Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время одним из наиболее мощных инструментов численного анализа кинетики плазмы является метод макрочастиц (ММ). Однако, его практическое приложение предъявляет исключительные требования к ресурсам вычислительной системы, во многом определяемые условием численной корректности метода - необходимостью одновременного учета ограничений на временной шаг как полевых, так и динамических схем, удовлетворяя наиболее жесткому из них - полевому. Поскольку основные вычислительные затраты в ММ относятся к продвижению зарядов, использование неадекватно мелкого шага по времени при интегрировании уравнений движения приводит к существенным вычислительным потерям. Ситуация усугубляется в большом классе низкочастотных явлений плазмы, где формальный учет свободных электромагнитных волн в системе уже предполагает излишнее дробление временной шкалы аппроксимируемых полевых уравнений.
Эта проблема находит разумное разрешение в самосогласованной модели Власова-Дарвина, которая, исключая эффекты излучения, достоверно воспроизводит индукционные эффекты. Однако, сочетание незапаздывающего характера модели и гиперболического вида ее уравнений поля приводит к развитию актуальной паразитной неустойчивости при любой явной конечно-разностной аппроксимации последних. Использование современной методики решения дарвинских уравнений, основанной на их эллиптической переформулировке, снимает указанное несоответствие, а вместе с ним и ограничение полевого шага по времени. Естественным представляется желание избавиться и от ограничения на временной динамический шаг, что обуславливает переход на неявные разностные схемы в процедуре численного интегрирования уравнений движения частиц.
Вместе с тем, несмотря на появление многопроцессорных ЭВМ и определенные успехи в дискретной интерпретации дарвинского (магнитоиндукцион-ного) формализма, острота вопросов его практического приложения остается. Это обусловлено многократным усложнением сегодняшних постановок задач, где обычно необходимо разрешать как мелкомасштабные и быстрые процессы электронной компоненты, так и крупномасштабные и медленные процессы ионной составляющей. Последнее требует совмещения протяженной счетной области с мелкоячеистой пространственной сеткой. При этом необходимость сохранения консервативных и бесстолкновительных свойств системы предпо-лагает достаточно большую модельную плотность частиц (порядка 10 на измерение сеточной ячейки). Следовательно, даже для двумерных постановок это приводит к общему числу используемых макрочастиц порядка 10 с соответствующими требованиями к машинным ресурсам.
Таким образом, разработка эффективных вычислительных алгоритмов для дискретных (по ММ) безызлучательных моделей плазмы, наряду с их эффективной программной реализацией на многопроцессорных платформах является весьма актуальной.
Цель работы
Конкретными целями диссертации являются:
исследование экономичной неявной схемы разностного интегрирования динамических уравнений в дискретной модели Власова-Дарвина;
построение на ее основе эффективного дискретного 2.5-мерного параллельного вычислительного алгоритма;
его оптимальная реализация на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью в рамках программного кода;
проведение компьютерных экспериментов по изучению низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости.
Результаты, выносимые на защиту
Реализована оптимизированная неявная схема разностного интегрирования динамических уравнений частиц в многомерной, несимметричной по фазовой геометрии дискретной самосогласованной модели плазмы с дарвинским (безызлучательным) приближением электромагнитных полей.
Исследованы численные свойства и физическая корректность указанной схемы. Показано, что она согласована с дифференциальным аналогом, имеет второй порядок точности и безусловно устойчива. Доказана адекватность передачи схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряда в различных пространственно-временных конфигурациях электромагнитного поля. Все аналитические выкладки подтверждены методическими расчетами в рамках тестовых экспериментов.
В рамках технологии параллельных вычислений на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью проведен анализ методик эффективной программной реализации дискретных плазменных алгоритмов. С учетом его выводов на базе разработанной процедуры численного расчета динамики частиц построен 2.5-мерный прикладной код DarWin, адаптируемый к аппаратным платформам различного класса.
Выполнены численные исследования низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости в рамках 1.5-мерной фазовой геометрии. Показана общая динамика процесса, выявлена его линейная и нелинейная стадии; найдено численное значение инкремента неустойчивости, которое с большой точностью совпало с аналитическим прогнозом; получены фазовые портреты системы, позволившие наглядно продемонстрировать теоретически предсказанное наличие трех характерных групп частиц, имеющих схожие траектории движения и собственные области локализации.
Выполнены численные расчеты по изучению вайбелевской неустойчивости (ВН) в 2.5-мерной фазовой геометрии. Проведенные компьютерные
эксперименты позволили выявить ранее неизвестные зависимости базовых параметров неустойчивости (времени развития и максимальной энергии магнитного поля) от величины параметра анизотропии среды, детально проследить структурную перестройку системы токовых жгутов на этапе ее стагнации и общую эволюцию исходной анизотропии электронной компоненты плазмы.
Научная новизна
Использование в численных исследованиях бесстолкновительной плазмы самосогласованного магнитоиндукционного формализма в силу сложности построения численных алгоритмов по ММ на его основе до сих пор ограничивалось лишь простейшими одномерными по пространству постановками.
В настоящей работе реализованы эффективные процедуры численного решения динамических уравнений многомерной, несимметричной по фазовой геометрии модели Власова-Дарвина. Исследована и оптимизирована применительно к безызлучательному приближению полей методика распараллеливания дискретных плазменных алгоритмов, ориентированных на вычислительные платформы с распределенной памятью. На ее основе построен параллельный программный код, реализующий самосогласованную 2.5-мерную безызлуча-тельную (дарвинскую) модель плазмы.
В рамках практического приложения кода проведены многомерные численные расчеты по изучению низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости, где впервые детально прослежена ее эволюцию в многомодо-вом режиме и получен ряд зависимостей ключевых параметров неустойчивости от величины анизотропии начального распределения электронов.
Научная и практическая значимость
Примененный алгоритм расчета многомерной динамики частиц дарвинской плазмы существенно обогащает общую практику эффективной реализации метода макрочастиц в рамках технологии параллельных вычислений.
Построенный на его основе, как одном из базовых элементов, программный комплекс DarWin является мощным, универсальным инструментом кинетического моделирования низкочастотной многокомпонентной бесстолкнови-тельной плазмы. Он может быть использован как для численного изучения фундаментальных проблем, так и для решения прикладных задач в области взаимодействия поля с веществом и физики земной магнитосферы.
Результаты, полученные на основе численных экспериментов по вайбе-левской неустойчивости (ВН), представляют большой научно-практический интерес в силу ее общего характера и многообразия проявлений. Например, ВН играет большую роль и в плотной квантовой плазме, являясь одним из механизмов генерации нестационарных магнитных полей в компактных астрофизических объектах, и в практических экспериментах по лазерному термоядерному синтезу, где она проявляется как один из факторов, существенно влияющих на интенсивность перекачки волновой энергии в плазму мишени в режиме аномального скин-эффекта.
Достоверность полученных результатов
Численная и физическая корректность реализованной неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц исследована аналитически и подтверждена рядом методических расчетов, в ходе которых на основе тестовых задач показана адекватность передачи предложенной схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряженных частиц в электромагнитном поле.
Сопоставление результатов дарвинского моделирования вайбелевской неустойчивости с теоретическими прогнозами и данными аналогичных компь-
ютерных экспериментов на базе полной электромагнитной модели плазмы позволяет сделать вывод о высокой достоверности полученных результатов.
Апробация работы
Результаты настоящей работы были представлены и обсуждались на различных международных и российских конференциях и семинарах: Международная конференция «Тихонов и современная математика», Москва, 2006 г. Доклад: «Оптимизация неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц в дарвинской модели плазмы»; международная конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, секция «Физические процессы в низкотемпературной плазме», Звенигород, 2007 г. Доклад: «Моделирование вайбелевской неустойчивости в рамках низкочастотного (дарвинского) приближения плазмы»; конференция по программе «Плазменные процессы в солнечной системе», секция «Нелинейная динамика в хвосте магнитосферы», Институт космических исследований РАН, Москва, 2007 г. Доклад: «Некоторые аспекты численной реализации Дарвинского приближения плазмы»; Ломоносовские чтения, подсекция «Теоретическая и математическая физика», МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2009 г. Доклад: «Расчет фазовых траекторий в дискретной модели Власова-Дарвина»; «Физика плазмы в солнечной системе», секция «Теория физики плазмы», Москва, 2010 г. Доклад: «Кинетическое моделирование вайбелевской неустойчивости»; научный семинар кафедры математики Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, (рук. проф. Бутузов В.Ф); научный семинар «Вычислительные методы и математическое моделирование» 11 отдела ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (рук. член-корр. РАН Попов Ю.П., проф. Галанин М.П.); научный семинар «Космическая электродинамика и теория динамо» НИВЦ МГУ (рук. проф. Соколов Д.Д.); научные семинары отдела Физики космической плазмы (№54) Института космических исследований РАН (рук. акад. РАН Зелёный Л.М.).
Личный вклад автора
Результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно под руководством научного руководителя.
Структура и объем диссертации
