Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов математического моделирования процессов тепломассопереноса в замкнутых объемах 10
1.1. Классификация внутренних задач конвективного теплообмена 10
1.2. Классификация способов математического исследования внутренних задач теории тепломассообмена 22
1.3. Вычислительный эксперимент как инструмент теоретического исследования задач внутренней конвекции 30
Выводы 34
Глава 2. Моделирование процессов конвективного теплообмена в наклонной цилиндрической емкости с жидкостью 36
2.1 Формализованное описание анализа процессов тепломассообмена в наклонном цилиндре с полусферическими днищами 36
2.2 Трехмерная математическая модель процессов термогидродинамики в наклонном цилиндрическом сосуде 38
2.3 Модель процесса термоконвекции в цилиндрических координатах 41
2.4 Модель процессов конвективного теплообмена в безразмерных координатах 43
2.5 Математическая модель давления в наклонном цилиндрическом баке 47
Выводы 54
Глава 3. Численная реализация модели процесса тепломассопереноса в полностью заполненном наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами 55
3.1. Аппроксимация области численной реализации модели термоконвекции в наклонном цилиндре с полусферическими днищами 55
3.2. Конечно-разностная модель конвективного теплообмена во внутренних точках емкости 58
3.3. Разностная аппроксимация уравнения Пуассона для давления 61
3.4. Аппроксимация граничных условий 63
3.5. Алгоритм численной реализации задачи изучения процессов тепломассопереноса в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами, заполненной жидкостью 69
Выводы 75
Глава 4. Моделирование процессов конвективного теплообмена в частично заполненной жидкостью наклонной цилиндрической емкости 76
4.1 Постановка задачи исследования процессов тепломассообмена в частично заполненной цилиндрической емкости при изменении ее положения 76
4.2 Математическая модель конвективного теплообмена в. наклонной цилиндрической емкости, частично заполненной жидкостью 78
4.3 Математическая модель конвективного теплообмена в частично заполненной наклонной цилиндрической емкости в безразмерных координатах 81
4.4 Модель расчетадавления в газовой и жидкой фазах емкости 86
4.5 Конечно-разностная модель конвективного теплообмена во внутренних и граничных точках емкости 87
4.6 Алгоритм численной реализации задачи исследования процессов тепломассообмена в частично заполненном цилиндре с полусферическими днищами при его отклонении от вертикального положения 97
Выводы 103
Глава 5. Результаты практической апробации моделей в условиях наклонного цилиндрического бака с полусферическими днищами, заполненного криогенной жидкостью 105
5.1 Результаты тепловых расчетов для полностью заполненного криогенной жидкостью цилиндрического бака с полусферическими днищами при различных углах отклонения от вертикального положения и различной высоте цилиндрической области 105
5.2 Результаты тепловых расчетов для частично заполненного наклонного цилиндра с полусферическими днищами 119
5.3 Критериальные зависимости расчета теплопередачи... 125
Выводы 130
Основные результаты и выводы 131
Список использованных источников 132
Список условных обозначений 146
- Классификация способов математического исследования внутренних задач теории тепломассообмена
- Трехмерная математическая модель процессов термогидродинамики в наклонном цилиндрическом сосуде
- Конечно-разностная модель конвективного теплообмена во внутренних точках емкости
- Математическая модель конвективного теплообмена в. наклонной цилиндрической емкости, частично заполненной жидкостью
Введение к работе
Актуальность темы. Для многих приложений сегодня требуется все более точный расчет характеристик рабочих процессов при поиске оптимальных конструкторских и технологических решений, направленных на повышение надежности, улучшение эксплуатационных характеристик машин и технологических аппаратов, повышение качества материалов. Проведение экспериментов на натурных объектах в подобных ситуациях становится затруднительным или почти невозможным. Поэтому использование методов математического моделирования и вычислительной техники позволяют решить многие проблемы.
В настоящее время во многих отраслях промышленности наметился переход от традиционных видов топлива на наиболее экономичные и экологически чистые криогенные продукты. Основная сложность хранения и транспортировки жидких криоагентов связана с тем, что они имеют высокую степень испаряемости даже при малых тепловых нагрузках. Испарение жидкости может приводить к росту давления в баке, что в свою очередь может создать взрывоопасную ситуацию. Особенно актуальна эта проблема при использовании криогенного топлива в авиации. В связи с этим очень важно иметь возможность прогнозирования поведения жидкости в баках различной геометрической формы, в частности цилиндр, сфера и их комбинация, с целью выбора материалов, работоспособных при низких температурах; выбора эффективной тепловой защиты от теплопритоков из окружающей среды.
Анализ литературы показал, что разработано достаточно большое количество моделей и алгоритмов изучения осесимметричных процессов тепломассообмена в замкнутых емкостях, что не в полной мере отражает структуру свободноконвективных течений в реальных условиях. В большинстве случаев в авиационной и ракетной технике топливные баки подвергаются различным механическим воздействиям, что приводит к нарушению симметрии конвективных течений. В связи с этим остро встает
необходимость в разработке новых моделей и алгоритмов для исследования подобного рода процессов.
Таким- образом, задача исследования процессов тепломассопереноса, происходящих в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими^ днищами под влиянием равномерно распределенного теплового потока, в настоящее время является актуальной.
Данная диссертация выполнялась в рамках тематического плана кафедры Информатики и методики преподавания математики, «Математическое и компьютерное моделирование задачи теплообмена в областях сложной геометрической формы» ВГПУ.
Цель и задачи исследования. Целью* настоящей работы является разработка моделей и алгоритмов исследования термогидродинамических процессов в замкнутой цилиндрической емкости с полусферическими днищами, заполненной криогенной жидкостью с учетом различных ориентации вектора массовых сил относительно оси емкости.
Для достижения указанной цели были-поставлены следующие задачи:
Разработка трехмерной математической модели процессов тепломассопереноса в цилиндрической емкости с полусферическими днищами' в условиях различных направлений внешней массовой силы, позволяющей определить значения всех конвективных составляющих, а также давление и температуру в жидкости, находящейся в баке.
Разработка алгоритма численной реализации задачи естественной конвекции внутри наклонной цилиндрической емкости с жидкостью.
Разработка программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента задачи определения полей скорости, температуры и давления в баке цилиндрической формьъ с полусферическими днищами' при отклонении, его относительно вектора массовых сил и переменной высоте цилиндрической области:
Проведение вычислительного эксперимента в условиях различных ориентации свободной поверхности жидкости в цилиндрической
емкости с последующим анализом результатов.
5. Определение критериальной зависимости коэффициента теплоотдачи в условиях естественной конвекции в. наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами.
Методы исследований. Теоретические и практические разработки, представленные в' диссертации, базируются на применении методов математической физики, теории разностных схем, теории гидромеханических, тепло- и массообменных процессов, вычислительной гидродинамики. Использовались методы математического моделирования и современные методы разработки программного обеспечения.
Научная новизна:
Предложенные модели и алгоритмы процесса конвективного теплообмена в замкнутой емкости цилиндрической формы отличаются возможностью учета различных ориентации свободной поверхности жидкости.
Разработанные алгоритмы позволяют определить, давление в жидкости и оценить его влияние на процессы, протекающие в емкости.
Получена структура гидродинамических и температурных полей свободноконвективных течений в замкнутой емкости сложной,геометрии при переменных углах отклонения емкости относительно вектора^ массовых сил, различной высоте цилиндра, позволяющая сформулировать рекомендации по хранению и транспортировке баков с криопродуктами;
Получены коэффициенты теплоотдачи для различных ориентации вектора массовых сил относительно емкости, учитывающие геометрию бака.
Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные' в диссертацию, обоснованы корректным использованием математического аппарата. Они подтверждены вычислительными экспериментами и проверкой при внедрении в практику расчетов проектных разработок
филиала КБ Туполев.
Практическая значимость,работы. Предложены алгоритмы расчетов процессов конвективного теплообмена в цилиндрическом сосуде с полусферическими днищами, частично заполненного криогенной жидкостью, при различных его положениях. Представленные модели исследования позволяют определить не только значения температуры и скорости в баке, но также давление и его влияние на процессы, протекающие в емкости. На основе полученных значений температуры в жидкости идентифицированы и проанализированы коэффициенты теплоотдачи. Результаты вычислительного экспермента позволяют сформулировать рекомендации по эксплуатации баков сложной геометрической формы, заполненных криогенной жидкостью, применяемых в различных отраслях промышленности.
Материалы, диссертационной работы используются в практике КБ Туполев- в виде комплексов программного обеспечения и курсе «Тепломассообмен» в Воронежском государственном техническом университете.
Апробация работы. Основные положения и результаты
диссертационной работы доложены и обсуждены на: Всероссийской с
международным участием научно-технической конференции
"Авиакосмические технологии" (Воронеж, 2008); XVI Школе-семинаре
молодых ученых и специалистов «Проблемы газодинамики и
тепломассообмена в энергетических установках» (Санкт-Петербург, 2007);
«Физико-технические проблемы энергетики, экологии и
энергоресурсосбережения» (Воронеж, 2007).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 — в издании; рекомендованном ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [65, 69, 70, 72, 73] — разработка трехмерной математической модели конвективного теплообмена; [77, 101, ПО, 112] - разработка
численной модели свободной конвекции в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами; [73, 101, 112]— алгоритмы численного решения; [65, 77, 102, 111] - анализ и обобщение результатов численного эксперимента.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 114 наименований. Основная часть работы изложена на 131 страницах, содержит 38 рисунков, 1 таблицу и 1 приложение.
Классификация способов математического исследования внутренних задач теории тепломассообмена
После формализованного описания внутренних задач теории теплообмена следует обратить внимание на многообразие математических моделей, используемых учеными для изучения процессов тепломассопереноса в замкнутых объемах.
В работе [7] приводится математическая формулировка задачи естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом резервуаре. В физической постановке предполагается, что і частично заполненная жидкостью емкость подвергается влиянию , равномерно распределенного теплового потока. На смоченной поверхности бака действует условие прилипания, на границе раздела «жидкость-газ» отсутствует трение и вертикальная составляющая скорости. Задача решается с использованием уравнений Навье-Стокса в приближении- Буссинеска в двумерной постановке. В качестве безразмерных параметров используются следующие величины: Z = z/r0,R = r/r0,VR=r0vr/v,V:=r0v:/D,P = p/[p(v/r0)2],9 = At/(qr0), где г, z - радиальная и продольная координаты; vr,v, - радиальная и продольная компоненты вектора скорости; / - температура жидкости; Я -коэффициент теплопроводности жидкости; р - плотность жидкости; q нормировочное значение величины теплового потока; и - кинематическая вязкость.
Система уравнений Навье-Стокса в своем первоначальном виде содержит неизвестное поле давления, для определения которого дополнительно необходимо добавить граничные условия, структура которых в общей постановке неочевидна. Чтобы избежать этой проблемы, авторы работ [4-8, 40] осуществляют переход к переменным Гельмгольца, используя следующие зависимости:
Таким образом, математическая постановка задачи представлена уравнениями (1.3)-(1.14), которые, в свою очередь, могут быть положены в основу при реализации численных экспериментов.
Как уже говорилось ранее, при анализе задач естественной конвекции предполагается, что поле давления незначительно отличается от статического, либо не идентифицируется вовсе. В работе [20] математическая модель задачи свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом объеме представлена системой уравнений движения жидкости в двумерной постановке и уравнения энергии:
Для идентификации давления предлагается алгоритм получения уравнения Пуассона на основании уравнений движения жидкости и уравнения неразрывности. Формула для нахождения избыточного давления имеет вид: Таким образом, при исследовании полей течения и температуры внутри цилиндрической области: при заданном тепловом потоке в стандартную схему числовых расчетов на каждом временном шаге необходимо включить решение уравнения Пуассона.
Случай, когда содержимое емкости обновляется. в течение всего эксперимента, рассмотрен в работе [16]. Изучается смешанная ламинарная стационарная конвекция в вертикальной цилиндрической емкости заданного радиуса, частично заполненной жидкостью до некоторой высоты. Через днище емкости подводится жидкость при температуре Т0 и отводится с тем же расходом через ее верхнюю границу. К жидкости через боковую стенку подводится тепловой поток.
Для расчета полей течения, и температуры используются двумерные нестационарные уравнения тепловой конвекции в переменных , вихрь-функция тока: .
Безразмерная температура 0 введена соотношением в = (Т0)A,q/R, где Т - температура жидкости, Я -коэффициент теплопроводности, q — характерная величина удельного теплового потока на боковой поверхности емкости; Gr = gfiRAq I v2X - число Грасгофа; g - ускорение свободного падения; ft и v - коэффициенты теплового расширения и кинематической вязкости жидкости; Pr = Wa -число Прандтля; а — коэффициент температуропроводности. За характерные масштабы длины, времени и скорости приняты величины R, R2lv и vIR соответственно. Вихрь со и функция тока W введены соотношениями:
При расчетах профили скорости подводимой и отводимой из емкости жидкости предполагаются параболическими. Жидкость подводится и отводится через кольцевые отверстия с внутренними и внешними радиусами rpr2,r3,r4 соответственно. При решении уравнений (1.21)-(1.23) граничные условия для функции тока в области входного и выходного отверстий ставятся в зависимости от их расположения
Здесь а и b - соответственно внутренний и внешний радиусы входного или выходного отверстий, Re = G0/7rpvR = V0R/v - число Рейнольдса, V0 средняя по сечению емкости скорость прокачки.
На оси симметрии, на боковой поверхности емкости, а также на днище и свободной поверхности в областях, не совпадающих с входным и выходным отверстиями, имеют место условия непротекания. На оси симметрии выполняются условия симметрии, трение на свободной поверхности жидкости отсутствует. Условия подвода тепла к жидкости имеют вид: где qw (z) - безразмерный удельный тепловой поток на боковой поверхности.
В ракетной и авиационной технике объем жидкости в емкостях, входящих в состав двигателей, изменяется в процессе эксплуатации, поэтому прогнозирование состояния жидкости в таких системах особенно актуально на сегодняшний день. В работах [41, 42] рассматривается шарообразный бак радиуса RQ, заполненный жидкостью на высоту Н (Рис. 1.4). Внизу бака предусмотрен сток. Среда внутри бака однородна. По нормали к поверхности емкости подводится равномерно распределенный тепловой поток плотностью q. Заданы начальное значение температуры, скорости истечения жидкости из бака. Стенка емкости имеет толщину 8. Ставится задача определения полей течения и температуры в жидкости и газе.
Математическая модель, описывающая процессы тепломассопереноса в шарообразной емкости при ее стационарном положении, .представляют уравнение теплопроводности, уравнения движения жидкости в двумерной постановке и уравнение неразрывности, замыкаемые системой начальных и граничных условий. Для удобства решения и с целью избавления от многих теплофизических параметров, входящих в состав уравнений в своей первоначальной постановке, используется цилиндрическая система координат и осуществляется переход к безразмерным параметрам:
Ro2 0 где U,V,W - проекции вектора скорости на оси координат, Р - давление, Т0 значение температуры в начальный момент времени, Т - размерная температура, аж - коэффи циент температуропроводности жидкости, т]ж -коэффициент динамической вязкости жидкости, Яж - коэффициент теплопроводности жидкости.
В работах [43, 44] приводится математическая модель задачи по определению плотности внешнего теплового потока с целью выбора материалов для оболочки сферического сосуда для поддержания заданного теплового режима внутри емкости.
Для избавления от неизвестного поля давления система уравнений, описывающая процессы конвективного теплообмена, записывается в координатах Гельмгольца. Уравнения имеют аналогичную структуру, что и в работах [13-15, 18,30].
Трехмерная математическая модель процессов термогидродинамики в наклонном цилиндрическом сосуде
Математическое описание состояния движущейся жидкости или газа осуществляется с помощью функций,, определяющих распределение скорости вещества v = v{x,y,z,i) и двух термодинамических величин, давления p(x,yyz,i) и плотности p(x,y,z,t) [58]. Поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости и, давленияр и плотности р, полностью определяет состояние движущейся жидкости или газа. В связи с этим задачи исследования процессов тепломассопереноса в замкнутых объемах принято решать с использованием уравнений Навье-Стокса. В векторной форме их можно представить следующим образом [59]: где и - вектор скорости движения вещества; рж - плотность жидкости (кг/м), р — давление (Па), г/ж - динамический коэффициент вязкости жидкости (Па-с), f — вектор массовых сил. Исходя из физической постановки задачи, жидкость считается несжимаемой, то есть изменение давления вдоль жидкости предполагается достаточно мало меняющимся, поэтому изменением плотности под влиянием давления можно пренебречь [58]. Что же касается изменения плотности под влиянием неравномерного прогрева вещества, находящегося в баке, то этим пренебречь нельзя, так как именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвективное движение. Производя преобразования, подробно описанные в [58] и учитывая условие — -22HL«1 [60], уравнения движения однородной среды используются в приближении
Обербека-Буссинеска: где /Зж - температурный коэффициент расширения жидкости (К1), Р отклонение давления от гидростатического (Па), УЖ - кинематический коэффициент вязкости жидкости {м/сек), Т - отклонение температуры от начальной температуры среды (К). Система уравнений (2.2) дополняется уравнением теплопроводности: где сж - удельная теплоемкость жидкости (Доіс/кгК), Яж- теплопроводность жидкости (Вт/мК), Т— температура внутри среды в каждый момент времени t (К), t— время. Модель поставленной задачи дополняется уравнением сохранения массы, которое для однородной несжимаемой среды имеет вид: Систему уравнений, описывающих процессы тепломассопереноса в замкнутой емкости, замыкают начальные и граничные условия. В начальный момент времени заданы значения температуры среды внутри бака, а также предполагается, что движение в начальный момент времени отсутствует, то есть Действие внешнего теплового потока на границе емкости описывается условием [45, 61]: дТ На границе бака Гх действует условие прилипания [45, 62]: На оси цилиндра ставится условие ограниченности решения [4-6, 9-11]: Таким образом, система уравнений (2.2)-(2.4), дополненная начальными и граничными условиями (2.5)-(2.9), представляет собой математическую модель процессов тепломассопереноса внутри наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами, полностью заполненной жидкостью. Исходя из геометрии емкости, целесообразным является использование цилиндрической системы координат, выбор которой осуществим следующим образом.
Направим ось Oz вдоль оси цилиндра, причем угол между вектором массовых сил / и осью Oz составит угол a. Тогда в результате преобразований подробно описанных во многих математических изданиях [61, 63, 64] и с учетом того, что проекции вектора массовых сил на соответствующие оси координат можно представить следующим образом [65]: fR=g-sinacos(p;fip=g-smasm p;fz=-g-cosa, (2.10) где g - ускорение свободного падения, (р - полярный угол, уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (2.2) запишутся в виде [59, 66]: Таким образом, получили систему (2.11)-(2.15) в цилиндрических координатах, описывающую процессы конвективного теплообмена в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами, с граничными условиями (2.16)-(2.18). Полученная система содержит теплофизические параметры, что в значительной степени затрудняет проведение вычислительного эксперимента и последующий анализ результатов, поэтому для удобства решения целесообразным является использование безразмерных параметров, переход к которым осуществим в следующем разделе. Конвективный теплообмен описывается системой, дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Попытки аналитического решения полной системы уравнений наталкиваются на серьезные трудности. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. С помощью эксперимента для определенных значений аргументов можно получить числовые значения искомых переменных и затем подобрать уравнения, описывающие результаты опытов.
Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное исследование [67]. Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме того, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические величины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа- величин, из которых составлены эти комплексы. Полученные безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные [68]. При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов. Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только отдельных факторов, но и их совокупности, что позволяет легче определить физические связи в исследуемом процессе. Кроме того, при решении задач такого типа с использованием ЭВМ возникает проблема погрешности при округлении. Для того чтобы снизить влияние ошибок округления на точность решения также необходимо использование безразмерных комплексов или объединение нескольких величин, путем введения так называемых масштабных коэффициентов. В уравнения (2.11)-(2.18) входят следующие физические величины: время t, расстояние (радиус) R, скорость и, плотность р, давление Р и вязкость v. Каждая из этих величин имеет следующую размерность [58]
Конечно-разностная модель конвективного теплообмена во внутренних точках емкости
Рассматривая нижнее полусферическое днище бака (Рис.3.1), значения соответствующих косинусов выражаются через разностные соотношения: Тогда разностный аналог условия действия теплового потока на поверхность бака в нижнем полусферическом днище примет вид: Таким образом, уравнения (3.16), (3.21)-(3.29), (3.30), (3.32)-(3.38), представляют собой разностные аналоги начальных и граничных условий (2.26), (2.28), (2.27), (2.47) соответственно. Рассмотрим задачу, поставленную в пункте 2.1. Решение этой задачи сводится к решению системы дифференциальных уравнений (2.21)-(2.25) с начальными и граничными условиями (2.26)-(2.28). Для идентификации неизвестного поля давления используется уравнение Пуассона (2.47), дополняемое граничным условием (2.47). Выбирая численный метод решения, поставим следующую задачу.
Дана замкнутая область М, представляющая собой цилиндр радиуса R0 (рис. 3.1) и примыкающие к нему две полуокружности с внутренним радиусом RQ. В области М выбрано множество точек Ml}l\r0cp,z\ (рис. 3.1). Значения безразмерного давления на множестве точек М определим из соотношения (3.15). Из условий (3.32)-(3.38), (3.52)-(3.59) выразим р \ для идентификации давления на множестве точек, принадлежащих границе емкости Г,. 8. Проверяем условие rk rd, где тй - полное время процесса. Если условие выполнено, то переходим на шаг 4, иначе конец выполнения алгоритма. Таким образом, полученный алгоритм позволяет определить все значения в, и, w, 3, р в каждый момент времени т. В третьей главе выполнена численная реализация математической модели процессов конвективного теплообмена в заполненном жидкостью наклонном цилиндре с полусферическими днищами, находящемся под действием равномерно распределенного теплового потока. Также разработан алгоритм численной реализации задачи изучения процессов тепломассопереноса, позволяющий определить поля распределения температуры и скорости в емкости при различных углах отклонения ее вертикального положения. Полученный алгоритм включает возможность идентификации давления во всех точках емкости в каждый момент времени. В реальных условиях в ходе эксплуатации технических устройств, включающих в свой состав емкости различной геометрической формы, достичь полного заполнения бака жидкостью часто представляется невозможным. Под действием внешнего теплового потока внутри емкости формируются неоднородные поля температуры и возникают конвективные течения. Изменение температуры на поверхности раздела сред «жидкость-газ» способствует образованию насыщенного пара в газовой прослойке, приводя к росту давления в последней, что существенно влияет на прочность конструкционных материалов [97-99]. Поэтому задача исследования процессов тепломассопереноса в частично заполненных емкостях в настоящее время остается актуальной. В рамках таких исследований сформулируем следующую задачу. Рассматривается замкнутый сосуд цилиндрической формы высоты Н и радиуса Яо с полусферическими днищами.
Бак отклонен от вертикального положения на некоторый фиксированный угол а (рис.4.1). Объем жидкости, находящейся в баке — VQ. Извне к внешней поверхности емкости подводится постоянный во времени и равномерно распределенный тепловой поток плотностью q. Среда внутри бака делится на две фазы - газовую и жидкую. Предполагается, что свободная поверхность жидкости плоская и перпендикулярна действию массовых сил /, трение на границе раздела «жидкость-газ» отсутствует. Теплофизические характеристики жидкости и газа известны. Жидкость считается вязкой и несжимаемой. Задано начальное распределение температуры в емкости. Задача решается в приближении термически тонкой стенки, то есть изменение температуры в поперечном сечении стенки считается пренебрежимо малым по сравнению с характерными перепадами температуры вдоль стенки и между стенкой и жидкостью. / Таким образом, необходимо определить: 1) поля распределения температуры в жидкости и газе; 2) поля скоростей движения среды внутри емкости; 3) давление внутри емкости. В гидродинамике жидкостями называют вещества, находящиеся как в жидком, так и газообразном состоянии. Характерная особенность, которая позволяет объединить капельные жидкости, газы и пары общим понятием «жидкость», заключается в легкоподвижности частиц указанных веществ, их способности легко изменять форму под действием незначительных сил. Жидкости и газы состоят из дискретно расположенных и непрерывно движущихся молекул. Для определения и анализа явлений, связанных с поведением жидкостей, в механике жидкостей «отвлекаются» от дискретной молекулярной структуры и рассматривают некоторую модель жидкости, обладающую свойствами сплошной среды.
Представления о сплошности жидкой среды позволяют оценивать свойства и параметры жидкостей зависимостями-от времени и координат [62]. В поставленной задаче среда внутри бака делится на две части: жидкую и газообразную. В силу перечисленных факторов газ, находящийся в емкости, также как и жидкость, обладает свойством несжимаемости, и для определения полей течения и температуры внутри бака будут действовать те же уравнения, что и для однородной жидкой среды. Описание движения однородной среды внутри наклонной цилиндрической емкости может быть задано уравнениями Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска, записанными в цилиндрической системе координат [1, 58, 59, 61, 66]
Математическая модель конвективного теплообмена в. наклонной цилиндрической емкости, частично заполненной жидкостью
Многие технические устройства и технологические установки включают в свой состав емкости различной формы, заполненные жидкостью. В качестве примеров можно назвать топливные баки с криогенными жидкостями, хранилища сжиженных газов и жидких углеводородов, накопители тепла в устройствах для утилизации солнечной энергии. Жидкость в таких емкостях подвергается-различным тепловым воздействиям, под влиянием которых формируется температурное поле. Неоднородность прогрева жидкости может приводить как к полезным, так и нежелательным факторам — ускорять рост давления в баке, способствовать началу кипения-или началу испарения и т.д. Поэтому при создании, и оптимизации технических объектов, включающих в свой состав такие емкости1, необходимо- уметь прогнозировать" внутренний тепловой» режим. Проблемы такого рода тесно связаны с вопросами изучения теплообменных процессов внутри жидкости, среди которых наиболее существенным является конвективная теплопередача. Конвекция: оказывает значительное влияние на пространственно-временные изменения1 структуры поля температуры. Помимо того, что в условиях конвекции увеличивается интенсивность теплопередачи от стенок емкости к жидкости, в результате действия, теплообменных процессов можно наблюдать явление температурного расслоения, обусловленного тем, что прогретая около стенок и, следовательно, более легкая жидкость всплывает под действием сил Архимеда и скапливается в верхней части бака [1]!. В«результате температура верхних слоев оказывается выше температуры- нижних слоев. Явление температурного расслоения оказывает значительное влияние на продолжительность бездренажного хранения криогенных жидкостей и сжиженных газов, так как может привести к активному испарению жидкости и росту давления в баке.
Изучению конвекции в емкостях различной формы посвящен ряд работ. Так, в работе [2] исследуется естественная конвекция- в сфере, полностью заполненной жидкостью, при заданном потоке тепла. Заданы радиус и толщина стенки сферы. Массовая? сила, создающая ускорение, направлена вдоль оси z. В начальный- момент времени к внешней поверхности оболочки подводится постоянный равномерно распределенный поток тепла, q. Предполагается, что физические свойства жидкости и оболочки не зависят от температуры, а поля течения и температур осесимметричны. Задача состоит в изучении основных закономерностей теплообмена и температурного расслоения при различных коэффициентах теплового подобия. В результате численного эксперимента было выявлено, что в-сфере можно выделить режимы слабой (Ra = 102 - 105) и сильной (Ra 106)1 конвекции, существенно различающиеся структурой?, и , длительностью переходных процессов. Слабая конвекция малоэффективна в« перемешивании. Ее действие связано с перераспределением температур по вертикали. При сильной конвекции поле течения и температур отчетливо разделяются на пристеночную зону, где велики градиенты температур, и конвективное ядро, в котором градиенты температур по горизонтали сравнительно малы. Режимы конвекции также можно классифицировать в зависимости от времени прогрева [3]. Первый — режим теплопроводности, характеризуется слабой интенсивностью и сравнительно небольшим отличием поля температуры от теплопроводностного. Второй — переходный режим, характеризующийся развитием конвекции и достижением ее максимальной интенсивности во времени. Третий - квазистационарный режим прогрева - характеризуется постоянной интенсивностью конвекции и числом Нуссельта.
Работы [4-6] подтверждают наличие трех режимов конвективного теплообмена в сферических объемах. Сформулирована математическая постановка задачи о естественной конвекции ньютоновской жидкости в сферическом объеме с осевой симметрией. Считая, что тепловой поток равномерно распределен по поверхности емкости, приведены, уравнения основывающиеся на представлениях Обербёка-Буссинеска, записанные в координатах Гельмгольца; описывающие процессы перемещения тепла и массы жидкости в полностью заполненном сферическом резервуаре. Данная модель положена в основу численного эксперимента; На? основе результатов эксперимента получены, поля распределения температуры и функции тока.
Вычислительный эксперимент проводился; для; Gr = 10 -НО5. При малых числах Грасгофа 10v 10і вертикальной стратификации жидкости; не наблюдается, что соответствует простому прогреву жидкости в направлении к; центру сферы: При увеличении;числа Ерасгофа;(10 , 10 ) можно заметить, что более прогретая І жидкость; поднимается? вверх. А в \ случае, когда. Gr = \04,\05 конвективные-течения; усиливаются; и прогретаям жидкость, поднявшись вверху опускается; по;; оси симметрии сосуда;: На- основании:: исследований Щ, 8], можно; сделать вывод, что основным механизмом: возникновения- свободной- конвекции при различных тепловых: нагрузках является распространение гравитационных волн в объеме вязкой жидкости.
Помимо этого в работе [4] исследован характер изменения температуры стенки, резервуара;; и: локального1 числа Нуссельта от угловой координаты. Получена расчетная; зависимость для определения; среднего по поверхности теплообмена числа Нуссельта. Результаты численного эксперимента показали, что типичные для режима молекулярной теплопроводности поля температур в виде концентрических окружностей существуют дочисел Gr » 10. При дальнейшем увеличении подъемной силы возникает слабоконвективное движение, характеризующеесястратификацией; жидкости: в; сферической емкости; и опусканием ядра холодной жидкости, вниз по вертикальному диаметру. При; Gr 100 режим: стратификации начинает разрушаться; и ядро холодной жидкости усиливающимся циркуляционным движением жидкости поднимается вверх и приближается к стенке емкости.
