Введение к работе
Актуальность работы
Шумы различного происхождения являются неотъемлемой частью окружающего нас мира. Во многом именно шумы отвечают за разнообразие наблюдаемых явлений. В пространственно распределенных системах шумы приводят к возникновению пространственных структур [J. Garcia-Ojalvo, А. Hernandez-Machado, J.M. Sancho, 1993; J.M.R. Parrondo, С. Van den Broeck, J. Buceta, F.J. de la Rubia, 1996; J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho, 1996; A.A. Zaikin, L. Schimansky-Geier, 1998; A. Sanz-Anchelergues, A.M. Zhabotinsky, I.R. Epstein, A.P. Munuzuri, 2001; J. Buceta, M. Ibanes, J.M. Sancho, K. Lindenberg, 2003; S.S. Riaz, S. Dutta, S. Kar, D.S. Ray, 2005, S.E. Kurushina, 2010] и фронтов [M.A. Santos, J.M. Sancho, 1999; L.Q. Zhou, X. Jia, Q. Ouyang, 2002], резонансных структур и индуцированным шумом фазовым переходам [С. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, R. Kawai, 1997; W. Genovese, M.A. Munoz, J.M. Sancho, 1998; R. Kawai, X. Sailer, L. Schimansky-Geier, C. Van den Broeck, 2004], явлениям захвата частоты [Q.-X. Liu, Zh. Jin, B.L. Li, 2008] и разделения фаз [M. Ibanez, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, J.M. Sancho, 1999], пространственно временной перемежаемости [M.G. Zimmermann, R. Toral, О Piro, M. San Miguel, 2000] и пространственно временному стохастическому резонансу [F. Marchesoni, L. Gammaitoni, A.R. Bulsara, 1996; L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, F. Marchesoni, 1998; M. Gosak, M. Marhl, M. Perc, 2007], бегущим и конвективным поддерживаемым шумом структурам [М. Santagiustina, P. Colet, М. San Miguel, D. Walgraef, 1998; J. Wang, S. Kadar, P. Jung, K. Showalter, 1999], шумоиндуцированной синхронизации [R.C. Elson, A.I. Selverston, R. Huerta, N.F. Rulkov, M.I. Rabinovich, H.D.I. Abarbanel, 1998; A. Neiman, X. Pei, D. Russel, W. Wojtenek, L. Wilkens, F. Moss, H.A. Braun, M.T. Huber, K. Voit, 1999; R. Segev, Y. Shapira, M. Benveniste, E. Ben.-Jacob, 2001] и т.д.
В последние десятилетия интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели, предназначенные для описания, предсказания и объяснения представленных выше феноменов. Одной из них является модель реакция-диффузия с включенными в нее мультипликативными и аддитивными шумами:
дх 1
+ Fk(f,t) + DkV\, (1)
где =1,2,3,..., xk - функции состояния системы, Pk(x,,..,xk,i), Gfa.(xi,..,xt,x) -функциональные зависимости, определяющие взаимодействие и эволюцию компонент хи в пространстве и во времени, Dk - коэффициенты диффузии компонент, Х=(/ь-,/«) - вектор, компоненты которого являются управляющими параметрами, описывающими воздействие на систему внешнего окружения, / - число флуктуирующих параметров, %ю - их пространственно-временные средние, /fa-(г,0 - мультипликативные и Fk(r,i)-аддитивные шумы с заданными статистическими характеристиками, причем
(/fa.(r,f)} = 0, (Fk(r,t)} = 0. Детерминированный аналог системы (1) применяется
для исследования многообразных явлений в различных областях знаний: физике [В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно, 1987; B.C. Анищенко, 2009, С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин, 1981; В.И. Кляцкин, 2001; СМ. Рытов, 1976], химии [Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский, 2004; Ю.М. Свирежев, Д.О. Лагофет, 1978; В. Хорстхемке, Р. Лефевр, 1987], медицине [А.Л. Чуликов, А.В. Николаев, А.И. Лобанов, Г.Т. Гурия, 2000], экологии [М. Baurmann, Th. Gross, U. Feudel, 2006; M.R. Garvie, 2007; M.R. Garvie, С Trenchea, 2007; Q.-X. Liu, G.Q. Sun, B.L. Li, Zh. Jin, 2008; H. Malchow, 2000; H. Malchow, F.M. Hilker, S.V. Petrovskii, 2004; M. Scheffer, 1991], экономике [Ю. И. Аганин, 2008; СР. Амироков, И.Э. Наац, 2006; В.-Б. Занг, 1999; Е.Г. Пугачева, К.Н. Соловьенко, 2003].
Исследование эволюции стохастических пространственно распределенных систем может быть проведено различными методами. Одним из наиболее распространенных подходов является приближение среднего поля (MFT) [А.А. Zaikin, L. Schimansky-Geier, 1998; С. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, R. Kawai, 1997; M. Ibanez, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, J.M. Sancho, 1999; J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho, 1999; B. Linder, J. Garcia-Ojalvo, A. Neiman, L. Schimansky-Geier, 2004]. Этот подход позволяет предсказать существование шумоиндуцированного перехода «беспорядок-порядок-беспорядок». Однако он разработан только для однокомпонентных систем. Получаемое с его помощью уравнение Фоккера-Планка (УФП) имеет неявный вид и требует дальнейшего численного решения. Шаг получаемой при дискретизации непрерывного пространства системы (1) решетки выбирается подходящим образом, что подразумевает некоторый произвол при применении MFT. Подход дает удовлетворительное количественное соответствие с численным экспериментом вдали от точки бифуркации и может быть использован только в определенной области характерных пространственных и временных масштабов шумов. Еще один подход для изучения эволюции систем (1) в окрестности точки бифуркации основан на выводе обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау (ОУГЛ) [Н. Haken, 2004; S.E. Kurushina, 2012]. Но получаемые в результате ОУГЛ являются также стохастическими и требуют дальнейшего сложного математического анализа. Подход, использующий методы динамических ренормализационных групп, применяется только для одномерных однокомпонентных систем [W. Genovese, М.А. Munoz, J.M. Sancho, 1998, J.M. Sancho, J. Garcia-Ojalvo, H. Guo, 1998]. Анализ моментов функций состояния систем (1) и их структурных функций [J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho, 1996, С. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, R. Kawai, 1997], как правило, проводится численно или при аналитическом исследовании дополнительно используются другие приближения: корреляционное, MFT и др. Для системы (1) может быть записано функциональное УФП [Н. Haken, 2004; V.I. Klyatskin, 2005]. Однако нахождение его решения представляет значительную сложность, если вообще это возможно. Разрабатываются и другие методы, применяемые для исследования стохастических пространственно распределенных систем,
моделируемых интегро-дифференциальными уравнениями [A. Hurt, A. Longtin, L. Schimansky-Geier, 2008].
Представленные выше аналитические методы результативны в определенной области значений параметров задачи или имеют ограничения на число компонент или размерность пространства системы. Поэтому актуальным является разработка новых методов, позволяющих исследовать состояние систем (1) в более широкой области значений параметров самой системы и шумов или распространение известных приближенных аналитических методов для изучения многокомпонентных многомерных систем (1).
По причине значительной математической сложности аналитических методов, применяемых для изучения эволюции систем (1) и того факта, что большинство из них дает качественное соответствие с численным или натурным экспериментом, возникает необходимость дальнейшей разработки численных методов и алгоритмов для таких исследований.
Все вышеизложенное определяет актуальность темы исследования и позволяет сформулировать следующие цели и задачи исследования.
Цель диссертационной работы
Развитие аналитического подхода, основанного на обобщенных уравнениях Гинзбурга-Ландау, разработка и реализация численных методов и алгоритмов для исследования состояния многокомпонентных реакционно-диффузионных систем в присутствие внешних шумов и их применение к изучению динамики пространственных структур, возникающих в конкретных системах рассматриваемого типа.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
-
Получить УФП для параметров порядка и с его помощью изучить зависимость плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума при переходе через точку бифуркации Тьюринга.
-
Изучить динамику формирования диссипативных структур (ДС) при различных значениях радиуса корреляции внешнего случайного поля.
-
Провести численную оценку энтропии информации состояния пространственно распределенной системы (1) при процессе формирования ДС, что позволит судить о мере беспорядка в поведении системы.
-
Разработать комплекс программ для моделирования эволюции систем вида (1) и расчета статистических характеристик их функций состояния.
Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:
-
Получено уравнение Фоккера-Планка (УФП) для параметров порядка двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации Тьюринга с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ.
-
Найдено в явном виде стационарное решение полученного УФП для маргинального состояния. Это решение дает возможность установить наличие фазового перехода «беспорядок-порядок-беспорядок» в конкретных системах.
-
Предложен численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия.
-
На основании полученной оценки энтропии информации и численного исследования дисперсии функций состояния изучена эволюция ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума. Показано, что при приближении радиуса корреляции шума к одному из характерных пространственных масштабов системы наблюдается явление существенного замедления процесса формирования ДС
-
Разработаны подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия, полученное с точностью до слагаемых третьего порядка малости в ОУГЛ, и его стационарное решение для маргинального состояния.
-
Результаты аналитического исследования зависимости плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума.
-
Численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия. Результаты численного исследования эволюции ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума.
-
Подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.
Научная и практическая значимость
Разработанные методы и алгоритмы могут применяться при исследовании стохастических реакционно-диффузионных систем, а также в учебном процессе при подготовке магистров прикладных физики и математики, специализирующихся в области нелинейной динамики и статистической физики.
Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии), сравнением с известными теоретическими результатами и расчетами по другим алгоритмам, адекватностью полученных результатов и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.
Связь с государственными программами
Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ в рамках государственного задания Минобрнауки РФ вузам на 2012-2014 гг., № 2.560.2011 и гранта ФЦП
«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. №14.В37.21.0767.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертации были представлены на следующих Всероссийских и Международных конференциях: V международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 2009г), XVI международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Москва, 2009г.), XVII международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 20 Юг), VI международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 20 Юг), VII всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 20 Юг), V международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза 20 Юг), VII международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 2011г), XLII международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (г. Санкт-Петербург, 2011г), XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011 г), 16 научная школа «Нелинейные волны-2012» (г. Нижний Новгород, 2012г), XX международная школа-конференция «Биофизика сложных систем. Анализ и моделирование» «МКО 2013» (г. Пущино, 2013г).
Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программ, 13 трудов Международных и Всероссийских конференций.
Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке алгоритмов решения задач и их реализации. Автор осуществлял проведение численных экспериментов, обработку, анализ и интерпретацию полученных результатов.
Структура и объем диссертации
