Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы моделирования динамики пучков заряженных частиц 14
1.1 Система уравнений Власова 14
1.2 Модели частиц 15
1.3 Макрочастицы в моделях частица-сетка 18
1.4 Постановка задачи моделирования потоков заряженных частиц в электростатическом приближении 20
1.5 Дискретизация задачи на расчетной сетке. Весовые функции 23
1.6 Концепция метода частиц в ячейках 25
1.7 Концепция итерационного метода 27
Глава 2. Численные алгоритмы в методах частица-сетка 30
2.1 Расчет траекторий частиц 30
2.1.1 Случай декартовых координат 31
2.1.2 Случай цилиндрических координат 32
2.1.3 Алгоритмы выбора шага интегрирования 33
2.2 Форма макрочастиц, расчет пространственного заряда и сил 35
2.2.1 Случай метода частиц в ячейках 35
2.2.2 Случай итерационного метода
2.3 Решение уравнения Пуассона 40
2.4 Методы расчета тока, ограниченного пространственным зарядом
2.4.1 Модель эмиссии Чайлда-Ленгмюра 42
2.4.2 Оптимизационный алгоритм в итерационном методе
2.4.3 Модель эмиссии Гаусса в итерационном методе 45
Глава 3. Комплекс программ для моделирования динамики пучков заряженных частиц в электростатическом приближении 51
3.1 Основные характеристики комплекса программ 51
3.1.1 Формат входных данных 52
3.1.2 Варианты использования
3.2 Общее описание архитектуры 55
3.3 Алгоритмы хранения, обработки и удаления частиц
3.3.1 Структура данных хранения частиц 60
3.3.2 Параллельная реализация методов частица-сетка с использованием OpenMP 62
Глава 4. Результаты моделирования эмиссионных устройств 68
4.1 Цилиндрический диод 68
4.1.1 Случай цилиндрических координат 68
4.1.2 Случай декартовых координат 4.2 Диод с эллиптическим эмиттером 76
4.3 Источник радиально сходящегося пучка электронов триодного типа 4.3.1 Параметры источника 79
4.3.2 Исследование дефокусирующего эффекта ускоряющей сетки 81
4.3.3 Траектории и вольт-амперные характеристики 86
Глава 5 STRONG Моделирование и оптимизация ускорителя с переменно-фазовой фокусировкой 92
5.1 Ускоритель с ПОКФ STRONG 92
5.2 Расчет геометрии резонатора с ПФФ
5.2.1 Модель динамики пучка 94
5.2.2 Расчет последовательности синхронных фаз 98
5.2.3 Генератор трехмерной компьютерной модели резонатора 99
5.2.4 Методика выбора геометрии периодов
5.3 Результат расчета резонатора на периодов 106
5.4 Задача оптимизации
5.4.1 Постановка задачи 108
5.4.2 Метод оптимизации 109
5.4.3 Результаты численной оптимизации 112
Заключение 116
Список литературы
- Постановка задачи моделирования потоков заряженных частиц в электростатическом приближении
- Алгоритмы выбора шага интегрирования
- Варианты использования
- Источник радиально сходящегося пучка электронов триодного типа 4.3.1 Параметры источника
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время различные установки, предназначенные для генерации и формирования пучков заряженных частиц (ускорители, токамаки, электронные и ионные источники и т. д.), интенсивно развиваются и применяются в широком спектре прикладных задач. В частности, одними из крупных текущих проектов являются проекты NICA (Россия), SuperKEKB (Япония).
При этом важное значение приобретают разработки в области построения ускорителей с фокусировкой ускоряющим полем. Подобная фокусировка осуществляется, например, в линейных ускорителях с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ), принципы которой были разработаны В. В. Владимирским, И. М. Капчинским, В. А. Тепляковым, и с переменно-фазовой фокусировкой (ПФФ). В. В. Кушиным была разработана методика повышения эффективности ПФФ. Также отметим в этих областях работы U. Ratzinger, W. Lysenko, Y. Iwata, С. Минаева, С. Полозова, Д. А. Овсянникова, А. Д. Овсянникова, Ю. А. Свистунова, О. И. Дривотина, посвященные вопросам разработки и оптимизации данных ускорителей. Несмотря на значительный прогресс в вопросах разработки ускорителей с ПФФ, при ускорении пучка с высоким значением тока, может наблюдаться некоторое ухудшение его характеристик по сравнению со слаботочным пучком. Общих универсальных методик выбора параметров резонаторов ускорителей с ПФФ, обеспечивающих минимизацию эффектов этого явления, в настоящее время не существует. Поэтому актуальными являются проблемы разработки данных ускорителей и улучшения качества пучков. Один из способов обеспечения желаемого результата — применение специального математического аппарата теории управления, позволяющего строить эффективные направленные методы оптимизации параметров ускорителя. Отметим, что задачи управления динамикой пучков заряженных частиц, впервые были поставлены и изучены в работах Д. А. Овсянникова.
Различные источники электронов могут применяться, например, для облучения мишеней с целью обработки их поверхностей. При нормальных условиях источник достигает стационарного состояния, которое продолжается в течение длительности импульса генератора напряжения. При этом ток эмиссии
электронов и ионов в таком режиме зачастую ограничен пространственным зарядом.
Как в случае линейных ускорителей, так и источников электронов, динамика пучков заряженных частиц описывается с помощью системы уравнений Власова. В настоящее время численные методы частиц, в частности, эйлерово-лагранжевые методы частица-сетка, являются наиболее эффективным средством для решения уравнения Власова. Отметим работы R. W. Hockhey, В. А. Вшив-кова, А. С. Рошаля, В. М. Свешникова, J. J. Watrous, В. П. Ильина, Г. Т. Головина, посвященные методам частиц. Среди методов частица-сетка наиболее широко используется метод частиц в ячейках. В случае независимости от времени рассматриваемого процесса (например, стационарное состояние источника), возможно применять более экономичный и быстрый итерационный метод.
Обычно в задачах с эмиссией, ограниченной пространственным зарядом, совместно с итерационным методом применяются модели, основанные на одномерных аналитических решениях Чайлда и Ленгмюра. Но, в случае криволинейной эмиттирующей поверхности, применение этого подхода может привести к возникновению существенных ошибок в решении. Этот факт составляет основной недостаток итерационного метода. Итерационный метод представляется достаточно перспективным для использования. Однако, в связи с недостатком моделей эмиссии Чайлда-Ленгмюра, разработка новых алгоритмов, позволяющих корректно расчитывать распределение плотности тока эмиссии в режиме ограничения тока пространственным зарядом, является актуальной проблемой вычислительной математики.
Цель диссертационной работы заключается в развитии методов математического моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц.
Методы исследования. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, используются методы математического моделирования, вычислительной математики, математической физики, дифференциальных уравнений, физики пучков заряженных частиц, теории управления и оптимизации, объектно-ориентированного программирования.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Метод расчета плотности тока эмиссии, ограниченного пространствен
ным зарядом, для итерационного метода решения самосогласованных электро
статических задач.
2. Результаты расчетов динамики пучков в различных эмиссионных
устройствах (в том числе в источнике электронов триодного типа ГЕЗА 4м).
3. Математическая модель и алгоритм оптимизации динамики пучка тра
екторий, в которой программное управление является кусочно-постоянной функ
цией с точками переключения, зависящими от значений функции.
4. Результаты оптимизации параметров ускорителя дейтронов с
переменно-фазовой фокусировкой.
5. Комплекс программ моделирования динамики пучков заряженных ча
стиц в электростатическом приближении и для расчета параметров ускорителей
с переменно-фазовой фокусировкой.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Разработан метод расчета плотности тока эмиссии в режиме ограничения пространственным зарядом при использовании итерационного метода решения стационарной самосогласованной задачи. Эффективность метода (возможность получать более точные решения в случае криволинейной эмиттиру-ющей поверхности) по сравнению со стандартным подходом (модель Чайлда-Ленгмюра) подтверждена на примерах расчета характеристик различных эмиссионных устройств.
Рассмотрена новая постановка задачи оптимизации динамики пучка траекторий с программным управлением в виде кусочно-постоянной функции, в которой точки переключения управления зависят от самих значений функции. Получено аналитическое представление градиента функционала качества и сформулированы необходимые условия оптимальности. В качестве примера применения предложенной модели оптимизации проведена численная оптимизация последовательности синхронных фаз для ускорителя дейтронов с переменно-фазовой фокусировкой.
Разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования динамики пучков заряженных частиц в электростатическом приближении и расчета параметров ускорителей с переменно-фазовой фокусировкой. В программном
комплексе реализованы разработанные в рамках диссертации математическая модель и алгоритм оптимизации динамики пучка траекторий и метод расчета плотности тока эмиссии. Поддерживается возможность использования различных систем координат при расчетах. Процесс вычислений оптимизирован под работу на системах с общей памятью с использованием стандарта OpenMP.
Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.
Научная и практическая ценность работы состоит в создании эффективного метода расчета плотности тока эмиссии с криволинейной эмиссионной поверхности при использовании итерационного метода, разработке математической модели и алгоритма оптимизации динамики пучка в случае функции программного управления специального вида, а также в создании необходимого для расчетов программного обеспечения. Разработанные модели, методы и программы могут быть использованы при расчете различных эмиссионных устройств и ускорителей, а также при проектировании и оптимизации ускорителей с переменно-фазовой фокусировкой.
Результаты работы являются составной частью исследований, выполняемых в Санкт-Петербургском государственном университете в рамках следующих проектов, в которых соискатель является официальным исполнителем:
НИР 9.38.673.2013 "Развитие теории математического моделирования и оптимизации динамики пучков";
Международный контракт 9.21.1718.2015 "Численное моделирование сходящихся электронных пучков в цилиндрических импульсных устройствах".
Степень достоверности и апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: IVESC-2014 (International Vacuum Electron Sources Conference, 2014, Санкт-Петербург); BDO-2014 (Beam Dynamics and Optimization, 2014, Санкт-Петербург); LINAC14 (27th Linear Accelerator Conference, 2014, Женева); ВСПУ-2014 (XII Всероссийское совещание по проблемам управления, 2014, Москва); XI Международный семинар по проблемам ускорителей заряженных частиц памяти В. П. Саранцева (2015, Алушта);
SCP-2015 (III International conference stability and control processes, 2015, Санкт-Петербург).
Публикации. Основные положения диссертации изложены в 15 опубликованных в печати работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК и 7 опубликованы в изданиях, индексируемых в Scopus.
Личный вклад автора. Все положения, выносимые на защиту, получены лично автором.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 130 страниц, среди них 5 таблиц и 59 рисунок. Список литературы включает 109 наименований.
Постановка задачи моделирования потоков заряженных частиц в электростатическом приближении
В настоящее время наиболее популярными методами типа частица-сетка для решения задачи (1.17)-(1.23), (1.24), (1.26) являются метод частиц в ячейках и итерационный метод.
Метод частиц в ячейках естественным образом моделирует процесс движения частиц в электромагнитных полях с учетом их собственного влияния друг на друга. Для этого необходимо выбрать шаг дискретизации по времени At и инжектировать макрочастицы в расчетную область на каждом шаге, исходя из дискретизации начальных условий (1.22), добавляя их к уже существующим частицам. При этом, каждой макрочастице должен быть приписан некоторый заряд qai, определяемый по плотности тока эмиссии в некоторой малой окрестности точки ее вылета и шагу At. На каждом шаге решаются уравнения поля (1.17) (1.18) с учетом распределения пространственного заряда и токов, рассчитанных с помощью (1.28) и (1.29), вычисляется сила, действующая на частицы (1.31), (1.32) и рассчитываются их новые положения и импульсы, исходя из уравнений движения макрочастиц (1.21). Для потоков, эмиссия которых ограничена пространственным зарядом, на каждом шаге необходимо каким-либо образом определять ток эмиссии исходя из условия (1.26). Так же, на каждом шаге для всех частиц должны быть проведены проверки пересечения ими границ расчетной области и поглощенные частицы должны быть исключены из дальнейшего процесса расчета. Схема алгоритма метода частиц в ячейках представлена на рис. 1.3.
Если характеристики источника обеспечивают достижение им стационарного режима работы (например нет осциллирующих потоков, запирающих эмиссию), спустя некоторое время, потоки заряженных частиц естественным образом вой 26 дут в стационарную стадию, при которой ток эмиссии, плотность заряда и токов будут постоянными. Одно из этих условий может служить критерием окончания расчета, например Ig(t + At) - Ig(t) Ia(t + At) a (1.33) Єї, l...Na, Ia(t + At) где Ia(t) — ток эмиссии потока с номером а в момент времени t, ej — некоторая заранее заданная точность. Иначе, если стационарный режим не достигается, критерием окончания может служить ограничение по временному итервалу
Концепция итерационного метода основана на том предположении, что задача (1.17)-(1.23), (1.24), (1.26) имеет стационарное решение, откуда следует недостаток этого метода — в случае отсутствия стационарных решений, его применение не даст никакого результата.
Пусть рд и }д — значения плотности заряда и плотности тока в узлах расчетной сетки, д = l...Ng. Концепцию итерационного метода можно сформулировать используя следующее рассуждение: если задача (1.17)-(1.23), (1.24), (1.26) имеет стационарное решение, это означает, что ри, }д не зависят от времени. При этом, поток частиц, проходящий в расчетной области, не вызывает изменения распределения плотности пространственного заряда в ней, что эквивалентно следующему уравнению Pg = f(Pg g = l...Ng. (1.34) Здесь функция fc представляет собой последовательность следующих операций: 1. решение уравнений поля (1.17), (1.18) с использованием сеточных распределений заряда рд, }д; 2. расчет плотноcти тока эмиссии потоков исходя из условия (1.26); 3. решение уравнений движения макрочастиц (1.21); 4. расчет распределения пространственного заряда в соответствии с (1.28), (1.29). В том случае, если оператор fc является сжимающим, для решения уравнения (1.34) можно применять метод простой итерации (1.35) где п — номер итерации. Функция fc при этом определяется с некоторой погрешностью, т. е. ее реальное значение будет равно fc(ph) = f(ph)(l + e(ph)). (1.36) Здесь e(ph) — относительная погрешность вычисления точного значения f(ph). При расчете pi, согласно (1.35), значение f(ph)e(ph) будет вносить свой вклад в величины pi, что может привести к существенным колебаниям решения. Для подавления вклада погрешности f(ph)e(ph) в решение можно использовать такой подход: уравнение (1.34) будет эквивалентно следующему ph = fc(Ph) + (1 - ш) {ph - fc{ph)) = (1 - uj)ph + cufc{ph), (1.37) где UJ Є (0,1] — вещественное число. Для решения уравнения (1.37) используется метод простой итерации р1 = (1- uj)pnh 1 + ujfc{pnh-1). (1.38) Учитывая (1.36), (1.38) перепишется как р1 = (1- uj)pnh-1 + ujfipl 1) + e{ph)ujf{pnh-1). (1.39) Уменьшая коэффициент ш, можно уменьшить вклад погрешности e(ph)oof(p 1) в вычисление p nh, при этом замедляя сходимость. Для остановки итерационного процесса (1.39) применяется критерий
Здесь pns — плотность заряда на п итерации в s узле расчетной сетки, Nh — число узлов сетки, єцег — заранее определенная точность. Схема алгоритма итерационного метода представлена на рис. 1.4. ( Старт J Расчет электромагнитных полей нет Расчет тока эмиссии на новой итерации Подавление вклада погрешности в решение Инжекция частиц в расчетную область да нет Интерполяция полей, действующих на частицу 1 f Вычислениеновых координати импульсов частиц Накоплениепространственногозаряда и токов Проверкаграничных условийдля частиц(поглощение,отражение) Рисунок 1.4: Схема итерационного метода Глава 2 Численные алгоритмы в методах частица-сетка Рассмотрим в данной главе детальное описание численных методов, которые будут применяться в дальнейшем при решении задач с помощью итерационного метода и метода частиц в ячейках.
Интегрирование траекторий макрочастиц как правило является наиболее трудоемким этапом в методах частица-сетка, поскольку число макрочастиц может достигать порядков 105, при этом каждую траекторию необходимо рассчитывать отдельно от остальных. Среди множества явных методов интегрирования траекторий частиц [33, 42, 74], стандартом де-фактов в программах для моделирования динамики пучков и плазмы стали метод с перешагиванием в случае электрических сил [75] и схема Бориса [76–79] с случае наличия магнитного поля. Перечислим основные причины популярности этих методов [78,79]:
Второй порядок точности при необходимости только одного вычисления силы, действующей на частицы на каждом шаге. При этом, другие методы, такие как метод Рунге-Кутты второго порядка требуют двух вычислений силы на каждом временном шаге.
Метод с перешагиванием и схема Бориса обратимы по времени. Ошибки аппроксимации законов сохранения полной энергии и момента импульса, возникающие при расчете данными методами, ограничены. Данные методы достаточно устойчивы при расчете длинных траекторий.
Алгоритмы выбора шага интегрирования
В некоторых работах, например [42, 46] предлагается подход, который заключается в прямом нахождении функции плотности тока эмиссии из условия равенства нулю электрического поля на катоде. В предложенном в работе [42] подходе предлагается аппроксимировать плотность тока эмиссии с помощью кусочно-постоянной функции, заданной с помощью набора значений в точках старта траекторий с последующим применением многомерного метода Ньютона. При этом задача определения тока, ограниченного пространственным зарядом, сводится к набору задач с известным током эмиссии. Такой метод требует значительного объема вычислений — в общем случае для расчета производных необходимо решить число задач с известным током эмиссии, равное числу точек, задающих функцию распределения плотности тока.
Однако объем вычислений, требующийся в данном методе, можно существенно сократить с помощью следующего подхода. Для двумерных и осесим-метричных задач в случае эмиттера, представляющего собой некоторую кривую, представим плотность тока в виде полинома [53,56] N p=0 (2.26) В (2.26) I - длина кривой эмиттера от некоторой начальной точки до точки на эмиттере, в которой определяется плотность тока, с-\,..., см — параметры, подлежащие определению. В таком случае напряженность электрического поля на эмиттере будет являться функцией от параметров с-\,..., см и условие (1.26) будет эквивалентно задаче минимизации вектор-функции
Тогда для нахождения параметров сі,..., слг, определяющих распределение тока эмиссии, будем использовать модифицированный метод Ньютона [86] где 1к — ток эмиссии на к-й итерации; е\ — заранее определенная точность. Выбор метода решения обусловливается тем, что для вычисления производной функции (2.27) требуется большой объем вычислений, при этом модифицированный метод Ньютона позволяет использовать только производную, рассчитанную на первом шаге.
В соответствии с вышесказанным приведем оптимизационный алгоритм нахождения тока эмиссии: 1. Выбирается равномерное начальное распределение плотности тока эмиссии, итерационным методом решается задача (1.18)-(1.23). 2. Вычисляются матрица Якоби функции (2.27) c использованием каких-либо методов численного дифференцирования. 3. Определяется новое приближение тока эмиссии с помощью (2.28). 4. Решается задача (1.18)-(1.23). 5. Пункты 3-4 повторяются до достижения выполнения условия (2.29). 2.4.3 Модель эмиссии Гаусса в итерационном методе Алгоритмы для нахождения тока, ограниченного пространственным зарядом, основанные на применении закона Гаусса для ячеек сетки, находящихся вблизи эмиттера, используются во множестве программ,реализующих метод частиц в ячейках [87]. Применение этого подхода в методе частиц в ячейках не составляет труда и дает достаточно точный результат. Далее в предлагается алгоритм применения модели эмиссии на основе закона Гаусса к итерационному методу [58].
Создадим дополнительную сетку, состоящую из прямоугольных гексаэдраль-ных ячеек ("эмиттирующих ячеек"), таким образом, что одно ребро каждой из ячеек лежит на эмиттирующей поверхности. В дальнейшем рассмотрим алгоритм для двумерного случая (рис. 2.5). Для трехмерного случая алгоритм стро ится аналогично. Обозначим каждую эмиттирующую ячейку как Cj,j = 1... Nc и длины их ребер как Ьет и Нет. Для каждой эмиттирующей ячееки с номером j будет выполняться закон Гаусса / EndS = Qt/e0. (2.30) дСі Риcунок 2.5: К модели эмиссии частиц. Пунктирными линиями обозначены эмиссионные ячейки, сплошной жирной линией обозначена поверхность эмиссии, сплошными линиями обозначены ячейки расчетной сетки
Здесь дСг - поверхность Сг ячейки, Еп — нормальная компонента электрического поля к поверхности ячеки, Qt - пространственный заряд, находящийся в Сг ячейке сетки. Для задач с током, ограниченным пространственным зарядом, поток вектора электрического поля через поверхность эмиссии будет равен нулю. Таким об разом, численно в двумерном случае закон Гаусса (2.30) для С І ячейки может быть представлен как J2fJS = Qj/e0. (2.31) s=1 Здесь fi — поток вектора напряженности через расположенные в вакууме ребра j эмиттирующей ячейки. Эти значения известны из решения уравнения поля на каждой итерации метода. В трехмерном случае интегрирование закона Гаусса будет производиться аналогично: необходимо использовать потоки вектора напряженности через расположенные в вакууме грани эмиттирующих ячеек. Вве 47 дем новую индексацию для макрочастиц: сопоставим номер jp макрочастицам, эмиттированным внутри ячейки С, р = 1,..., N, . Обозначим суммарный ток всех частиц эмиттированных внутри одной ячейки Cj как Icj. Значение 1сй можно вычислить следующим образом: % lc3 = Y.lb к=\ Общий заряд находящийся внутри некоторой эмиттирующей ячейки с номером і может быть представлен в виде линейной комбинации суммарных токов Nc Qi = Y2aijICj. (2.32) Здесь aij - коэффициент, определяющий вклад тока ICj в суммарный заряд Сг ячейки. Рассмотрим алгоритм вычисления коэффициентов a{j. Сопоставим число Кл = L 1С. каждой макрочастице с номером %. В процессе расчета необходи Jp Jp/ v-yJ J J/ мо вычислять пространственный заряд, вносимый траекториями всех макрочастиц в ячейки сетки следуя приведенному выше алгоритму. Каждый k-й участок [г , г + / ] траектории макрочастицы с номером jp вычисленный с помощью схемы с перешагиванием, или Бориса, полностью расположенный внутри некоторой эмиттирующей ячейки Ср (г "1/2 Є Ср и г +1/2 є Ср) вносит заряд AtJpIJp в нее (Atn временной шаг интегрирования для макрочастицы с номером jn). Введем функцию F(rb г 2, CJP)
Варианты использования
Величина провисания зависит от напряжения катод-сетка и влияния собственного пространственного заряда пучка. При этом пространсвенный заряд электронов увеличивает провисание, а заряд ионов уменьшает его.
Провисание потенциала между проволоками будет приводить к тому, что электрон, пролетающий между ними, будет притягиваться к ближайшей проволоке.
При отсутствии начального углового разброса электронов, сетка будет де фокусировать, однако этот эффект достаточно мал, что не будет приводить к пролету электронов мимо мишени. На рис. 4.19 представлены траектории электронов при напряжении катод-сетка 30 кВ (ток электронов ограничен пространственным зарядом, ток ионов не учитывается).
Далее проанализируем совместное воздействие начального углового разброса электронов и сетки на фокусировку пучка. Предполагается максвелловское распределение электронов по азимутальной компоненте скорости v .
Здесь m и e — масса и заряд электрона, T — температура эмиттирующей плазмы, выраженная в электронвольтах, f(v) — функция распределения плотности.
При наличии азимутальной компоненты скорости, воздействие азимутальной компоненты электрического поля вблизи проволок сетки может быть как фокусирующим, так и дефокусирующим (рис. 4.20). Проводился расчет траекторий электронов до момента первого прохождения мишени в случае учета и без учета компоненты электрического поля Е для напряжения катод-сетка 30 кВ и разных температур эмиттера. Проводилась дискретизация начальных данных по 100 положениям на эмиттере и 40 азимутальным скоростям в соответствии с выражением 4.2. Для каждого результата расчитывалось значение отношения тока мишени к току эмиссии It/h.
Из рис. 4.20 можно сделать вывод, что общий эффект сетки - дефокуси-рующий, но он достаточно мал по сравнению с дефокусировкой, которую дает начальный угловой разброс. Наличие ионного потока также уменьшает эффект дефокусировки сеткой. Таким образом, в дальнейших расчетах, азимутальная компонента электрического поля учитываться не будет.
Как было показано в предыдущем разделе, азимутальное электрическое поле не оказывает существенного влияния на движение частиц в источнике. В связи с этим в дальнейшем будем проводить расчеты с использованием осесимметрич-ных координат. Работа источника также будет зависеть от такого фактора, как способ подключения генератора напряжения к аноду. Существует два варианта подключения — с одной и с двух сторон анода. В зависимости от типа подключения, будут создаваться различные конфигурации собственного магнитного поля пучка электронов. Наиболее эффективным и интересным является вариант двухточеного подключения, который будет рассмотрен далее. В таком случае в задаче также присутствует и центральная симметрия. Расчетная модель источника с используемыми граничными условиями представлена на рис. 4.22. Электроны, попадающие на анод создают ток, порождающий азимутальное магнитное поле. Во всех расчетах производится учет этого поля с помощью решения уравнения Ампера в интегральной форме. Для исследования стационарных режимов работы использовался итерационный метод с моделью эмиссии, основанной на законе Гаусса на сетке с шагами hr = 1 мм, hz = 5 мм. Для исследования нестационарных режимов работы использовался метод частиц в ячейках с меделью эмиссии Чайлда-Ленгмюра на сетке с шагами hr = 2.5 мм, hz = 10 мм. подключения генератора При достаточно низких температурах като напряжения да (до 20 эВ), часть осциллирующих электро нов достаточно мала и не влияет на работу источника. Далее рассмотрим более подробно этот случай. Был проведен ряд расчетов при различных напряжениях катод-сетка и катод-анод для электронного монопотока и биполярного потока (ионы H+ стартуют с анода). Траектории электронов и ионов в стационарном режиме представлены на рис. 4.23, (a), (б). Наличие потока ионов приводит к 30–100% увеличению электронного тока (см рис. 4.24). Для любого радиуса сетки и напряжения катод-анод, существует критическое значение напряжения катод-сетка. (рис. 4.25). Например, при радиусе сетки rg = 0.1 м и напряжении Ua = 120 кВ, критическое значение Ug = 25 кВ. В случае, когда значение Ug меньше критического, источник работает стабильно, траек 88 тории электронов и ионов ламинарны, токи достигают постоянных значений в течение нескольких десятков наносекунд, распределения плотности мощности на мишени равномерны (рис. 4.26).
Когда Ug превышает критическое значение, источник работает в нестационарном режиме, токи не достигают постоянных значений, траектории частиц неламинарны. Под действием азимутального магнитного поля, создаваемого током на мишени, электроны с краев источника разворачиваются, не долетая до мишени и двигаются в сторону центральной частиц источника, что приводит к неравномерности распределения плотности мощности на мишени(см рис. 4.23, (в) и рис. 4.27 где приведены результаты расчетов для Ug = 40 кВ).
Источник радиально сходящегося пучка электронов триодного типа 4.3.1 Параметры источника
Таким образом, расчет электромагнитного поля внутри резонатора с учетом его конструкционных особенностей является неотъемлемым этапом процесса проектирования ускорителя. Для проведения данных расчетов удобно иметь трехмерную компьютерную модель ускорителя. Как правило, для данных целей используются различные форматы computer-aided design (CAD) геометрии. Рассмотрим далее вопросы разработки системы автоматизированной генерации компьютерной модели геометрии резонатора с использованием интегрируемого интерфейса COMSOL LiveLink для системы MATLAB [21].
Создание CAD моделей резонаторов вручную для последующего расчета электромагнитного поля является трудоемкой задачей. В силу простоты математических моделей, используемых для оценки параметров на первом этапе, реальное распределение полей зачастую оказывается далеко от желаемого и требует корректировки с помощью изменения геометрии. Важнейшим параметром, определяемым геометрией структуры, является резонансная частота, учет которой затруднительно заложить в простые модели. Таким образом, в силу сложности редактирования модели резонатора при необходимости изменения некоторых параметров и высокой вероятности внесения ошибок человеком, создающим модель в стандартном CAD редакторе, данный подход является неэффективным.
Соответственно, основным требованием к генератору компьютерной модели является возможность вызова подпрограммы автоматической генерации по рассчитанным на первом этапе проектирования первым приближениям к параметрам резонатора.
Также генератор должен обладать интерфейсом обмена данными компьютерной модели с подпрограммой расчета электромагнитного поля или внешнего пакета моделирования.
Основываясь на данных требованиях, основой для построения генератора был выбран Comsol LiveLink. Пакет Comsol Multiphysics позволяет производить решение широкого круга физических задач, при этом модуль LiveLink осуществляет интеграцию с системой MATLAB, предоставляя возможность с помощью кода MATLAB управлять функциями Comsol (создание геометрии, генерация сетки, запуск решателя, экспорт данных, экспорт CAD файлов геометрии и т. д.).
Все многообразие инструментов MATLAB остается в силе, позволяя задавать параметры геометрии через переменные и массивы, а также применять условия и циклы, что является неоспоримым преимуществом по сравнению с ручным вводом значений в пользовательском графическом интерфейсе Comsol. Наряду с этим используется специальный синтаксис LiveLink для получения трехмерной модели ускорителя. В начале работы MATLAB-программы импортируется класс Comsol, а при завершении сохранение ведется напрямую в файл Comsol со стандартным расширением .mph. Помимо простых операций наподобие создания цилиндра определенного радиуса и высоты, в инструментарий LiveLink входят и функции более высокого уровня, позволяющие, к примеру, вращать рабочую плоскость (круг на рабочей плоскости после данного процесса преобразуется в тор). Применение булевых операций — объединения, пересечения, разности — к объектам возможно с сохранением исходных границ, в то время как по умолчанию результат операции рассматривается впоследствии как единый объект [106].
Созданная генератором модель геометрии может быть экспортирована в различные сторонние пакеты программ, предназначенные для расчета электромагнитных полей. Comsol LiveLink поддерживает экспорт в CAD форматы .stl, .sat, а также во внутренний формат Comsol — .mph. Рассмотрим далее задачу расчета собственной частоты и собственных колебаний резонатора средствами решателя Comsol.
Рассмотрим трехмерную область (область резонатора), ограниченную поверхностью S. Вектор напряженности электрического поля E внутри этой обла 102 сти удовлетворяет уравнению Гельмгольца [107] V х (ц;1\/ х Е) - к$єгЕ = 0. (5.10) Здесь цг и ег — относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости соответственно, ко = uj fioSo = UJ/C — волновое число.
Уравнение (5.10) также должно быть дополнено граничными условиями, соответствующими решаемой задаче. В случае нахождения собственных колебаний в резонаторе ускорителя, граница решаемой области будет представлять собой идеально проводящую поверхность. Тогда nxEs = 0. (5.11) Решение задачи (5.10), (5.11) в дальнейшем будет производить с помощью конечноэлементного решателя Radio Frequency, Electromagnetic Waves пакета COMSOL. Вызов решателя и получение результата также возможно производить с помощью кода MATLAB.