Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
Наиболее актуальным математическим аппаратом современной вычислительной электродинамики безальтернативно признается метод разностного решения уравнений Максвелла (FDTD-метод, Finite-Difference Time-Domain method), основанный на работе K. Yee “ Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media” 1966 года. Наибольший вклад в совершенствование FDTD-метода (от присвоения ему названия до настоящего времени) внес A. Taflove, автор ряда фундаментальных монографий по данной теме. В радиофизике посредством данного метода производятся расчеты таких актуальных технических устройств, как приемные и передающие антенны, микросхемы и т.п. Проводятся вычислительные эксперименты в областях, связанных с исследованием воздействия электромагнитного излучения на биологические ткани, радиолокацией, передачей сигналов через атмосферу планет и др.
Метод FDTD в настоящее время также стал основным инструментом математического моделирования в компьютерной оптике (что неудивительно, учитывая электромагнитную природу оптического излучения), новой отрасли оптики, основанной Виктором Александровичем Сойфером и развиваемой научной школой под его руководством. С помощью FDTD-метода в этой научной области решаются актуальные задачи расчета оптических микро- и наноструктур, фотонных кристаллов, моделирования распространения плазмонов, синтеза оптических вычислительных устройств и многие другие.
Некоторое удивление вызывает применение математического аппарата FDTD-метода в современной акустике при моделировании распространения звука в различных средах. Разумеется, акустические волны имеют другую физическую природу, в связи с чем FDTD-метод в данной предметной области подвергся известной переработке (о чем свидетельствует добавка к названию Velocity-Stress FDTD), одн а ко с охранил основные черты: использование разностных схем типа Yee для решения системы гиперболических дифференциальных уравнений; наложение сеточной области со специфически смещенными в пространстве и времени узлами для определения различных сеточных функций с целью повышения порядков аппроксимации разностной схемой исходной дифференциальной задачи; развитый аппарат задания поглощающих слоев для моделирования затухания поля, покидающего вычислительную область.
Популярность обсуждаемого метода в настоящее время обусловлена несколькими факторами. В первую очередь общностью математической модели (базовой для радиофизики и оптики), вычисления по которой он реализует. Во вторую, глубокой проработанностью (на протяжении полувековой истории развития метода) математического аппарата, обеспечивающего гибкую настройку метода под конкретную задачу оптики или радиофизики. В третьих, рост популярности FDTD-метода обеспечивает непрерывное развитее аппаратной базы вычислительной техники, постоянно открывающее новые возможности для постановки вычислительных экспериментов в случаях, еще недавно казавшихся избыточно сложными для моделирования. Наконец, уси-
лия академического сообщества и коммерческих разработчиков по созданию обширной программной базы, включающей реализации FDTD-метода, специализированные как для решения конкретных задач из разных предметных областей (даже акустики), так и для организации расчетов на разных вычислительных архитектурах (вплоть до современных облачных сервисов) – в четвертых.
Планируя стратегию развития FDTD-метода полезно, среди прочего, отталкиваться и от его недостатков с целью их нивелирования. Основным из них до недавнего времени единодушно признавалась высокая вычислительная сложность. Ее преодоление сопровождалось повышением порядков аппроксимации разностных схем, наложением подвижных и нерегулярных сеточных областей, конструированием различных декомопозиций – теоретический путь. Или отображением метода на современные процессорные и суперкомпьютерные архитектуры – путь технический.
В последние годы на периферии основного публикационного потока, посвященного развитию FDTD-метода, появились работы M. Takeshi, D. Orozco и А.Ю. Пере-пёлкиной, относящиеся к снижению длительности вычислений по нему и связанные с вскрытием и решением другой проблемы – значительных коммуникациях между оперативной памятью ЭВМ и внутрипроцессорной памятью, сопровождающих расчеты на любом процессоре, от простейшего одноядерного центрального до профессионального графического с десятками тысяч ядер.
Решение задач выяснения вклада упомянутых вычислительной сложности и коммуникационных издержек в общую длительность расчетов, синтеза новой модели с учетом результата такого выяснения, численного метода и программных комплексов на его основе, представляются весьма актуальными.
Результаты исследования соответствуют следующим пунктами паспорта
специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: пункту 1 – «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; пункту 3 – «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»; пункту 4 – «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».
Объектом исследования в диссертационной работе является FDTD-метод разностного решения уравнений Максвелла.
Предметом исследования в диссертационной работе является моделирование дифракции электромагнитных волн.
Целью диссертационной работы является создание инструментария для моделирования распространения TE-волны в рамках строгой теории дифракции, отличающегося от метода разностного решения уравнений Максвелла меньшей требовательностью к вычислительным ресурсам, прежде всего меньшей длительностью расчетов при той же точности.
Методы исследования, использованные в диссертационной работе, основаны на комбинированном использовании ранее известных моделей и учете особенностей иерархической структуры памяти ЭВМ при синтезе новых модели и численного метода.
Задачи диссертационной работы:
1. Разработать математическую модель дифракции TE-волны на диэлектрическом объекте, основанную на сочетании уравнений Максвелла и волнового уравнения.
-
Разработать численный метод совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, характеризующийся по сравнению с FDTD-методом сокращением объема используемой памяти ЭВМ и длительности вычислений.
-
Синтезировать блочные алгоритмы упомянутого численного метода, отличающиеся от традиционного подхода к решению сеточных уравнений (послойное нахождение значений сеточных функций) переходом к другому порядку вычислений на пространстве итераций и позволяющие дополнительно снизить их длительность.
-
Создать комплексы программ, реализующие разработанный метод и его алгоритмы, продемонстрировать ускорение вычислений по сравнению с выбранными программными пакетами FDTD-метода.
Научная новизна диссертационной работы:
-
Произведена оценка вклада коммуникационных издержек на пересылку данных между оперативной памятью и кэш-памятью процессора на общую длительность вычислений при решении явных сеточных уравнений.
-
На основании такой оценки сформулированы критерии сравнения разностных схем и математических моделей, с ними связанных, отличающиеся от оценки по вычислительной сложности лучшим соответствием практике.
-
Разработаны математическая модель и связанный с ней численный метод совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, характеризующиеся сочетанием достоинств разностного решения волнового уравнения (сокращение длительности вычислений) и FDTD-метода (детально разработанный математический аппарат постановки вычислительных экспериментов в различных областях оптики и радиофизики) при нивелировании их недостатков: бедности математического аппарата в случае решения волнового уравнения при моделировании в оптике или радиофизике и высокой длительности вычислений по FDTD-м е т о д у.
-
Применение предложенных блочных алгоритмов совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла позволяет дополнительно снизить длительность моделирования распространения электромагнитного излучения, что подтверждается сравнениями авторских программных комплексов между собой (не блочный и блочные варианты) и c известными аналогами (пакет MEEP разработки Масса-чусетского технологического университета и кодов Susan C. Hagness, соавтора основополагающих работ по FDTD-методу).
Теоретическая и практическая значимость работы:
Теоретическую значимость в области математического моделирования имеют новые критерии сравнения математических моделей и численных методов, основанные на учете особенностей иерархической структуры памяти ЭВМ и позволяющие сформулировать ясные рекомендации, полезные при разработке методов и моделей.
Также теоретической значимостью для разных предметных областей (например, радиофизики и оптики) характеризуется новая математическая модель распространения электромагнитного излучения, основанная на комбинированном использовании ранее известных моделей и авторский численный метод, с такой моделью связанный.
Практическое применение упомянутых модели и численного метода при расчете дифракции TE-волны на диэлектрическом цилиндрическом объекте позволяет значительно сократить длительность вычислений по сравнению с FDTD-методом разностного решения уравнений Максвелла при той же точности. Тем самым расширяется круг двумерных задач радиофизики и оптики, подлежащих решению.
Практической значимостью характеризуются авторские программные комплексы, обеспечивающие ускорение вычислений по сравнению с пакетом MEEP Массачусет-ского технологического института и программами S.C. Hagness, прилагающимися к текстам фундаментальных монографий A. Taflove по FDTD-м е т о д у.
Результаты диссертации внедрены в ФГАОУ ВО «Самарский университет» и в ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН.
На защиту выносятся:
-
Критерии сравнения математических моделей и численных методов, связанные с учетом коммуникаций внутри иерархической структуры памяти ЭВМ при оценке длительности вычислений и позволяющие объяснить существенные расхождения в такой длительности при организации расчетов по последовательным алгоритмам, характеризующимся одинаковым количеством арифметических операций.
-
Математическая модель распространения TE-волны, основанная на волновом уравнении, уравнениях Максвелла, их согласовании и отличающаяся от используемых ранее по отдельности обеих перечисленных моделей меньшей длительностью вычислений (по сравнению с FDTD-методом) и большей гибкостью (по сравнению с разностным решением волнового уравнения) при настройке на конкретные задачи радиофизики и оптики.
-
Численный метод совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, характеризующийся теми же порядками аппроксимации и критерием устойчивости, что и распространенные для обеих упомянутых моделей разностные схемы, позволяющий при этом значительно сократить длительность расчетов и наследующий гибкий и развитый аппарат FDTD-метода.
-
Блочные алгоритмы совместного разностного решения упомянутых уравнений, отличающиеся от традиционной процедуры послойного вычисления значений сеточных функций локализацией вычислительного процесса в подобластях, пересекающих несколько временных слоев сеточной области, и различной формой таких подобластей (блоков) друг от друга.
-
Программные комплексы, реализующие авторский метод и алгоритмы, характеризующиеся ускорением вычислений по сравнению с пакетом MEEP Массачусетского технологического института и программами Susan C. Hagness, прилагающимися к текстам фундаментальных монографий A. Taflove по FDTD-м е т о д у.
Степень достоверности и апробация работы.
Комбинированный характер разработанной модели (волновое уравнение, уравнения Максвелла и их согласование) свидетельствует о ее конструктивной связи с базовыми моделями радиофизики и оптики: уравнениями Максвелла и волновым уравнением (выводится из уравнений Максвелла в рассмотренном случае дифракции TE-волны на цилиндрическом диэлектрическом объекте), чью адекватность авторская модель наследует при указанном ограничении на область ее применения.
Аппроксимация и устойчивость предложенного численного метода совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла следуют из сходимости такого разностного решения к аналитическому в случаях, когда последнее известно. В качестве тестовых примеров в работе рассматриваются распространение TE-волны в однородной среде и ее дифракция на бесконечном диэлектрическом цилиндре кругового сечения.
Дополнительным свидетельством достоверности авторских модели, метода, алгоритмов и программных комплексов является совпадение результирующих значений сеточных функций, в случаях, имеющих и не имеющих аналитическое решение, с ре-6
зультатами расчетов, полученных с использованием авторитетных программных реализаций FDTD-метода Массачусетским технологическим институтом (пакет MEEP) и Susan C. Hagness (программные приложения к трем переизданиям фундаментальной монографии “Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain
Method”).
Результаты, полученные в диссертации, представлялись на VII и IX Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2010 и 2013, Самара), X и XI Всероссийских молодежных конференциях научных работ по оптике и лазерной физике (2012 и 2013, Самара), II, III и IV Всероссийских конференциях по фотонике и информационной оптике (2013, 2014 и 2015, Москва), International Conference on Lasers, Applications and Technologies Diffractive Optics and Nano-Photonics (2013, Москва), Международных научно-технических конференциях Перспективные информационные технологии (2012, 2013, 2016 и 2018, Самара), IV Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (2014, Самара), Международных конференциях «Информационные технологии и нанотехнологии» (2015, 2016, 2017 и 2018, Самара), XII Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных проблем» (2017, Пенза), XII Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (2018, Пенза), а так же совместных семинарах кафедры «Техническая кибернетика» и ИСОИРАН.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований.
Диссертационная работа выполнена в рамках работ по гранту РФФИ № 16-47-630560 рповолжьеа «Разработка параллельных приложений для моделирования распространения излучения терагерцового диапазона».
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 21 работе, из них: 5 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК (3 индексированы в Scopus), 14 работ в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложений. Объём диссертации - 160 страниц. Диссертация содержит 19 таблиц, 20 рисунков и список литературы из 157 наименований.