Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Математическая модель 25
1.1 Двухскоростная модель, неравновесная по давлению 26
1.2 Двухскоростная модель, равновесная по давлению 31
1.2.1 Уравнения переноса 31
1.2.2 Учет присутствия примеси 34
Глава 2 Вычислительный алгоритм 40
2.1 Базовый метод численного анализа 43
2.1.1 Уравнения движения 43
2.1.2 Решение СЛАУ 48
2.1.3 Дискретизация уравнения переноса энтропии 49
2.1.4 Поправочное уравнение для давления 51
2.1.5 Учет сжимаемости 53
2.1.6 Процедура SIMPLE 54
2.1.7 Критерии сходимости 55
2.2 Двухскоростная неравновесная по давлению модель 56
2.2.1 Уравнения движения 56
2.2.2 Дискретизация уравнения переноса энтропии 57
2.2.3 Поправочное уравнение для давления и параметра q 58
2.2.4 Учет сжимаемости 61
2.2.5 Адаптированный вариант процедуры SIMPLE 62
2.3 Двухскоростная равновесная по давлению модель 63
2.3.1 Уравнения движения 64
2.3.2 Дискретизация уравнения переноса энтропии 65
2.3.3 Дискретизация уравнений переноса количества включений и концентрации примеси 65
2.3.4 Поправочное уравнение для давления 66
2.3.5 Учет сжимаемости 67
2.3.6 Аналог процедуры IPSA 68
2.4 Комплекс программ 70
Глава 3 Постановка задач и результаты моделирования 72
3.1 Верификация 74
3.1.1 Свободная конвекция 74
3.1.2 Напорное течение 79
3.1.3 Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником 83
3.2 Численное моделирование 86
3.2.1 Свободная конвекция 86
3.2.2 Напорное течение 88
3.2.3 Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником 90
3.3 Прикладные задачи 92
3.3.1 Фильтрационное течение литосферного флюида в проницаемой зоне 93
3.3.2 Влияние импульсного воздействия на свободную конвекцию 97
3.3.3 Напорное течение дисперсной смеси с примесью 99
Заключение 104
Литература 107
- Двухскоростная модель, равновесная по давлению
- Дискретизация уравнения переноса энтропии
- Адаптированный вариант процедуры SIMPLE
- Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником
Введение к работе
Актуальность работы. Интерес к математическому моделированию нестационарных неизотермических процессов в сжимаемых гетерофазных средах связан, в первую очередь, с необходимостью решения разнообразных технологических задач: описание гидродинамики суспензий, эмульсий, гранулированных и сыпучих смесей различной структуры, участвующих в производственных циклах; разработка новых неоднородных и композитных материалов для промышленности и строительства; проектирование и эксплуатация сложных систем охлаждения и теплообмена для энергетических и обрабатывающих предприятий. Кроме того, применение моделей сжимаемых гетерофазных сред необходимо при описании техногенных систем: моделирование процессов в нефтяных скважинах и приповерхностных пластах, оптимизация процессов добычи полезных ископаемых; а так же при рассмотрении эндогенных процессов и при решении связанных с ними задач геодинамики.
При описании течений, развивающихся в условиях высоких температур и давлений, в присутствии примесей, в сложных по структуре многофазных средах обязателен учет различного поведения фаз, взаимодействия фаз между собой и возникающих при этом механических и термодинамических эффектов, возможный только в рамках многоскоростных моделей. Базовые техники построения многоскоростных моделей гетерофазных сред не всегда обеспечивают замкнутость и гиперболичность результирующих систем управляющих уравнений. Применение подхода, основанного на методе законов сохранения, основной вклад в развитие которого внесли Л.Д. Ландау, И.М. Халатников, S.J. Putterman, P.H. Roberts, В.Н. Доровский и другие, гарантирует построение моделей, обеспечивающих физическую корректность систем управляющих уравнений гиперболического или смешанного типа и согласованность физических полей и позволяющих описывать нестационарные неизотермические процессы в сжимаемых гетерофазных средах при учете таких эффектов как неравновесность фаз по давлению, наличие поверхностной энергии взаимодействия фаз, присутствие примеси и др.
Для систем уравнений большинства многоскоростных математических моделей гетерофазных сред аналитические решения на сегодняшний день неизвестны. Наиболее распространенная техника численного анализа заключается в применении метода контрольного объема совместно с процедурами семейства SIMPLE. Основные концепции метода развиты в работах А.А. Самарского, S.V. Patankar, C.A.J. Fletcher, Е.М. Смирнова, A.W. Date и многих других российских и
зарубежных ученых. Однако использование такого подхода ограничивается в основном реализацией равновесных по давлению моделей многофазных, в том числе, двухфазных, сред и возможностью описания быстрых процессов. Возникает необходимость в разработке вычислительных алгоритмов, адаптированных к учету неравновесности фаз по давлению и к учету сжимаемости фаз в рамках двухскоростных моделей, позволяющих проводить расчеты в широком диапазоне пространственных и временных масштабов.
Распространенный подход к описанию взаимодействий флюид-порода в литосфере и земной коре при решении геологических задач основан на приближении Дарси, которое не учитывает эффектов взаимного деформирования фаз. При рассмотрении фильтрации литосферных флюидов в глубинных литосферных проницаемых зонах, когда в процессе тепломассообмена достигаются температуры плавления горных пород, и нет данных о геохимических характеристиках фазовых взаимодействий, применение этих подходов затруднительно. Актуальным является использование двухскоростных моделей сжимаемых двухфазных сред для численного анализа указанных геологических процессов.
Другой важной задачей, требующей применения двухскоростных гидродинамических моделей, является исследование эволюции флюидных систем литосферы и земной коры при внешнем техногенном или эндогенном импульсном воздействии. Известные на текущий момент результаты изучения направленного виброакустического воздействия, полученные в рамках односкоростного приближения, предсказывают различное влияние виброакустических колебаний на гидродинамические режимы течений, зависящее от направления воздействия. Об исследованиях, которые проводились бы на базе двухскоростных моделей и рассматривали влияние внутренних источников, автору не известно.
Присутствие примесей в подвижных компонентах малоглубинных литосферных и коровых флюидных систем, представляющих из себя твердожидкостные, двухжидкостные либо газожидкостные смеси, оказывает влияние на динамические свойства и эволюцию таких систем. Существующий подход к моделированию указанных процессов состоит в применении равновесных по давлению двухскоростных моделей в предположении о наличии поверхностной энергии взаимодействия фаз. Актуальным является исследование влияния присутствия примеси и градиента поверхностного натяжения на гидродинамические режимы течений дисперсных смесей.
Целью диссертационной работы является разработка неравновесной и равновесной по давлению двухскоростных термодинамически согласованных математических моделей, учитывающих особенности строения сжимаемых
двухфазных сред различной физической природы; разработка вычислительного
алгоритма для численной реализации двухскоростных математических моделей
сжимаемых двухфазных сред; разработка комплекса программ на базе
вычислительного алгоритма и проведение расчетов прикладных задач
двухскоростной гидродинамики сжимаемых двухфазных сред.
Для достижения цели диссертационной работы были поставлены и решены следующие задачи:
-
Построение термодинамически согласованных двухскоростных моделей сжимаемых двухфазных сред неравновесных и равновесных по давлению, применимых в широком диапазоне физических параметров фаз, учитывающих структуру среды, эффекты совместного движения и деформирования фаз и межфазного взаимодействия.
-
Разработка эффективного вычислительного алгоритма на базе метода контрольного объема, адаптированных и модифицированных вариантов итерационной процедуры SIMPLE для реализации математических моделей в виде комплекса программ, позволяющего проводить расчеты в широком диапазоне пространственных и временных масштабов.
-
Верификация математических моделей и вычислительного алгоритма по имеющимся в литературе решениям модельных задач и по результатам расчетов в рамках реализованной автором нелинейной односкоростной модели вязкой сжимаемой жидкости.
-
Исследование чувствительности неравновесной по давлению модели и вычислительного алгоритма к вариациям физических параметров фаз и кинетических свойств двухфазной среды.
5. Проведение комплексных исследований глубинных литосферных флюидных
систем, описание импульсного воздействия различной интенсивности на
динамические режимы течений двухфазных сред, исследование динамики
дисперсных смесей в присутствии примеси.
Научная новизна работы:
1. Предложены термодинамически согласованные двухскоростные модели неравновесных и равновесных по давлению сжимаемых двухфазных сред, позволяющие описывать совместное движение и деформирование фаз в средах различной структуры, учитывать присутствие примеси и наличие поверхностной энергии взаимодействия фаз.
2. Предложен адаптированный вариант итерационной процедуры SIMPLE для
численной реализации неравновесных по давлению двухскоростных моделей
сжимаемых двухфазных сред.
3. Продемонстрировано качественное отличие результатов гидродинамического и
геохимического моделирования глубинных флюидных систем в проницаемых
литосферных зонах на длительных временных интервалах, полученных в рамках
неравновесной по давлению двухскоростной модели сжимаемых двухфазных сред,
от результатов, полученных в рамках приближения Дарси.
4. Показано влияние длительного импульсного воздействия, генерируемого
малым конечным внутренним источником, на динамические режимы конвективного
тепломассопереноса в неравновесных по давлению сжимаемых двухфазных средах.
5. Исследовано влияние учета присутствия примеси за счет изменения величины
градиента поверхностного натяжения и посредством эффекта, связанного с
различной скоростью увлечения примеси каждой из фаз, на гидродинамические
режимы течений равновесных по давлению сжимаемых двухфазных сред.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Получены управляющие уравнения двухскоростных математических моделей
неравновесных по давлению однотемпературных сжимаемых двухфазных сред, при
учете взаимного движения и деформирования фаз; равновесных по давлению
однотемпературных сжимаемых двухфазных сред, при учете совместного движения
фаз, присутствия примеси и наличия поверхностной энергии взаимодействия фаз.
2. Создан вычислительный алгоритм, реализующий двухскоростные мате
матические модели сжимаемых двухфазных сред, построенный с применением
разработанной методики совместного расчета общего гидродинамического давления
и параметра межфазного взаимодействия в рамках неравновесной по давлению
модели; разработан комплекс программ, реализующий вычислительный алгоритм.
3. Указаны значения параметров фильтрационного течения литосферного флюида
в проницаемой литосферной зоне, при которых в литосфере образуются
промежуточные очаги частичного декомпрессионного плавления.
4. Определены значения параметров малого конечного источника, при которых
генерируемое источником импульсное воздействие приводит к изменению режима и
интенсивности конвективного тепломассопереноса в насыщенной гранулированной
среде.
5. Указаны значения параметров примеси, при которых присутствие примеси оказывает влияние на режим течения смеси вязких сжимаемых жидкостей посредством диссипативных эффектов и величины градиента поверхностного натяжения.
Практическая значимость. Предложенные математические модели и
разработанный комплекс программ позволяют проводить исследования различных
динамических процессов в неравновесных и равновесных по давлению
гетерофазных геологических и технологических системах. Результаты
моделирования динамических процессов в насыщенных литосферными флюидами проницаемых литосферных зонах и в промежуточных очагах частичного декомпрес-сионного плавления пород литосферы в рамках приближенного к реальности двухскоростного описания двухфазных сред, а так же их корректная геохимическая интерпретация необходимы для правильного понимания природы различных типов рудообразующих систем. Возможность расчета импульсных воздействий, генерируемых на фоне гидродинамических течений, позволяет прогнозировать комплексные геодинамические процессы в контурах мантийно-коровых флюидных систем, связанные с локальными сейсмическими событиями, а так же исследовать способы изменения и контроля режимов течений сжимаемых двухфазных сред в рамках различных технологических систем. Корректное математическое описание влияния присутствия примесей на динамику дисперсных смесей необходимо для правильного понимания и прогнозирования природных и технологических процессов: тепломассоперенос в контурах малоглубинных флюидных систем, процессы промышленной транспортировки газожидкостных и двухжидкостных смесей и т.д. Кроме того, модели могут быть расширены посредством учета дополнительных эффектов, таких как межфазный массообмен, учет дополнительных примесей и др. для расчета более сложных типов течений как эндогенного, так и техногенного происхождения. Методика построения вычислительного алгоритма и проведенная верификация математических моделей предполагают необходимую достоверность получаемых при расчетах свойств двухфазных течений.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 5 работ, из которых 3
статьи в журналах из списка ВАК. Результаты работы были представлены на
российских и международных конференциях: AGU Full Meeting (San Francisсo,
2011); Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного
типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2012);
Всероссийская конференция «Актуальные проблемы вычислительной математики и
математического моделирования» (Новосибирск, 2012); Международная
конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»
(Новосибирск, 2012); Международная молодежная научная школа-конференция
«Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Ново
сибирск, 2012, 2013); Международная конференция «Якоби-2013
Высокопроизводительные вычисления – математические модели и алгоритмы»
(Калининград, 2013); Международная научная конференция «Методы создания,
исследования и идентификации математических моделей» (Новосибирск, 2013); IV
Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной
математики и информационных технологий – Аль-Хорезми 2014» (Узбекистан,
Самарканд, 2014); Международная научная конференция посвященная 50-летию
Института вычислительной математики и математической геофизики (бывший
Вычислительный центр) Сибирского Отделения Российской Академии наук
«Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2014» (АПВПМ-
2014) (Новосибирск, 2014); Международная школа-конференция молодых ученых
«Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Новосибирск,
2014); XVII Международная конференция «Современные проблемы механики
сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2014); International Conference “Large Igneous
Provinces, Mantle Plumes and Metallogeny In the Earth’s History” (Russia, Irkutsk-
Listvyanka, 2015); Всероссийское совещание «Флюидный режим эндогенных
процессов континентальной литосферы» (Иркутск, 2015); лабораторные,
межлабораторные и объединенные семинары ИВМиМГ СО РАН, ИГМ СО РАН.
Личный вклад автора. Основные научные результаты диссертационной работы
получены автором самостоятельно. В получении результатов, опубликованных в
соавторстве, автор диссертации принимал участие на уровне обсуждения
постановки задач, формулировки математических моделей, построения
вычислительных алгоритмов, разработки, тестирования и отладки программной реализации, проведения вычислительных экспериментов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Полный текст работы изложен на 147 страницах, содержит 37 иллюстраций и 6 таблиц. Список литературы состоит из 162 наименований.
Двухскоростная модель, равновесная по давлению
К настоящему моменту развитие качественного и количественного описания фазовых взаимодействий флюид-порода при изменении температуры и давления в литосфере и земной коре прошло путь от решения задачи изотермической фильтрации [Полубаринова-Кочина, 1969] и одномерных задач динамики метасоматических процессов [Голубев, 1981] до создания КП, описывающих многомерные процессы массообмена с учетом изменения пористости и проницаемости в процессе реактивных физико-химических взаимодействий [Xu, Pruess, 2001; Kuhn et al., 2003; Parkust, Tngergaard, 2005; Yasuhara, Elsworth, 2006]. Однако используемое приближение Дарси [Darcy, 1856] не учитывает динамических эффектов, возникающих в твердой фазе, и термодинамического вклада межфазного взаимодействия, а по диапазону изменения температур указанные разработки не выходят за пределы критической точки воды. При рассмотрении фильтрации литосферных флюидов в глубинных литосферных проницаемых зонах, когда в процессе тепломассообмена достигаются температуры плавления горных пород, и нет экспериментальных данных о кинетике и геохимических характеристиках фазовых взаимодействий, применение этих подходов затруднительно. Кроме того, возникает необходимость в учете таких явлений как плавление, кипение, конденсация, в рассмотрении специфических аспектов многоскоростной гидродинамики гетерофазных сред [Шарапов и др., 2000; Шарапов и др., 2007], а так же в использовании методов минимизации термодинамических потенциалов при описании физико-химических взаимодействий флюид-порода [Karpov et al., 1997; Чудненко, 2010; Бессонова и др., 2010]. Полученные с применением последнего подхода результаты описания малоглубинных проницаемых зон коровых вулканогенных флюидных систем [Sharapov et. al., 2012] так же ограничены использованием приближения Дарси [Шарапов и др., 2009]. Полностью двумерная модель [Шарапов и др., 2007; Шарапов и др., 2009], вариант модели [Доровский, 1989], для численного анализа которой применяется метод Годунова, не используется для решения прикладных задач в силу ограничений на шаг по времени. Актуальными являются: гидродинамическое моделирование описанных геодинамических процессов с использованием двухскоростных моделей, численная реализация которых позволит проводить расчеты в рамках геологических пространственных и временных масштабов; геохимический анализ взаимодействий флюид-порода в литосферных проницаемых зонах на основе полученных в результате гидродинамического моделирования параметров состояния среды.
Перспективными являются исследования влияния импульсного воздействия на режимы гидродинамических процессов в гетерофазных средах. Необходимость в таких исследованиях выявляется при анализе многих технологических и природных систем. В частности, интерес представляет моделирование эволюции флюидных систем литосферы и земной коры при внешнем техногенном или эндогенном импульсном воздействии. Исследования в данной области, известные на текущий момент, в основном, касаются направленного виброакустического воздействия на всю область течения. Базовые идеи математического описания влияния однонаправленного воздействия на фоне свободной конвекции вязкой жидкости в замкнутой области, основанные на специальных техниках осреднения, представлены в работе С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко [Зеньковская, Симоненко, 1966]. Известны результаты рассмотрения вопросов устойчивости свободно-конвективных течений при однонаправленном воздействии для однофазной среды [Гершуни, Жуховицкий, 1979; Гершуни и др., 1989; Gershuni, Lyubimov, 1998] и для смеси жидкостей в рамках односкоростного приближения [Gaponenko et al., 2006], а так же результаты моделирования виброакустического воздействия на свободную конвекцию в пористой среде в рамках односкоростного приближения Дарси-Буссинеска для различных направлений воздействия [Зеньковская, Роговенко, 1999; Mojtabi, 2004]. Обширный обзор литературы по данной тематике можно найти в работе [Razi et al., 2009].
Исследования, которые проводились бы на базе двухскоростных моделей, автору не известны. Результаты, представленные в литературе, и полученные в рамках односкоростного приближения, предсказывают различное влияние виброакустических колебаний на гидродинамические режимы течений, зависящее от направления воздействия. Актуальным представляется рассмотрение влияния внутреннего малого конечного источника импульсного воздействия на гидродинамические процессы в двухфазных средах в рамках двухскоростных гидродинамических моделей. Корректное математическое описание динамики дисперсных смесей произвольной природы в присутствии различных примесей составляет как непосредственный практический интерес, так и является неотъемлемой частью решения задачи моделирования крупномасштабных флюидных рудообразующих систем. Так, введение в двухжидкостные и газожидкостные смеси поверхностно активных веществ, снижающих вязкость смесей, является основной идеей используемой в промышленности для улучшения динамических свойств смесей и для повышения эффективности технологических и производственных процессов. Присутствие примесей в подвижных компонентах малоглубинных литосферных и коровых флюидных систем, представляющих из себя дисперсные твердожидкостные, двухжидкостные либо газожидкостные смеси различной природы, оказывает существенное влияние на динамические свойства и эволюцию таких систем. Так, теория предполагает изменение режима течения за счет увеличения значения параметра, определяющего эффекты, связанные с различной скоростью увлечения примеси каждой из фаз. Существующий подход к моделированию указанных процессов состоит в применении равновесных по давлению двухскоростных моделей в предположении о наличии поверхностной энергии взаимодействия фаз и хорошо зарекомендовал себя при описании динамики магматического расплава в интрузивных камерах при образовании газовой фазы [Доровский, 1998].
Дискретизация уравнения переноса энтропии
При рассмотрении границ, на которых реализуется данный тип граничных условий, покрытие области расчетной сеткой осуществляется таким образом, что бы с рассматриваемой границей совпадала сеточная линия вспомогательной сетки, в узлах которой рассчитываются значения нормальной к границе компоненты вектора скорости (приложение С1). Пусть нормальной к границе будет компонента v вектора скорости и отсчет узлов начинается от рассматриваемой границы, тогда с границей будет совпадать линия сетки s2 (приложение С), а граничные условия можно записать в виде:
В этом случае, при использовании противопоточной схемы первого порядка, аппроксимация граничных условий производится тривиальным образом: значение на гранях прилегающего к границе КО либо задано формулой (2.5) либо вычисляется по формулам из приложения С4.1. В контексте использования схемы HLPA, трудность заключается в определении значений на ближайших к границе, но не совпадающих с ней, гранях прилегающих к границе КО. А именно, для компоненты v вектора скорости в узлах (/,1), а для компоненты и вектора скорости в узлах (/,3/2). В этом случае, для определения значений компонент вектора скорости в указанных узлах применяется схема аппроксимации граничных условий второго порядка [Hayase et al, 1992]: в зависимости от ориентации линии границы по отношению к введенной системе координат. Рассмотрим только первый вариант, поскольку аппроксимация второго варианта производится аналогичным образом.
При рассмотрении границ, на которых реализуется этот тип граничных условий, покрытие области расчетной сеткой осуществляется таким образом, чтобы с рассматриваемой границей совпадала сеточная линия вспомогательной сетки, в узлах которой рассчитываются значения касательной к границе компоненты вектора скорости (приложение С1). Пусть касательной к границе будет компонента и вектора скорости и отсчет узлов начинается от рассматриваемой границы, тогда с границей будет совпадать линия сетки s1 (приложение С1), а граничные условия можно записать в виде следующих соотношений:
В случае использования противопоточной схемы первого порядка, аппроксимация граничных условий производится тривиальным образом: значение на гранях прилегающего к границе КО вычисляется с использованием формул (2.8) и формул из приложения С4.1. В контексте использования схемы HLPA требуемые значения компоненты v в узлах (/,0) и (/,1), а компоненты и в узлах (/,3/2), вычисляются по формулам (2.6), (2.7) с использованием, где это необходимо, соотношений (2.8). Все результирующие дискретные аналоги уравнений движения вместе с дискретными аналогами, построенными для приграничных контрольных объемов, содержат в себе нелинейности в коэффициентах при конвективных слагаемых. Универсальным приемом для преодоления такого рода нелинейностей является введение итерационной процедуры, основанной на методе простой итерации, связанной с пересчетом коэффициентов на каждой итерации. Таким образом, процесс нахождения решения дискретных аналогов уравнений движения состоит из: первоначального предположения о значении поля скорости, необходимого для расчета нелинейных коэффициентов (очевидным выбором такого предположения является использование значения поля скорости с предыдущего временного слоя); нахождения решения дискретных аналогов при имеющихся значениях коэффициентов; пересчета нелинейных коэффициентов; повторения двух последних этапов до достижения сходимости.
Результирующие дискретные аналоги уравнений движения представляют собой системы линейных алгебраических уравнений, для разрешения которых необходимо применение численного метода. Выбор подходящего численного метода должен быть обусловлен, в первую очередь, требованием быстрой сходимости при разрешении СЛАУ построенных при дискретизации управляющих уравнений на сетках с произвольным количеством узловых точек. Численные методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Классические прямые методы, при разрешении дискретных аналогов управляющих уравнений гидродинамических моделей в случае рассмотрения двумерных задач, требуют значительного количества машинного времени даже при расчетах линеаризованных уравнений на сетках с малым количеством узлов. Базовым итерационным методом решения СЛАУ можно назвать метод Гаусса-Зейделя, в котором приближенное значение переменной рассчитывается последовательно в каждой узловой точке, что ощутимо сказывается на скорости вычислительного процесса, которую можно повысить, построив удобную комбинацию поточечного метода и метода трехдиагональной прогонки - метод переменных направлений [Патанкар, 1984]. Метод позволяет проводить за один шаг пересчет значений переменной на всей сеточной линии (приложение С5).
Адаптированный вариант процедуры SIMPLE
Расчеты проводились на сетках размером 40x40 узлов при числах Рэлея Ra2f =Ralf =103,105 и на сетке размером 80x80 узлов при числе Рэлея Ra2f =Ralf =107; с шагом по времени А/ = 10 3 с при числе Рэлея Ra2f =Ralf =103 и с шагом по времени Аґ = 10 2 с при числах Рэлея Ra2f =Ralf = 10s, 107 до выхода течения на стационар (приложение С7). Результаты расчетов представлены на рис. 3.1 - 3.4, где видно, что изолинии поля температуры, а так же распределения локального числа Нуссельта, полученные при расчетах по нелинейной модели вязкой сжимаемой жидкости и по двухскоростным моделям при различных числах Рэлея, идентичны между собой и хорошо согласуются с результатами расчетов, проведенных по модели вязкой жидкости в приближении Буссинеска [Wan et al, 2001; Massarotti et al, 1998; Manzari, 1999]. Из представленных результатов можно сделать вывод о физической корректности предложенных двухскоростных математических моделей и работоспособности построенного вычислительного алгоритма при решении задачи о свободной конвекции в замкнутой области на достаточно широком интервале значений чисел Рэлея.
Экспериментальная проверка сходимости вычислительного алгоритма для задачи о свободной конвекции осуществлена посредством сравнения получаемых в результате расчетов в двухфазной среде с одинаковыми физическими параметрами фаз, проведенных на последовательности сгущающихся сеток, распределений локального числа Нуссельта на горячей стенке при использовании схемы HLPA расчета потоков на гранях КО. Расчеты проводились при значениях чисел Прандтля Рг1=Рг2 = 1 и Рэлея Ra2f=l05 на последовательности размеров сеток 30x30, 40x40, 50x50, 60x60, 70x70, 80x80 с шагом по времени А/ = 103 с. Результаты представлены на рис. 3.5 (а), демонстрирующем сходимость численного решения.
Сравнение схем расчета потоков на гранях КО для задачи о свободной конвекции осуществлено посредством сравнения получаемых в результате расчетов в двухфазной среде с одинаковыми физическими параметрами фаз распределений локального числа Нуссельта на горячей стенке при использовании схемы FOU и схемы HLPA расчета потоков на гранях КО на фиксированной сетке размером 60x60 при прочих расчетных параметрах, аналогичных используемым при экспериментальной проверке сходимости вычислительного алгоритма. Результаты расчетов, представленные на рис. 3.5 (б), демонстрируют отсутствие качественного различия при использовании схем FOU и HLPA. Количественное различие составляет величину порядка 10 1 %.
Для задачи о напорном течении в постановке, описанной в приложении D2, верификация осуществляется посредством сравнения получаемых в результате расчетов, в рамках предложенных в работе двухскоростных моделей, параметров течения с результатами численных экспериментов в рамках модели вязкой несжимаемой жидкости, представленными в работе [Буряцкий и др., 2008], где для численной реализации использован метод конечных разностей с установлением по времени, а также с результатами проведенных автором численных экспериментов в рамках нелинейной модели вязкой сжимаемой жидкости. Основными параметрами течения, по которым проводится верификационный анализ, являются: профили полей компонент векторов скоростей вдоль нескольких горизонтальных сечений; профили давления и вертикальной компоненты векторов скоростей вдоль центрального вертикального сечения расчетной области.
Для верификационного анализа проведено сравнение указанных параметров течения при расчетах напорного течения в двухфазной среде с одинаковыми физическими параметрами фаз. Напорное течение в двухфазной среде с одинаковыми физическими параметрами фаз, при использовании обезразмеривания на характерную скорость течения и0, определяется идентичными по значению числами Рейнольдса Ret = х 10 = Re2 = х 20. Проведено сравнение результатов, полученных при значениях Rex=Re2= 50, 100, 150, 400, 800, 1000 с результатами описанных выше численных экспериментов
Результаты расчетов представлены на рис. 3.6 - 3.7, где видно, что профили полей вертикальной и горизонтальной компонент векторов скоростей вдоль горизонтальных сечений расчетной области, а так же профили поля вертикальной компоненты вектора скорости и поля давления вдоль центрального вертикального сечения расчетной области, полученные при расчетах по нелинейной модели вязкой сжимаемой жидкости и по двухскоростным моделям, идентичны между собой и хорошо согласуются с результатами расчетов по модели вязкой несжимаемой жидкости [Буряцкий и др., 2008]. Из представленных результатов можно сделать вывод о физической корректности предложенных двухскоростных математических моделей и работоспособности построенного вычислительного алгоритма при решении задачи о напорном течении в канале на достаточно широком диапазоне значений чисел Рейнольдса.
Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником
Проведено исследование влияния длительного импульсного воздействия, генерируемого малым конечным источником, на режим свободной конвекции в сжимаемой двухфазной среде со значением первой продольной скорости звука щ «1865 м/с при заданных числах Рэлея и Прандтля для второй фазы и Прандтля для первой фазы: Ray2 = ю7, Рг2 « 3.3, Ргх 3.3 1013, результирующем числе Рэлея для первой фазы Rayl = 10 5 и при значении числа Дарси Da = 10 4. Было опробовано три варианта размещения импульсного источника в расчетной области вдоль вертикальной оси симметрии в точках с координатами: (1/2L, 1/3L), (1/2L, 1/2L), (1/2 L, 2/3 L). При выборе частоты источника в качестве «опорной» принималась частота, при которой длина волны 1ас равна характерному размеру расчетной области f base = -. Проведены расчеты при частотах источника fs = 2 х / ше, з х f bsase, 5xfbaSe 10хЛІе 50хЛІе и амплитудах источника а=107, 108кг/м3-с на сетке размером 40x40 узлов. Свободная конвекция рассчитывалась с шагом по времени А/ = 10 2 с до выхода на стационар, после чего включался импульсный источник и устанавливался шаг по времени Аґ = 10 6, 107 с в зависимости от частоты источника.
На рис. 3.25-3.26 представлены результаты проведенных расчетов, демонстрирующие влияние длительного импульсного воздействия, генерируемого малым конечным источником, на свободную конвекцию в замкнутой области, зависящее от частоты и от расположения источника. В ряде случаев, присутствие источника импульсного воздействия приводит к разделению исходной и образованию нескольких новых конвективных ячеек, что демонстрируют рис. 3.25 (б), (в).
Изолинии поля температуры через время: а) до включения; б), в) 0.25 с после включения источника, с частотой и амплитудой: б) f = 5х/ь е, а =107 кг/м3 -с; в) Распределение локального числа Нуссельта на горячей стенке: а) при амплитуде а =107 кг/м3 -с и частоте fs =5xfbsase через 0.05, 0.25, 0.5 с после включения источника при расположении источника в верхней (1/2L,2/3L) и нижней (1/2L,2/3L) части расчетной области; б) при амплитуде а =108 кг/м3 -с и частоте f = 50xf через 0.005, 0.025, 0.05 с после включения источника при расположении источника в центре расчетной области; в) эволюция во времени среднего значения числа Нуссельта на горячей стенке при амплитудах а =107 кг/м3 с S base и частотах f = 2 х fble, 5 х f , 10 х f , амплитуде а = 108 кг/м3 с и частоте f = 50 х fb
Напорное течение дисперсной смеси с примесью Исследовалась задача об эволюции включений дисперсной фазы при напорном течении дисперсной смеси двух вязких сжимаемых жидкостей с примесью в постановке, аналогичной описанной в приложении D2, а также вопросы, связанные с влиянием присутствия примеси посредством изменения величины градиента поверхностного натяжения и за счет эффектов, связанных с различной скоростью увлечения примеси каждой из фаз, на режим течения смеси в рамках равновесной по давлению модели сжимаемых двухфазных сред. Рассматривалась расчетная область характерных размеров Lx=0.5м, Ly=0.2м в поле силы тяжести, направленной вдоль оси у (рис. 3.27). Между входной и выходной границами расчетной области задан перепад давления АP = 50 Па В начальный момент времени во всех точках расчетной области задано одинаковое значение температуры: T = 21 C. На входной границе области температура фиксирована, на верхней, нижней и выходной границах заданы адиабатические граничные условия. Расчеты проводились с шагом по времени At = w 3 c на сетке размером 60x40 узлов.
Расчеты проводились для среды с неодинаковыми физическими параметрами фаз, соответствующими примерным значениям физических параметров для технических масел - первая (дисперсная) фаза, для воды - вторая (несущая) фаза (таблица 3.4), при значении коэффициента объемной доли = 0.5 и числа Дарси Da = 4-10 3. В начальный момент времени задано нулевое значение концентрации примеси в расчетной области. На входной границе задано фиксированное значение концентрации примеси с = o.oi. Используемый при расчетах радиус включения дисперсной фазы rb =0.005 м. Были использованы значения для коэффициента диффузии D = 2-109 м2/с, значения параметров d1=0Лм3/кг, d2 =0.001 м21(К-с2} входящих в замыкающее соотношение (1.47) для расчета химического потенциала примеси. Было использовано значение параметра 2 =0.01 кгКм-с2}. Значение безразмерного параметра 1 варьировалось в пределах от 10 4 до 2.1-10 2 в рамках исследования влияния на режим течения смеси учета присутствия примеси посредством эффекта, возникающего за счет различных скоростей увлечения примеси каждой из фаз. Были использованы значения критической температуры Тс=513К и температуры Tref=293K, линейного коэффициента а1 =7-102 Н/м и безразмерного коэффициента а3=1. Значение линейного коэффициента а2 варьировалось в пределах от 104 до 3.5 Н/м в рамках исследования влияния на режим течения смеси учета присутствия примеси посредством изменения величины градиента поверхностного натяжения, вводимого в предположении о наличии поверхностной энергии взаимодействия фаз.
По результатам моделирования установлена степень влияния эффекта, возникающего вследствие учета присутствия примеси и связанного с различной скоростью увлечения примеси каждой из фаз, на режим течения смеси и выделены соответствующие интервалы значений параметра \. При \ 103 течение устойчиво и значение параметра не влияет на режим течения (на рис. 3.28, 3.29 профили, отмеченные зелеными маркерами), в интервале 10 3 \ 2-10 течение устойчиво и значение параметра оказывает заметное влияние на режим течения (профили, отмеченные синими маркерами), при больших значениях \ течение теряет устойчивость (профили, отмеченные красными маркерами).