Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Движение спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты (ограниченная постановка) 24
1.1 Постановка задачи. Уравнения движения 24
1.2 Уравнения невозмущенного движения: и = 0 29
1.3 Построение «возмущенной» системы уравнений движения . 30
1.4 Стационарное движение спутника и его устойчивость 39
1.4.1 Случай 1а. «Плоское» движение спутника 39
1.4.2 Случай 16. Пространственное движение спутника.. 44
1.5 Эволюционная система уравнений движения спутника 46
1.5.1 а. «Плоский» случай 46
1.5.2 б. Пространственный случай 55
ГЛАВА 2 Движение системы планета-спутник в гравитационном поле сил (неограниченная постановка) 64
2.1 Стационарное движение спутника и его устойчивость для неограниченной задачи 64
2.2 Эволюционная система уравнений для неограниченной задачи 71
2.3 Частные случаи движения спутника и их устойчивость 75
2.4 Медленная диссипативная эволюция движения спутника 80
2.4.1 3D визуализация модели движения спутника 87
ГЛАВА 3 Движение спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты с ядром (неограниченная постановка) 89
3.1 Постановка задачи. Уравнения движения з
3.2 Деформации вязкоупругой оболочки планеты 93
3.2.1 Форма вращающейся вязкоупругой планеты без учета гравитационных сил 93
3.2.2 Приливные деформации планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника 97
3.2.3 Приливные деформации планеты в гравитационном поле спутника 108
3.3 Возмущенная система уравнений движения 110
Заключение 116
Список литературы
- Построение «возмущенной» системы уравнений движения
- Эволюционная система уравнений движения спутника
- Эволюционная система уравнений для неограниченной задачи
- Деформации вязкоупругой оболочки планеты
Введение к работе
Актуальность темы
Небесные тела претерпевают изменения скорости вращения, орбиты их спутников уменьшаются и увеличиваются, многие системы достигают резонансного вращения. В частности, причиной этих эффектов служит приливное трение.
Одной из модельных задач в теории приливов является задача о движении вязкоупругих тел в гравитационном поле сил. Первые фундаментальные исследования в этой области принадлежат Дж.Г. Дарвину1. Позднее во второй половине XX века исследованию приливных эффектов посвятили свои труды такие ученые, как Макдоальд(1965), Голдрайх и Пил(1968), Каула(1971) и другие .
Общий характер приливного трения, влияющего на эволюцию движения систем «планета-спутник», можно описать следующим образом. Под действием неоднородного гравитационного поля взаимного притяжения происходит деформация планеты, на поверхности планеты образуются так называемые приливные горбы. Так как при деформации возникает трение, то имеет место запаздывание максимума прилива на некоторый угол (при условии, что угловая скорость вращения планеты превышает орбитальную скорость спутника). Сдвинутый приливной горб вызывает замедление вращения планеты из-за монета сил, который возникает при взаимодействии спутника и приливного горба. Этот же момент сил ускоряет движение спутника по орбите. Часть кинетической энергии вращения планеты диссипирует, а часть переходит в кинетическую и потенциальную энергии орбитального движения спутника.
В большинстве работ по исследованию теории приливов используется феноменологический подход, на основе модели твердого тела вводятся различные допущения об угле запаздывания и о величине приливных горбов. Хотя недавние работы начинают включать реологические характеристики планеты (Efroimsky , Ferraz-Mello и др.) , получаемые модели по-прежнему исполь-
1 Darwin, G. Н. 1879. "On the precession of a viscous spheroid and on the remote history of the
Earth." Philosphical Transactions of the Roy. Soc. of London, Vol. 170, pp. 447-530
2 Приливы и резонансы в Солнечной системе. Сб.статей / под ред. В.Н. Жаркова М.:Мир,
1975. 287с.
3 Efroimsky, М. 2012 a. "Tidal dissipation compared to seismic dissipation: in small bodies, earths,
and superearths." The Astrophysical Journal, Vol. 746, id. 150
4 Ferraz-Mello S (2013) Tidal synchronization of close-in satellites and exoplanets. A rhephysical
зуют разложение приливного потенциала для твердого тела.
Исследованием систем с вязкоупругими элементами занимались в разное время Черноусько Ф.Л. , Вильке В.Г., Марков К).Г., Маркеев А.П. и др. В настоящем исследовании применяются методы, разработанные Вильке Владимиром Георгиевичем, позволяющие получить уравнения движения для механических систем с бесконечным числом степеней свободы. Ранее эти методы уже были применены, в частности, к ряду задач о поступательно-
вращательном движении вязкоупругого шара , в задачах о движении
вязкоупуругих тел в гравитационном поле взаимного притяжения .
Цель работы — исследование моделей эволюции движения спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты с применением методов теоретической механики, асимптотических методов, в том числе методов разделения движения и усреднения для механических систем с бесконечным числом степеней свободы, численных методов и компьютерных программ.
Исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи исследования:
- с помощью методов теоретической механики, асимптотических методов, в частности, метода разделения движений и усреднения, для рассматриваемых моделей получить систему уравнений, описывающую поступательно-вращательное движение системы «планета-спутник» с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией;
approach. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 116:109-140
5 Черноусько Ф. Л. О движении вязкоупругого твёрдого тела относительно центра масс //
Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1980, 1.
6 Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч
1,2. М.: Изд-во мех.-мат. факультета МГУ, 1997. 4.1. 216 с; 4.2. 160 с.
7 Марков Ю.Г., Миняев И.С. Эволюция вращения осесимметричного вязкоупругого тела на
эллиптической орбите.// Космические исследования,1990, т.28, вып. 4, с 483-495.
8 Маркеев А. П. Об одном частном случае движения динамически симметричного упруго-
вязкого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле.// Космические исследования,
1990, т.28, вып.5, с.643-650.
9 Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // ПММ.
1980. Т.44. Вып. 3. С.395-402.
10 Вильке В.Г., Марков Ю.Г. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой
планеты в центральном поле сил // Астрономический журнал, 1988, т.65, вып. 4, с.861-867.
11 Вильке В.Г., Шатина А.В. О поступательно-вращаетльном движении вязкоупругого шара в
гравитационном поле притягивающего центра и спутника // Космич. исследования, 2004, Т. 42,
Nol, с. 95-106.
12 Вильке В.Г., Шатина А.В., Шатина Л.С. Эволюция движения двух вязкоупругих планет в
поле сил взаимного притяжения // Космич. исследования, 2011, Т. 49, No4, с. 355-362.
провести анализ полученных систем уравнений, выявить стационарные решения и исследовать их устойчивость;
с помощью численных методов, основываясь на полученных уравнениях, выявить особенности движения систем на космических масштабах времени;
- реализовать программные алгоритмы, вычисляющие эволюционные
параметры орбитального движения спутника.
Научная новизна результатов работы
Основные результаты работы получены автором лично, являются новыми и заключаются в следующем.
Проведено исследование орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты, когда планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, либо телом, состоящим из твердого ядра и прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки, а спутник - материальной точкой, а именно:
Для каждой модели получена система обыкновенных дифференциальных
уравнений в векторном виде, описывающая поступательно-вращательное
движение системы «планета-спутник» с учетом возмущений, вызванных
упругостью и диссипацией.
Описана форма вращающейся вязкоупругой планеты с ядром на основе
решения квазистатической задачи теории упругости для деформируемой
оболочки планеты.
Найдены стационарные решения уравнения орбитального движения спутника и исследована их устойчивость для ограниченной постановки задачи, когда вектор угловой скорости вращения планеты постоянен, и для неограниченной постановки.
Получена эволюционная система уравнений, описывающая изменение параметров орбиты спутника на основе усредненной системы уравнений движения в переменных Делоне, для плоской и пространственной моделей ограниченной постановки задачи и для пространственного случая неограниченной постановки. Построены фазовые портреты. Для ряда планет Солнечной системы и их спутников проведено численное интегрирование и построены графики зависимости среднего движения, эксцентриситета, наклонения орбиты от времени. Проведен сравнительный анализ с результа-
тами других исследователей приливной эволюции орбитального движения
небесных тел.
Проведено исследование приливных деформаций планеты, состоящей из
твердого ядра и жестко прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки, в гравитационном поле притягивающего центра и спутника. Получена скалярная функция, описывающая деформации в фиксированной точке поверхности планеты в зависимости от времени. Построены графики этой функции для планеты «Земля», движущейся в гравитационном поле Солнца и Луны.
Написана программа визуализации движения спутника, интерфейс кото
рой имеет следующие зоны и компоненты: 1) графики изменения эксцен
триситета, наклонения и большой полуоси орбиты спутника в зависимости
от времени для эволюционной системы уравнений; 2) слайдер для пере
мещения по интервалу времени, 3) 3D визуализация движения спутника
относительно планеты.
Теоретическая и практическая ценность работы
Результаты исследования носят теоретический характер и могут быть использованы в спутниковой системе навигации, геодезии, геофизике.
Методы исследования
В работе используются методы аналитической механики и теории возмущений, метод разделения движений и усреднения для систем с бесконечным числом степеней свободы (Вильке В.Г., 1983), численные методы.
Достоверность результатов
Результаты диссертации получены с использованием методов аналитической механики и асимптотических методов на основе сформулированных в работе гипотез. Корректность полученных моделей подтверждена и проиллюстрирована результатами численного анализа и их качественным сравнением.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на 60, 61, 62, 63 Научно-технических конференциях МГТУ МИРЭА (Москва, 2011, 2012, 2013, 2014);
X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011);
IV Региональной научно-практической конференции «Университет XXI века: исследования в рамках научных школ» (Тула, 2013);
XLI Международной летней школе-конференции «Актуальные проблемы механики» ("Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 2013);
Семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН Белецкого В.В. и проф. Карапетяна А.В. в МГУ им М.В. Ломоносова (Москва, 2015, 2017);
XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);
Первой научно-технической конференции Московского технологического университета (Москва, 2016);
X Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2016);
Международной школе-конференции молодых ученых «Математика, физика, информатика и их приложения в науке и образовании» (Москва, 2016);
Семинаре в Институте проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН (Москва, 2017).
Публикации
Основные результаты диссертации изложены в 12 работах (в том числе 3 работы в журналах из перечня ВАК). Список работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора
Личный вклад автора состоит в участии во всех этапах исследования и разработки и непосредственном получении результатов: выводе уравнений движения, эволюционных уравнений, численном интегрировании, построении фазовых портретов, проведении расчетов. В работах, выполненных в соавторстве, А.В. Шатиной принадлежат постановки задач и общее научное руководство, вклад автора не менее 50%.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (82 наименования) и приложения. Текст работы изложен на 157 страницах. Диссертация содержит 44 рисунка и 2 таблицы.
Построение «возмущенной» системы уравнений движения
Методы механики Обратимся к общим методам, которые применяются при исследовании динамических систем. Большинство задач небесной механики имеют неинтегрируемый характер. Обычно, если каким-либо известным методом удается получить уравнения движения рассматриваемой механической системы, то эти уравнения, как правило, избыточно громоздки и сложны для аналитического или численного анализа. Поэтому стараются перейти к более простым моделям динамической системы, которые описываются более простыми уравнениями. Таким образом, со временем появились и стали развиваться методы, позволяющие заменить неинтегрируемую задачу интегрируемой, решениє которой приближенно соответствует решению исходной задачи. Каждый метод характеризуется своей степенью точности получаемого решения. Многие асимптотические методы 5 позволяют получить уравнения, описывающие лишь вековую эволюцию. Но существуют так же методы, дающие и более высокое приближение, чтобы описать небольшие вариации.
Одна из реальных возможностей сократить и формализовать процесс упрощения уравнений движения динамических систем связана с применением методов малого параметра. Довольно часто (например, при исследовании периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречаются случаи, когда в уравнении можно выделить члены двух видов: главные и второстепенные, при этом второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Если отбросить второстепенные члены, то возможно получить уравнение, которое допускает точное решение. Затем решение основного уравнения ищется в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения только с главными членами, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия).
При применении таких методов строится приближенное решение исходной системы, т.е. получают упрощенные уравнения, которым удовлетворяют приближенные решения. При этом проводятся дополнительные исследования уравнений, позволяющие проверить соответствие полученных результатов исходной задаче.
Стоит отметить, что происходит, как постоянное развитие классических методов, из-за необходимости усовершенствования для решения новых задач, так и процесс появления новых асимптотических методов. Так как одной из основных областей математического естествознания, требовавшая
быстрейшего развития приближенного решения дифференциальных уравнений, явилась небесная механика[57], то метод малого параметра начал применяться при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое же обоснование этого метода позже дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре 6 .
Метод малого параметра лежит в основе теории возмущений. Теория возмущений впервые так же возникла в рамках небесной механики, хотя в настоящее время задачи, стоящие перед ней, гораздо шире. При применении методов теории возмущений исследование начинается с невозмущенной или порождающей задачи, решение которой рассматривается в качестве приближения для более сложной задачи, отличающейся наличием дополнительных малых членов в уравнениях. Далее строятся последующие приближения, которые уточняют найденное решение, обычно в форме степенных рядов. При этом в качестве переменной в таких рядах используется как раз малая величина, называемая малым параметром. Как правило используются только частичные суммы рядов (в большинстве задач ограничиваются двумя-тремя слагаемыми) [38].
Еще один метод, относящийся к методам малого параметра, носит название разделения и усреднения движения. Принцип усреднения — один из мощнейших методов теории возмущений, впервые так же стал применяться в небесной механике. Его применение можно найти в работах Лагранжа, Лапласа, а позже и Гаусса при изучении орбитальной эволюции планет под влиянием их взаимного притяжения. При исследовании в этих работах учитывалось то, что слагаемые в правых частях соответствующих систем дифференциальных уравнений можно разделить на быстроосцил-лирующие («быстрые») и медленноизменяющиеся («медленные»), и при этом именно «медленные» описывают главную (плавную) часть решения, а «быстрые» слагаемые отвечают лишь за малые осцилляции около основного движения, поэтому естественно их отбросить, то есть усреднить систему.
Эволюционная система уравнений движения спутника
Рассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле сил, когда планета моделируется вязкоупругим телом, а спутник— материальной точкой. В главе 1 подробно изложена постановка задачи, асимптотическим методом разделения движения получена векторная система дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой механической системы с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией (1.34)—(1.35). Указанная система уравнений имеет первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения относительно общего центра масс (1.40).
Вектор кинетического момента вязкоупругого шара относительно центра масс L, определяемый равенством (1.30), можно представить в виде: L = АТи + є..., 2 2 где А = —тпг0 — момент инерции шара относительно диаметра, Г — орто 5 тональный оператор перехода от подвижной системы координат Cx1T2x3 к системе осей Кёнига, и) — вектор угловой скорости планеты. Так как правые части уравнений (1.34)—(1.35) содержатся только в возмущенной части при є1, то, сохраняя линейное приближение по малому параметру є, в урав 2.Г нениях (1.34)—(1.35) можно считать, что А Выражая вектор L из равенства (1-40) и учитывая (2.1), получим векторное дифференциальное уравнение, описывающее орбитальное движение спутника:
Компоненты векторов R, R, Go в уравнении (2.2) заданы в инерциаль-ной системе координат OXYZ, ось OZ которой направим по вектору Go-Тогда Go = (0,0, Go). При выводе равенств (2.3) из (1.36), (1.37) были учтены следующие соотношения: где величина Rc является корнем уравнения (2.9), соответствует движению спутника по круговой орбите радиуса Rc в плоскости, ортогональной вектору Go Так как уравнение (2.9) содержит малый параметр є, то стационарное значение Rc будем искать в виде разложения по степеням є: Rc = RQ + sR\ + є R2 + ...
Если GQ (p(R ), то уравнение (2.11) решений не имеет, если GQ = (p(R ), то уравнение (2.11) имеет одно решение До = R , а если GQ (p(R ), то уравнение (2.11) имеет два решения R\ и R2, причем R\ R R2. Исследуем устойчивость стационарного решения (2.10) в случае существования двух стационарных орбит. Положим R = Rc (1 + хл), = —— 52 (1 + ж2), V = п/2 + х3 и выпишем уравнения первого приближения возмущенного движения СИ 69 стемы: Х\ + 2 Ъ\Х\ — Ъ2Х\ — Ь:ІХ2 = О х2 + Ь Х і + 2±i + ЪъХ\ = О Х2, + ЪАХ2, + Ъ&Х2, = О (2.13) + 1 + 1 + 1 + 1 + ъ2 =h = 6exbfn R (Л + mr Д2)2 2G2 (Л + тг Щ)2 2mrR2cl АеЪ fmrFii А Щ V ebmr АЩ г2 (Л + mr Я2) + 2/(/І + Ш) 42Є6//І Я Я3 + 1 Ь ( + 1 2є6 (mrR2c R5, V А Решение уравнений (2.13) будем искать в виде: Х{ = АГіеХі (і = 1,2,3). Получим характеристическое уравнение: А2 + ЗМ - Ь2 -Ъ3 о 2А + 65 О о Х + Ъл О А2 + ЪАХ + к (А2 + 64А + Ь6 ) (А3 + (ЗЬ1 + h)X2 + (З6164 - 62 + 263)А + (Ъф5 - b2h) ) = О Квадратный трехчлен А + Ь Х + &в имеет корни с отрицательной вещественной частью. Рассмотрим кубическое уравнение А3 + 2i А2 + а2Х + а3 = О ГДЄ 2i = 3&1 + &4, «2 = 36i64 - &2 + 263, «3 = &3&5 &2&4 Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы все корни последнего уравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и доста точно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы а\ аз 0 1 а2 0 \ 0 а\ а3/ были ПОЛОЖИТеЛЬНЫМИ, Т.Є. Ai = (1\ 0, А2 = OL\OL2 — Q.3 0, Аз = 2зА2 0. Очевидно, что а\ = Ъ\ + 64 0, рассмотрим А2: а\а2 - аз = (З&і + 64)(36i&4 - b2 + 263) - (hb5 - b2b4) = = (З&1 + 64)(36i64 + 26з) - &3&5 - З&1&2 = = 96f64 + З&1&І + 66163 + 263&4 - З&1&2 - &3&5
Отбрасывая члены второй малости по є и учитывая, что 2&з&4 Ьф$ = &з(2&4 — &б) = 2&1&з, получим: аіа2 — аз 8&1&3 — 3b\b2 = 6i(863-362) &i 16G20 3G20 6/(/І + т) 1 (А + mr Лс2)2 (Л + тгЩ)2 Щ тт GQ /(m + /І) Из (2.11), выражая к = — , окончательно получим: (А + mr Д2) лс 7Д/х + т) 42еХЪрц{ц + m) п А2 = aia2 - a3 « &i = 0 Теперь определим знак аз: аз = Ьф5 - Ъф 4G2 mrR2h _ f G2 + 2/(/x + m) 1 /m + \ (А + тгЩ)2 A y(A + mrR2f Щ j\ А \ fmr(p + m) 3f(p + m)\ f(p + m) ( 2 , = {—АЩ ІЇ Г = Ж к с" ] х ЗА Таким образом, при R0 — имеем аз 0, и, согласно критерию тг Гурвица стационарное решение (2.10) асимптотически устойчиво, а при ЗА R0 — значение аз меньше нуля, и стационарное решение (2.10) неустой-тг чиво. Это означает, что стационарное движение по орбите меньшего радиуса R\ является неустойчивым, а по орбите большего радиуса i?2 асимптотически устойчивым.
Эволюционная система уравнений для неограниченной задачи
Рассмотрим задачу о поступательно-вращательном движении системы «планета-спутник» в гравитационном поле сил взаимного притяжения. Спутник будем моделировать материальной точкой Р с массой /І. Планету будем моделировать телом, состоящим из твердого ядра и вязкоупругой оболочки, занимающим область V = Vo U V\ в трехмерном евклидовом пространстве при отсутствии деформаций. Здесь Vo = { г Є E:i : r Го}, V\ = { г Є Е:і : Го r Гі}. Пусть ро, р\ —плотности ядра и вязкоупругой оболочки соответственно, а то, т\ — их массы. Предполагается, что материал оболочки планеты является однородным и изотропным.
Введем инерциальную систему координат OXYZ с началом в центре масс системы «планета-спутник». Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат Сх\Х2Х% жестко связанную с ядром и систему осей Кенига C i 2 3; где С — центр масс планеты в естественном недеформированном состоянии (рис. 3.1). Положение точки М планеты в инерциальной системе координат OXYZ определяется векторным полем RMM) = ОС + Г(г + и(г,)), (3.1) где Г — оператор перехода от подвижной системы координат Сх\Х2Х% к системе осей Кенига С і з, u(r,t)— вектор упругого смещения, равный тождественно нулю для точек твердого ядра Vo- Так как О — центр масс рассматриваемой механической системы, то RM(r,t)pdv + fi-OP = 0 (3.2) v I ро, если г Є Vo Здесь р = I р\, если г Є V\ Введем в рассмотрение вектор R = СР. Тогда из (3.1) и (3.2) получим: ОС = — R — [тирфі, т + /І т + /І J 1 7 ОР = R / Гирфг т + /І т + /І J Здесь т — масса планеты, т = TTIQ + т\. Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом П = -М// 5- V, (3-4) 1 -} J -R + r(r + u) к J v где / — универсальная гравитационная постоянная.
Функционал потенциальной энергии упругих деформаций зададим в соответствии с линейной моделью теории упругости: где Е — модуль упругости Юнга, v — коэффициент Пуассона вязкоупругой оболочки планеты, 1Е,НЕ — инварианты тензора малых деформаций. Диссипативные свойства вязкоупругой оболочки опишем диссипатив-ным функционалом @= [ @[u]dvu 9 [и] = х И , Ух соответствующим модели Кельвина-Фойгта (здесь \ 0 — коэффициент внутреннего вязкого трения). Положим Rp = OP. Уравнения движения системы «планета-спутник» получим из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа: RM, ЖМ pdv + /І (ІІр, 5КрJ + Ш +
Здесь из — вектор угловой скорости планеты, 5сх — вектор, возникающий при варьировании ортогонального оператора Г: Подставляя в равенство (3.6) выражения (3.7) для Им, &RM5 Ир, 5Ир и приравнивая коэффициенты при независимых вариациях 5И, SOL, 5и, получим уравнения движения системы «планета-спутник» в виде:
Будем полагать, что жесткость вязкоупругой оболочки планеты велика, т.е. мал безразмерный параметр є = pu rfE-1, где UJQ — величина модуля начальной угловой скорости планеты. Выбрав соответствующим образом масштабы размерных единиц, можно ввести малый параметре = Е-1. При є = 0 вектор упругого смещения и полагается равным нулю. В этом случае получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого тела сферической формы и материальной точки, в поле сил взаимного притяжения. Невозмущенная система уравнений движения имеет вид: - f(m + д)_ , . , R+JV p;R = 0, Аи = 0} (3.11) R6 8-7Г где А = — \рг\ + Pi (ri ro)l момент инерции планеты в недеформи 15 рованном состоянии относительно диаметра. При є / 0 согласно методу разделения движений [13] из уравнения (3.10) определим деформации вязкоупругой оболочки, вызванные полем внешних сил и сил инерции переносного движения. Решение уравнения (3.10) будем искать в виде разложения по степеням малого параметрам: U = Ui + Є2Л\2 + Краевая задача для определения функции Ui первого приближения имеет вид [31]: eVnS [ui + хйі] = -piuj2 r + VYU + УГУ,
Краевые условия (3.13) означают равенство нулю вектора упругого смещения для точек внутренней поверхности сферической оболочки, прикрепленной к твердому ядру, и равенство нулю напряжений на внешней поверхности сферической оболочки.
Решение краевой задачи (3.12)-(3.13) имеет вид [31]: Заметим, что согласно методу разделения движений [13] зависимость вектор-функции Ui2o от времени осуществляется через величины йи в соответствии с невозмущенной задачей (3.11). Введем подвижную систему координат Сх\Х2Х% , связанную с планетой. Начало координат С поместим в центре твердого ядра, а ось Сх% направим по вектору ал Тогда поверхность вращающейся деформированной планеты без учета приливных деформаций можно описать векторным параметри ческим уравнением: S = г\ег + euio (rier, t) + єип (rier, t), (3.16) er = (cos (/9 sin в; sin (/9 sin в; cos6 ) , 0 ip 2тт, 0 в тт. Поверхность (3.16) является поверхностью вращения. Получим параметрические уравнения кривой, получающейся при пересечении этой поверхности плоскостью, проходящей через ось Сжз, например, плоскостью СХ ІХ І. Положим в (3.16) if = 7г/2.
Деформации вязкоупругой оболочки планеты
На рис. 3.4 представлен график функции 10 (), описывающей приливные деформации для точки на экваторе рассматриваемой двуслойной модели Земли за 30 суток. В начальный момент времени Солнце, Земля, Луна находились на одной прямой, причем Солнце и Луна — по разные стороны Земли, при этом на поверхности Земли взята точка с нулевыми значениями широты и долготы = 0, = 0, 1 (0) = 0, 2 (0) = 0, 2 (0) = 0). Амплитуда колебаний точки зависит от фазы Луны.
Одно деление по оси абсцисс соответствует одному обороту планеты вокруг своей оси. Таким образом, видно, что за одни сутки в среднем имеем два максимума и два минимума приливной деформации.
На рис. 3.5, 3.6 изображены графики функции F\Q (Г) для точки поверхности планеты, расположенной на широтах 30 и 60 соответственно. Графики построены с использованием Python библиотеки matplotlib. 12 3 4 5
Можно выделить два периода изменения функции на графиках. Ко-роткопериодические изменения: локальные максимумы функции соответствуют случаю, когда планета повернута исследуемой точкой к спутнику и когда точка находится на противоположной стороне планеты. Период этих колебаний соответствует половине периоду обращения планеты вокруг своей оси, т.е. наблюдаются полусуточные приливы. В формуле (3.37) за это отвечает множитель ( 3(2, ем) 1 ) Скалярное произведение ( 2?ем) равно косинусу угла между вектором, направленным на спутник, и вектором, направленным на выбранную точку на поверхности планеты, обозначим данный угол за є. Таким образом, экстремумы на графиках со 109 Ыт)
Приливные деформации на широте 60 (/і = 7г/3, А = 0), #о = 0 ответствуют экстремумам cos є (для случая #о = 0 это углві 0, 7Г и 7г/2, 37г/2, соответственно). На графиках точки ( 2іем)шах соответствуют максимуму cose, а ( 2іем)тіп — минимуму cose. Для случая во = 0 и точек на экваторе эти значения совпадают.
Имеются и долгопериодические изменения. Ввиду того, что спутник вращается по эллиптической орбите, то так же имеются глобалвнвіе перепады максимумов и минимумов. Наиболвший максимум соответствует случаю нахождению спутника в перицентре, наименвший перепад уровней - спутник в апоцентре (для случая нулевого наклонения орбитві спутника). Период соответствует периоду обращения спутника по орбите. В формуле для компонента Fn(rM,t) за это отвечает множителв (1 + e2COS#2)
Деформация планеты больше со стороны, направленной на спутник. В случае, когда угол наклона экватора планеты равен 0, при выборе точки планеты выше некоторой широты колебания максимумов и минимумов деформации могут стать отрицательными (рис. 3.9).
В случае ненулевого угла наклона закон изменения высоты приливного горба усложняется (рис. 3.11-3.12). Колебания максимумов и минимумов имеют разные составляющие, зависящие от значения скалярного произведения ( 2,ем)- В большинстве максимумов на графиках значение cos не достигает единицы.
Колебания минимумов соответствуют половине периода вращения планеты р/2. Характер колебаний максимумов меняется в половину этого периода, т.е. р/4. Г / [[ихС]( ) + [гх С,и)]рА = 0. Подставим в уравнения (3.38), (3.39) и = єііі, где Ui определяется равенством (3.14) и вычислим тройные интегралы по области V\. Будем 112 использовать сферические координаты (г, (р,0). Для перехода к сферическим координатам используются следующие формулы: х = г sin в cos (/?, у = г sin в sin (р, z = г cos в; якобиан равен J = г2 sin в.
Получили векторную систему дифференциальных уравнений, описывающую поступательно-вращательное движение системы «планета-спутник» с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией: /(m + /І) 3/(m + n)pfeD р(ж, z/) = ——- {-16(9fc + 14)ж17 - 200(3/с + 8)xu + 672(4; + 9)ж12 -(210&2 + 3044& + 5824)ж10 + (525k2 + 1256/c + 1576)ж7+ + 84(Ш + 12)ж5 - 25(21/c2 + 92k + 5б)ж3 + 210/c2 + 716& + 416 } . Система уравнений (3.40)-(3.41) имеет первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения системы «планета-спутник» относи 115 тельно общего центра масс: mrRxR + L = G0, (3.42) цт где тг = , Go — постоянный вектор. т + /І Полученная возмущенная система уравнений движения (3.40)—(3.41) совпадает с полученной в главе 1 системой уравнений (1.32)—(1.33). Различие состоит в коэффициенте D, характеризующем вязкоупругие свойства планеты. Это означает, что динамика рассматриваемой в данной главе механической системы не отличается от динамики системы планета-спутник, когда планета моделируется вязкоупругим шаром.