных ударных (прерывных) волн, и тем самым при сквозном расчете разрывных решений не являются схемами повышенной точности. Более того, как показано в [35] разностная схема первого порядка со специально подобранными искусственными вязко-стями обеспечивает более высокий порядок сходимости по сравнению с TVD схемами в области влияния нестационарной ударной волны сразу за её фронтом. Поэтому в настоящей работе для расчета прерывных волн в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере используется схема первого порядка (2.8)-(2.10), являющаяся аналогом схемы, рассмотренной в [35].
Сходимость стационарных численных решений к точным, построенным в предыдущем разделе, демонстрируется путем приближения к ним в результате установления при численном решении нестационарной начально-краевой задачи для системы (2.1)-(2.3) с постоянными начальными и граничными условиями. Численные расчеты проводятся по разностной схеме, описанной в разделе 2.2, в которой количество узлов сетки 7V = 100, ускорение свободного падения g = 1 и коэффициенты искусственной вязкости с1 = с2 = 1, с3 = 0.
При решении для системы (2.1)-(2.3) начально-краевой задачи на отрезке Щ,0Г], где 0 6 , вг я, задаются начальные значения глубины и расхода q(0,O) = qo(0), h(0,O) = ho(0). Граничные условия задаются в соответствии с типом течения на границах расчетной области. Если течение на границе является докритическим, то на ней необходимо задавать одно граничное условие, в качестве которого будем брать значение расхода. При сверхкритическом втекании потока на границе необходимо ставить два граничных условия, в качестве которых берутся значения глубины и расхода. При сверхкритическом вытекании потока, граничные условия не задаются.
На рис. 10 приводится решение нестационарной задачи со следующими начальными и граничными условиями где 6l = 0.3;r, 6r =0.7 ж (решение показано в пять последовательных моментов времени). Поскольку при решении этой задачи формируется докритическое течение, то на обеих границах расчетной области ставится по одному граничному условию. При t —» оо решение данной задачи асимптотически выходит на докритическое стационарное решение (1.32)-(1.34), что иллюстрируется рис. 11, на котором для глубины и скорости кружками показано предельное разностное решение, а сплошными линиями точное стационарное решение.
Профиль глубины жидкости Рис. 11. Глубина и скорость при до при выходе на докритический режим критическом режиме течения: пре течения в различные моменты времени дельное разностное решение (кружки) и точное решение (сплошная линия) На рис. 12 приведено решение нестационарной задачи с начальными условиями и граничными условиями на левой границе
Профиль глубины жидкости Рис. 13. Глубина и скорость при сверх при выходе на сверхкритический ре- критическом режиме течения: пре жим течения в различные моменты дельное разностное решение (кружки) времени и точное решение (сплошная линия)
В некоторый момент времени Т2 Тх течение на правой границе вновь становится сверхкритическим и остается таковым при всех t Т2 и поэтому на временных слоях tn Т2 граничные условия на ней не ставятся (на рис. 12 это момент времени t = 5). В результате при t —» оо решение рассматриваемой задачи асимптотически выходит на сверхкритическое стационарное решение (1.32)-(1.34), что иллюстрируется рис. 13, на котором для глубины и скорости кружками показано предельное разностное решение, а сплошными линиями точное стационарное решение.
На рис. 14 приведено решение нестационарной задачи с начальными и граничными условиями где в1 = 0.1;r, 6r = 0.1 я (решение показано для семи последовательных моментов времени). Поскольку при решении этой задачи формируется течение, которое на левой границе является сверхкритическим, а на правой - докритическим, то на левой границе ставится два граничных условия, а на правой - одно граничное условие. При t —» оо решение данной задачи асимптотически выходит на устойчивое разрывное стационарное решение (бор на сфере), что иллюстрируется рис. 15, на котором для глубины - кружками и для скорости - треугольниками показано предельное разностное решение, а сплошными линиями точное разрывное стационарное решение.
Задача о распаде разрыва в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере в осесимметричном случае
На рис. 23-25 изображены результаты численного моделирования задачи о распаде разрыва второго типа. Моделируется распространении возмущений на контактном разрыве между состоянием равновесия S{ и зональным течением Е.
Расчеты проводились по описанной выше схеме (3.8), (3.10), (3.11) в сферическом поясе (3.4). Глубина и скорость в областях 5,и! согласно (1.17) и (1.39) задаются следующим образом В начальный момент времени жидкость в области Sl находится в состоянии равновесия, область Е занята зональным течением, на границах имеется контактный разрыв. Задается периодическое возмущение границы (рис. 23а) и рассчитывается динамика такого образования. Это задача об устойчивости контактного разрыва. На рис. 23-25 в разные моменты времени показаны профиль глубины слоя жидкости с линиями тока (a) и долготная компонента скорости V (б).
На рис. 23а показано образование вихрей вдоль границы областей и расширение области Е, занятой зональным течением в стороны полюсов. По прошествии некоторого количества времени (t=200) возмущения на границах затухают, вихри исчезают (рис. 24а). В итоге качественно сохраняется начальная картина: зональное течение (рис. 24б) на фоне равновесного состояния. Скорость зонального течения уменьшается.
Глубина жидкости c линиями тока (а) и долготная компонента скорости V (б) в задаче о распространении волн от зонального течения с периодическим возмущением границ (t=0) Глубина жидкости c линиями тока (а) и долготная компонента скорости V (б) в задаче о распространении волн от зонального течения с периодическим возмущением границ (t=10)
Расчет устойчивости зонального течения относительно одиночного возмущения границы Приведем результаты расчета устойчивости контактного разрыва между зональным течением и локальным возмущением границы.
На рис. 26 показан профиль глубины слоя жидкости в четыре последовательных момента времени. В начальный момент времени жидкость на сфере в области S1 находится в состоянии равновесия. В поясе Е с границами (0.45л", 0.55л") задано зональное течение. Геометрический элемент возмущения течения задается прямоугольным выступом на одной из границ, в котором также задано зональное течение Е (рис. 26а). Задаются такие же начальные данные (3.25), что и в предыдущем примере.
Как и в уже описанном случае, зональное течение является устойчивым относительно такого возмущения: оно «расплывается» относительно начальной области (рис. 26г) и замедляется. Возмущение, присутствующее в начальный момент времени, порождает вихрь, возмущающий течение локально (рис. 26(б-в)) и затухающий со временем. а(t=0) б(t=10) в(t=100) г(t=1500) Рис. 26. Глубина жидкости и линии тока в задаче о распространении волн от зонального течения – кольца на экваторе с одним возмущением в разные моменты времени: а(t=0), б(t=10), в(t=100), г(t=1500) 3.10. Расчет распада разрыва при наличии зонального течения и системы шевронов на фоне равновесного состояния На рис. 27 показан профиль глубины слоя жидкости в четыре последовательных момента времени.
В начальный момент времени на фоне равновесного состояния имеются десять одинаковых шевронов, расположенных в сферическом поясе с границами (0.2л", 0.4л") и равноудаленных друг от друга (рис. 27а). В каждом шевроне задано зональное течение (3.24).
Распространение волн при таких начальных данных сопровождается образованием системы вихрей различных масштабов (рис. 27б), которые взаимодействуя друг с другом порождают еще большее количество более мелких вихрей (рис. 27в). Со временем все вихри угасают и на фоне равновесного состояния остается зональное течение (рис. 27г). В итоге начальная система шевронов порождает зональное течение на фоне исходного равновесного состояния. а(t=0) б(t=60) в(t=150) г(t=1000)
Рис. 27. Глубина жидкости и линии тока в задаче о распространении волн от зонального течения в системе шевронов в разные моменты времени: а(t=0), б(t=60), в(t=150), г(t=1000) 3.11. Об учете влияния центробежного ускорения на течения на сфере Учет центробежного ускорения, который в уравнении (3.2) выражен в до бавлении дополнительного члена влияет на распространение волн по поверхности сферического пояса в целом. Для иллюстрации этого факта рас сматривается задача о распаде разрыва на сферическом поясе для начального воз мущения в виде полосы, расположенной вдоль меридиана (рис. 28) с учетом цен тробежного ускорения (рис. 28а) и без него (рис. 28б). В первом случае рассматривается модель мелкой воды с учетом центробежного ускорения: в начальный момент времени жидкость на сферическом поясе находится в равновесном состоянии, описанном выше (3.3). Во втором случае используется модель мелкой воды без учета центробежного ускорения, равновесное состояние в этом случае - постоянная глубина на всём сферическом поясе. Учет центробежного ускорения приводит к состоянию равновесия отличному от сферического.
На рис. 28-30 показан профиль глубины слоя жидкости в разные моменты времени без учета центробежного ускорения (а) и с его учетом (б), отметим основные отличия: ? область распространения волн вблизи полюсов - при учете центробежного ускорения область распространения возмущений вблизи полюсов более узкая, чем без его учета (рис. 29), ? геометрия фронта волны - в случае отсутствия центробежного ускорения линия фронта волны более выпуклая (рис. 29), ? скорость распространения волн - при учете центробежного ускорения воспроизведение начальной конфигурации в антиподальной позиции воспроизводится раньше, чем в случае отсутствия центробежного ускорения (рис. 30).
Расчет устойчивости зонального течения относительно одиночного возмущения границы
Рассмотрим теперь поведение искомых величин V, W, Н и траектории частицы жидкости при вращении сферы г0 Ф 0 (рис. 37, 38, 39, 40). В том случае, когда стартовые значения угловой и окружной скоростей имеют одинаковые знаки V0W0 0, картина течения качественно подобна той, которая имела место для покоящейся сферы (раздел 4.5). Поэтому сосредоточим внимание на случае с разными знаками скоростей r0W0 0, когда в движении обнаруживаются новые эффекты.
В экспериментах теперь меняются не только стартовые значения компонент скорости, но угловая скорость вращения сферы. Источник расположен на параллели в0= я/6.
Рассмотрим докритический режим движения (рис. 37, 38). При умеренном вращении сферы (рис. 37) график долготной компоненты скорости W становится выпуклым вниз, а графики широт-ной компоненты V и глубины жидкости Н не меняют своего характерного поведения (см. рис. 32а). Частица жидкости при этом движется от источника к стоку следующим образом: сначала от источника 6 0 = я/6 до экватора в = гг/2 оборачивает сферу, т. е. движется вдоль долготы р, а затем в районе экватора почти вертикально опускается вниз и завершает свое движение. Увеличим угловую скорость вращения (рис. 38). При этом долготная компонента скорости W, достигая определенной параллели, меняет знак, а глубина жидкости на этой параллели достигает своего максимума и затем начинает снижаться. Самое интересное происходит с частицей жидкости. Она, проходя через параллель, на которой компонента скорости W обращается в нуль, меняет свое направление на противоположное, т. е. возникают точки возврата.
При А0 0 (рис. 39, 40), когда сфера вращается с умеренной скоростью (рис. 39), долготная компонента скорости W также характеризуется кривой, выпуклой вниз. Частица жидкости недолго движется вдоль параллели, огибая сферу, затем в районе экватора резко опускается вниз и вновь продолжает движение вдоль параллели. Имеет место симметрия искомых величин относительно экватора в = п/2.
При «быстром» вращении сферы в сверхкритическом режиме движения (рис. 40) наблюдается совсем другая картина поведения искомых функций. Профиль глубины жидкости теперь имеет две точки локального минимума и одну точку максимума. Широтная компонента скорости V, наоборот, имеет одну точку минимума и две точки локального максимума. График долготной компоненты скорости W является выпуклым вниз и дважды меняет знак. Глубина жидкости Н достигает своего максимального значения вблизи экватора, там же достигают своих минимумов обе компоненты скорости V, W. Частица жидкости при движении от источника к стоку меняет свое направление дважды. е V/ 1 -— У
Профиль глубины жидкости Н, широтная компонента скорости V, долготная компонента скорости fF (а) и траектория типичной частицы жидкости (б) при докритическом режиме течения Д0 0, при «умеренном» вращении сферы.
Профиль глубины жидкости Н, широтная компонента скорости V, долготная компонента скорости W (а) и траектория типичной частицы жидкости (б) при докритическом режиме течения Д0 0, при «быстром» вращении сферы. Источник расположен на параллели в0 = я76.
Профиль глубины жидкости H , широтная компонента скорости V , долготная компонента скорости W (а) и траектория типичной частицы жидкости (б) при сверхкритическом режиме течения А0 0 , при «умеренном» вращении сферы. Источник расположен на параллели в0 = я76.
Профиль глубины жидкости Н, широтная компонента скорости V, долготная компонента скорости W (а) и траектория типичной частицы жидкости (б) при сверхкритическом режиме течения А0 0 , при «быстром» вращении сферы.
Наличие в движении источников и стоков является следствием лишь симметрии решения относительно группы (4.3). Оно не предписывается решению заранее, что отличает задачу от тех, в которых рассматриваются системы вихрей на сфере. Особенности такого типа — источники и стоки, распределенные вдоль параллелей, — можно трактовать как границы циркуляционных ячеек или движения воздушных масс с полярных шапок планеты. При одном и том же положении источника в = в0 сферический пояс, в котором определено решение, для сверхкритического режима движения А0 0 заметно шире, чем для докритического А0 0 . При приближении параллели, на которой распределен источник, к север 79 ному полюсу сферы линия тока обматывает сферу много раз для докритического движения, а для сверхкритического — число оборотов существенно меньше. Показано, как влияет сферичность на поведение искомых функций, и исследовано совокупное влияние сферичности и вращения. При увеличении скорости вращения планеты окружная компонента скорости меняет знак, на траектории частиц возникают точки возврата (после прохождения параллели, на которой W равна нулю). Таких точек может быть и две. Со временем (при t - +00 ) скорости и глубина жидкости стремятся к нулю, угловая скорость вращения сферы также уменьшается. Таким образом, исследован затухающий источник на сфере с замедляющимся вращением. Заключение
Модель мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере представляет самостоятельный математический интерес и может служить для изучения свойств более сложных моделей атмосферы и океана. Эта модель задается гиперболической системой уравнений, поэтому для неё естественной является постановка задачи о распаде разрыва и построении решения, содержащем сильные и слабые разрывы в целом. Элементарными решениями, из которых складывается решение в целом, являются либо состояния равновесия, отвечающие твердотельному вращению жидкой оболочки, либо зональному течению.
Приведенные численные расчеты задачи о распаде разрыва в осесиммет-ричном случае демонстрируют эффективность предложенной разностной схемы для сквозного расчета разрывных решений с прерывными волнами для уравнений мелкой воды в сферическом поясе на вращающейся притягивающей сфере. При этом расчеты показали сходимость численных решений к точным стационарным решениям, в том числе и разрывным типа бор на сфере.
Численное моделирование задач о распаде разрыва в двумерном случае де монстрирует общие свойства таких решений вне зависимости от геометрической конфигурации областей занятых элементарными решениями. Картина развития волн, возникающая из такой начальной конфигурации характеризуется несколькими этапами. Геометрическая конфигурация водяных «хребтов» воспроизводится вначале в области антиподальной исходной, а затем в начальной позиции. При этом распространение волн сопровождается образованием вихрей, потерей энергии на разрывах и ослаблением, размыванием разрывов. Такая картина повторяется до асимптотического выхода на состояние равновесия – хребты исчезают, поглощенные общим потоком. Устойчивым относительно возмущения границы (контактного разрыва) – как одиночного, так и периодического волнообразного -оказывается и зональное течение на фоне состояния равновесия. При этом возму 81 щение границы порождает систему вихрей, интенсивных вначале и затухающих со временем.
В данной работе рассмотрена система уравнений, описывающая движение мелкой воды на притягивающей сфере, вращающейся с переменной угловой скоростью.
Исследована инвариантное решение ранга один, описывающее случай затухающего со временем вращения для модели мелкой воды без учета центробежного ускорения. Решение ключевой системы строится численно. Полученные решения описывают на вращающейся сфере затухающий со временем источник, расположенный вдоль параллели выше экватора. Движение жидкости происходит в сферическом поясе и заканчивается стоком, расположенном на параллели в южном полушарии. Установлено существование сверхкритического и докритическо-го режимов движения.