Содержание к диссертации
Введение
1 Основные модели движения слоя жидкости на поверхности вращающегося цилиндра 18
1.1 Моделирование движений слоев жидкости и пленок 20
1.2 Методы исследования и построения решения моделей 22
1.3 Некоторые эксперименты о струях жидкости 27
2 Постановка задачи и основные уравнения 29
3 Модель течения с постоянным вихрем 32
5 Редуцированная модель - уравнение КдВ 38
2 Периодические решения задачи о движении слоя 46
6 Периодические решения уравнения (5.33) 48
6.2 О предельном решении при s — 0 60
7 Неустойчивость свободной поверхности при движении тон
7.2 Уравнения для описания движения тонких пленок 66
7.3 Метод годографа 67
7.4 Решение задачи на изохроне з
3 Слой жидкости на поверхности неподвижного цилиндра 78
8 Основные уравнения 80
9 Инварианты Римана 81
10 Метод годографа на основе законов сохранения 83
10.1 Задача Коши для уравнений (8.5) и (9.1) 84
10.2 Законы сохранения и задача Коши 85
10.3 Определение зависимости t = t(Rl, R2) 86
10.4 Определение функции р(R\ R2) 88
11 Слой на внутренней поверхности цилиндра 90
11.1 Приближение для функции Римана-Грина при S « 1 90
12 Слой на внешней поверхности цилиндра 97
12.1 Преобразование годографа 98
12.3 Решение задачи на изохроне 100
12.5 Анализ упрощенной модели 103
4 Программный комплекс компьютерного моделирования по ведения тонкого слоя жидкости на поверхности неподвиж ного цилиндра 118
13 Функциональное назначение продукта, область применения,
его ограничения 118
Заключение 127
Литература
- Некоторые эксперименты о струях жидкости
- Неустойчивость свободной поверхности при движении тон
- Метод годографа на основе законов сохранения
- Слой на внешней поверхности цилиндра
Введение к работе
Актуальность темы исследования определяется следующим.
Задачам о течении тонких и толстых слоев жидкости на внутренний и внешней поверхности вращающегося (и неподвижного) цилиндра посвящено большое количество работ. Такие задачи востребованы во многих приложениях, включая микроэлектронику жидкие антикоррозионные покрытия, микромеханику, биотехнологии, медицину и. т. д. В более крупных пространственных масштабах задачи о движении слоев сплошных сред, например в геологии, описывают течение магмы и распространение лавы. Прогресс в этих областях зависит от адекватности моделирования течения сплошной среды. В большинстве случае оказывается, что при моделировании механизмов движения вполне достаточно ограничиваться изучением движения идеальных сплошных сред, пренебрегая эффектами диффузии, вязкости, теплопроводности, физическими нелинейностями и т. п. Естественно, учет указанных эффектов дает возможность детализировать процесс, но именно «грубые» модели позволяют выявить основные наиболее важные черты поведения слоев жидкости, такие как опрокидование профиля свободной поверхности, возникновение и развитие на свободной поверхности пространственно-периодических структур, возникновение струеобразных движений и т. д.
Хорошей основой для моделирования являются различные варианты уравнений типа мелкой воды. Требуется сразу оговориться, что это не «чисто» гидродинамическая задача. Одна из причин, по которой задачу следует считать задачей именно математического моделирования, заключается в том, что процесс построения «высших» приближений теории мелкой воды является математически некорректной задачей и требует дополнительных предположений, отнюдь не всегда гидродинамических (в частности, выбор нужных переменных для описания, учет кривизны поверхности, по которой происходит движение и т.п.).
Все вышеперечисленное позволяет сделать вывод о том, что задача об исследовании поведения слоев жидкости на поверхности цилиндра является актуальной для понимания, моделирования и интерпретации многих важных физических процессов.
Целью диссертационной работы является моделирование при помощи аналитических, асимптотических и численных методов поведения толстых и тонких (пленки) слоев жидкости на внешней и внутренней поверхности цилиндра. Развитие методов, в частности вычислительных,
для решения квазилинейных гиперболических и эллиптических уравнений, создание комплекса программ для интерактивного вычислительного эксперимента в случае движения слоя по внутренней поверхности цилиндра.
Научная задача. Основная научная задача работы заключается в развитии математических моделей поведения слоев жидкости на внешней и внутренней поверхности цилиндра, численных методов и программного комплекса для анализа соответствующих начально-краевых задач. В соответствии с поставленной задачей в работе решаются следующие научные задачи:
Развитие математических моделей типа уравнений мелкой воды для описания движения слоя несжимаемой невязкой жидкости на внешней и внутренней поверхности цилиндра.
Построение асимптотических моделей движения слоев жидкости, в частности, амплитудных уравнений в окрестности характеристик бездисперсионных законов сохранения.
Разработка аналитических и численных методов исследования движения тонких слоев жидкости при помощи аналитического варианта метода годографа на основе закона сохранений.
Развитие асимптотических методов исследования построенных полных и редуцированных моделей.
Построение периодических решений, в том числе неустойчивых, для различных моделей движения слоев жидкости.
Разработка программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента о движении слоя жидкости по внутренней поверхности цилиндра.
Методы исследования. Для конструирования моделей движения слоя жидкости на искривленной поверхности при наличии внешних сил используются методы многомасштабных асимптотических разложений в сочетании с методом Лагранжа, применяемого при построении высших приближений уравнений типа мелкой воды. Для редуцирования полных моделей применяется асимптотический метод построений амплитудных уравнений. Для исследования построенных моделей использованы методы теории квазилинейных гиперболических уравнений, варианты метода годографа на основе законов сохранения, различные асимптотические методы и разработанные алгоритмы решения задач на линиях
уровня (изохронах), позволяющие сводит решения уравнений в частных производных к решению некоторых вспомогательных задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для проведения вычислительного эксперимента используются пакеты Maple, Mathematica и разработанный в среде программирования Turbo Delphi комплекс программ, реализующих численное решение задач на изохронах по оригинальным алгоритмам.
Обоснованность научных положений и достоверность результатов исследований обусловлена математически корректной постановкой задач, использованием апробированных методов и совпадением в частных случаях с известными экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.
Научная новизна.
-
В области математического моделирования. Сконструированы математические модели, описывающие поведение слоя жидкости на внутренней и внешней поверхности вращающегося с постоянной угловой скоростью цилиндра: модель с учетом дисперсионных эффектов, используемая для построения асимптотической модели (амплитудного уравнения), бездисперсионная модель — система квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Модели являются новыми и их можно использовать и в других задачах для описания движения слоев жидкости на искривленнных поверхностях. Показано, что в случае движения толстого жидкого слоя по внешней поверхности цилиндра на свободной поверхности слоя возможно возникновение бегущих нелинейных пространственно-периодических волн. Количество волн, их нелинейный профиль, скорость прецессии, в основном, определяется начальной толщиной слоя жидкости. Указана толщина слоя жидкости, при которой такие движения возможны. Показано, что в случае движения тонкого жидкого слоя (пленки) по внешней поверхности цилиндра, жидкая среда представляет собой неустойчивую сплошную среду, в которой возможно возникновение прецессирующих пространственно-периодических режимов движения с амплитудой возмущения свободной поверхности, неограниченно растущей со временем.
-
В области численных методов. Разработан численный метод решения систем двух квазилинейных уравнений гиперболического и эллиптического типа при помощи варианта метода годографа на ос-
нове законов сохранения. Метод позволяет строить решение задачи Коши для уравнений в частных производных на линиях уровня неявного решения (изохронах), сводя решение к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. В области программного обеспечения. На основе разработанного численного метода реализован комплекс программ, позволяющий проводить вычисления в интерактивном режиме для некоторого класса задач, в частности, рассмотренных в диссертации.
Теоретическая и практическая ценность работы. Проведенное исследование посвящено математическому моделированию движения слоев жидкости на внешней и внутренней поверхности цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Полученные результаты могут быть использованы для моделирования и исследования различных процессов, важных, в частности, для развития тонкопленочных технологий, например, для исследования жидких антикоррозионных покрытий, а также в микромеханике, биотехнологиях, медицине и т.д. Работа носит теоретический характер и вносит вклад в развитие методов построения решений квазилинейных и нелинейных уравнений в частных производных, как гиперболического, так и эллиптического типов. Применяемые в диссертации подходы могут быть использованы для исследования систем квазилинейных и нелинейных дифференциальных уравнений, в частности, при разработке специальных курсов для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.
Положения, выносимые на защиту.
В области математического моделирования:
-
Математическая модель, описывающая поведение слоя жидкости на внутренней и внешней поверхности вращающегося с постоянной угловой скоростью цилиндра с учетом дисперсионных эффектов.
-
Бездисперсионная модель — система квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, являющаяся моделью низшего приближения.
-
Асимптотическая модель (амплитудное уравнение), построенная на основе модели с учетом дисперсионных эффектов.
-
Результаты моделирования движения достаточно тонкого жидкого слоя (пленки) по внешней и внутренней поверхности вращающегося и неподвижного цилиндра.
-
Результаты моделирования движения толстого жидкого слоя по внешней и внутренней поверхности поверхности вращающегося и неподвижного цилиндра.
-
Результаты о движении неустойчивой сплошной среды, возникновении бегущих волн и других пространственно-периодических режимов движения слоя.
В области численных методов:
-
Численный метод решения систем двух квазилинейных уравнений гиперболического и эллиптического типа, построенный при помощи варианта метода годографа на основе законов сохранения.
-
Численный метод решения задачи на изохронах (линиях уровня неявных решений), позволяющий решать задачу Коши для уравнений в частных производных путем сведения исходной задачи к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Результаты вычислительных экспериментов, полученные при помощи разработанного численного метода — пространственно-периодические решения задачи о движении слоя жидкости по внутренней поверхности цилиндра.
В области программного обеспечения:
1. Комплекс программ, позволяющий проводить вычисления в интерактивном режиме и моделировать движение слоев жидкости по внутренней поверхности неподвижного цилиндра, а также исследовать некоторые аналогичные задачи о поведении слоя жидкости.
Реализация результатов работы. Полученные в диссертации результаты нашли применение в научно-исследовательских разработках кафедры вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ в рамках выполнения при поддержке базовой части проекта 213.01-11/2014-1 Министерства образования и науки РФ, Южного федерального университета, и гранта правительства Египта.
Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ. Из них 7 составляют статьи в реферируемых изданиях из списка ВАК [-], в том числе 4 статьи из базы данных Scopus, свидетельство о государственной регистрации программ для
ЭВМ [], 7 статей опубликовано в трудах конференций []-[], 2 изданные книги [, . В этих работах автор участвовал в выборе теоретической модели, методов решения, в обсуждении и анализе результатов, проводил вычисления и аналитические выкладки.
Результаты работы докладывались на следующих международных научных конференциях и научных семинарах:
«International Conference on Advances in Applied Mathematics and Mathematical Physics: Istanbul, Turkey», August 19-21, 2014; «The International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences», August 28-31, 2014, Madrid, Spain;
XVII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 14-17 октября 2014 г.); «International Conference on Mathematics and Information Science (ICMIS 2015)», February 5-7, 2015, Cairo, Egypt;
V Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», г. Ростов-на-Дону, 26 апреля-1 мая 2015 г.);
«International Conference on Numerical modeling of the coastal, shelf and estuarine processes», October 5-9, 2015, Rostov-on-Don, Russia; Научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной математики и математической физики института математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета под руководством проф. Жукова М. Ю. (2014 г. и 2015 г.)
Научно-исследовательский семинар кафедры математического моделирования института математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета под руководством проф. Наседкина А. В. (2015 г.)
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 155 страниц текста с 50 рисунками, 2 таблицами и 2 приложениями. Список литературы содержит 160 наименований.
Некоторые эксперименты о струях жидкости
Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы и приложения. Общий объем диссертации 155 страниц, включая 50 рисунков, 6 таблиц и 2 приложения. Список литературы содержит 160 наименований.
Во Введении приведен краткий обзор содержания работы, обоснована актуальность темы, изложены цели работы и методы исследования, представлена структура работы.
Первая глава посвящена конструированию основных математических моделей движения слоев жидкости, в том числе, тонких слоев (пленок), на поверхности вращающегося цилиндра.
В 1 содержится краткий обзор литературы, близкой к теме диссертационного исследования. В 1.1 приведен обзор литературы по математическим моделям движения слоев жидкости по различным поверхностям (плоским и искривленным), как правило, под действием силы тяжести. Включена литература не только о движении слоев жидкости, но и различные работы по моделям движения тонких пленок, в частности, стекающих по поверхностям, и некоторые работы по описанию струй в жидкости. В 1.2 содержится обзор литературы по методам исследования используемых в диссертационной работе моделей, в частности, по вариантам метода годографа, методам решений квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, методам построения амплитудных уравнений, методом исследования неустойчивых сплошных сред. В 1.3 приведено краткое описание некоторых экспериментальных работ, описывающих об 13 разование струйных течений вблизи поверхности вращающегося цилиндра. В 2 приведена постановка задачи и уравнения, служащие основой для построения модели — уравнения вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Здесь же поставлены кинематические и динамические условия на свободной поверхности слоя жидкости.
В 3 рассмотрена модель движения с постоянной завихренностью. Для построения замкнутой системы уравнений использован метод Лагранжа, позволяющий при помощи решения недоопределенной задачи для уравнения Лапласа сконструировать уравнения, включающие в себя лишь функции, заданные на свободной поверхности.
В 4 при помощи метода многомасштабных разложений построены две основные модели, описывающие поведение жидкого слоя со свободной границей на поверхности (внутренней или внешней) вращающегося цилиндра. Представлены две модели — модель «высшего» приближения, позволяющая учитывать дисперсионные эффекты, и бездисперсионная модель — система двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Указано, что при выводе моделей высших приближений имеется произвол в выборе переменных, описывающих движение слоя, что делает модель некорректной в смысле неоднозначности уравнений. Предложен набор дополнительных условий, позволяющих получить вполне определенную замкнутую модель. Построенные уравнения принадлежат к типу уравнений мелкой воды, в которых роль ускорения силы тяжести играет центробежное или центростремительное ускорение (в зависимости от внутренней или внешней поверхности). Кроме того, модель содержит члены, учитывающие кривизну цилиндрической поверхности.
В 5 базовые уравнения, полученные в 4, использованы для построения асимптотической модели — амплитудного уравнения, в окрестности характеристик бездисперсионной модели. Здесь также сделаны дополнительные предположения о малости деформаций свободной поверхности слоя, и для построения амплитудного уравнения вновь использован метод многомасштабных разложений. Полученное таким образом уравнение представляет собой уравнение Кортевега-де Вриза, а учет кривизны поверхности цилиндра, осуществлен при помощи специальных постоянных коэффициентов, вид которых определен исходной базовой моделью. Указано, что модель может использоваться и как независимая феноменологическая модель, способная описывать, вопреки сделанным предположениям о малости, достаточное большие деформации свободной поверхности слоя жидкости.
Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию пространственно-периодических решений для двух моделей — бездисперсионной модели и модели на основе амплитудного уравнения.
В 6 построено и исследовано пространственно-периодическое решение амплитудного уравнения (уравнения КдВ) для случая конечного отрезка. Такое решение соответствует движению слоя по внешней поверхности движущегося цилиндра. Показана, что физическая постановка задачи влечет дополнительные требования — конечное количество бегущих волн на конечном отрезке (длина окружности цилиндра), сохранение массы слоя жидкости. Кроме этого поставлено дополнительное условие, связанное с построением амплитудного уравнения, — решение должно оставаться в области гиперболичности. Представлены результаты расчетов и показано, в частности, что форма бегущих волн зависит от параметра нелинейности, который должен находится в некоторых указанных интервалах. В 6.1, 6.2 исследованы гармонический и солитонный пределы решений и показано, что гладкого решения с бесконечной длиной волны (решения типа солитона) в данной постановке задачи не существует.
В 7 построено и исследовано пространственно-периодическое решение бездисперсионной модели — системы двух квазилинейных уравнений. Показано, что тип таких уравнений в случае слоя на внешней поверхности движущегося цилиндра является эллиптическим. Это, в частности, означает, что слой представляет собой сплошную среду, относящуюся к классу квазигазовых неустойчивых сред. В 7.1 дана формулировка проблемы, доказана теорема о материальной производной для функций, заданных на свободной поверхности, и указан более прозрачный с физической точки зрения способ построения бездисперсионной модели. В 7.2 сделаны дополнительные предположения о толщине слоя жидкости и с учетом дополнительных предположений построена асимптотическая модель движения слоя. Указано, что построенные уравнения являются аналогом уравнений опрокинутой мелкой воды и для их исследования можно использовать методы, разработанные в [12, 118, 119, 142] — в частности, классический метод годографа (взаимозамена зависимых и независмых переменных). В 7.3 на основе указанных методов построено (по аналогии с уравнениями опрокинутой мелкой воды) так называемое мультипольное приближение решения. Решение представлено в аналитической неявной форме — пространственная координата и время определены как функции от толщины слоя жидкости и завихренности поля скорости ( 7.1). В 7.4 для построения решения в переменных исходной задачи использован разработанный численный метод — построение решения на семействе линий уровня (изохронах). В 7.5 построен пример решения, возникающего из некоторого постоянного решения задачи при t = — оо. Показано, что такое решение обладает пространственной периодичностью и при эволюции неограничено растет со временем (до некоторого конечного момента времени), сохраняя пространственную перидичность. В этом же параграфе приведены результаты численных расчетов для некоторых значений параметров задачи.
Неустойчивость свободной поверхности при движении тон
Указанный метод получил развитие в многочисленных работах, см., например, [23, 24, 28]. На практике, при решении конкретных задач, реализация метода наталкивается на существенные трудности. Одна из них — это определение функций w\r). Для систем хроматографии и изотахофореза явный вид таких функций был получен в работах [23, 24]. В случае, когда гиперболическая система состоит только из двух уравнений для и1, и2, она всегда приводится к инвариантам Римана г1, г2 и условие полугамильтоновости выполнено автоматически. По существу, это обычный метод годографа — замена ролями зависимых и независимых переменных.
Другой вариант метода годографа предложен в 2012 г. Сенашовым и Яхно [101]. Этот метод применим для решения системы двух квазилинейных уравнений, базируется на преобразовании законов сохранения для системы в инвариантах Римана, построении функции Римана-Грина для линейного гиперболического уравнения в частных производных второго порядка [14, 54]. Метод позволяет эффективно строить решение соответствующих задач Коши в неявной форме. Дальнейшее развитие метода и его модификации имеются в работах [13, 104, 105, 146-151, 155, 157, 159, 160], а также дано в 7.4 и 12.3 текста диссертации. Разработанная в указанных работах модификация метода (решение задачи на изохронах) позволяет сводить задачу Коши для двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к решению задачи Коши некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это фактически точный метод, однако ввиду сложности преобразований и формул, он требует для окончательной реализации использования численных методов. Важно, что конечно-разностная аппроксимация уравнений не используются и точность решения связана лишь с вычислительными погрешностями решений обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методами Рунге-Кутты.
Следует особенно отметить, что, с математической точки зрения, наиболее интересным является тот факт, что формально для применения всех перечисленных выше вариантов метода годографа гиперболичность системы квазилинейных уравнений вовсе не требуется. Такие методы можно эффективно применять и для решения системы двух квазилинейных эллиптических уравнений. В связи с этим упомянем работы [13, 146, 160], в которых исследованы задачи для эллиптических уравнений, и тесно связанные с ними по тематике работы [1, 2, 32, 33, 57, 89].
Для исследования амплитудных уравнений, в частности, варианта уравнения КдВ, применяемого в диссертационной работе для моделирования движения толстых слоев жидкости на внешней поверхности движущегося цилиндра, используются как хорошо известные, так и сравнительно недавно развитые методы. Начиная с пионерской работы [138], уравнение КдВ хорошо исследовано. Однако, как выяснилось, в случае построения периодических решений на конечном интервале (в данном случае на окружности цилиндра) такие исследования недостаточно полны. Для построения решения и исследования уравнений типа КдВ и для нелинейных уравнений в частных производных, используются обычно преобразования Хироты (билинейные формы Хироты), тест Пенлеве (для проверки интегрируемости), LA-пары Лакса, методы обратной задачи теории рассеяния, преобразования Ли-Бэклунда и др. (см., например, [39, 44, 45, 58, 59, 67, 93, 117, 131, 132, 135]).
Известный тест Пенлеве (помимо оригинальных работ Пенлеве, описан, в частности, в [55, 95]), широко применяется и является достаточно успешным методом изучения (при помощи анализа структуры сингулярности решений) интегрируемости нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Более поздняя версия теста Пенлеве позволяет непосредственно тестировать нелинейные уравнения в частных производных, без обращения к обыкновенным дифференциальным уравнениям [132]. Известны также эффективные алгоритмы теста, например, алгоритм Ablowitz-Ramane-Segur, метод Weissabor-Carnevale (WTC) и. т.д.
Широко применяется также алгоритм функции Tanh, главная идея которого заключается в использовании новой переменной Y = tanhz/ , что позволяет заменить исходную переменную {у — некоторый параметр) и все производные непосредственно через Y
Перечисленные методы позволяют строить решения типа бегущей волны, солитонные и кинкообразные решения (по поводу решений кинк, анти-кинк см„ например, [65, 137, 143]), решения типа кноидальных волн и т.п.
Разумный обзор большого количества экспериментов требует большого объема изложения и вряд ли уместен в тексте данной диссертации. Упомянем лишь, что практически во всей уже цитированной в 1.1 литературе имеется описание тех или иных экспериментальных результатов, связанных с движением слоев жидкости и тонких пленок по различным поверхностям (см, в частности, [29, 50, 72, 82, 85, 120]. Далее кратко приводятся некоторые данные об экспериментах, описывающие образование струйных течений, которые исследованы в упомянутых работах [7, 60, 91, 122-12
Метод годографа на основе законов сохранения
Если пренебрегать членами порядка О (є2) (то есть дисперсионными членами), то получится система квазилинейных уравнений (гиперболических или эллиптических) в частных производных первого порядка, записанная в консервативной форме
Уравнения (4.20), (4.21) являются аналогом уравнений мелкой воды. Это модель «низшего» приближения, исследование которой представляет самостоятельный интерес. В частности, возможно построить автомодельные решения системы, решения системы, отвечающие ударным волнам, а также решение задачи о распаде кусочно-постоянного начального разрыва (задачи Римана [27, 98]). Более того, именно в окрестности характеристик системы (4.20), (4.21) можно строить амплитудные уравнения для системы (4.18), (4.19), которые, как правило, хорошо описывают движение слоя жидкости в окрестности так называемых основных режимов течения. Укажем на две важные особенности системы (4.18), (4.19). в правой части уравнения (4.19) содержит производную по времени т. Этот член может быть преобразован при помощи того же уравнения (4.19). Для этого из (4.19) следует определить FT с точностью до 0{є2) и использовать его для вычисления Fw. Очевидно, что применение такого преобразования изменит правую часть уравнения (4.19) и приведет к новому уравнению модели движения слоя, которое имеет ту же точность, что уравнение (4.19). Данный пример как раз и демонстрирует некорректность построения модели — одна и та же процедура приводит к различным моделям процесса. 2. Возможен иной выбор неизвестных функций. В частности, вместо функции F, в качестве неизвестной можно выбрать величину v, используя, например, соотношение (4.10)
Разумеется, входящее в данное выражение v вычисляется на свободной границе. Последующее исключение функции F из системы (4.18), (4.19) приведет к уравнениям для функции Ди на свободной границе). Форма таких уравнений, как легко проверить, будет отлична от (4.18), (4.19).
Приведенный пример демонстрирует некоторый произвол в выборе неизвестных функций и указывает на важность дополнительной гипотезы моделирования — выбор переменных для описания процесса.
Дальнейшее упрощение базовых уравнений модели (4.18), (4.19), фактически аналога уравнений Буссинеска для классического варианта уравнений мелкой воды, возможно (см., например [9]), если рассматривать решение уравнений в окрестности какой-либо характеристики линеаризованных гиперболических уравнений (4.20), (4.21). Такое упрощение, называемое амплитудным уравнением, позволяет построить модель, которая описывает возмущения движения слоя жидкости в окрестности основного режима. В монографии [9] подробно классифицированы случаи некоторых типов уравнений, которые приводят к стандартным амплитудным уравнениям, например, уравнениям Кортевега-де Вриза (КдВ), уравнениям Гинзбурга-Ландау (ГЛ) и т.п. Тип уравнений (4.18), (4.19) таков, что a priopri следует ожидать редукции уравнений к уравнению типа уравнения КдВ или близкому уравнению, которое будет содержать дисперсионные члены, описывающие нелинейную зависимость между частотой и длиной волны возмущения основного режима.
В случае движущегося слоя, делая дополнительные предположения о порядках скорости и о порядках возмущения свободной поверхности, возможно конструировать модели различного уровня сложности. В частности, это означает, что можно использовать различные новые предположения о малости величин, которые необязательно связаны с теми, что были использованы при конструировании модели (4.18), (4.19). Для того чтобы подчеркнуть такую независимость далее используется два малых парамет 39 pa — новый /І и старый є2, которые впоследствии связываем друг с другом. Важно отметить, что полученные в данном разделе уравнения можно будет рассматривать и как новую независимую модель, отличную от (4.18), (4.19) и (4.20), (4.21), описывающую поведения слоя жидкости. Для построения амплитудного уравнения требуются характеристические направления А& (в данном случае два) системы (4.20), (4.21), которые, как нетрудно показать, имеют вид
Слой на внешней поверхности цилиндра
Исследована модель (5.33) или (6.1), описывающая движения слоя по внешней поверхности вращающегося цилиндра. Построены периодические решения, отвечающие бегущим волнам на свободной границе слоя. Для асимптотического варианта модели (4.20), (4.21) — уравнений (7.30), построено пространственно-периодическое решение.
1. Показано, что при построении решения уравнения КдВ на конечном отрезке (окружности) требования периодичности, сохранения массы жидкости и учет того, что решение должно оставаться в области гиперболичности, имеются параметры задачи, при которых такие решения возможны. Их выбор существенно ограничен, а форма бегущих волн и их количество т в основном определяются параметром нелинейности s (параметр эллиптической функции Якоби cn(y; s)). Указаны интервалы значений параметра s, при которых существуют волны конечной амплитуды ( 6).
2. Проанализированы гармонический (s - 0) и солитонный (s = 1) пределы решений. Показано, что для простейшей модели невозможно построить гладкое решение, соответствующее «бегущему» солитону (6.1, 6.2).
3. Показано, что для случая тонкого слоя жидкости (пленки), покрывающего вращающийся цилиндр, имеется пространственно-периодическое решение, которое неограничено растет за конечное время (7.2, 7.3).
4. Разработан и применен численный метод исследования, в случае, когда метод годографа приводит к неявной форме решения исходных уравнений модели. Представлены результаты вычислительного эксперимента, демонстрирующие поведение такой пленки жидкости (7.4, 7.5).
Целью данной главы является исследование поведения слоев жидкости на внутренней и внешней поверхности неподвижного цилиндра. В отличие от главы 2, в которой исследованы задачи для движущегося цилиндра и движение слоя жидкости предполагается вихревым (с постоянным вихрем скорости), здесь рассмотрен случай, когда движение слоя описывается потенциальным течением. Это не означает, что центростремительное или центробежное (в зависимости от внешней или внутренней стороны цилиндра) ускорения не играют никакой роли в описании движения. Такие ускорения возникают непосредственно в результате движения слоя и мало связаны, по крайней мере, в рассматриваемых моделях, с движением цилиндрической поверхности.
Для описания движения слоя используется модель (4.20), (4.21) (и некоторые ее асимптотические варианты), в которой вихрь скорости Q = 0. В этом случае полученные в 6, 7 результаты нельзя использовать автоматически, то есть, просто полагая Q = 0. Требуется использование иных, хотя и частично сходных с предыдущими методов решения поставленных задач. Конечно, в случае потенциального течения слоя, модель для его описания проще, в частности, для системы квазилинейных уравнений удается построить явный вид инвариантов Римана. Однако такая, на самом деле кажущаяся, простота позволяет использовать эффективные методы решения и получить большое количество информации о поведении слоя.
В 8 приведены основные уравнения в случае потенциального течения, в 9 для этих уравнений построены инварианты Римана. В 10 дана модификация сравнительно нового варианта метода годографа на основе законов сохранения, предложенного в [101]. Такая модификация позволяет в 11 аналитически построить асимптотическое решение задачи о движении слоя на внутренней поверхности неподвижного цилиндра. Проблема построения точного, а не асимптотического решения, заключается в трудности нахождения функции Римана-Грина для линейного уравнения в частных производных второго порядка. В 11.1 указана асимптотика функции Римана-Грина, справедливая для тонких слоев жидкости (пленок). Решение, хотя и является аналитическим, записывается, как это обычно происходит при использовании метода годографа, в неявной форме. Для построения явного решения используется численный метод, аналогичный методу 7.4, — построение решения на семействе изохрон. Результаты вычислительного эксперимента приведены в 11.2. Вычисления проводились при помощи разработанного комплекса программ, описанного в главе 4.
В 12 исследована задача о движении тонкого слоя на внешней поверхности цилиндра. В этом случае уравнения модели — квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка, имеют эллиптический тип. Формально, для их решения можно было бы использовать результаты 11, полагая в формулах 11.1 инварианты Римана комплексными. Однако анализ показал, что в данном случае гораздо эффективнее работает обычный, а не на основе законов сохранения, метод годографа (12.1), позволяющий построить набор частных решений (в неявной форме) методом разделения переменных (12.2). Как и ранее для построения явных форм решения использовано решение задачи на изохронах ( 12.3). Результаты расчетов даны в 12.4. Наконец, в 12.5 исследована упрощенная модель, сходная с моделью 7.2. Подтверждено, что тонкий слой (пленка) на внешней поверхности цилиндра представляет собой неустойчивую сплошную среду. Устойчивость исследована как при помощи линейного анализа, так и при помощи решения некоторого квазилинейного уравнения (упрощенной модели), позволяющего описать образование и эволюцию пространственно-периодического решения (неустойчивого), соответствующего возникновению режимов, напоминающих струи жидкости (см. рис. 12.17-12.19).
Предположим, что на поверхности бесконечно длинного неподвижного цилиндра имеется тонкий слой идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Для описания поведения такого слоя используем модель (4.20), (4.21) или ее вариант (7.19)—(7.23). В случае неподвижного цилиндра достаточно в уравнениях (7.19)—(7.23) положить Q = 0. Это можно интерпретировать двояким образом: цилиндр является неподвижным или рассматривается модель безвихревого движения. Обратим внимание, что Q = 0 и неподвижность цилиндра вовсе не означает отсутствие центробежного ускорения. Такое ускорение возникает в результате движения слоя по искривленной поверхности.