Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Движение спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты (ограниченная постановка) 23
1.1 Постановка задачи. Уравнения движения 23
1.2 Уравнения невозмущенного движения: u 0 28
1.3 Построение «возмущенной» системы уравнений движения . 29
1.4 Стационарное движение спутника и его устойчивость 38
1.4.1 Случай 1а. «Плоское» движение спутника 38
1.4.2 Случай 1б. Пространственное движение спутника .. 43
1.5 Эволюционная система уравнений движения спутника 45
1.5.1 а. «Плоский» случай 45
1.5.2 б. Пространственный случай 54
ГЛАВА 2 Движение системы планета-спутник в гравита ционном поле сил (неограниченная постановка) 63
2.1 Стационарное движение спутника и его устойчивость для неограниченной задачи 63
2.2 Эволюционная система уравнений для неограниченной за дачи 70
2.3 Частные случаи движения спутника и их устойчивость 74
2.4 Медленная диссипативная эволюция движения спутника 79
ГЛАВА 3 Движение спутника в гравитационном поле вяз коупругой планеты с ядром (неограниченная постановка) 87
3.1 Постановка задачи. Уравнения движения 87
3.2 Возмущенная система уравнений движения. Деформации вязкоупругой оболочки планеты 91
Заключение 100
Список литературы 102
- Построение «возмущенной» системы уравнений движения
- Случай 1б. Пространственное движение спутника
- Эволюционная система уравнений для неограниченной за дачи
- Возмущенная система уравнений движения. Деформации вязкоупругой оболочки планеты
Введение к работе
Актуальность темы
Одной из фундаментальных задач небесной механики является исследование орбитальной эволюции Солнечной и других планетных и звездных систем. Небесные тела претерпевают изменения скорости вращения, орбиты их спутников уменьшаются и увеличиваются, многие системы достигают резонансного вращения. В частности, причиной этих эффектов служит приливное трение.
Обычно крайне слабые, приливные эффекты проявляют свое воздействие на небесные тела в течение длительного промежутка времени (до миллиардов лет). За это время (эоны лет) приливы формируют режим вращения небесных тел и управляют обменом угловыми моментами между телами. Приливные моменты играют ключевую роль во вращательной динамике небесных тел. Все это делает изучение приливов необходимым для понимания динамических свойств и эволюции звездных систем.
Несмотря на то, что медленная работа приливов влияет на формирование более круговых орбит, эволюцию наклонений, а также синхронизацию планет и лун, широкий охват этих динамических явлений не всегда сопровождается простотой или универсальностью приливных моделей, используемых для их описания.
Небывалыми темпами совершенствуются технологии и улучшаются вычислительные возможности компьютерных систем, что позволяет с каждым годом астрономам и исследователям проникать всё дальше в космические глубины. Можем отметить, что изучение тел Солнечной и других космических систем идет по двум направлениям: увеличению точности представления движения космических тел на коротких временах и разработке качественно новых моделей и подходов для описания основных свойств движения на космогонических интервалах времени. Несмотря на достаточный интерес к эволюции Солнечной системы и вероятность развития подобных планетных систем (так же в связи с возможностью существование других обитаемых планет), вопросы эти до сих пор остаются открытыми как в качественном, так и в количественном аспектах. Таким образом, задача построения и исследования новых моделей приливной эволюции является актуальной.
В настоящем исследовании рассматривается модельная задача приливной
теории о движении спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты. Полученные результаты позволяют выявить качественные характеристики вековой эволюции орбитальных параметров спутника под влиянием приливных сил с использованием численно-аналитических методов и современных компьютерных систем.
Цель работы: заключается в исследовании моделей эволюции движения спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты с применением методов теоретической механики, асимптотических методов, в том числе методов разделения движения и усреднения для механических систем с бесконечным числом степеней свободы, численных методов и компьютерных программ.
Исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи исследования:
с помощью методов теоретической механики, асимптотических методов, в частности, метода разделения движений и усреднения, для рассматриваемых моделей получить систему уравнений, описывающую поступательно-вращательное движение системы «планета-спутник» с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией;
провести анализ полученных систем уравнений, выявить стационарные решения и исследовать их устойчивость;
с помощью численных методов, основываясь на полученных уравнениях, выявить особенности движения систем на космических масштабах времени;
- реализовать программные алгоритмы, вычисляющие эволюционные
параметры орбитального движения спутника.
Научная новизна результатов работы
Основные результаты работы получены автором лично, являются новыми и заключаются в следующем.
Проведено исследование орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты, когда планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, либо телом, состоящим из твердого ядра и прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки, а спутник – материальной точкой, а именно:
Для каждой модели получена система обыкновенных дифференциальных уравнений в векторном виде, описывающая поступательно-вращательное движение системы «планета-спутник» с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией.
Описана форма вращающейся вязкоупругой планеты с ядром на основе решения квазистатической задачи теории упругости для деформируемой оболочки планеты.
Найдены стационарные решения уравнения орбитального движения спутника и исследована их устойчивость для ограниченной постановки задачи, когда вектор угловой скорости вращения планеты постоянен, и для неограниченной постановки.
Получена эволюционная система уравнений, описывающая изменение параметров орбиты спутника на основе усредненной системы уравнений движения в переменных Делоне, для плоской и пространственной моделей ограниченной постановки задачи и для пространственного случая неограниченной постановки. Построены фазовые портреты. Для ряда планет Солнечной системы и их спутников проведено численное интегрирование и построены графики зависимости среднего движения, эксцентриситета, наклонения орбиты от времени. Проведен сравнительный анализ с результатами других исследователей приливной эволюции орбитального движения небесных тел.
Теоретическая и практическая ценность работы
Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для развития существующих методов исследования и их применения для дальнейшего изучения движения механических систем «планета-спутник» под влиянием приливных сил с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией.
Методы исследования
В работе используются методы аналитической механики и теории возмущений, метод разделения движений и усреднения для систем с бесконечным числом степеней свободы (Вильке В.Г. (1983)), численные методы.
Достоверность результатов
Результаты диссертации получены с использованием методов аналитической механики и асимптотических методов на основе сформулированных в работе гипотез. Корректность полученных моделей подтверждена и проиллюстрирована результатами численного анализа и их качественным сравнением.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на 60, 61, 62, 63 Научно-технических конференциях МГТУ МИРЭА (Москва, 2011, 2012, 2013, 2014);
X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической
и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011);
IV региональной научно-практической конференции «Университет XXI века: исследования в рамках научных школ» (Тула, 2013);
XLI Международной летней школе-конференции «Актуальные проблемы механики» (“Advanced Problems in Mechanics”, Санкт-Петербург, 2013);
семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН Белецкого В.В. и проф. Карапетяна А.В. в МГУ им М.В. Ломоносова (Москва, 2015);
XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической
и прикладной механики (Казань, 2015).
Публикации
Основные результаты диссертации изложены в 10 работах (в том числе 3 работы в журналах из перечня ВАК). Список работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора
В работах, выполненных в соавторстве, А.В. Шатиной принадлежат постановки задач и общее научное руководство. Личный вклад автора состоит в непосредственном получении результатов: выводе уравнений движения, эволюционных уравнений, численном интегрировании, построении фазовых портретов, проведении расчетов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (79 наименований) и приложения. Текст работы изложен на 137 страницах. Диссертация содержит 22 рисунка и 2 таблицы.
Построение «возмущенной» системы уравнений движения
Другой метод для оценки є учитывает сейсмические наблюдения и измерения на Земле и Луне. Идея состоит в том, что сейсмические волны, как известно, ослабевают с различной скоростью в зависимости от частоты (Эфроимский и Лайней, 2007)[54]. Таким образом, у нас есть данные, непосредственно связанные с фактическим наблюдаемым поведением планетарного тела, по крайней мере, для каменистых планет. Это ослабление используется для вычисления Q из уравнения (8). Эфроимский и Лайней, учитывая сейсмические данные, предполагают для Земли Q х а, где а = 0,2 — 0,4, а частота год-1 ш 107Гц. Для газообразных планет и звезд, численное моделирование и аналитические исследования дают сложный спектр частот, который крайне чувствителен к размеру и глубине конвективного и радиационного слоев (Огилви и Лин, 2004)[72].
Все эти подходы основаны на неявно обоснованной аналогии с простым гармоническим осциллятором. Гринберг показал[60], что для многих из подходов, которые были применены к моделированию поведения сложных планетных систем, использование такой аналогии не всегда оправдано. В частности, в методе «lag-and-add» такой подход, вероятно, разумен, пока все частоты изменяющегося приливного потенциала сопоставимы, как это имеет место при учете в уравнениях членов только низших порядков для эксцентриситета и наклонения. При исследовании уравнений с более высоким порядком членов, что ведет к более широкому спектру частот, такой подход может быть не очень надежен. Этот результат ставит под сомнение некоторых допущения и методы во многих приливных моделях.
Во всех работах отмечается проблема оценки значения Q для тел Солнечной системы, которая была в общей постановке сформулирована Гол-драйхом и Соттером (1966)[2].
Недавние критические обзоры многих различных моделей, исследований и предположений в истории этой области были представлены Ферраз-Мелло и соавт. (2008)[59] и Эфроимским и Вильямсом (2009)[55]. Последний включает в себя описание использования гармоник более высокого порядка в реакции прилива, в том числе явный вывод отдельных задержек по фазе (без каких-либо предположений об их частотной зависимости).
Теория приливов и её результаты могут быть применены к широкому кругу задач. Стоит отметить, что каждая работа имеет свою направленность, исследования в разной мере точности описывают эволюцию приливного взаимодействия, приложены к конкретной задаче и включают различные ограничения и предположения. Естественно, что предпосылки этих работ берут своё начало в исследованиях взаимного движения системы Земля-Луна.
Впервые фундаментальное исследование этой проблемы провел Дж. Г. Дарвин[53]. Им было показано влияние приливного трения на радикальное изменение орбитальных элементов небесных тел в масштабах космических интервалов времени. Он рассмотрел приливные деформации вязких и полуупругих сферических тел, поведение материала которых зависит от характера прилагаемой к нему силы. Он показал, что вязкость приводит к значительному уменьшению амплитуды приливов и их задержке по фазе. Сравнивая с данными о приливах земных океанов, Дарвин пришёл к выводу о большой эффективной жёсткости Земли как целого.
Работа Дарвина по праву считается классической в теории приливов и послужила основой многим последующим исследованиям: Голдрайх (1963), Каула (1964), Александр (1973), Миньяр (1979), Хат (1981), Тоума и Виз-дом (1994), Эфроимский и Вильямс (2009), Ферраз-Мелло (2009, 2013) и др. [2, 51, 55, 58, 59, 62, 65, 66, 68, 77, 78]. Таким образом, теория Дарвина является достаточной для понимания основных эффектов приливного трения в Солнечной системе. Многие последующие работы являются уточнением и развитием различных аспектов классической теории.
Методы механики Обратимся к общим методам, которые применяются при исследовании динамических систем. Большинство задач небесной механики имеют неинтегрируемый характер. Обычно, если каким-либо известным методом удается получить уравнения движения рассматриваемой механической системы, то эти уравнения, как правило, избыточно громоздки и сложны для аналитического или численного анализа. Поэтому стараются перейти к более простым моделям динамической системы, которые описываются более простыми уравнениями. Таким образом, со временем появились и стали развиваться методы, позволяющие заменить неинтегрируемую задачу интегрируемой, решение которой приближенно соответствует решению исходной задачи. Каждый метод характеризуется своей степенью точности получаемого решения. Многие асимптотические методы 5 позволяют получить уравнения, описывающие лишь вековую эволюцию. Но существуют так же методы, дающие и более высокое приближение, чтобы описать небольшие вариации.
Одна из реальных возможностей сократить и формализовать процесс упрощения уравнений движения динамических систем связана с применением методов малого параметра. Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия).
При применении таких методов строится приближенное решение исходной системы, т.е. получают упрощенные уравнения, которым удовлетворяют приближенные решения. При этом проводятся дополнительные исследования уравнений, позволяющие проверить соответствие полученных результатов исходной задаче.
Случай 1б. Пространственное движение спутника
С применением новых методов был рассмотрен ряд задач о движении вязкоупругих тел, и предложенный подход положен в основу большого числа работ. В частности, применялся в задаче о движении вяз-коупругого тела в центральном ньютоновском поле сил [7, 12, 38], системы вязкоупругих тел [13, 14, 18, 22, 23, 40], взаимодействующих по закону всемирного тяготения, и других задачах[9, 11, 14, 15, 17, 39]. На основе полученной с использованием этого метода модели для двух вязкоупру-гих шаров, движущихся в поле притягивающего центра, Зленко А.А. [23] провел исследование приливной эволюции Земли и Луны, показана гипотетическая картина прошлой и будущей эволюции системы.
Цель настоящей работы заключается в исследовании модельной задачи приливной теории эволюции движения спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты с использованием методов аналитической механики, а также асимптотических методов разделения движения и усреднения для механических систем с бесконечным числом степеней свободы, предложенных Вильке В.Г.[13]. Рассмотрены две модели планеты: в первом случае планета моделируется однородным изотропным вязкоупру-гим телом, а во втором случаем — телом, состоящим из абсолютно твердого ядра и вязкоупругой оболочки. В естественном недеформированном состоянии тело имеет шаровую форму. Спутник моделируется материальной точкой. Функционал потенциальной энергии упругих деформаций вводится в соответствии с классической теорией упругости малых деформаций, а функционал диссипативных сил соответствует модели Кельвина-Фойгта.
Содержание работы
В первой главе рассматривается задача о движении спутника в поле притяжения планеты. Планета моделируется однородным изотропным вяз-коупругим телом, имеющим сферическую форму в естественном недефор-мированном состоянии, а спутник — материальной точкой. Формулируется постановка задачи, и из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводятся уравнения движения механической системы «планета-спутник». В качестве невозмущенной задачи рассматривается движение спутника в поле притяжения абсолютно твердого сферически симметричного тела, когда вектор упругого смещения u равен нулю. Методом разделения движения на основе невозмущенного движения строится возмущенная система уравнений движения.
Вводится малый параметр, обратно пропорциональный модулю упругости Юнга. Для определения вектора упругого смещения u решается квазистатическая задача теории упругости. После подстановки найденного решения в уравнения движения и вычисления тройных интегралов полученная система дифференциальных уравнений описывает движение системы «планета-спутник» в поле сил взаимного притяжения с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Указанная система имеет первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения системы «планета-спутник» относительно общего центра масс.
Далее рассматривается случай, когда масса планеты много больше массы спутника, основной кинетический момент сосредоточен во вращательном движении планеты, вектор угловой скорости планеты можно считать постоянным. Исследуется стационарное движение спутника и его устойчивость для ограниченной постановки задачи. Рассматриваются два случая движения: плоское, когда движение спутника происходит в фиксированной плоскости, а вращение шара осуществляется вокруг нормали к этой плоскости, и пространственное движение. В обоих случаях имеется стационарное решение, которое является неустойчивым.
Для дальнейшего исследования системы вводятся переменные Делоне. Также рассматриваются два случая: плоского и пространственного движения. Выводятся канонические уравнения движения механической системы и производится их усреднение по быстрой угловой переменной — средней аномалии. Полученная в результате замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие» и медленных угловых переменных описывает эволюцию движения системы «планета-спутник».
Вторая глава посвящена неограниченной постановке задачи о движении спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты. Задача рассматривается без ограничения постоянства вектора угловой скорости вращения планеты. Исследуются стационарные движения спутника и их устойчивость. Выводится эволюционная система уравнений.
Рассматриваются частные случаи движения спутника: плоское движение, когда наклонение орбиты спутника равен нулю, и движение, когда эксцентриситет орбиты равен нулю. В обоих случая найдены стационарные решения и исследована их устойчивость. Показано, что рассматриваемые системы уравнений могут иметь не более двух стационарных решений. В случае существования двух решений, одно из них является асимптотически устойчивым, а второе неустойчивым.
В третьей главе рассматривается задача о движении спутника в поле притяжения планеты с ядром. Планета моделируется телом, состоящим из абсолютно твердого ядра и вязкоупругой оболочки, а спутник — материальной точкой. Из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводятся интегро-дифференциальные уравнения движения исследуемой системы.
Строится возмущенная система уравнений движения. Решается краевая задача теории упругости для определения первого приближения u1 вектора упругого смещения по степеням малого параметра , обратно пропорционального модулю Юнга. Исследуется деформация вязкоупругой оболочки планеты. Получены уравнения для описания поверхности вращающейся деформируемой планеты без учёта приливных деформаций, а также выражение, позволяющее определить величину приливного горба, создаваемого на поверхности планеты спутником.
Эволюционная система уравнений для неограниченной за дачи
Вторая глава посвящена неограниченной постановке задачи о движении спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты. В первой главе вектор угловой скорости планеты Q считался постоянным. В этой главе будут получены и исследованы уравнения движения спутника без этого ограничения.
Рассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле сил, когда планета моделируется вязкоупругим телом, а спутник—материальной точкой. В главе 1 подробно изложена постановка задачи, асимптотическим методом разделения движения получена векторная система дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой механической системы с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией (1.34)–(1.35). Указанная система уравнений имеет первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения относительно общего центра масс (1.40).
Вектор кинетического момента вязкоупругого шара относительно центра масс L, определяемый равенством (1.30), можно представить в виде: L = ATUJ + є ... , где А = -тг0 — момент инерции шара относительно диаметра, Г — орто 5 гональный оператор перехода от подвижной системы координат Сх1Т х к системе осей Кёнига, ш — вектор угловой скорости планеты. Так как правые части уравнений (1.34)–(1.35) содержат ш только в возмущенной части при є1, то, сохраняя линейное приближение по малому параметру є, в урав нениях (1.34)–(1.35) можно считать, что где величина Лс является корнем уравнения (2.9), соответствует движению спутника по круговой орбите радиуса Rc в плоскости, ортогональной вектору Go.
Так как уравнение (2.9) содержит малый параметр є, то стационарное значение Rc будем искать в виде разложения по степеням є:
Если GQ (p(R ), то уравнение (2.11) решений не имеет, если GQ = (p(R ), то уравнение (2.11) имеет одно решение До = R , а если GQ (p(R ), то уравнение (2.11) имеет два решения R\ и i?2, причем R\ R R2. Исследуем устойчивость стационарного решения (2.10) в случае существования двух стационарных орбит. Положим
Квадратный трехчлен А2 + 64А + Ь% имеет корни с отрицательной вещественной частью. Рассмотрим кубическое уравнение А + (1\\ + 22А + 2з = О где й\ = 3&1 + &4? 0-2 = 3&1&4 — &2 + 2&з, &з = Ьфъ — &2&4. Согласно критерию Гурвица для того чтобы все корни последнего уравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы
Гурвица стационарное решение (2.10) асимптотически устойчиво, а при 2 3 0 значение 3 меньше нуля, и стационарное решение (2.10) неустой- чиво. Это означает, что стационарное движение по орбите меньшего радиуса 1 является неустойчивым, а по орбите большего радиуса 2 асимптотически устойчивым.
Невозмущенный гамильтониан задачи о движении спутника под действием силы Fo в переменных Делоне имеет вид: а дополнительный член возмущенного гамильтониана равен є Hi = -eU\; вектор R определяется равенством (2.14), при этом его модуль Л —функция переменных L, G, /.
После вычисления обобщенных сил и усреднения правых частей канонических уравнений по «быстрой» угловой переменной / получим замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие» L, G, Н и медленных угловых переменных д, h
Стационарные решения системы (2.21): n0 = П0 , і = 0, где щ — корень уравнения (2.18). В зависимости от значения параметра р уравнение (2.18) либо не имеет решений, либо имеет одно решение, либо имеет два решения щ\ и п02. Так же, как и в случае 1, стационарное решение щ = n0i, і = 0 асимптотически устойчиво, а стационарное решение щ = П02, і = 0 неустойчиво. Фазовый портрет системы уравнений (2.21) при значении параметра р = 0.375 изображен на рисунке 2.6.
В таблице 2.1 представлены численные значения параметра р, стационарные значения п0і, Щ2 и значение величины щ = щ(0) в настоящее время для различных систем «планета-спутник». Безразмерная переменная пропорциональна среднему движению спутника по орбите и связана с большой полуосью орбиты спутника а соотношением: а = /0 / (G0A ln0 )
Для всех приведенных примеров, за исключением системы Марс-Фобос, имеет место двойное неравенство: Щ\ щ(0) П02. Согласно первому уравнению системы (2.17) значение переменной щ во время движения уменьшается. Это означает, что большие полуоси орбит спутников увеличиваются, стремясь к асимптотически устойчивым стационарным значениям. При этом для спутников Юпитера и спутника Марса Деймоса текущее
Возмущенная система уравнений движения. Деформации вязкоупругой оболочки планеты
Так как і 0 при = 1 и і 0 при = 2, то стационарное решение = 0, = \ асимптотически устойчиво, а стационарное решение = 0, = о2 неустойчиво. На рисунке 2.2 изображен фазовый портрет системы уравнений (2.17) для = 0.375.
На рисунках 2.3, 2.4, 2.5 представлены фазовые портреты при значениях = 0.31, = 0.2 и = 1 10-4 соответственно. Видно, что при уменьшении значения фазовый портрет становится схожим с фазовым портретом системы уравнений (1.68) для случая ограниченной задачи (рис. 1.6). Из таблицы 2.1 видно, что для рассмотренных систем планета-спутник значение достаточно мало. Таким образом, ограниченная задача является хорошим приближением для рассматриваемой полной задачи.
Стационарные решения системы (2.21): n0 = П0 , і = 0, где щ — корень уравнения (2.18). В зависимости от значения параметра р уравнение (2.18) либо не имеет решений, либо имеет одно решение, либо имеет два решения щ\ и п02. Так же, как и в случае 1, стационарное решение щ = n0i, і = 0 асимптотически устойчиво, а стационарное решение щ = П02, і = 0 неустойчиво. Фазовый портрет системы уравнений (2.21) при значении параметра р = 0.375 изображен на рисунке 2.6.
В таблице 2.1 представлены численные значения параметра р, стационарные значения п0і, Щ2 и значение величины щ = щ(0) в настоящее время для различных систем «планета-спутник». Безразмерная переменная пропорциональна среднему движению спутника по орбите и связана с большой полуосью орбиты спутника а соотношением: а = /0 / (G0A ln0 )
Для всех приведенных примеров, за исключением системы Марс-Фобос, имеет место двойное неравенство: Щ\ щ(0) П02. Согласно первому уравнению системы (2.17) значение переменной щ во время движения уменьшается. Это означает, что большие полуоси орбит спутников увеличиваются, стремясь к асимптотически устойчивым стационарным значениям. При этом для спутников Юпитера и спутника Марса Деймоса текущее Рис. 2.5. Фазовый портрет для случая i = 0,p=1-10 4 значение 0(0) ближе к неустойчивому стационарному значению 02, а для системы Земля-Луна 0(0) ближе к асимптотически устойчивому значению 01. Для системы Марс-Фобос 01 02 0(0). Значение переменной 0 увеличивается. Это означает, что Фобос приближается к Марсу.
Для частных случаев планет и их спутников Солнечной системы проведено численное интегрирование системы эволюционных уравнений (2.22) в будущее с помощью программного комплекса MATLAB 7.12.0 и построены графики (рис.2.7.), отражающие эволюцию эксцентриситета , наклонения и безразмерного параметра 0, пропорционального среднему движению по орбите. Масштаб времени зависит от неизвестного коэффициента 1, физические параметры систем на начальный момент взяты из [33].
Для большинства рассмотренных систем (Юпитер-Ио, Юпитер-Европа, Юпитер-Ганимед, Юпитер-Каллисто, Марс-Деймос, Сатурн-Титан) качественное поведения орбитальных параметров довольно схоже и имеет вид, аналогичный представленному для системы Юпитер-Калисто на рис.2.7.а.: эксцентриситет увеличивается до единицы, параметр уменьшается до нуля, наклонение уменьшается до некоторого стационарного значения. Для остальных систем графики представлены в приложении А.1. Большая по Рис. 2.7. а) Юпитер-Калисто, юк = 1 Ю11 д (сек)
Таким образом, имеем постепенное удаление спутника от планеты. Отличный характер эволюции имеют системы Марс-Фобос и Земля-Луна. Значение параметра щ для Фобоса увеличивается, орбита становится менее эксцентрической (рис.2.7.б.). Это означает, что Фобос приближается к Марсу. Для Земли-Луны, как видно на графике (рис.2.7.в.), эксцентриситет увеличивается до определенного момента, а затем начинает уменьшаться. Параметр По уменьшается так же до некоторого значения, затем медленно увеличивается до стационарного значения. Наклонение уменьшается до нуля. То есть вначале Луна удаляется от Земли, а затем начинает приближаться. Полученная картина согласуется с предшествующими исследованиями. Оценим величину неизвестных параметров, входящих в A1, системы Земля-Луна. Воспользуемся тем, что по данным наблюдений Луна удаляется от Земли со скоростью 3,8 см/год [52].
Неизвестные параметры выразим из эволюционного уравнения для большой полуоси. Ввиду того, что имеет место соотношение (2.23), получим: При этом эксцентриситет = 0.1578, параметр 0 = 0.0037, наклонение = 0.1645 и период обращения составит = 53.6662 дней. В дальнейшем Луна снова будет приближаться к Земле, после чего установятся следующие значения параметров: большая полуось = 5.8777 105км = 92.1556, параметр 0 = 0.0038, период обращения = 51.7840 дней, эксцентриситет и наклонение уменьшатся практически до нуля, по времени это произойдет согласно расчетам через 8.10721013 лет. На рис. 2.9 представлены графики орбитальных параметров Земля-Луна в масштабе времени 1 : 1013 лет.
Качественно результаты совпадают с другими исследованиями [2, 23, 33, 76]. В частности, такое поведение системы Земля-Луна описано у Мак-дональда [2].
Уравнения Миньяра
Сингер (1968)[75] предположил, что угол запаздывания приливного горба должен быть пропорционален основной частоте прилива. Это пред х -З положение эквивалентно установке постоянной временной задержки . Сингер применил свою теорию для исследования эволюции Луны, Фобоса и Деймоса. Подробное математическое развитие идеи Сингера можно найти у Миньяра (1979, 1980)[68, 69], который полностью избежал использования угла запаздывания и работал только с временной задержкой. Позднее предположение Сингера о постоянстве также было использовано в других работах (например, Тоума и Виздом (1994)[77]).