Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор методов обнаружения нарушений процесса при статистическом контроле и постановка задач исследования 10
1.1 Статистический контроль технологического процесса как проблема вероятностной диагностики 10
1.2 Обнаружение нарушений при одномерном статистическом контроле.
1.2.1 Структуры специального вида на карте Шухарта 15
1.2.2 Карта средних значений с предупреждающей границей 24
1.3 Многомерный статистический контроль 30
1.3.1 Особенности многомерного контроля 30
1.3.2 Инструменты многомерного статистического контроля 32
1.4 Постановка задач исследования 40
2 Разработка алгоритмов обнаружения нарушений процесса при статистическом контроле с помощью карты хотеллинга 43
2.1 Математическая модель последовательности векторов данных технологического процесса 43
2.1.1 Моделирование последовательности векторов данных на основе многомерного нормального распределения 43
2.1.2 Моделирование возможных нарушений процесса 47
2.2 Структуры специального вида на карте Хотеллинга 51
2.2.1 Типы структур 51
2.2.2 Приближение опытных точек к оси абсцисс 54
2.2.3 Приближение опытных точек к контрольной границе 57
2.2.4 Расчет вероятности появления резких скачков на карте 61
2.2.5 Цикличность 63
2.3 Карта Хотеллинга с предупреждающей границей 68
2.3.1 Определение положения контрольной и предупреждающей границ68 2.3.2 Три точки подряд между границами 71
2.3.3 Четыре точки расположены между контрольной и предупреждающей границами 77
2.3.4 Оценка эффективности применения предупреждающей границы... 81
2.4 Выводы и рекомендации 83
3 Алгоритмы и программное обеспечение для обнаружения нарушений технологического процесса 85
3.1 Алгоритмы поиска структур специального вида на карте Хотеллинга 85
3.1.1 Выход точки на карте за контрольную границу 86
3.1.2 Тренд на карте Хотеллинга 86
3.1.3 Приближение точки на карте Хотеллинга к оси абсцисс 89
3.1.4 Приближение точки к контрольной границе карты Хотеллинга 89
3.1.5 Резкие скачки 92
3.1.6 Цикличность 92
3.2 Алгоритм обнаружения нарушений при использовании предупреждающей границы 93
3.3 Программный комплекс для обнаружения нарушений процесса 96
3.3.1 Назначение программного комплекса 96
3.3.2 Исходные данные 96
3.3.3 Обнаружение структур специального вида на обычной карте Хотеллинга 99
3.3.4 Построение карты Хотеллинга с предупреждающей границей 99
4 Численное исследование эффективности обнаружения нарушений технологического процесса 101
4.1 Контроль процесса механической обработки 101
4.1.1 Постановка задачи 101
4.1.2. Предварительный анализ процесса 102
4.1.3 Моделирование и обнаружение нарушений 105
4.2 Контроль качества очистки питьевой воды 108
4.2.1 Постановка задачи 108
4.2.2 Обнаружение нарушений ПО
4.3 Сравнительный анализ эффективности обнаружения нарушений 113
Заключение 120
Список литературы
- Структуры специального вида на карте Шухарта
- Структуры специального вида на карте Хотеллинга
- Приближение точки на карте Хотеллинга к оси абсцисс
- Предварительный анализ процесса
Введение к работе
Актуальность работы
Одним из направлений обеспечения качества продукции при серийном производстве является статистический контроль процесса. При контроле независимых параметров исследуемого процесса стандарты предусматривают применение карт Шухарта и кумулятивных сумм. В случае контроля нескольких коррелированных параметров рекомендуются к использованию карты Хотеллинга и многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних, а также их модификации.
Различные работы зарубежных и отечественных авторов рассматривают применение методов статистики для проведения контроля технологических процессов. Обнаружение нарушений процесса, как правило, проводится на основе выхода контролируемой статистики за заданные границы карты.
Вместе с тем, для одномерного контроля широко используются и другие критерии, в частности, поиск структур специального вида на карте Шухарта: если на карте имеет место структура (набор точек), вероятность появления которой близка к вероятности ложной тревоги, то это свидетельствует о нарушении процесса.
Используются и карты с предупреждающими границами: попадание нескольких точек между границами также указывает на нарушение процесса. Современная компьютерная техника и программное обеспечение позволяют применить аналогичные подходы и при многомерном статистическом контроле процесса.
Актуальность работы подтверждается постоянным ростом в последние десятилетия числа публикаций по различным аспектам многомерных методов статистического контроля в зарубежных и отечественных изданиях: это работы по совершенствованию контроля путем использования карт на главных компонентах, на регрессионных остатках, изменения режимов технологического процесса, при нарушении нормальности распределения контролируемых параметров и другие.
Актуальность темы подтверждается и тем, что диссертационная работа выполнялась при поддержке гранта по Федеральной целевой программе "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (соглашение 14.В37.21.672).
Объектом исследования в работе является многомерный статистический контроль технологического процесса.
Предмет исследования - математические модели, алгоритмы и соответствующие программы для обнаружения нарушений процесса.
Цель работы
- повышение эффективности контроля процесса путем разработки математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для обнаружения нарушений на основе многомерных контрольных карт.
Для достижения поставленной цели решаются задачи:
исследование существующих методов статистического контроля и диагностики возможных нарушений процесса с множеством параметров;
разработка математической модели технологического процесса как последовательности случайных векторов с возможными нарушениями, характерными для процессов различных типов;
анализ основных типов структур специального вида на карте Хотеллинга, свидетельствующих о нарушении процесса, и расчет их параметров;
расчет положения предупреждающей и контрольной границ на многомерной карте;
разработка алгоритмов и программного обеспечения для диагностики возможных нарушений процесса по карте Хотеллинга;
исследование эффективности предложенных подходов повышения чувствительности многомерного статистического контроля.
Методы исследования
Решение поставленных задач осуществлялось с использованием методов теории вероятностей и математической статистики, статистического моделирования и численных методов. В основу разработки программного комплекса легли методы объектно-ориентированного проектирования программных систем.
Научной новизной обладают предложенная математическая модель последовательности векторов данных технологического процесса, алгоритмы расчета характеристик структур специального вида, а также положения предупреждающей и контрольной границ на карте Хотеллинга, алгоритмы диагностики нарушений.
Основные результаты работы, выносимые на защиту:
-
Математическая модель последовательности векторов данных технологического процесса на основе многомерного нормального распределения с учетом возможных нарушений процесса.
-
Алгоритмы обнаружения нарушений процесса путем выявления структур специального вида на карте Хотеллинга.
-
Метод оценки параметров контрольной карты Хотеллинга с предупреждающей границей.
-
Программный комплекс, обеспечивающий автоматическое выявление нарушений процесса.
Достоверность. Достоверность положений диссертации обеспечивается корректным использованием математических методов и подтверждается результатами статистических испытаний, а также эффективностью функционирования алгоритмов и программного обеспечения при внедрении.
Теоретическая значимость работы обусловлена разработкой новых математических моделей последовательности векторов данных технологического процесса с учетом возможных нарушений, а также предложенными алгоритмами обнаружения этих нарушений, обеспечивающими повышение эффективности статистического контроля процесса.
Практическая значимость работы состоит в том, что использование результатов исследования, разработанных алгоритмов и программного комплекса для обнаружения нарушений по контрольной карте увеличивает эффективность контроля путем снижения количества наблюдений от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения.
Приведены примеры обнаружения нарушений при контроле реальных процессов механической обработки крышки датчика аэродинамических углов (мониторинг десяти параметров) и контроля качества очистки питьевой воды (контроль по семи физико-химическим показателям).
Реализация и внедрение результатов работы.
Результаты диссертационного исследования внедрены при многомерном статистическом контроле показателей качества очистки питьевой воды в ЗАО «Системы водоочистки» (акт о внедрении прилагается).
Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс Ульяновского государственного технического университета в дисциплинах «Контроль ка-
чества и надежность», «Надежность технических систем и техногенный риск», «Статистические методы управления качеством», читаемых студентам специальностей «Прикладная математика», «Инженерная защита окружающей среды» и «Управление качеством» соответственно.
Апробация работы. Теоретические положения и практические результаты работы докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета в 2010 - 2015 г.г., а также на международных и всероссийских конференциях: «Информатика и вычислительная техника» (Ульяновск, 2010 - 2012 г.г.), Всероссийской школе-семинаре "Информатика, моделирование, автоматизация проектирования" (Ульяновск, 2011 г.), «Системные проблемы надежности, качества, математического моделирования и инфо-телекоммуникационных технологий в инновационных проектах» (Сочи, 2012 г.), «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 2013 г.), «Междисциплинарные исследования в области математического моделирования и информатики» (Тольятти, 2014).
Публикация результатов работы. Результаты исследований по теме диссертации изложены в 14 работах, в том числе в четырех статьях в журналах по перечню ВАК. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.
Личный вклад автора. Постановка задач исследования осуществлялась научным руководителем. Все основные теоретические и практические исследования проведены автором диссертационной работы самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения с программным кодом основных процедур и копиями актов о внедрении результатов работы. Объем диссертации составляет 143 страницы. Список литературы включает 117 наименований использованных литературных источников.
Структуры специального вида на карте Шухарта
При выполнении любых технологических процессов приоритетной задачей является обеспечение качества продукции, производимой в ходе этих процессов. Широкое распространение в современном производстве получил статистический контроль процессов, основанный на вероятностно-статистических методах. Одна из главных задач обеспечения качества современного производства - не допустить выпуска дефектной продукции. Основной смысл решения этой задачи - осуществление возможности воздействовать на процесс, когда показатели выпускаемой продукции еще удовлетворяют установленным техническим требованиям, но специализированные инструменты контроля показывают наличие каких-то неслучайных факторов, которые способны привести к нарушению процесса.
Существует множество различных подходов к обеспечению качества, наиболее интересны два из них. Первый позволяет применять методы, направленные на устранение дефектов готовой продукции. Второй подход, являющийся более сложным и при этом кажущийся более целесообразным с точки зрения экономической выгоды, предусматривает применение инструментов, направленных на своевременное выявление и оперативное воздействие на причины появления дефектов в процессе производства.
Наиболее распространенным инструментом статистического контроля, применяемым в массовом серийном производстве, являются карты Шухарта. Их использование позволяет оперативно обнаружить наличие неслучайных причин нарушения технологического процесса и предотвратить выпуск изделия, не удовлетворяющего техническим требованиям по качественным или количественным признакам. Контрольные карты Шухарта дают возможность контроля среднего уровня процесса или разброса значений только одного показателя качества производимой продукции.
Между тем достаточно часто в современном производстве встречаются изделия, качество которых характеризуется определенным набором характеристик, которые могут быть зависимы друг от друга. В этом случае контроль каждого параметра независимо друг от друга может привести к ошибкам и к значительным погрешностям.
Анализ различных технологических процессов дал возможность определить основные типы зависимостей показателей качества технологического процесса друг от друга. Корреляции могут быть выявлены в ходе любых операций, включая механическую, термическую и химическую обработку деталей. Такие корреляции возможны как на разных одновременно обрабатываемых областях и поверхностях одного изделия или разных одновременно обрабатываемых изделиях, а также между различными количественными характеристиками одной детали.
Значимость корреляции, очевидно, зависит от условий конкретного технологического процесса, но само наличие этих корреляций говорит о том, что в подобных ситуациях может быть оправдано именно проведение многомерного контроля процесса.
Для решения проблемы выявления нарушений технологического процесса можно применить методы вероятностной диагностики, которые должны ответить на вопрос: произошло ли изменение вероятностных распределений в процессе сбора данных [79, 91].
По способу получения информации о диагностируемом объекте задачи обнаружения ошибок и нарушений можно разделить на два вида. Основной целью задач первого вида является как можно более быстрое обнаружение нарушения [9], так как любая временная задержка между нарушением и его определением приводит к значительным экономическим потерям, какими могут быть, например, несоблюдение характеристик производимых изделий и, как следствие, выпуск несоответствующей продукции. Такие задачи называются задачами последовательного анализа, то есть при их решении сигналы о наличии нарушения или стабильности технологического процесса поступают по мере сбора данных [14]. Эти задачи подразумевают обеспечение заданного уровня ложной тревоги, так как остановка технологического процесса без реальной причины имеет экономические потери, связанные с уменьшением объемов производства.
Второй вид задач обнаружения нарушений служит для как можно более точного определения момента, в котором появилось нарушение. Эти задачи относятся к задачам апостериорного анализа. При этом необходимым является сбор данных о диагностируемом объекте заранее, до начала решения задачи [65].
В контролируемых показателях диагностируемого объекта могут иметь место присутствие или отсутствие автокорреляции. Применение учета автокорреляций параметров при контроле технологических процессов на практике не нашло применения.
Статистический контроль процессов предполагает, что разброс количественных характеристик параметров представляет собой последовательность независимых случайных величин, если соблюдены все предъявляемые исследуемому процессу требования, сам процесс отлажен, все условия производства поддерживаются постоянными и доступны контролю и управлению, а разброс параметров обусловлен совокупностью случайных незначительных, трудно устранимых причин: изменение внешних условий (температуры, давления, влажности воздуха), неоднородностью свойств материала и т.п.
Структуры специального вида на карте Хотеллинга
Как уже отмечалось, при проведении статистического контроля процессов предполагается, что разброс количественных характеристик показателей технологического процесса представляет собой последовательность независимых случайных величин при контроле одного показателя и, соответственно, случайных векторов при контроле множества показателей [23].
При этом считается, что процесс отлажен, все условия производства поддерживаются постоянными и доступны контролю и управлению, а разброс параметров обусловлен совокупностью случайных незначительных, трудно устранимых причин: изменение внешних условий, неоднородностью свойств материала и т.п.
В данных о показателях процесса может наблюдаться присутствие или отсутствие автокорреляций. Учет автокорреляций при контроле технологических процессов на практике не нашел применения [56].
Пусть в технологическом процессе контролируется множество р показателей качества изготавливаемого изделия Х\, Х2, ..., Хр. В отлаженном состоянии процесса через определенные (как правило, равные) промежутки времени берутся выборки из п наблюдений (п - объем мгновенной выборки, п = 1... 10). С целью оценки параметров контроля всего берется т выборок. По общей выборке пт наблюдений оценивается вектор средних /JQ И ковариационная матрица Е. По этой обучающей выборке могут быть найдены оценки вектора средних //0 = (//1э//2,...,//р/ :
Предполагается, что выборка взята из генеральной совокупности с многомерным нормальным распределением. В случае нарушения нормальности распределения (гауссовости) по одному или нескольким контролируемым параметрам проводится нормализация данных, например, с использованием распределений Джонсона [33, 34].
Для моделирования выборок можно использовать алгоритм генерирования псевдослучайных нормальных векторов [22].
Предположим, что совокупность случайных величин Zt имеет стандартное нормальное распределение с параметрами (0, 1). Тогда значения Xt, распределенные по многомерному нормальному закону с вектором средних ы и ковариационной матрицей Е, могут быть найдены с помощью линейного преобразования вида (значения Sjk определяются по формуле (2.2)).
Для анализа чувствительности контрольных карт к нарушениям процесса, как правило, необходимо проведение статистических испытаний. С этой целью надо иметь множество аналогичных выборок (с вектором средних и ковариационной матрицей, соответствующими обучающей выборке): объективная оценка средней длины серий возможна лишь по множеству выборок.
Испытания повторяют N раз. Обычно N = 100 -е- 1000 - количество смоделированных выборок; оценивается в зависимости от необходимой точности; длина серий оценивается с точностью до одной выборки. ориентировочно распределение средней длины серий нормальным, и что дисперсия а2 оценена по результатам предварительных испытаний) на уровне значимости а=0,05 следует, что необходимое количество испытаний N 16а2, откуда, учитывая, что по опытным данным, в зависимости от величины смещения процесса, а = 1 ч- 25 получим N= 16 -г- 400, таким образом объем в 1000 выборок достаточен).
Качество смоделированных выборок может быть оценено по соответствию вектора математических ожиданий и ковариационной матрицы исходным характеристикам [6]. Для проверки гипотезы о равенстве векторов средних значений Н0: Ці = \і2 при объемах сравниваемых выборок соответственно щ и п2 может быть использована статистика Хотеллинга [57] Xi -Х2), (2.6) где X\,Xi - векторы средних значений сравниваемых выборок, S0 -объединенная ковариационная матрица: So = №1 +KT2K2)t (2.7) щ + п2 - 2 здесь К\ иК2- матрицы центрированных значений, элементы которых: KxJ = ixihJ - X J ], 2i2j = VX2i2j X2J і , /і = 1,..., «ь /2 = 1, ...,n2;j=l,...,p. Критическое значение статистики (2.6) на уровне значимости а определяется по формуле пх + п2 - р -1 где Fl_a(р,щ+п2-р-Х) - квантиль распределения Фишера порядка 1-а с числами степеней свободы в числителе р и в знаменателе щ + п2 -р - 1. Нулевая гипотеза о равенстве векторов средних принимается с вероятностью 1-а, если значение статистики Хотеллинга, найденное по формуле (2.6) меньше критического значения (2.8).
Для проверки гипотезы о равенстве ковариационных матриц Н0: Ъ\ = Е2 используется критерий [6]: несмещенные оценки компонент ковариационной матрицы Si для обучающей выборки по результатам анализа отлаженного технологического процесса определяются по формуле (2.2), а оценки компонент матрицы,% по аналогичной формуле: S2jk п2
Статистика (2.9) при условии справедливости гипотезы Н0 может быть аппроксимирована распределением хи-квадрат, при этом положение критической области определяется квантилью:
Если выборочное значение статистики (2.9) не превышает критическое значение (2.14), то гипотеза о равенстве ковариационных матриц не противоречит опытным данным.
Моделирование возможных нарушений процесса
Для оценивания средней длины серий при различных вариантах контроля необходимо смоделировать возможные нарушения процесса. Наиболее распространенным нарушением является смещение среднего уровня процесса по одному или нескольким параметрам на некоторое постоянное значение [43].
Смещение по параметру Xj (рисунок 2.1, а) зададим в долях Sj от оценки соответствующего стандартного отклонения Sj, начиная с наблюдения с некоторым номером t0 (Sj - характеристика смещения среднего уровня процесса). Обозначим смоделированное значение /-го наблюдения в точке t через хіі и тогда новое значение (со смещением) x ij,t = хір + SjSj, /=1, ..., и; j=l,...,p; t = t0,...,m. (2.15)
Приближение точки на карте Хотеллинга к оси абсцисс
Для практической реализации разработанных в предыдущем разделе методов обнаружения нарушений технологического процесса, связанных с появлением структур специального вида на контрольной карте Хотеллинга, необходима разработка соответствующего программного обеспечения.
При этом программа должна иметь возможность - считать файл исходных данных с результатами наблюдений за технологическим процессом; - распределить контролируемые параметры по группам коррелированных между собой для построения до трех контрольных карт; - вычислить положение контрольной границы карты Хотеллинга для каждой группы; - показать графически эту карту; - выявить на карте Хотеллинга все основные типы специальных структур и визуализировать их; - при необходимости построить карту Хотеллинга с предупреждающей границей, задав предварительно количество точек, последовательное расположение которых в предупреждающей зоне будет свидетельствовать о нарушении процесса (две, три или четыре); - выявить эти последовательности точек и визуализировать их; - сохранить полученные результаты.
Автоматизация обнаружения нарушений технологического процесса при многомерном статистическом контроле рассмотрена в статье [38]. Программа разработана на языке объектно-ориентированного программирования С#. Использованы стандартные библиотеки MS Visual Studio 2013. Тип операционной системы Windows ХР и выше, размер программы - 3,42 Мбайт. Главной особенностью программы является возможность поиска структур специального вида на обычной карте Хотеллинга и на многомерной карте с предупреждающей границей. Выход точки на карте за контрольную границу
Это наиболее простой случай структуры, проявляется он в том, что значение, соответствующее статистике Хотеллинга, больше, чем критическое значение, определяющее положение границы UCL. Поиск данной структуры заключен в простом переборе всех значений, и сравнением их с UCL: если значение статистики Хотеллинга больше или равно значению UCL, имеет место структура рассматриваемого вида.
Тренд - это последовательность точек, возрастающая или убывающая; найденное выше количество точек в тренде рассматривается как структура специального вида, свидетельствующая о нарушении процесса; это количество точек изменяется в зависимости от количества переменных: для 2, 3, 4, 5 контролируемых параметров такой структурой считается шесть точек на карте подряд на возрастание или убывание, для 6, 7, 8, 9 параметров - 7 точек, и т.п.
Поиск данной структуры заключен в поиске последовательностей, когда сравнивается положение двух точек на карте; определяется, больше или меньше соответствующее значение, чем в предыдущей точке, если «да», то серия увеличивается на единицу и продолжается, если «нет», серия проверяется на достаточность длины, и если она удовлетворяет условию, записывается как структура специального вида (рисунок 3.2).
Как уже отмечалось, одной из структур специального вида на карте Хотеллинга является последовательность из заданного числа точек, расположенных между осью абсцисс и горизонтальной линией, соответствующей 1/3 UCL. Количество точек, находящихся в данном промежутке, необходимое для того, чтобы их идентифицировать, как специальную структуру - для двух переменных - 15 точек, для трех - 12, для четырех - 10, и т.п.
Во избежание отрицательных значений ведется проверка двух факторов: больше ли значение нуля, и ниже ли соответствующая точка, чем 1/3 UCL.
После каждого сравнения изменяется значение счетчика. Если значение статистики приближено к оси абсцисс, тогда счетчик длины серии увеличивается. Если значение не входит в область от 0 до 1/3 UCL, то счетчик длины серии обнуляется.
Далее проверяется, достаточно ли точек подряд удовлетворяют необходимому условию. Если точек достаточно, то происходит запись найденной последовательности в массив со специальной структурой.
Приближение точки к контрольной границе карты Хотеллинга Данная структура определяется нахождением точек между 2/3 UCL и контрольной границей (UCL). Для определенного количества контролируемых параметров характеристики соответствующей последовательности точек были рассчитаны выше (раздел 2).
К примеру, для двух переменных достаточно, чтобы 2 точки из 5 находились в этой области для того, чтобы соответствующая структура считалась специальной - это следует из таблицы 2.6.
С Конец Рисунок 3.4 - Блок-схема алгоритма обнаружения приближения точки на карте Хотеллинга к контрольной границе абзаца выше, проверяются интервал из пяти точек на наличие хотя бы двух точек, удовлетворяющих условию приближения к контрольной границе. Как можно увидеть из кода процедуры (см. приложение 3), сравнение происходит в два аналогичных этапа - так как для каждого количества контролируемых параметров выделено по два случая обнаружения специальной структуры. Например, для четырех параметров такой структурой могут являться как 2 точки из 3, так и 3 из 10. Соответствующий алгоритм представлен на рисунке 3.4.
Данная структура определяется как резкое изменение значения статистики Хотеллинга в следующей точке от ее значения в текущей точке. К примеру, для двух переменных это скачок между точками на 0,75UCL.
Проверяются попарно значения статистики Хотеллинга, вычитая одно значение из другого, и сравнивая получившиеся разности с 0,75 UCL (в данном случае), запоминаем при необходимости соответствующие пары точек. На рисунке 3.5 показана блок-схема этого алгоритма.
Цикличность - это последовательное изменение значений статистики Хотеллинга с возрастания на убывание и обратно, или наоборот - с убывания на возрастание.
Определяется цикличность парной проверкой с запоминанием предыдущего действия (возрастает или убывает); если действие изменяется, серия продолжается, если действие не изменяется, серия прерывается, и проверяется длина серии на удовлетворение условию.
Например, при контроле двух переменных цикличность является структурой специального вида, если имеет место 8 циклически расположенных точек. На рисунке 3.6 показана блок-схема соответствующего алгоритма.
Предварительный анализ процесса
Эффективность обнаружения нарушений с использованием того или иного метода определяется чувствительностью контрольной карты к возможному нарушению и оценивается количественно по средней длине серий - количеству наблюдений от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения.
Эта характеристика для различных вариантов карты Хотеллинга с предупреждающей границей оценивается расчетом (разделы 2.3.2и2.3.3)в зависимости от параметра нецентральности.
Для оценки средней длины серий, связанной со специальными структурами на обычной карте Хотеллинга, возможно проведение статистических испытаний.
Статистические испытания при построении контрольных карт используются достаточно часто, как для оценки средней длины серий, так и для решения других задач, например, для оценки параметров карт многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних [106] и многомерных кумулятивных сумм [93, 113], для идентификации режима статистического контроля многопараметрического технологического процесса [43], при оценке влияния погрешностей [45] и т.п.
Генерируется множество выборок из многомерного нормального распределения с заданным вектором средних и ковариационной матрицей. По опыту отечественных и зарубежных авторов [28, 62, 93, 107], проводивших различные виды испытаний, связанных с оценкой средней длины серий, количество генерируемых выборок выбирается от 100 до 1000.
Моделируется одно или несколько характерных для данного технологического процесса нарушений; количественно нарушение характеризуется, как правило, через параметр нецентральности (2.16). Для их выявления используются различные методы диагностики: для каждого метода определяется количество наблюдений до обнаружения смоделированного нарушения и усредняется по множеству сгенерированных выборок - получаем среднюю длину серий.
Для генерирования выборок с заданным вектором средних и ковариационной матрицей на основе алгоритма (2.3) - (2.5) использовано программное обеспечение LinesSeries, описанное в работе [43].
При исследовании эффективности обнаружения нарушений использованы выборки, рассмотренные в приведенных выше примерах: выборка данных по механической обработке крышки датчика и выборка физико-химических показателей качества воды. На рисунке 4.13 показаны введенные данные по диаметрам крышки, а на рисунке 4.14 -соответствующая ковариационная матрица.
Генерировалось по 1000 выборок для каждого примера с соответствующим вектором средних и ковариационной матрицей (рисунок 4.15).
Количество наблюдений в каждой выборке определялось из следующих соображений. Количество наблюдений в исследованных выборках реальных процессов - от 28 до 31 наблюдения. Принятый уровень значимости а = 0,005, поэтому для обнаружения случайных выбросов (когда нарушения процесса нет) необходимо не менее 200 наблюдений.
В то же время в данном эксперименте стояла задача оценить, как реагирует тот или иной метод на имеющееся нарушение. При нарушении, характеризующемся параметром нецентральности X 1, средняя длина серий L{X) 100 (рисунок 2.10), поэтому генерировались выборки из 100 наблюдений.
Для сгенерированных файлов моделировались различные типы нарушений по всем контролируемым параметрам в соответствии с методикой, изложенной в разделе 2.1.2.
Значения 5,- в формулах (2.15), (2.17), (2.18) варьировались таким образом, чтобы обеспечить значения параметра нецентральности в диапазоне X = 1 -г- 3 с шагом 0,5.
Результаты испытаний представлены на рисунках 4.16 - 4.17 (по вертикальной оси отложены значения средней длины серий, на горизонтальной - параметра нецентральности).
На рисунке 4.16 для удобства сравнения одновременно нанесены расчетные кривые средней длины серий для обычной карты Хотеллинга без использования специальных структур (построены с использованием соотношений (1.22) - (1.23)), а также средней длины серий для карты с предупреждающей границей в случае, когда между контрольной и предупреждающей границей попадает четыре точки (к = 4) (построены с использованием таблицы 2.9).
На рисунке 4.16 показаны кривые средней длины серий, полученные при контроле различными методами двух показателей технологического процесса очистки питьевой воды (р = 2); при этом варьировался тренд процесса таким образом, чтобы значения параметра нецентральности составили значения от 1 до 3 с шагом 0,5.
Снижение средней длины серий в диапазоне X = \ + 2 при учете специальных структур в этом случае составляет от 1,4 до 2,8 раз (с 9,7 до 3,5 выборок) по сравнению с контролем обычной картой Хотеллинга (когда используется один критерий нарушения процесса - выход точки на карте за контрольную границу).
При X = 3 эффективность специальных структур снижается и практически совпадает с эффективностью карты с предупреждающей границей, однако она все же несколько выше, чем у обычной карты Хотеллинга. механической обработки крышки датчика аэродинамических углов (р = 3); при этом варьировалось смещение среднего уровня процесса.
Снижение средней длины серий максимально при X = 1 при учете специальных структур и в этом случае составляет от 1,3 раза по сравнению с контролем обычной картой Хотеллинга. В диапазоне X = 2 -г- 3 несколько более эффективна карта с предупреждающей границей; при X = 3 ее средняя длина серий практически совпадает с опытными данными по эффективности специальных структур и в 1,5 раза ниже средней длины серий обычной карты Хотеллинга (снижение средней длины серий с 4,2 до 2,9 наблюдений).
Таким образом, применение предложенных методов контроля процесса повышает его эффективность по количеству наблюдений, необходимых для обнаружения нарушения в диапазоне наиболее важных для практики значений параметра нецентральности А, = 1 -г 3 в 1,3 - 2,8 раз.