Содержание к диссертации
Введение
1 Вводная. Постановка задачи исследования 9
2 Математическое моделирование полевой электронной пушки с катодом цилиндрической формы 15
2.1 Математическое моделирование диодной системы с катодом цилиндрической формы 17
2.1.1 Постановка задачи расчета полевых катодов цилиндрической формы с острой кромкой и с закругленной вершиной 17
2.1.2 Математическая модель полевого катода цилиндрической формы с острой кромкой 19
2.1.3 Заключение 22
2.2 Математическое моделирование диодной системы со сплошным катодом цилиндрической формы 23
2.2.1 Постановка задачи расчета диодной системы со сплошным катодом с закругленной вершиной 23
2.2.2 Математическая модель диодной системы со сплошным катодом с закругленной вершиной 25
2.2.3 Заключение
2.3 Результаты численных расчетов 29
2.4 Заключение 38
3 Математическое моделирование системы фокусирующих линз 39
3.1 Постановка задачи расчета системы фокусирующих линз 40
3.2 Метод конечных элементов (МКЭ)
3.2.1 Математическая модель системы косоугольных линз 42
3.2.2 Выбор Программного Обеспечения (ПО) 43
3.3 Метод парных уравнений (МПУ) 52
3.3.1 Математическая модель системы соосных круговых диафрагм 52
3.3.2 Расчет распределения потенциала 64
3.4 Сравнение результатов расчетов методами МКЭ и МПУ 67
3.5 Заключение 72
4 Математическое моделирование эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз с учетом распределения пространственного заряда 73
4.1 Постановка задачи расчета эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз 74
4.2 Математическая модель эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз 75
4.3 Расчет эмиссионных характеристик 78
4.4 Заключение 82
5 Оптимизация фокусирующей системы полевой электронной пушки с острийным катодом 83
5.1 Фокусирующая система из двух косоугольных линз 84
5.1.1 Постановка задачи 85
5.1.2 Расчет эмиссионных характеристик при различных конфигурациях системы 87
5.2 Фокусирующая система из двух модуляторов и шести фокусирующих диафрагм 89
5.2.1 Постановка задачи 91
5.2.2 Расчет эмиссионных характеристик при различных конфигурациях системы 92
5.3 Заключение 99
Заключение 100
Литература
- Математическая модель полевого катода цилиндрической формы с острой кромкой
- Математическая модель системы косоугольных линз
- Математическая модель эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз
- Расчет эмиссионных характеристик при различных конфигурациях системы
Математическая модель полевого катода цилиндрической формы с острой кромкой
В процессе работы электронной пушки в пространстве около острия образуется объемный заряд, который может оказывать сильное влияние на эмиссию электронов. В работах [20–22] рассматриваются вопросы влияния объемного заряда на сформированные пучки электронов. Для учета влияния объемного заряда необходимо решать самосогласованную задачу — уравнение Пуассона и уравнение непрерывности.
Траекторный анализ является одной из количественных характеристик структуры пучка, но ему присущи недостатки качественного характера: представления о пучке как о наборе траекторий. Одной из трудно вычисляемых характеристик является вычисление плотности пространственного заряда для каждой точки пучка. Структура моделированных пучков может быть лучше описана с помощью диаграмм излучений, которые можно получить, рассмотрев пучок как набор заряженных частиц в фазовом пространстве. Такой подход позволяет получить правильную макроскопическую детализацию пучков и может быть рассмотрен как качественная характеристика пучка [23].
Для подобных эмиссионных систем на основе ПЭЭ одной из основных трудностей для численного расчета является то, что радиус кривизны вершины катода отличается от других элементов системы на несколько порядков [24–29].
Производство приборов, использующих в своей основе ПЭ, — дорогостоящий и трудоемкий процесс. Стабильность работы подобных приборов сильно зависит от формы катода, напряжения на нем, а так же от геометрии и распределения напряженности электросатического поля, формируемого на элементами фокусирующей системы. Поэтому математическое и физическое моделирование эмиссионных систем на основе полевого катода, предшествующее этапу конструирования катодного узла электронно-вакуумного устройства и, прежде всего полевого эмиттера, является актуальной темой исследования.
При разработке устройств на основе ПЭЭ одним из важнейших параметров является стабильность работы устройства [30]. Ввиду безынерцион-ности ПЭЭ и высокой плотности эмиссионных токов, в области около острия может образовываться пространственный заряд большой величины, который будет уменьшать поле на поверхности катода и эмиссионный ток, возможно даже полное прекращение эмисси, [31].
Для моделирования электронных пушек на базе (ПЭК) могут использоваться различные методы. Все известные методы можно разделить по типу расчета на аналитические и численные. К аналитическим методом можно отнести: метод разделения переменных, метод интегральных уравнений, метод конформных преобразований. Наиболее распространенные численные методы: метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод граничных элементов, разложение по базовым функциям.
Метод конечных элементов — это гибкий инструмент, позволяющий рассчитывать системы со сложными геометриями. Он позволяет моделировать как одиночные катоды-острия и многоэмиттерные системы, так и структуру поверхности элементов электронно-вакуумных приборов [30–37].
При моделировании электронно-оптических систем важно знать физические параметры материалов и технологические возможности по изготовлению приборов, поэтому, как правило, исследователи перед моделированием эмиссионных систем сложной формы задают некоторые параметры элементов будущей системы: межэлектродные расстояния, работу выхода, ток и т.д. [37].
В литературе известно множество различных методов моделирования подобных систем. Для экономии компьютерных ресурсов исследователи приводят трехмерные задачи к двумерным, используя симметрию геометрии системы; производят расчеты на неструктурированных сетках; ограничивают моделирование систем эффектом экранирования, упрощают геометрию системы: увеличивают размеры элементов катода, фокусирующих линзы [38–40]; уменьшают анод-катодное расстояние путем применения соответствующих граничных условий [41–46]; размещают элементы фокусирующей системы в плоскостях, параллельным координатным линиям [47]. Во многих численных методах (метод конечных элементов, метод конечных разностей и т.д.), используемых для моделирования ПЭЭ, для нахождения распределения потенциала в исходной области строится сетка, в узлах которой ищется решение. Для сокращения объемов расчетов и экономии компьютерной памяти применяют неструктурированные сетки, а так же — адаптацию сетки, локальное сгущение сетки в областях быстрого изменения значения потенциала. Но даже при таком подходе для нахождения решения требуется значительное компьютерное время. Поэтому, сокращение области расчетов может значительно сэкономить ресурсы, и для решения задачи будет достаточно персонального компьютера. Моделирование устройств на основе ПЭ состоит не только в расчете распределения поля, но и расчете распространения эмиссионных пучков, распределения плотности пространственного заряда [36].
Для фокусировки и транспортировки пучков заряженных частиц от источника электронов или ионов до плоскости анода (анализатора и т.д.) необходима система управления пучками заряженных частиц. Для фокусировки электронного пучка, генерируемого полевым эмиттером, применяются в основном электростатические линзы [31,48–52], но так же используются и устройства с магнитными линзами [53], и устройства с комбинированными электростатическими и магнитными линзами [14,54]. Применение для фокусировки потоков заряженных частиц магнитных и электростатических линз определяется конкретным назначением прибора [53]. Подобные комбинированные системы также используется для корректировки кинетической энергии заряженных частиц. Электростатические линзы применяются в электронных микроскопах, лучевых трубках, масс-спектрометрах, и т.д. [55–57].
Математическая модель системы косоугольных линз
Способность пакета решать поставленную задачу. Свободная лицензия (GPL, LGPL, QPL). Возможность решать системы 1-2-3D. Возможность распараллеливания. Наличие документации и примеров на русском или английском языке. ПО для Метода Конечных Элементов (МКЕ)[7] : FreeFEM++ Описание:
2D, свой язык программирования транслируемый в C++, типизированный C-подобный, со встроенными типами триангуляций и пространств конечных элементов, код понятен, краток и приближен к математической записи задачи в слабой форме — но поддерживаются только треугольные элементы (включая DG- и мини-элементы), хорошая документация, много примеров использования на разных задачах, кроссплатформенный инструмент, лицензия LGPL. GetDP Описание:
1-2-3D, формальное описание проблемы с помощью специального языка, приближенное к математической формулировке, идеологически близок FreeFEM++, может решать интегро-дифференциальные задачи, в данный момент ориентирован на задачи из области электромагнетизма, акустики, теплопроводности и механики, лицензия GPL. Impact Описание:
3D, пакет для расчётов методом конечных элементов упругих и упругопластич-ных деформаций при ударах, написан на Java, имеет графический интерфейс, для визуализации полагается на не свободный, но бесплатный для академического использования, GiD, лицензия GPL. Code_Aster Описание:
1-2-3D, очень большой (миллион строк кода, более 360 разных конечных элементов) пакет для расчётов задач механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма и других, заметна ориентация проекта на инженерные приложения, поддерживается язык программирования Python„ документация преимущественно на французском языке лицензия GPL. deal.II Описание:
1-2-3D, библиотека для C++, получила в 2007 году премию Вилкинсона, хорошая документация, локальная адаптация сеток, p- и hp- методы, встроенные средства создания сеток, автоматическое распараллеливание сборки линейной системы и других операций на многоядерных/многопроцессорных машинах (SMP), поддержка кластерного параллелизма (MPI), но выбор элементов беднее, чем в GetFEM++, лицензия QPL. FETK Описание:
2D-3D, набор объектно-ориентированных библиотек Си, ориентирован на решение эллиптических уравнений, поддерживает адаптивные сетки и предлагает необычный способ распараллеливания решения (помимо MPI), можно использовать все возможности из bash-подобной оболочки (интерпретатора), есть упрощенная 2D версия для Matlab, лицензия GPL. GetFEM++ Описание: 1-2-3-...-ND, библиотека для C++, есть интерфейсы высокого уровня для Matlab и для Python (!), поддерживает большое количество типов конечных элементов, включая экзотичные (например, X-FEM), практически любой размер 45 ности, есть возможность программирования типовых задач с помощью готовых ”кирпичиков”, избегая явной сборки линейной системы, отсутствуют встроенные средства создания сеток, можно пользоваться внешними, библиотека крос-сплатформенна. LibMesh Описание: 1-2-3D, библиотека для C++ с возможностью локальной адаптации сеток, параллельное решение линейных систем с помощью PETSc (MPI), поддерживает безматричные методы, выбор элементов шире, чем в deal.II. LifeV Описание: 2D-3D, C++, основные области применения: гидродинамика, теплопроводность, перенос массы и взаимодействие жидкость–структура в пористых средах. Ofeli Описание: 2D-3D, библиотека C++, среди примеров есть задачи теплопроводости, решения уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости, теории упругости (2D и 3D), электромагнетизма, лицензия GPL. Rheolef Описание: 1-2-3D, библиотека для C++, код получается краток и приближен к математической записи задачи в слабой форме, автоматическая адаптация сеток для 2D задач. MODULEF Описание: Хорошо разработана библиотека для Fortran77. FEATFLOW Описание: 2D-3D, библиотеки для Fortran, пакет ориентирован на решение уравнений Навье-Стокса для течения несжимаемых жидкостей, лицензия типа BSD. OpenFEM Описание: Хорошо разработана библиотека для Matlab и Scilab, но версия для свободного Scilab развивается менее активно. Melina Описание: 2D-3D, библиотека для Fortran, документирована исключительно на французском языке. FEAPpv Описание: библиотека для Fortran, для задач теории упругости и теплопроводности, распространяется бесплатно и в качестве приложения к книге, но лицензия неясна, является урезанной версией не свободной библиотеки FEAP. В диссертации в качестве ПО для решения задачи МКЭ выбран deal.II [99,100]. Пакет обладает свободной лицензией, наличием английской документации и примеров, позволяет решать 1-2-3D задачи.
В deal.II не предусмотрен алгоритм создания сложной геометрии исследуемых систем и генерации сеток на ней, поэтому появилась необходимость поиска ПО для генерации сеток. Среди возможного ПО был выбран генератор сеток Gmsh, так как он единственный обладает свободной лицензией (GPL), графическим и командным интерфейсами, реализация на различных платфор-мах(Windows, Linux, Mac OS X), так же данный пакет гибок и прост в использовании.
Математическая модель эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз
Наличие документации и примеров на русском или английском языке. ПО для Метода Конечных Элементов (МКЕ)[7] : FreeFEM++ Описание: 2D, свой язык программирования транслируемый в C++, типизированный C-подобный, со встроенными типами триангуляций и пространств конечных элементов, код понятен, краток и приближен к математической записи задачи в слабой форме — но поддерживаются только треугольные элементы (включая DG- и мини-элементы), хорошая документация, много примеров использования на разных задачах, кроссплатформенный инструмент, лицензия LGPL. GetDP Описание: 1-2-3D, формальное описание проблемы с помощью специального языка, приближенное к математической формулировке, идеологически близок FreeFEM++, может решать интегро-дифференциальные задачи, в данный момент ориентирован на задачи из области электромагнетизма, акустики, теплопроводности и механики, лицензия GPL. Impact Описание: 3D, пакет для расчётов методом конечных элементов упругих и упругопластич-ных деформаций при ударах, написан на Java, имеет графический интерфейс, для визуализации полагается на не свободный, но бесплатный для академического использования, GiD, лицензия GPL. Code_Aster Описание: 1-2-3D, очень большой (миллион строк кода, более 360 разных конечных элементов) пакет для расчётов задач механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма и других, заметна ориентация проекта на инженерные приложения, поддерживается язык программирования Python„ документация преимущественно на французском языке лицензия GPL. deal.II Описание: 1-2-3D, библиотека для C++, получила в 2007 году премию Вилкинсона, хорошая документация, локальная адаптация сеток, p- и hp- методы, встроенные средства создания сеток, автоматическое распараллеливание сборки линейной системы и других операций на многоядерных/многопроцессорных машинах (SMP), поддержка кластерного параллелизма (MPI), но выбор элементов беднее, чем в GetFEM++, лицензия QPL. FETK Описание:
2D-3D, набор объектно-ориентированных библиотек Си, ориентирован на решение эллиптических уравнений, поддерживает адаптивные сетки и предлагает необычный способ распараллеливания решения (помимо MPI), можно использовать все возможности из bash-подобной оболочки (интерпретатора), есть упрощенная 2D версия для Matlab, лицензия GPL. GetFEM++ Описание:
1-2-3-...-ND, библиотека для C++, есть интерфейсы высокого уровня для Matlab и для Python (!), поддерживает большое количество типов конечных элементов, включая экзотичные (например, X-FEM), практически любой размер 45 ности, есть возможность программирования типовых задач с помощью готовых ”кирпичиков”, избегая явной сборки линейной системы, отсутствуют встроенные средства создания сеток, можно пользоваться внешними, библиотека крос-сплатформенна. LibMesh Описание:
1-2-3D, библиотека для C++ с возможностью локальной адаптации сеток, параллельное решение линейных систем с помощью PETSc (MPI), поддерживает безматричные методы, выбор элементов шире, чем в deal.II. LifeV Описание: 2D-3D, C++, основные области применения: гидродинамика, теплопроводность, перенос массы и взаимодействие жидкость–структура в пористых средах. Ofeli Описание: 2D-3D, библиотека C++, среди примеров есть задачи теплопроводости, решения уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости, теории упругости (2D и 3D), электромагнетизма, лицензия GPL. Rheolef Описание: 1-2-3D, библиотека для C++, код получается краток и приближен к математической записи задачи в слабой форме, автоматическая адаптация сеток для 2D задач. MODULEF Описание: Хорошо разработана библиотека для Fortran77. FEATFLOW Описание: 2D-3D, библиотеки для Fortran, пакет ориентирован на решение уравнений Навье-Стокса для течения несжимаемых жидкостей, лицензия типа BSD. OpenFEM Описание:
Хорошо разработана библиотека для Matlab и Scilab, но версия для свободного Scilab развивается менее активно. Melina Описание:
2D-3D, библиотека для Fortran, документирована исключительно на французском языке. FEAPpv Описание: библиотека для Fortran, для задач теории упругости и теплопроводности, распространяется бесплатно и в качестве приложения к книге, но лицензия неясна, является урезанной версией не свободной библиотеки FEAP.
В диссертации в качестве ПО для решения задачи МКЭ выбран deal.II [99,100]. Пакет обладает свободной лицензией, наличием английской документации и примеров, позволяет решать 1-2-3D задачи.
В deal.II не предусмотрен алгоритм создания сложной геометрии исследуемых систем и генерации сеток на ней, поэтому появилась необходимость поиска ПО для генерации сеток. Среди возможного ПО был выбран генератор сеток Gmsh, так как он единственный обладает свободной лицензией (GPL), графическим и командным интерфейсами, реализация на различных платфор-мах(Windows, Linux, Mac OS X), так же данный пакет гибок и прост в использовании.
Расчет эмиссионных характеристик при различных конфигурациях системы
При моделировании эмиссионной системы на основе полевого катода, как уже отмечалось в главе 1, следует учитывать то, что в пространстве около острия может образоваться объемный заряд, который может оказывать сильное влияние на эмиссию электронов, что в свою очередь, приводит к вариации самого поля вблизи острия. Данная глава посвящена исследованию полевой эмиссионной системы с учетом распределения пространственного заряда, создаваемого пучком заряженных частиц. Постановка задачи расчета эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз
В главе 3 рассматривалась эмиссионная система с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз без учета влияния пространственного заряда пучка. Целью данной главы является расчет тока в эмиссионной системе, схематическое изображение которой приведено в главе 3 на рисунке 4.1, с учетом распределения пространственного заряда, а также определение радиуса раствора пучка электронов, попадающего на анод. Схематическое изображение электронно-оптической системы с полевым катодом. Моделируется система, состоящая из катода в виде острия, двух фокусирующих косоугольных линз и анода (плоскость). На рисунке 4.1 представлено схематическое изображение эмиссионной системы в цилиндрической системе координат (r,z).
Параметры системы: поверхность острия представляет собой полуэллипсоид с радиусом кривизны на вершине высотой 0 и напряжением 0; координаты отверстий косоугольных линз — (1,1), (1,2); угол наклона косоугольных линз — ; напряжение на первой фокусирующей линзе — 1, на второй – 2; поверхность анода – = 3; напряжение на аноде – 2; поверхность = 3 ограничивает систему по координате . В силу аксиальной симметрии рассматриваемой модели задача сведена к двумерному случаю в цилиндрических координатах.
Для расчета была рассмотрена система со следующими параметрами: 0 = 0 В, 1 = 7 кВ, 2 = 5 кВ, 0 = 2,36 мкм (основание катода в виде полуэлипсоида вращения, данный параметр подбирался таким образом,чтобы радиус кривизны на вершине острия был равен 5 нм), 1 = 100 мкм, 3 = 1000 мкм, 0 = 1120 мкм, 1 = 1500 мкм, 2 = 4000 мкм, 3 = 8000 мкм, = 40. Управление системой осуществляется путем изменения напряжения 1 на первой линзе: от 5 кВ до 7 кВ.
Математическая модель эмиссионной системы с полевым катодом и системой фокусирующих косоугольных линз
Для нахождения распределения потенциала использовалось уравнение Пуассона [102]: д dU d2U p(r,z) г— + Решение было найдено с помощью метода конечных элементов (МКЭ), реализованного в библиотеке численных расчетов deal.II. Для построения сетки области использовалась программа Gmsh. Применяемый метод конечных элементов описан в разделе 3.2.
Для решения задачи поверхность катода была разбита на участки, на каждом из которых поле считается постоянной величиной. Для каждого участка вычислялась плотность тока, который проходит через этот участок. Для вычисления плотности тока в узловых точках было использовано соотношение Фаулера-Нордгейма: 2-2 = , где — работа выхода электрона из катода, — поле на вершине катода, и — известные константы в теории полевой эмиссии
С помощью второго закона Ньютона и силы Лоренца были рассчитаны траектории и скорости движения пучков электронов: заряд электрона, — ускорение электрона. При расчете не учитывалась магнитная составляющая силы Лоренца. Начальная скорость электронов принималась равной 0, начальное направление совпадает с силовыми линиями электростатического поля. Плотность тока, эмитированного с каждого участка катода, принимается постоянной вдоль траектории пучка, поэтому плотность заряда определяется следующим образом:
Для расчета поля с учетом распределения пространственного заряда был использован метод итераций, описанный в работах [103-105]. При моделировании системы: рассчитывалось поле без учета пространственного заряда (решалось уравнение Лапласа), затем определялся ток и плотность распределения пространственного заряда; на последующих шагах решалось уравнение Пуассона с распределением заряда, найденным на предыдущем шаге.
Итерационный процесс сходится, если полный ток системы Ik сходится к постоянному значению 1к: lim Ik = Ік, к—7 +оо где к — номер итерации. В том случае, если при использовании полной величины пространственного заряда на последующей итерации эмиссия останавливается, то итерационный процесс не сходится. В данном случае используется коэффициент демпфирования Df, который для первых N итераций постепенно увеличивает величину пространственного заряда Df = [dmin..l] с определенным шагом dS, где min 1, s 1 [104]. Таким образом, на каждой новой итерации используется не полная величина пространственного заряда (рассчитанная на предыдущем шаге), а, например, 0.1, 0.2, 0.3,.. 1.0 величины пространственного заряда. Итерационный процесс завершается, когда изменение полного тока системы относительно предыдущей итерации не будет превышать 1%.
Результаты вычисления распределения потенциала получены на сетке, состоящей из 370 тыс. узлов. На рисунке 4.2 представлено изображение сетки в области около острия.
Параметры исследуемой системы приведены в разделе 4.1. При расчете системы итерации проводились до тех пор, пока изменение тока относительно предыдущей итерации не будет превышать 1%. Для данной конфигурации системы потребовалось девять итераций.
Поле на катоде на последней итерации представлено на рисунке 4.3, распределение потенциала с учетом пространственного заряда на оси системы ( = 0) — рисунок 4.4. На рисунке 4.5 представлена разность потенциалов на оси системы ( = 0) с учетом и без учета распределения пространственного заряда.