Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Абрамов Петр Борисович

Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов
<
Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Абрамов Петр Борисович. Моделирование сложноструктурированных технических систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов: диссертация ... доктора Технических наук: 05.13.18 / Абрамов Петр Борисович;[Место защиты: Воронежский государственный технический университет].- Воронеж, 2016.- 327 с.

Содержание к диссертации

Введение

1. Проблема моделирования немарковских процессов в сложноструктурированных технических системах 14

1.1. Современные подходы в области построения и анализа сложноструктурированных технических систем 14

1.2. Метод расширения пространства фазовых состояний системы 29

1.3. Полумарковские модели .39

1.4. Постановка задач работы 48

2. Основы теории марковских форм с внешними потоками событий 52

2.1. Основные определения, ограничения и допущения. Физический смысл модели 52

2.2. Аналитическое описание динамики марковской формы. Существование, единственность и устойчивость решения 61

2.3. Математическая модель стационарного режима марковской формы 68

2.4. Выводы 80

3. Моделирование динамики сложных систем на основе марковских форм с внешними потоками событий 81

3.1. Фундаментальные соотношения для стационарного режима марковской формы 81

3.1.1. Соотношения для стационарного режима марковской формы с одним входящим потоком 81

3.1.2. Соотношения для стационарного режима марковской формы с двумя и более входящими потоками

3.2. Моделирование динамики сложных систем на основе марковских форм с внешними потоками событий 1 03

3.3. Решение оптимизационных задач для марковских форм 117

3.4. Выводы 137

4. Марковские модели немарковских процессов 139

4.1. Стохастическая эквивалентность стационарных режимов марковских и немарковских моделей 139

4.2. Метод пересчета интенсивностей потоков как основа марковских моделей немарковских процессов

4.2.1. Подход, основанный на расширении пространства фазовых состояний системы 145

4.2.2. Подход, основанный на полумарковских моделях

4.3. Методика пересчета интенсивностей рекуррентных потоков событий для больших значений последействия 167

4.4. Марковские модели немарковских процессов для множества потоков с последействием 177

4.5. Выводы 191 5. Применение численных методов в теории марковских моделей немарковских процессов 192

5.1. Интерполяция параметров марковских моделей немарковских процессов для нецелочисленных значений последействия 192

5.2. Алгоритмы численных методов расчета марковских моделей немарковских процессов для множества потоков с последействием 200

5.3. Выводы 214

6. Альтернативные модели систем массового обслуживания 215

6.1. Марковские модели немарковских СМО 215

6.1.1. Модели одноканальных немарковских СМО 215

6.1.2. Модели многоканальных немарковских систем массового обслуживания с отказами 222

6.2. Модели систем массового обслуживания с внешними потоками событий 232

6.2.1. Структурные модели СМО с отказами 233

6.2.2. Структурные модели систем массового обслуживания с ожиданием 251

6.3. Выводы 263

7. Практические аспекты моделирования сложноструктурированных систем на основе теории марковских моделей немарковских процессов 264

7.1. Архитектура и методика применения программного комплекса 264

7.2. Основные направления реализации программного комплекса 272

7.3. Оценка характеристик систем на основе марковских моделей немарковских процессов и моделей СМО с внешними потоками событий 278

7.4. Выводы 285

Заключение 287

Список использованных источников

Введение к работе

Актуальность темы. Основы современного научного подхода в области моделирования сложноструктурированных технических систем были заложены российскими и зарубежными учеными в начале XX-го столетия. Этот исторический период характеризовался бурным всплеском развития средств связи. Сложноструктурированные технические системы первого поколения - это Plain Old Telephone Service (POTS), то есть простые телефонные службы. К POTS принято относить системы, использующие аналоговые системы передачи данных и декад-но-шаговые, координатные или квазиэлектронные узлы коммутации. Именно в это время были разработаны первые математические модели в данной области.

Поскольку подобные системы были невелики и слабо связаны между собой, то каждая из них рассматривалась как отдельный, изолированный объект, характеризующийся некоторыми закономерностями смены состояний. Аналитическим описанием стохастического процесса изменения состояний для них стали модели систем массового обслуживания (СМО). В течение почти целого века эти модели остаются в неизменном виде, будучи известными как модели Эрланга первого рода для систем с потерями (отказами) и второго рода для систем с ожиданием. В настоящее время они находят применение как модели отдельных структурных элементов сложных сложноструктурированных технических систем.

С середины 1980-х годов вместе с внедрением цифровых технологий начала развиваться концепция цифровых систем с интеграцией сервисов ISDN. При этом были разработаны системы сигнализации ICMP, позволяющие передавать сведения о состоянии элементов системы, маршрутизации вызовов, согласованию параметров передачи и т. д.

На современном этапе развития сложноструктурированных технических систем все их множество, к которым могут быть отнесены телефонные, телевизионные, компьютерные и радиосистемы, а также различные их варианты, объединяются в рамках технологии NGN. Основополагающим принципом NGN является создание технологической среды передачи данных в универсальном формате (IP-пакеты) и опирающейся на стек TCP/IP протоколов. Конкретные сервисы подключаются к среде с применением программируемых коммутаторов (SoftSwitch) и и медиа-шлюзов (Media Gateway). На основе сопряжения глобальных и локальных компьютерных сетей с иными техническими системами возникают современные системы дальней цифровой телефонной связи и непосредственно Интернет-телефонии (VoIP), радиосети Wi-Fi и Wi-Max как средства решения «проблемы последней мили» доставки услуг абонентам, магистральные сети кабельного телевидения, IPTV и т.п. Поэтому в последнее время в связи с технологией NGN принято также употреблять понятие мультисервисной передачи данных IP/MPLS.

Современный математический аппарат для исследования MPLS систем весьма ограничен. Для исследования сети в целом применяется метод просеянной

нагрузки, когда от звена к звену сети передаются лишь заявки, не получившие отказа в обслуживании. В моделях же отдельных звеньев, основанных на классических моделях Эрланга для СМО, с целью учета дисциплины MPLS либо учитывается эквивалентное возрастание входящего потока, либо применяются модели многомерных марковских процессов, слабо связанных по второй компоненте. Однако, так или иначе, современные аналитические модели основаны на предположении о том, что потоки событий в системе являются простейшими.

Весьма важным представляется также следующий аспект. Общеизвестные модели СМО основаны на моделях «гибели и размножения», которые предопределяют некоторую изолированность рассматриваемой системы от внешней среды. Поэтому на основе классических моделей СМО не представляется возможным выполнить, например, анализ потоков обслуженных заявок на выходах отдельных каналов СМО, сравнить загруженность каналов и показатели их функционирования. Объединение нескольких моделей СМО в единое целое методами классической теории представляет собой серьезную проблему.

Эти же особенности присущи марковским моделям в целом. Кроме того, марковские модели предполагают экспоненциальный вид закона распределения временных интервалов между событиями в потоках, не позволяя исследовать динамику систем с последействием. В большинстве же реальных процессов текущее состояние системы формируется с учетом этого фактора.

Для моделирования процессов с последействием применяются метод расширения пространства состояний системы и полумарковские модели. Метод расширения пространства состояний опирается на марковские модели, дополненные псевдосостояниями, однако его применение ограничено существенными затруднениями, возникающими в случае множества рекуррентных потоков, поэтому данный метод не получил широкого распространения.

Полумарковские модели являются вполне точным и адекватным математическим аппаратом исследования немарковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем, но отличаются значительной сложностью аналитических соотношений, основанных на интегральных уравнениях Вольтерра для интервально-переходных вероятностей. Это делает затруднительным их применение для задач, включающих более 3-4 состояний.

Учитывая выше изложенное, проблема моделирования сложноструктурированных технических систем с учетом немарковского характера процессов передачи информации является достаточно актуальной. Принимая во внимание возможности современных компьютерных технологий, представляется вполне своевременным рассмотрение сформулированной проблемы с целью получения, по крайней мере, стационарных оценок вероятностей немарковского стохастического процесса на основе дальнейшего развития марковских моделей и метода расширения пространства состояний исследуемых сложноструктурированных систем.

Диссертационная работа выполнена в рамках основного научного направления Воронежского Государственного технического университета «Вычислительные комплексы и проблемно-ориентированные системы управления».

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка и обоснование обобщенного подхода к математическому моделированию сложноструктурированных технических систем с учетом немарковского характера процессов, наблюдаемых в подобных системах, а также разработка элементов численных методов и комплекса программ для аналитического расчета параметров процессов и вероятностных показателей функционирования отдельных структурных элементов сложноструктурированных технических систем.

Задачи исследования. Для достижения цели были поставлены и решались следующие задачи:

  1. Разработка моделей марковских форм с внешними потоками событий, отличающихся учетом в явном виде входящих в модель стохастических потоков событий и исходящих из модели стохастических потоков событий.

  2. Разработка и обоснование метода представления групп состояний модели в виде единого метасостояния, с соответствующим пересчетом интенсивностей исходящих из данной марковской формы потоков событий.

  3. Разработка марковских моделей стационарного режима немарковских процессов, основанных на методе пересчета интенсивностей рекуррентных потоков событий к интенсивностям простейших потоков, доставляющих те же стационарные значения вероятностей состояний, что и полумарковские модели.

  4. Разработка и обоснование численного алгоритма пересчета интенсивно-стей потоков событий для множества рекуррентных потоков, исходящих из одного состояния модели.

  5. Разработка архитектуры и методики применения комплекса программ для расчета таблиц значений коэффициентов пересчета интенсивностей потоков событий модели и для решения задач разработки марковских моделей немарковских процессов, наблюдаемых в сложноструктурированных технических системах.

  6. Разработка и обоснование аналитических моделей структурных элементов сложноструктурированных технических систем как систем массового обслуживания с внешними потоками событий и с упорядоченной дисциплиной распределения заявок между устройствами обслуживания.

Методы исследования. Выполненные в диссертации исследования базируются на использовании математической теории систем, теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, математического и функционального анализа, математического моделирования, численных методов, объектно-ориентированного программирования.

Соответствие паспорту специальности. Результаты диссертационной работы соответствуют следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; п. 3

«Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»; п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вы числительного эксперимента»; п. 8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования».

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной и в совокупности формирующие основы теории марковских моделей немарковских процессов и теории систем массового обслуживания с внешними потоками событий:

Модели марковских форм с внешними потоками событий, отличающие
ся учетом в явном виде входящих в модель стохастических потоков событий и ис
ходящих из модели стохастических потоков событий, и позволяющие выполнять
анализ некоторой совокупности состояний процесса как подмножества состояний
большой марковской модели.

Метод представления групп вершин графа марковской формы с внеш
ними потоками событий в виде единого метасостояния, отличающийся соответст
вующим пересчетом интенсивностей исходящих из данной марковской формы по
токов событий, и позволяющий выполнять редукцию количества состояний боль
шой марковской цепи.

Марковские модели стационарного режима немарковских процессов, от
личающиеся тем, что интенсивности рекуррентных потоков событий пересчиты-
ваются к интенсивностям простейших потоков, и позволяющие получать те же
стационарные значения вероятностей состояний, что и полумарковские модели.

Численный алгоритм пересчета интенсивностей потоков событий, исхо
дящих из одного состояния модели, основанный на поочередных подстановках
интерполированных табличных значений, отличающийся свойством сходимости
для любых начальных значений и позволяющий решать задачу разработки мар
ковских моделей немарковских процессов для множества рекуррентных потоков.

Архитектура и методика применения комплекса программ, отличающие
ся тем, что статические и динамические взаимосвязи структурных элементов ком
плекса определяются фундаментальными теоретическими соотношениями, дока
занными в работе, и позволяющие решать задачи разработки марковских моделей
для немарковских процессов.

Модели структурных элементов сложноструктурированных технических
систем как систем массового обслуживания с внешними потоками событий, отли
чающиеся новыми аналитическими соотношениями и позволяющие применять
математический аппарат марковских моделей немарковских процессов при моде
лировании сложноструктурированных технических систем.

Практическая значимость заключается в разработке и обосновании оригинального математического аппарата, позволяющего получить стационарные оценки вероятностей для немарковских процессов с большим количеством

состояний, а также выполнять верификацию сложных полумарковских моделей в области стационарного режима исследуемого процесса, что до сих пор не представлялось возможным. Рассчитаны таблицы коэффициентов пересчета интенсивностей рекуррентных потоков с гамма-распределением к интенсивностям простейших потоков, что является основой для решения проблемы построения марковской модели стационарного режима немарковского процесса.

Получены аналитические соотношения для расчета показателей функционирования систем массового обслуживания с внешними потоками событий и упорядоченной дисциплиной распределения заявок. Модели с внешними потоками событий являются основой для построения моделей больших систем.

Разработана архитектура программного комплекса и обоснованы принципиально новые алгоритмы решения задач разработки марковских моделей немарковских процессов, а также получения оценок показателей систем массового обслуживания как структурных элементов сложноструктурированных технических систем. На отдельные модули программных средств получены свидетельства о государственной регистрации.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационного исследования прошли апробацию, внедрены или использованы: для моделирования динамики конфликта и оценки вероятности исхода операции в Центре системных исследований и разработок - филиале ОАО «Научно-технический центр радиоэлектронной борьбы» (г.Воронеж), для моделирования динамики сложных организационно-технических систем при выполнении плановых и инициативных научно-исследовательских работ в Военно-воздушной орденов Ленина и Октябрьской Революции дважды Краснознаменной ордена Кутузова академии имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина (г.Воронеж).

Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе Военно-воздушной орденов Ленина и Октябрьской Революции дважды Краснознаменной ордена Кутузова академии имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина (г.Воронеж), Михайловской военно-артиллерийской академии (г.Санкт-Петербург), Военной академии материально-технического обеспечения (г.Санкт-Петербург), Воронежского филиала Российского экономического университета имени Г.В.Плеханова, в научно-исследовательской работе курсантов и студентов, при проведении вычислительной практики, при выполнении курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Теоретические и практические результаты, полученные в процессе исследования, апробированы на международных и всероссиийских конференциях: «Инновации в авиационных комплексах и системах военного назначения» (Воронеж, 2011), «Информатика: проблемы, методология, технологии (Воронеж, 2013, 2014, 2015), «Актуальные вопросы науки» (Москва, 2013), «Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты» (Новосибирск, 2013), «Современное состояние и перспективы развития систем связи и радиотехнического обеспечения в управлении авиацией» (Воронеж, 2013), «Акаде-

мические Жуковские чтения. Актуальные проблемы математических и естественно-научных дисциплин при подготовке военных специалистов» (Воронеж, 2013), «Охрана, безопасность, связь» (Воронеж, 2013, 2014), «Бъдещите изследования-2014. Материали за X Международна научна практична конференция». (София, 2014), «Фундаментальные проблемы системной безопасности» (Елец, 2014), «Тенденции и перспективы развития современного научного знания» (Москва, 2014), «Приоритетные научные направления: от теории к практике.» (Новосибирск, 2014), «Современные научные исследование: инновации и опыт». ( Екатеринбург, 2014), «Актуальные вопросы науки, технологии и производства». (Санкт-Петербург, 2014), а также на научных семинарах кафедры автоматизированных систем управления Военно-воздушной орденов Ленина и Октябрьской Революции дважды Краснознаменной ордена Кутузова академии имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина.

Монография «Марковские модели немарковских процессов» в 2015 году номинирована на премию Российской академии наук имени А.А. Маркова.

Публикации. По теме исследования опубликовано 48 работ, отражающих основных положения исследования, в т.ч. 17 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, два свидетельства о регистрации программы в ФИПС, 3 персональные монографии. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: в [3,4] - оценка влияния закона распределения случайной величины на параметры технической системы в [14, 17, 33, 41, 42, 43] - модели марковских форм с внешними потоками событий, отличающиеся учетом в явном виде входящих в модель стохастических потоков событий и исходящих из модели стохастических потоков событий; в [9, 10, 12, 13, 17, 47] - метод представления групп вершин графа марковской формы в виде единого метасостояния, позволяющий выполнять редукцию большой марковской цепи, а также марковские модели стационарного режима немарковских процессов, позволяющие получать те же стационарные значения вероятностей состояний, что и полумарковские модели; в [17, 18, 19, 47] - численный алгоритм пересчета интен-сивностей потоков, исходящих из одного состояния модели, и позволяющий решать задачу разработки марковских моделей немарковских процессов для множества рекуррентных потоков, и доказательство теоремы о его сходимости; в [18,19] - архитектура и методика применения комплекса программ, отличающиеся тем, что статические и динамические взаимосвязи структурных элементов комплекса определяются фундаментальными теоретическими соотношениями, доказанными в работе; в [7, 8, 11, 15, 23-26, 30-32, 39, 40, 47, 48] - модели структурных элементов сложноструктурированных технических систем как систем массового обслуживания, отличающиеся новыми аналитическими соотношениями.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографического списка из 334 наименований и приложения. Работа изложена на 327 страницах машинописного текста, содержит 122 рисунка и 9 таблиц.

Метод расширения пространства фазовых состояний системы

Основы современных научных и технологических подходов в области анализа и построения технических систем были заложены российскими и зарубежными учеными в начале XX-го столетия. Этот исторический период характеризовался бурным всплеском исследований в области естественных наук и, как следствие, развитием технических систем различного назначения. На смену простым устройствам на основе ветровой или водной энергии пришли технологически сложные паровые машины и двигатели внутреннего сгорания. Холодное оружие и простые мушкеты получили замену в виде достаточно сложного стрелкового вооружения. Телефон и телеграф стремительно вошли в жизнь, охватив земной шар множеством линий связи. На примере развития именно этих систем хорошо прослеживаются наиболее характерные тенденции и современные технологии построения сложноструктурированных объектов. Вполне очевидно, что их построение неразрывно связано с разработкой математических моделей, на основе которых становится возможным анализ и предварительная оценка целесообразности того или иного пути реализации инженерного замысла.

Сложноструктурированные технические системы первого поколения - это Plain Old Telephone Service (POTS), то есть простые телефонные службы. К POTS принято относить системы, использующие аналоговые системы передачи данных и декадно-шаговые, координатные или квазиэлектронные узлы коммутации. Именно в это время были разработаны первые математические модели в данной области.

Поскольку подобные системы были невелики и слабо связаны между собой, то каждая из них рассматривалась как отдельный, изолированный объект, характеризующийся некоторыми закономерностями смены состояний. Пример систем POTS приведен на рисунке 1.1

Аналитическим описанием стохастического процесса изменения состояний для них стали модели систем массового обслуживания (СМО). В течение почти целого века эти модели остаются в неизменном виде, будучи известными как модели Эрланга первого рода для систем с потерями (отказами) и второго рода для систем с ожиданием. В настоящее время они находят применение как модели отдельных элементов сложноструктурированных технических систем.

С середины 1980-х годов вместе с внедрением цифровых технологий начала развиваться концепция цифровых систем с интеграцией сервисов ISDN. При этом были разработаны системы сигнализации ICMP, позволяющие передавать сведения о состоянии элементов системы, маршрутизации вызовов, согласованию параметров передачи и т. д.

На современном этапе развития сложноструктурированных технических систем все их множество, к которым могут быть отнесены телефонные, телевизионные, компьютерные и радиосистемы, а также различные их варианты, объединяются в рамках технологии NGN. Эта технология достаточно широко освещена в «Концептуальных положениях по построению мультисервисных сетей на взаимоувязанной сети связи России» [254]. NGN – это концепция построения систем, обеспечивающих предоставление неограниченного набора услуг с гибкими возможностями по их управлению, персонализации и созданию новых услуг, предполагающая реализацию универсальной транспортной среды с распределенной коммутацией, вынесение функций предоставления услуг в оконечные сетевые узлы и интеграцию с традиционными системами.

Основополагающим принципом NGN является создание технологической среды передачи данных в универсальном формате (IP-пакеты) и опирающейся на стек TCP/IP протоколов. Конкретные сервисы подключаются к среде с применением программируемых коммутаторов (SoftSwitch) и медиа-шлюзов (Media Gateway). На основе сопряжения глобальных и локальных компьютерных сетей с иными техническими системами возникают современные системы дальней цифровой телефонной связи и непосредственно Интернет-телефонии (VoIP), радиосети Wi-Fi и Wi-Max, магистральные сети кабельного телевидения, IPTV и т.п. Поэтому в последнее время в связи с технологией NGN принято также употреблять понятие мультисервисной передачи данных IP/MPLS.

Математическая модель стационарного режима марковской формы

Воспользовавшись следствием из теоремы 2.1 для главных детерминантов СЛАУ стационарного режима марковских форм, можно сделать вывод о том, что правая часть выражения (2.23) ни при каких условиях не будет равна нулю. Приведенные рассуждения справедливы для минора любого порядка, построенного аналогично (2.22). Таким образом, ранг матрицы A F для СЛАУ стационарного режима марковской формы любого порядка равен количеству ее строк и равен рангу матрицы AF. Следовательно, СЛАУ стационарного режима марковской формы любого порядка всегда совместна и имеет единственное решение. Теорема доказана.

Следует подчеркнуть еще раз, что полученные в результате решения СЛАУ стационарного режима марковской формы числа Ri не являются вероятностями состояний. Эти числа могут трактоваться как вероятности состояний лишь при выполнении условия Ri 1. При решении марковской формы для некоторой величины входящего потока в большинстве случаев данное условие не выполняется, поэтому характеристические числа имеют смысл математических ожиданий численностей соответствующих состояний. Сравним с классической теорией динамики средних пример анализа формы с внешними потоками событий для определения математических ожиданий численностей состояний.

Задача 2.1. Предположим, что каждая из единиц техники может находиться в одном из следующих состояний: S1 - единица техники исправна; S2 -единица неисправна, ведется поиск неисправностей; 53 - ремонтируется в ремонтном подразделении организации; S4 - ремонтируется на заводе. Кроме того, единицы регулярно списываются с интенсивностью Яс, а взамен пополняются с интенсивностью Яп. Требуется определить математические ожидания численностей состояний техники.

Решение задачи методом динамики средних может быть выполнено искусственным методом, суть которого состоит в замыкании исходящего потока на вход модели. При этом мы делаем предположение о том, что сколько единиц техники из системы убыло по списанию, столько же должно в систему поступить. Тогда, по существу, Яс=Яп= Я2і, что и позволяет составить и решить систему уравнений динамики средних. Рассмотрим далее, как в этом случае выглядит дальнейшее решение задачи методом динамики средних. Система дифференциальных уравнений для рассматриваемого примера имеет следующий вид: dm = -Д23m2 -Д24m2 +Дсm2 + Л12m 1 dm3 І = -Д31m3+ 23m2 dm 4 = -Л41 m4 + Л24m2 Интегрирование системы (2.24) производится при следующих начальных условиях: m1(0) =100; m2(0) = m3(0) = m4(0) = 0, соответствующих исправности техники в момент t=0. Анализ графа состояний и переходов показывает, что после замыкания потоков система эргодична, следовательно, можно составить систему линейных уравнений для стационарного режима динамики системы: = -Л12m1+Л31m3+Л41m4+Лпm2)

Система линейных алгебраических уравнений (2.25) может быть решена только после замены одного из уравнений системы на условие нормировки математического ожидания суммарной численности состояний, которое определено при начальной постановке задачи анализа процесса:

Можно видеть, что, в отличие от рассмотренного выше подхода, в первом уравнении системы (2.27) присутствует свободный член, равный действующей интенсивности входящего в форму потока Яп. Во втором уравнении имеется отрицательный член -AсR2, который соответствует исходящему из формы потоку. Если положить в первом уравнении параметр Яп равным действующей интенсивности исходящего из формы потока ЯсЯ2, то мы приходим к классической модели, рассмотренной выше. Таким образом, система (2.27) является аналитической моделью более общего вида, чем модель динамики средних, поскольку классическая система дифференциальных уравнений (2.24) является частным случаем системы (2.27).

Интегрирование дифференциальных уравнений (2.27), в отличие от (2.24), производится при нулевых начальных условиях для всех состояний: Ді(0) = Д2(0) = Дз(0) = RA(0) = 0.

В этом случае мы можем наблюдать динамику заполнения численностей состояний при поступлении техники извне, а не только ее перераспределение между состояниями. Стационарный режим модели будет определяться следующей системой линейных алгебраических уравнений: X23R2-X24R2-XcR2+X12R1=0; A31 R 3+A23 R 2=0; І A41 R 4 + X24 R 2 = 0. J (2.28) В теоремах 2.1 и 2.2 доказано, что система уравнений (2.28) может быть решена непосредственно. Для этого достаточно задаться действующей интенсивностью входящего потока Яп. Поскольку в отношении списываемых единиц техники известна интенсивность списания Яс, то почти наверное при произвольном первоначальном Я„ суммарное количество единиц техники получится отличным от заданного в методе динамики средних. Варьируя интенсивность входящего в марковскую форму потока, можно отыскать требуемое решение итерационным методом.

Вместе с тем, существует целый класс задач, когда известны действующие интенсивности исходящих потоков (Л;Д). Это - задачи расчета запасов при их расходовании из конечных мест хранения (продажи товаров, расход ЗИП для ремонта техники и т.п.). В этом случае соблюдается условие равенства действующей интенсивности входящего потока и суммарной действующей интенсивности исходящих потоков. Достаточно подставить /? = 2 хі?7, чтобы рассчитать распределение запасов при заданных интенсивностях их перемещения Яу. Варьируя последние, можно добиваться желаемых соотношений запасов.

Намного более важным свойством модели является тот факт, что входящий и исходящие потоки присутствуют в явном виде. Это делает возможным применение рассмотренной модели как составной части более объемных структур, легко наращивая таким образом размерность решаемых задач.

Соотношения для стационарного режима марковской формы с двумя и более входящими потоками

Очевидно, что подобное представление справедливо для модели с любым количеством состояний. Основной его особенностью является то, что каждый из столбцов содержит два, и только два элемента, не равных нулю. При этом один из них имеет положительный, а второй - отрицательный знак. Количество неизвестных намного больше, чем количество уравнений. Так, для модели, имеющей четыре возможных состояния, неизвестных интенсивностей произвольно, а прочие четыре должны быть найдены путем решения системы уравнений (3.53). Следует учитывать, что при наперед определенных вероятностях состояний насчитывается двенадцать. В общем же случае модель включает в себя п состояний. При условии полносвязности графа из каждого состояния возможен непосредственный переход в любое другое, следовательно, граф содержит п-1 исходящих из каждого состояния дуг. Общее количество неизвестных интенсивностей переходов составит п(п-1) при п уравнениях. Следовательно, число степеней свободы определяется следующим выражением: Уст.своб =п(п-\)-п = п(п -2). (3.54) То есть, для рассматриваемого примера с четырьмя состояниями 4х2=8 интенсивностей могут быть заданы марковской цепи произвольно задавать интенсивности необходимо так, чтобы минимизировать стоимость соответствующих потоков. Для нежелательных направлений можно положить их равными нулю. В целом же, если С отвечает произвольно задаваемым интен-сивностям, а С2 - есть часть функционала, определяемая на основе решения системы уравнений, справедливо следующее соотношение: C = Q+C2, (3.55) Отсюда следует важнейшее правило: интенсивности потоков событий должны задаваться так, чтобы часть функционала С не только не превышала суммарное значение С, но и оставляла достаточное в некотором смысле для решения системы уравнений значение CV

С учетом требования эргодичности марковской цепи будем полагать, что неизвестными останутся интенсивности тех потоков, которые связывают состояния между собой в порядке возрастания их номеров (к0ь п, 23, и т.д.), а также интенсивность потока . Соответствующие столбцы в таблице 3.1 выделены рамкой. Прочие же столбцы становятся вполне определенными свободными членами, и могут быть перенесены в правую часть уравнений. Тогда получим следующую систему: P0Л01 +О + О + P3Л30 =ах і PVk)l- l2 + 0 + 0 = «2 (356) І0 + 0 + P2Л2з-PзЛз0=а А Главный определитель этой системы уравнений всегда равен нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно сложить любые (n-1) левых частей уравнений и получить в результате левую часть оставшегося единственного уравнения с точностью до знака. Следовательно, любая строка главного определителя системы может быть получена как линейная комбинация других строк, что и определяет тождественное его равенство нулю. Очевидно, что приведенные рассуждения легко обобщаются на множество уравнений марковских цепей с любым количеством состояний и переходов.

При решении задач для марковских моделей в прямой постановке любое из уравнений в системе (3.52) заменяется условием нормировки суммы вероятностей системы, которая должна быть равна единице. Этот прием для рассматриваемых задач оптимизации неприменим, так как вероятности заданы наперед, и подстановка условия нормировки в систему (3.56) ничего не даст для нахождения неизвестных интенсивностей потоков.

Полученная матрица имеет вид, аналогичный главной матрице СЛАУ, получаемой для уравнений Колмогорова-Чепмена в процессе решения задач на марковской модели в прямой постановке. Отличие состоит в том, что в последней строке подставлены отличные от единиц величины. Это не изменяет одного из основных свойств матрицы - ее определитель не равен нулю, что следует из невозможности получить любую строку матрицы как линейную комбинацию других строк. Действительно, в последнем столбце присутствуют только положительные элементы, откуда следует невозможность получить в одной из строк данного столбца ноль при сложении строк без замены знака, хотя бы и с умножением на некоторые коэффициенты. С другой стороны, замена знака, например, в первой строке (3.58) приведет к тому, что диагональный элемент этой строки станет положительным, а следовательно, уже среди элементов соответ 124 ствующего столбца (в данном примере – первого) не найдется отрицательных величин. Очевидно, что приведенные рассуждения легко обобщаются на любое количество уравнений в системе и матрицу А любого размера.

Итак, ранг матрицы А равен количеству ее столбцов и строк. Ранг расширенной матрицы системы уравнений может определяться конкретными значениями правых частей системы уравнений, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Тем не менее, можно говорить о том, что решение данной системы уравнений найдется почти всегда.

Особо интересен случай, если критериальную функцию, помещаемую вместо последнего уравнения в системе, удается сформировать как простую аддитивно-мультипликативную форму. Тогда матрица (3.58) приобретет следующий вид:

Метод пересчета интенсивностей потоков как основа марковских моделей немарковских процессов

Рассмотренное выше представление немарковских процессов динамики систем марковскими моделями имеет существенное ограничение. Оно заключается в том, что из некоторой вершины графа состояний и переходов выходит единственный непуассоновский поток, а все прочие исходящие из данного состояния потоки являются простейшими. Тогда имеется возможность ввести требуемое количество псевдосостояний именно в этом, единственном рекуррентном потоке событий.

Намного сложнее применить подобный подход в случае, когда из состояния выходят несколько потоков с последействием. Согласно методу фаз Эрлан-га в каждый из таких потоков необходимо добавить совокупность псевдосостояний, в количестве, на единицу меньшем, чем порядок последействия в аппроксимируемом потоке. Проблема заключается в том, что начальные фазы перехода системы в одном из возможных направлений не должны исключать возможности перехода в ином направлении. В свою очередь, каждый из таких, исходящих из псевдосостояний, потоков также обладает некоторым последействием и тоже требует применения метода фаз Эрланга, и так далее. В целом, как показано в 1.4, попытка построить подобную модель должна привести к структуре, аналогичной фракталам и не поддающейся аналитическому расчету.

Рассмотрим возможность иного подхода к решению задачи учета последействия в множестве исходящих из некоторого состояния модели рекуррентных потоков.

Полученные в разделе 4.2 зависимости коэффициентов пересчета интен-сивностей потоков от отношения интенсивностей исходящих из данного состояния простейших и рекуррентных потоков (см. приложение) в первом приближении могут быть аппроксимированы экспонентой

где а,Ь, с - коэффициенты аппроксимации, Лпт - интенсивность рекуррентного потока, X - суммарная интенсивность простейших потоков, исходящих из данного состояния наряду с рекуррентным потоком.

Достаточная точность аппроксимации может быть достигнута лишь для отдельных интервалов области определения функции. Вся область определения с трудом поддается удовлетворительному приближению с неизменными коэффициентами аиЬ. Однако, для дальнейших рассуждений достаточно обобщенного вида аппроксимирующей функции (4.31).

Итак, применяя коэффициент Ккорр, мы получаем возможность пересчитать интенсивность рекуррентного потока Лпт к интенсивности эквивалентного простейшего потока Яэкв = Ккорр-Апт. (4.32) Теперь предположим, что из некоторого состояния модели выходят два рекуррентных потока (рисунок 4.26).

Мы могли бы заменить их эквивалентными простейшими потоками, если бы для каждого из них были известны коэффициенты Ккорр 1экв=К1корр- 1пт, экв=К2корр 2пт Замена первого из рекуррентных потоков простейшим потоком с интенсивностью Х1экв позволяет воспользоваться соотношением (4.31) и получить коэффициент пересчета для второго потока. Справедливо также и обратное утверждение. Основываясь на этом, можем записать следующую систему уравнений для отыскания неизвестных К1корр и К2корр.

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно утверждать, что интенсивность первого из рекуррентных потоков может быть пересчитана к интенсивности простейшего потока, если известна суммарная интенсивность всех прочих исходящих из данного состояния простейших потоков событий. Примем также во внимание одно из замечательных свойств простейших потоков событий, заключающееся в том, что сумма простейших потоков вновь дает простейший поток с суммарной интенсивностью. Тогда, например, для первого из рекуррентных потоков аналогично (4.31) можем записать:

И вновь, система уравнений включает в себя три уравнения для трех неизвестных коэффициентов коррекции интенсивностей потоков событий, что в принципе обеспечивает возможность их вычисления.

Обобщая изложенный подход на произвольное количество N рекуррентных потоков, получим:

Проблема заключается в том, что уравнения являются трансцендентными, поэтому система не имеет аналитического решения. Однако, может быть предложен весьма интересный алгоритм поочередных подстановок, обладающий свойством сходимости, который будет обоснован несколько позже.

В числителе дроби, определяющей значение показателя экспоненциальной зависимости, находится сумма интенсивностей всех простейших потоков, исходящих из данного состояния. Если некоторый поток изначально является рекуррентным, то к его интенсивности предполагается применение соответствующего коэффициента коррекции. Если же поток изначально является простейшим, то, очевидно, соответствующий коэффициент коррекции следует априори положить равным единице.

Каждое из уравнений (4.37) получается как результат аппроксимации некоторого столбца таблицы коэффициентов пересчета интенсивностей, соответствующего параметру последействия в i-том исходящем из данного состояния рекуррентном потоке событий. Поскольку в таблице приведены только целочисленные параметры, то для нецелочисленных значений последействия может потребоваться, и в большинстве случаев потребуется, предварительное формирование нового столбца, для чего могут быть применены методы интерполяции промежуточных значений в каждой из строк таблицы.

Итак, имеется достаточное количество уравнений для любого числа исходящих из некоторого состояния модели рекуррентных потоков, решение которых в принципе позволяет отыскать коэффициенты пересчета интенсивностей потоков к эквивалентным простейшим потокам событий.