Моделирование накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах 3D вероятностным клеточным автоматом Чередниченко Алла Валериевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Модели накопления повреждений в нагруженных материалах 11

1.1. Кинетическая теория разрушения: основные положения 11

1.2. Моделирование накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом 23

1.2.1. Основные положения теории клеточных автоматов 23

1.2.2. Моделирование накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом 25

Глава 2. 3D вероятностный клеточный автомат для моделирования накопления повреждений 29

2.1. Физическая модель хрупкого разрушения 29

2.2. Формальное определение клеточного автомата 32

2.3. Комплекс программ, реализующий трехмерный вероятностный клеточный автомат 40

2.3.1. Структура программного проекта и средства разработки 40

2.3.2. Классы поддержки документа 41

2.3.3. Классы поддержки представления и пользовательского интерфейса 45

2.3.4. Отладка и примеры выходных данных 49

Глава 3. Результаты моделирования накопления повреждений 3D-вероятностным клеточным автоматом 54

3.1. Особенности эволюции кластерной структуры элементарных повреждений 54

3.1.1. Общие характеристики кластерной структуры 54

3.1.2. Эволюция распределения кластеров по размерам 59

3.2. Особенности кинетики кластерной структуры элементарных повреждений 64

3.2.1. Сравнение кинетических зависимостей и корреляционных функций, моделируемых 2D и 3D клеточными автоматами 64

3.2.2. Сравнение результатов модельного и физического экспериментов 70

3.3. Кинетика накопления элементарных повреждений. Метод нормированного размаха Херста 72

3.4. Зависимость характера кинетики от вероятности прорастания периметра кластера повреждений 75

Заключение 82

Список литературы

• Моделирование накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом
• Комплекс программ, реализующий трехмерный вероятностный клеточный автомат
• Общие характеристики кластерной структуры
• Сравнение результатов модельного и физического экспериментов

Введение к работе

Актуальность работы.

Прогнозирование разрушения твердых гетерогенных материалов, в том числе горных пород, является актуальной научной задачей. В качестве неразрушающих методов контроля прочности твердых материалов широко используются методы импульсной эмиссии (акустической, электромагнитной). При этом характеристики импульсной эмиссии дают только косвенную информацию о процессе разрушения, регистрируя выделение энергии при образовании новых повреждений, но отсутствует непосредственная информация о пространственном распределении повреждений, и особенно их объединении в кластеры, что важно для прогнозирования разрушения. При этом для интерпретации данных эксперимента используется кинетическая теория прочности С. Н. Журкова¹, развиваемая в работах В. С. Куксенко и других его учеников.

Для выявления критериев разрушения важно сопоставление наблюдаемых в физическом эксперименте характеристик потоков импульсной эмиссии, которые несут информацию о возникновении новых микротрещин (элементарных повреждений) и прорастании трещин, с кинетическими характеристиками ансамбля кластеров, образованных дефектами структуры на различных иерархических уровнях. На современном уровне развития техники эксперимента невозможно провести одновременное наблюдение процесса накопления повреждений и формирования их кластерной структуры, особенно в динамике. В то же время методы компьютерного моделирования предоставляют такую возможность, что делает актуальным применение этих методов для исследования процесса разрушения. Наличие общих закономерностей на стадии предразрушения материала² также говорит в пользу такого подхода. Данные акустического эксперимента показывают, что микротрещины в горных породах образуются на мезоскопиче-ском уровне: средний размер микротрещин составляет (1.4- 28.4) -10Г⁶м. В этом случае процесс накопления повреждений и переход к макроразрушению может быть описан только динамикой геометрических характеристик рассматриваемой структуры без деталей образования отдельных элементарных повреждений. Такую возможность предоставляют перколяционные модели, которые рассматриваю переход к макроразрушению как геометрический фазовый переход. С учетом того, что процесс накопления повреждений в хрупких материалах является случайным, нелинейным и необратимым, для его математического моделирования подходит модель вероятностного клеточного автомата (ВКА). Построенные двумерные модели КА позволили выявить степенные законы распределения дефектов по размерам (В. Л. Гиляров); выявить параметры процесса накопления повреждений, характерные для неравновесных систем, склонных к катастрофам, предложить новый качественный критерий перехода материала на стадию, непосредственно предшествующую разрушению, основанный на изломе нормированного размаха Хер-ста и переходе выборочной временной корреляционной функции в отрицательную область (Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина³).

Поскольку в реальном физическом эксперименте эволюция кластерной структуры повреждений происходит в трехмерной среде, требуется дополнительное исследование правомерности использования результатов двумерного моделирования для прогнозирования разрушения.

¹ Журков, С. Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел / С. Н. Журков. // Вестн. АН СССР. –
1968. – №3. – С. 46-52.

² Ботвина, Л. Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности / Л. Р. Ботвина. // – М: Наука,
2008. - 334 с.

³ Алексеев, Д. В. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автома
том /Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина // Физика твердого тела. – 2006. – т.48, вып.2 . – с. 255 – 261.

Последнее можно осуществить только с помощью непосредственного моделирования эволюции ансамбля элементарных повреждений на трехмерных решетках, что и является предметом исследования настоящей диссертации.

Цель работы Построение трехмерного вероятностного клеточного автомата для моделирования накопления элементарных повреждений в хрупких гетерогенных нагруженных материалах.

Задачи исследования

1. Построение алгоритма и программной реализации трехмерного вероятностного клеточного

автомата для моделирования накопления повреждений и эволюции их кластерной структуры;

2. Исследование статистических характеристик случайного процесса накопления элементар-

ных повреждений в трехмерном случае;

3. Сопоставление характеристик случайного процесса накопления повреждений, полученных

при помощи модельного эксперимента, для трехмерного и двумерного⁴ вероятностных клеточных автоматов;

4. Сопоставление статистических характеристик процесса накопления повреждений, получен-

ных в модельном эксперименте, с данными физического эксперимента по импульсной эмиссии с целью выделения характеристик случайного процесса накопления повреждений, которые являются «предвестниками» разрушения.

Методы исследования

1. Моделирование процесса накопления повреждений с использованием разработанного и ре-

ализованного трехмерного вероятностного клеточного автомата;

2. Статистическая обработка данных модельного и физического эксперимента с использова-

нием электронных таблиц Microsoft Excel.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Трехмерная модель эволюции кластеров элементарных повреждений, как и двумерная, на

заключительной стадии эволюции демонстрирует поведение сложной неравновесной системы, склонной к катастрофам. Это характеризуется вымиранием кластеров промежуточных размеров и резким ростом степени критичности распределения масс кластеров повреждений (числа элементов в кластере) по мере приближения моделируемой системы к разрушению. Рост степени критичности для трехмерной модели в 2-3 раза превышает рост степени критичности для двумерной модели.

2. Особенности кинетической кривой накопления кластеров элементарных повреждений для

трехмерной модели: более медленный по сравнению с двумерной моделью процесс накопления числа кластеров повреждений, отсутствие протяженного линейного участка перед разрушением, что сопровождается резким переходом к разрушению.

3. Подтверждение для трехмерной модели критерия перехода системы кластеров элементар-

ных повреждений на стадию, предшествующую разрушению, по переходу автокорреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» в область отрицательных корреляций и появлению второго линейного участка на статистике нормированного размаха Херста.

4. Существование для трехмерной модели в случае динамического внутреннего сценария двух

качественно различных режимов эволюции кластерной системы, контролируемых вероятностью прорастания периметра кластеров повреждений.

⁴ Казунина, Г. А. Исследование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах (моделирование вероятностным клеточным автоматом) дисс. докт. тех. наук / Г. А Казунина // – Кемерово.-2010. 189 с.

Степень достоверности научных положений достигается

1. Использованием при построении модели общепризнанных физических и математических теорий, таких как кинетическая теория прочности, механика разрушения, теория случайных процессов, теория клеточных автоматов, теория фрактальных временных рядов;

2. Тестированием работы 3D автомата на предельных режимах и подтверждением соответствия фрактальной размерности одиночных 3D кластеров оккупированных клеток и кластеров Хаммерсли-Лиса-Александровица, также соответствием средней плотности оккупированных клеток порогу перколяции на кубической решетке;

3. Объемом информации получаемой в модельном эксперименте, достаточной для корректной статистической обработки;

4. Хорошим качественным согласием результатов модельного эксперимента с соответствующими данными физического эксперимента по измерению потока импульсной электромагнитной эмиссии.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

1. Использован трехмерный вероятностный клеточный автомат для моделирования процесса

накопления повреждений и пространственно-временной эволюции их кластерной структуры;

2. При помощи модельных 3D экспериментов установлены закономерности в поведении «функции распределения» кластеров элементарных повреждений по размеру: вымирание кластеров промежуточных размеров и резкий рост степени критичности по мере приближения к разрушению, что характерно для неравновесных систем, склонных к катастрофам. При этом рост степени критичности в 2-3 раза больше, чем в случае моделирования при помощи двумерного вероятностного клеточного автомата;

3. Установлено, что вид кинетической кривой накопления кластеров элементарных повреждений для трехмерной модели по сравнению с двумерной моделью, характеризуется более медленным ростом на начальной стадии эволюции, переходящим к резкому уменьшению числа кластеров непосредственно перед разрушением;

4. Установлено существование для трехмерной модели двух качественно различных режимов эволюции кластерной системы, контролируемых вероятностью прорастания периметра кластеров повреждений. Для значений вероятности _Pspr > 0,2 процесс перехода к необратимому

разрушению существенно ускоряется и становится сильно коррелированным;

5. Получено подтверждение для трехмерной модели критерия перехода системы кластеров
элементарных повреждений на стадию, предшествующую разрушению, по переходу авто
корреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» в область
отрицательных корреляций и появлению второго линейного участка на статистике норми
рованного размаха Херста. При этом хорошее качественное совпадение данных модельного
и физического эксперимента по импульсной эмиссии получено для режима эволюции кла
стерной системы p_spr < 0,2.

Личный вклад автора состоит

1. В разработке формального описания, алгоритма и программной реализации трехмерного

вероятностного клеточного автомата;

2. Выполнении модельного эксперимента, статистической обработке и анализе полученных
результатов.

Научное и практическое значение работы

Разработанная в диссертации компьютерная модель и ее программная реализация развивают перспективные методы исследования процессов разрушения. Полученный в диссертации критерий перехода к разрушению может служить основой для разработки новых нетрадиционных методов прогнозирования разрушения горных пород и других гетерогенных материалов. Использованные в диссертации методы статистической обработки данных модельного экспе-

римента могут быть использованы для сопоставления результатов модельного и физического эксперимента при клеточно-автоматном моделировании других случайных процессов в физике, химии, технике.

Апробация

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях: IX Международная конференция «Образование, наука, инновации: вклад молодых исследователей» (КемГУ, Кемерово 2014); Всероссийская конференция молодых ученых с международным участием «Россия молодая» (Кузбасский государственный технический университет им. Т. Ф. Горбачева, Кемерово 2014, 2015); Всероссийская конференция «Научное творчество молодежи. Математика. Информатика» (ТГУ, Анжеро-Судженск, 2014, 2015); XIII Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ТГУ, Анжеро-Судженск, 2014); Российская конференция молодых ученых сотрудников и аспирантов «Физико-химия и технология неорганических материалов» (Институт металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН, Москва 2014, 2015); Всероссийская конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых с элементами научной школы «Горняцкая смена -2015» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск 2015); Всероссийская конференция «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск 2015); VI Международная конференция «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов (Институт металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН, Москва 10 –13 ноября 2015).

Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано 14 работ. Основные результаты диссертации полностью опубликованы в 4 статьях рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК. 2 статьи опубликованы в других рецензируемых журналах, 4 статьи - в трудах конференций, 4 - в тезисах докладов конференций.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 115 наименований. Общий объем диссертации – 100 страниц. Работа содержит 39 рисунков и 7 таблиц.

Моделирование накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом

Опираясь на формулу (1.2), были определены значения кинетических констант U0, у для различных материалов и обобщено большое количество экспериментальных данных по долговечности [17].

Согласно кинетической теории процесс разрушения разделяется на две качественно различные стадии: во-первых проходит хаотичное накопление элементарных дефектов по универсальному термофлуктуационному механизму; во-вторых дефекты объединяются во все более крупные структуры, вплоть до магистральных трещин, которые приводят к макроскопическому разрушению.

В связи с тем, что процесс накопления элементарных повреждений носит стохастический характер, при его описании необходимо использовать методы теории случайных процессов. В первых работах по моделированию процесса накопления повреждений наиболее часто использовались модели Марковских процессов (стационарный и нестационарный пуассоновские процессы, другие модели) [18-27]. Например, в работах [20, 21, 23, 24] распределение дефектов на стадии формирования объеди нений дефектов в группы аппроксимируется распределением Пуассона с параметром Л = sn1 3г, где s - число дефектов в группе, где п - средняя концентрация дефектов, г - средний размер дефекта. Как результат, средняя концентрация ассоциаций, образуемых объединением s микротрещин, равна „ =n(sn1/3r)s c(-sn1/ 3r) (13) s s s! При этом показано, что процесс образования ассоциаций будет устойчивым при выполнении условия s/3 (-((1-)1/3-1)- «1/3г) ) /3 п (п-Щ = (1_ ) 1+/ 3е „ а1 (14) ns п п Опираясь на это соотношение при условии s »1, получен концентрационный критерий разрушения: процесс образования ассоциаций является устойчивым, если концентрация дефектов рассматриваемого размера удовлетворяет условию п1/3г -или п/ е-3. е

В работах В. А. Петрова [24, 25] путем анализа и обобщения данных эксперимента построена качественная модель перехода от микродефектов к макроскопическому разрушению в рамках термодинамического подхода. Согласно этой модели дефект (трещина) является концентратором напряжения. В окрестности дефекта действует повышенное напряжение, и образование новых дефектов происходит с большей скоростью. Процесс образования трещин протекает как рост локализованного очага разрушения. Одновременно образованию очага разрушения противодействует статистический фактор, вызванный случайным характером тепловых флуктуаций, который приводит к хаотическому распределению дефектов в объеме. В результате взаимодействия этих двух факторов разрушение протекает в виде рассеянного накопления некоррелированного ансамбля микротрещин. Флуктуации концентрации в ансамбле микродефектов приводят к объединению нескольких микродефектов в дефект более крупного размера - кластер. Далее кластер, действующий как более крупный концентратор напряжений, обеспе чивает переход процесса из стадии рассеянного накопления повреждений в стадию локализации накопления элементарных повреждений в зоне повышенных напряжений. Возникает очаг разрушения, дальнейший рост которого происходит благодаря «захвату» микродефектов, попадающих в поле повышенных напряжений, создаваемых растущим кластером.

В работах В. В. Иванова и др. [28–32] предложена кинетическая модель очага разрушения, в которой накопление повреждений моделировалось нестационарным пуассоновским потоком.

Таким образом, представление о многостадийности процесса разрушения на современном уровне научных исследований является обоснованным. При этом наиболее полно исследованными являются стадии рассеянного накопления повреждений и заключительная стадия разрушения, касающаяся условий устойчивости макроскопических трещин.

Стадия разрушения, на которой происходит накопление и рост дефектов более мелкого пространственного масштаба является наименее изученной. С теоретической точки зрения, используемые пуассоновские модели не учитывали такой аспект процесса накопления повреждений как «память» (вероятность образования новых элементарных повреждений должна зависеть от концентрации образовавшихся ранее). Кроме того, проведенная позже экспериментальная проверка процесса накопления повреждений [33] с применением статистики Херста показала, что процесс накопления повреждений не является процессом с независимыми приращениями. Поэтому в дальнейшем внимание исследователей сосредоточилось на изучении общих закономерностей процесса разрушения для материалов различной природы именно на промежуточной стадии накопления повреждений.

Картина процесса накопления повреждений и возникновение очага разрушения в гетерогенных материалах подробно исследована в работе [34] путем анализа статистических параметров акустической эмиссии. Во временной кинетике процесса удалось выделить как стадию рассеянного накопления дефектов по всему объему, так и концентрацию дефектов в локальной области, называемой очагом разрушения. Наличие двух стадий в кинетике разрушения наблюдалось также и в [35] на примерах исследования долговечности бетона и цементного камня при статическом нагружении по измерению зависимости разрывного напряжения от скорости нагружения.

В упомянутых выше работах показано, что процесс перехода системы от стадии накопления повреждений на стадию макроразрушения происходит только при достижении некоторой критической величины. Эта величина носит общий характер, определяется соотношением величины расстояния между элементарными повреждениями и размерами одного элементарного повреждения, не зависит от специфики конкретного материала и является универсальной.

Предложенная в работах В. С. Куксенко с соавторами [27, 34, 36] двуста-дийная модель разрушения твердых тел, инвариантная к масштабу объектов, положена в основу практического использования этих подходов для прогнозирования макроскопического разрушения. Так в работах [1, 36] представлен метод прогнозирования места, времени и энергии сейсмических явлений, приведен пример прогноза горных ударов. В работе [37] рассматривается эволюция представлений о концентрационном критерии разрушения твердых тел в связи с использованием его для прогноза сильных сейсмических явлений.

Проведенный в работах Л. Р. Ботвиной [4, 38] анализ развития дефектов различного размера в материалах разного класса (металлах, сплавах, полимерах, горных породах) и земной коре выделяет следующие общие закономерности этого процесса. Накопление повреждений является многомасштабным и автомодельным, то есть происходит таким образом, что геометрическая картина нарушений структуры материала на разных масштабных уровнях остается самоподобной. Дефект каждого последующего ранга появляется при накоплении предельной плотности дефектов предыдущего ранга.

Комплекс программ, реализующий трехмерный вероятностный клеточный автомат

Для вспомогательного клеточного автомата К2 = А2,М2,&2 множество клеток можно задать следующим образом: Q2(0 = {г/,(z, j,k)2\i, j,к = 0,1,.../і;иєА2}. При этом каждой оккупированной клетке (состояние и = (1,1) или состояние и = (1,0)) присваивается номер кластера, которому она принадлежит. Поэтому алфавит вспомогательного клеточного автомата задается как совокупность номеров A2(i,j,k) = {1,2,... Дтах}, где Nmax - максимальное число кластеров, полученное в данной итерации работы автомата. Множество имен клеток вспомогательного автомата изоморфно множеству имен клеток основного автомата: М1 М2. При этом второй КА К2 функционирует, используя КА Kj как контекст, создавая соответствующий порядок клеточного массива (uij,k\) є Ох(0. Маркировка кластеров выполняется согласно алгоритму, который подобен алгоритму роста кластеров Хамерсли-Лиса-Александровица. Простейший вариант этого алгоритма на кубической решетке можно описать следующим образом.

Создается «вспомогательный массив клеток», который в дальнейшем и будет использован маркировкой. Первоначальные значения элементов «вспомогательного массива клеток» соответствуют номерам оккупированных клеток.

Первая итерация работы КА К2 начинается сканированием клеточного массива Ц(0 = {u,(i,j,k\\i,j,k = ОХ-Ли є 4), и, при обнаружении оккупированной клетки (на первой итерации основного КА - это состояние и = (1,1)) про должается созданием кластера, то есть присвоение клетке выбранного кластера определенного номера: 6 4(и Д):{(1Д),(/,у,ЗД где d,l = 1,..,6 причем d l. Заметим, что хотя на первой итерации выбранная оккупированная клетка окружена только свободными клетками (состояние u = (0,0)), в последующих итерациях такая первоначально выбранная клетка может иметь в соседях также и «мертвые клетки периметра» (состояние u = (0,1)).

Следующий шаг - формирование начального периметра кластера путем присоединения к выбранной клетке соседних оккупированных клеток, то есть клеток, находящихся в состояниях и = (1,1) или и = (1,0) с присвоением всем клеткам выбранного номера кластера, что можно записать в виде подстановки: 6 5(/,7,А;): {z,(/,7,)2}-{ где dl = 1,..,6 причем Такие итерации формирования периметра продолжаются до тех пор, пока новый периметр не оказывается пустым (состояния и = (0,0), и = (0,1)). При этом все клетки кластера получают номер (первый). Далее берется другая оккупированная клетка решетки, не входящая в сформированный кластер, и повторяются все перечисленные выше итерации с присвоением клеткам кластера другого (второго) номера. Маркировка заканчивается, как только все оккупированные клетки решетки оказываются присоединенными к какому-либо кластеру.

Автоматы К, и К2 функционируют в следующей последовательности. Клеточные массивы обоих автоматов на начальном состоянии заполнены нулями: Пх(0) = {(0,0),(z, j,k\)y(i, j,k) є Mi, О2(0) = {0,(i,j,k)2)y(iJ,k)eM2.

Алгоритм работы клеточного автомата итерационный. На рис. 2.1 приведен пример работы КА. Для наглядности анализ на рисунке проводится на простой квадратной решетке (четыре ближайших соседа), где состояния клеток помечены определенным цветом. Красные клетки соответствуют состоянию и = (1,1), зеленые - состоянию и = (1,0), фиолетовые - состоянию и = (0,1).

Первой итерацией автомата К1 является оккупация свободных клеток клеточного массива О1(/) с вероятностью росс путем применения оператора 61(iJ,k). При этом часть клеток из состояния (0,0) переходят в состояние (1,1).

Непосредственно после этой первой итерации основного КА второй клеточный автомат К2 выполняет первую маркировку кластеров при помощи операторов 04(i,j,k), 05(i,j,k).

Далее, начиная со второй, на каждой итерации работы основного КА выполняются последовательно действия: 1. Кластеры клеточного массива О1( ) проращиваются по периметру при помощи оператора 02(i,j,k); 2. Сливаются кластеры, разделенные одной клеткой путем применения оператора 03 (hj,k); 3. Оккупируются свободные клетки при помощи оператора e1( ,jf). Формируется новая кластерная структура из оккупированных клеток, при помощи маркировки кластеров вспомогательным клеточным автоматом К2. Таким образом, каждая итерация завершается заменой кластерной структуры, образованной на предыдущей итерации, и формированием новой кластерной структуры, с автоматическим обновлением всех характеристик кластеров.

Конечной стадией изменения во времени (эволюции) кластерной структуры считается конфигурация, в которой образуется кластер, соединяющий противоположные грани куба.

Общие характеристики кластерной структуры

Поскольку временной ряд «число элементарных повреждений» соответствует наблюдаемому экспериментально потоку импульсов эмиссии (акустической, электромагнитной), который несет информацию о возникновении новых и прорастании образовавшихся ранее микротрещин, представляется возможность сравнить поведение временного ряда «число элементарных повреждений», полученного моделированием, с измеряемым экспериментально. На рис. 3.18 приведено сравнение рассчитанных по экспериментальным данным временных автокорреляционных функции потоков импульсов электромагнитной эмиссии, полученных при нагружении кварцевого диорита и порфирита [101], с данными модельного эксперимента для двумерной и трехмерной моделей в случае динамического внутреннего сценария моделирования. Временные автокорреляционные функции потоков импульсов электромагнитной эмиссии, получаемые в ходе физического эксперимента, вычислялись, как для модельного эксперимента, по стандартной формуле (3.4) [100].

При расчетах по данным физического эксперимента полное время до разрушения образца, составляющее 50 – 60 минут, разделялось на циклы длительностью порядка 30 секунд, что давало временной ряд из 150 – 200 элементов, равных числу импульсов, зарегистрированных за цикл. Как видно из сравнения зависимостей, приведенных на рисунке 3.18, на начальном участке положительной корреляции и последующем участке отрицательной корреляции поведение автокорреляционных функций, рассчитанных по экспериментальным данным потоков импульсов электромагнитной эмиссии, качественно значительно лучше согласуется с поведением автокорреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» в случае трехмерной модели.

Автокорреляционные функции временного ряда «число элементарных повреждений»: 1 – порфирит, электромагнитная эмиссия; 2 – кварцевый диорит, электромагнитная эмиссия; 3 – динамический внутренний сценарий (3D); 4 - динамический внутренний сценарий (2D). Анализ результатов исследования, проведенного в данном разделе диссер тации, показывает, что разрушение моделируемой системы в трехмерном случае происходит резко (рис. 3.12-3.13). Отметим, что предшествующая разрушению перестройка кластерной структуры проявляется в резком нелинейном росте сте пени критичности случайной величины «масса кластера» (рис. 3.10-3.11), когда относительное время до разрушения системы составляет п lrifm «0,65 0,8. В модельном и физическом экспериментах именно на этих временных интервалах автокорреляционная функция временного ряда «число элементарных повреждений» проходит через середину участка отрицательной корреляции. В связи с этим середину области отрицательной корреляции можно рассматривать как предвестник перехода системы на стадию необратимого разрушения. Выявление в результате непрерывного мониторинга начала перехода системы на стадию необратимого разрушения дает возможность оценки оставшегося ресурса долговечности.

Метод нормированного размаха Херста (R/S) [49] является эффективным тестом для установления характера случайного процесса. При анализе этим методом рассматриваются временные зависимости текущего значения размаха выборки R случайного процесса, нормированные на текущее значение среднеквадратичного отклонения S: R(t)/S(t) \tf, что в дважды логарифмических координатах приводит к линейной зависимости \n(R/S)ooH\n\t\. Угловой коэффициент этой зависимости Н называется показателем Херста. Так для случайного процесса с независимыми приращениями показатель Херста Н = 0,5. Для персистентного случайного процесса (в будущем поддерживается тенденция, наблюдавшаяся в прошлом) значение показателя Херста Я 0,5. Как и в случае двумерной модели [11], для рассмотренных сценарием моделирования временные ряды «число эле ментарных повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений» являются персистентными (рис. 3.19-3.20). На приведенных рисунках под временем (ось абсцисс) понимаем число итераций п. При этом показатель Херста для случайного процесса «число кластеров элементарных повреждений» составляет

Зависимость нормированного размаха Херста от числа итераций в дважды логарифмических координатах для динамического внутреннего сценария моделирования (pspr =0,18): 1 - кластеры, 2,3 - элементарные повреждения (первый и второй участки соответственно), 4 - линия, соответствующая значению. H=0,5.

Полученное в ходе моделирования поведение показателя Херста согласуется с особенностями кинетики числа кластеров и характером качественных изменений в поведении корреляционных функций в ходе эволюции, а также результатами физического эксперимента [11,60]. Поэтому появление второго линейного участка на временной зависимости статистики нормированного размаха в дважды логарифмических координатах можно рассматривать как предвестник перехода системы на стадию, предшествующую разрушению.

Сравнение результатов модельного и физического экспериментов

Полученное в ходе моделирования поведение показателя Херста согласуется с особенностями кинетики числа кластеров и характером качественных изменений в поведении корреляционных функций в ходе эволюции, а также результатами физического эксперимента [11,60]. Поэтому появление второго линейного участка на временной зависимости статистики нормированного размаха в дважды логарифмических координатах можно рассматривать как предвестник перехода системы на стадию, предшествующую разрушению. 3.4. Зависимость характера кинетики от вероятности прорастания периметра кластера повреждений

Динамический внутренний сценарий моделирования учитывает внутреннюю динамику процесса образования повреждений через зависимость вероятности прорастания периметра кластера от размера кластера. Вероятность прорастания отображает увеличенную интенсивность процесса разрушения материала под действием локальных перенапряжений вблизи уже имеющегося элементарного повреждения (кластера повреждений). В этом сценарии задается начальное значение вероятности прорастания р (Т) [19]. На последующих шагах эволюции вероятность прорастания кластера увеличивается с ростом среднеквадратичного ра диуса кластера pspr = pspr (Т) е кт 1 . Это в отличие от двумерного случая приводит к зависимости характера кинетических зависимостей от вероятности прорастания периметра pspr и показывает два качественно различных режима эволюции кластерной системы.

Так для случая pspr 0,2 временной ряд «число элементарных повреждений», обнаруживая рост на первых шагах эволюции, флуктуирует вблизи практически не подверженного тренду среднего значения. Число кластеров повреждений значительно превосходит число вновь возникающих элементарных повреждений (рис.3.21 а). Во временном ряду «число элементарных повреждений» имеют место долговременные корреляции (рис. 3.21 б) с выходом корреляционной функции в отрицательную область.

При начальных значениях pspr = 0,2 число вновь возникающих элементарных повреждений и число кластеров повреждений совпадают по порядку величины (рис.3.22 а). Процесс образования соединяющего кластера ускоряется примерно в три раза. Процессы, формирующие временной ряд «число элементарных повреждений», становятся более совпадающими как между собой, так и с процессом формирования кластеров повреждений, что проявляется в поведении корреляционных функций (рис.3.22 б).

Для начальных значений вероятности прорастания периметров кластеров pspr 0,2 процесс объединения элементарных повреждений и возникновения соединяющего кластера настолько ускоряется, что число вновь возникающих элементарных повреждений в несколько раз превышает число кластеров элементарных повреждений (рис. 3.23 а), и соответственно число итераций до появления соединяющего кластера существенно сокращается. Процессы, формирующие временной ряд «число элементарных повреждений» и процесс формирования кластеров, становятся полностью совпадающими. Корреляционные функции также практически совпадают, что говорит о возникновении сильных долговременных корреляций (рис.3.23 б).

Наличие сильных корреляций для значений вероятности прорастания периметров кластеров pspr 0,2 также наблюдается на других характеристиках таких как: статистика нормированного размаха Херста и в поведении «функции распределения» массы кластеров по размерам. Показатель Херста временного ряда «число элементарных повреждений» полностью совпадает со значением для временного ряда «число кластеров повреждений» (рис 3.24). Вместе с тем, на «функции распределения» наблюдается резкое сужение квазинепрерывного участка и рост средней длины ступеней «функции распределения» при больших плотностях перед разрушением системы (рис. 3.25).