Введение к работе
Актуальность работы
В механических системах нелинейные колебания возникают при исследовании вибраций и устойчивости объектов современной техники в таких областях, как машиностроение, железнодорожный транспорт, судостроение, авиация и реактивная техника. В механических системах нелинейность, чаще всего, возникает вследствие нарушения закона Гука. Помимо этого, нелинейность может вноситься благодаря трению. Известно, что при обтекании тел жидкостью прямая пропорциональность между скоростью и вязкой силой трения имеет место лишь при малых скоростях (закон Стокса). При больших скоростях он модифицируется, и в определенном диапазоне скоростей сила оказывается приблизительно пропорциональна квадрату скорости, что приводит к нелинейному дифференциальному уравнению.
В настоящей диссертационной работе проводится математическое моделирование нелинейного механического осциллятора с соударениями, который находит широкое применение в зондовой нанотехнологии. Так, задачи об осцилляторе с соударениями возникают при рассмотрении физических процессов в атомно-силовом микроскопе (АСМ), который используется для диагностики поверхностей твердых тел на атомном и наноразмерном уровне разрешения. Базовая конструкция АСМ содержит микрокантилевер с нано-наконечником, который в процессе колебаний наносит удары по поверхности образца (полуконтактный режим или tapping mode). Полуконтактный режим используется, главным образом, для исследования топографии твердых поверхностей. Однако, измеряемые сигналы в данном случае содержат также ценную информацию об упругих свойствах объекта исследования. Чтобы расширить область применения АСМ для диагностики этих свойств, необходимо провести математическое моделирование нелинейного осциллятора с учетом упругих соударений, что позволит определить зависимости частотных, амплитудных и фазовых характеристик сигналов от параметров моделей, характеризующих вязкоупругие свойства исследуемой поверхности.
Кроме того, практически важный вариант реализации осциллятора с
соударениями используется при создании различных
микроэлектромеханических систем (МЭМС), которые являются перспективными устройствами для современной цифровой электроники. Так, например, известен проект Millipede, который представляет собой качественно новую технологию запоминающих устройств, которая разрабатывается фирмой IBM. Для считывания и записи информации в данном случае используется гибридная микросхема, состоящая из набора микрокантилеверов и специального основания, на которое механическим способом осуществляется запись цифровых данных. В подобных устройствах при записи и считывании информации могут возникать осцилляции чувствительных элементов при их
соударениях с основанием.
В диссертационной работе, по существу, впервые предлагается рассмотреть осциллятор с соударениями в качестве динамического инструмента для исследования упругих свойств материалов. Отметим, что в настоящее время широкое распространение получили статические методы исследования, которые реализуются путем вдавливания штампа в образец (микро- и нанотвердомеры). К сожалению, динамические методы до сих пор не находят широкого применения для исследования упругих свойств. В связи с этим, тема настоящей диссертационной работы представляется актуальной, а ее результаты перспективными для практического применения.
Цель работы – повышение функциональных возможностей зондового метода диагностики упругих свойств твердых материалов за счет математического моделирования осциллятора с соударениями и математической обработки результатов натурных экспериментов.
Научные задачи
Реализация поставленной цели осуществлялась путем решения следующих основных научных задач:
анализ модуляционных режимов функционирования АСМ и известных математических моделей осцилляторов с соударениями;
разработка методики математического моделирования осциллятора с соударениями, которая позволит адекватно описать процессы, возникающие при взаимодействии зонда АСМ с поверхностью исследуемого тела в полуконтактном режиме;
разработка методики имитационного моделирования осциллятора при наличии упругих соударений, которая позволит провести идентификацию параметров нелинейного уравнения колебаний, что может играть конструктивную роль при практической реализации осциллятора с соударениями в АСМ для диагностики упругих свойств твердых материалов;
разработка эффективного алгоритма численного моделирования осциллятора с соударениями;
разработка и создание электромеханического осциллятора для экспериментального исследования физических процессов, возникающих в системе «ударник на пружине – образец» и верификации предложенных моделей;
- разработка алгоритма реализации спектрального анализа колебаний
осциллятора с соударениями, который позволит существенно повысить
информативность интерпретации результатов моделирования и натурных
экспериментов;
- реализация разработанных методик и алгоритмов с помощью комплекса
программ.
Объект исследования – нелинейный осциллятор с соударениями, совершающий вынужденные колебания.
Предмет исследования – математические модели, численные методы и
комплексы программ для моделирования нелинейных колебательных систем.
Методы исследования
В работе использованы методы математического, имитационного и схемотехнического моделирования, теорий упругости и колебаний, Фурье- и вейвлет-анализа сигналов и регрессионного анализа.
Согласно паспорту специальности, содержанием диссертации может являться применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем. В связи с этим, научная новизна настоящей диссертационной работы выражается в следующем.
В области математического моделирования:
-
Разработана методика математического моделирования осциллятора с соударениями, которая позволяет адекватно описывать процессы, возникающие при взаимодействии зонда АСМ с поверхностью исследуемого тела в полуконтактном режиме.
-
Разработана методика имитационного моделирования осциллятора при наличии упругих соударений, которая позволяет провести идентификацию параметров нелинейного уравнения колебаний, что может играть конструктивную роль при практической реализации осциллятора с соударениями в АСМ для диагностики упругих свойств твердых материалов.
3. Разработан и сконструирован электромеханический осциллятор для
экспериментального исследования физических процессов, возникающих в
системе «ударник на пружине – образец» и верификации предложенных
моделей.
В области численных методов:
4. Разработан эффективный алгоритм численного моделирования
осциллятора с соударениями, основанный на совместном применении таких
методов, как метод Рунге-Кутты 4-го порядка, быстрое преобразование Фурье,
дискретное вейвлет-преобразование, метод конечных элементов, численный
регрессионный анализ.
5. Разработан алгоритм реализации спектрального анализа колебаний
осциллятора с соударениями, который позволил существенно повысить
информативность интерпретации результатов моделирования и натурных
экспериментов.
В области использования комплексов программ:
6. Разработанные методики и алгоритмы математического, численного и имитационного моделирования осциллятора с соударениями реализованы путем совокупного применения таких программ, как Mathcad, MATLAB (Simulink и Wavelet Toolbox), COMSOL Multiphysics, Electronic Workbench.
Практическая значимость результатов работы
Результаты диссертационной работы легли в основу качественно новой методики исследования упругих свойств материалов, основанной на измерении акустических сигналов, которые возникают при периодических соударениях
зонда-осциллятора с образцом. На данную методику получен патент РФ [Патент № 2552600 от 10.06.2015 г.]. Результаты диссертационной работы также могут использоваться в зондовой нанотехнологии при изучении упругих свойств твердых материалов. Получено свидетельство о регистрации программы моделирования эквивалентной электрической схемы механического осциллятора с соударениями. [Свидетельство № 23689 от 03.07.2018 г.]
Положения и научные результаты, выносимые на защиту
1. Методика математического моделирования осциллятора с
соударениями, которая позволяет адекватно описывать процессы, возникающие
при взаимодействии зонда АСМ с поверхностью исследуемого тела в
полуконтактном режиме.
-
Методика имитационного моделирования осциллятора при наличии упругих соударений, которая позволяет провести идентификацию параметров нелинейного уравнения колебаний, что может играть конструктивную роль при практической реализации осциллятора с соударениями в АСМ для диагностики упругих свойств твердых материалов.
-
Эффективный алгоритм численного моделирования осциллятора с соударениями, основанный на совместном применении таких методов, как метод Рунге-Кутты 4-го порядка, быстрое преобразование Фурье, дискретное вейвлет-преобразование, метод конечных элементов, численный регрессионный анализ.
-
Алгоритм реализации спектрального анализа колебаний осциллятора с соударениями, который позволил существенно повысить информативность интерпретации результатов моделирования и натурных экспериментов.
-
Разработанные методики и алгоритмы математического, численного и имитационного моделирования осциллятора с соударениями могут быть реализованы путем совокупного применения таких программ, как Mathcad, MATLAB (Simulink и Wavelet Toolbox), COMSOL Multiphysics, Electronic Workbench.
Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические науки). Область исследования: 1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений; 5) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента; 6) разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается хорошей разработанностью теории колебаний и теории упругости, корректностью исходных предположений и допущений, корректным использованием численных методов, использованием известных программ для
математического и имитационного моделирования. Достоверность построенных математических моделей подтверждена сравнением результатов проведенных численных экспериментов с натурными данными.
Личный вклад автора
Цели и задачи диссертационной работы были сформулированы и поставлены научным руководителем, который также является соавтором некоторых совместных публикаций. Вычислительные и натурные эксперименты, основные результаты и выводы, были проведены и получены лично автором.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: X, XI, XII, XIV Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик, 2012-2016 гг.); II Международная конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2012 г.); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики» посвященная памяти академика А.А. Самарского в связи с 95-летием со дня его рождения (Нальчик, 2014 г.); International Russian – Chinese Conference on Actual Problems of Applied Mathematics and Physics and Scientific School for young scientists “Nonlocal Boundary Problems and Modern Problems in Algebra, Analysis and Informatics” (Терскол, 2015 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и информатики» (Терскол, 2016 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» (Нальчик, 2017 г.); а также на заседаниях научно-исследовательского семинара НИИ ПМА КБНЦ РАН по современному анализу, информатике и физике (2012-2018 гг.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 16 работ: из них 7 статей в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России; 7 в сборниках трудов международных и российских конференций и школ молодых ученых; 1 патент РФ на изобретение; 1 статья в издании, индексируемом в РИНЦ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы содержит 109 наименований. Общий объем диссертации – 134 страницы.