Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор результатов 7
1.1 Солитонные возбуждения в нанотрубках 7
1.2 Моделирование ламинарного обтекания жидкостью цилиндра 10
1.3 Течения Стокса 17
1.4 Перистальтические течения 27
1.5 Течения в наноструктурах 30
2 Постановка задачи и общая математическая конструкция 40
2.1 Постановка задачи 40
2.2 Стокслет и теория расширений операторов 40
2.3 Солитон в нанотрубке 57
3 Модель возмущения для точечного источника 56
3.1 Решение для двумерного течения 56
3.2 Трехмерное течение 60
4 Модель локального возмущения границы 6666
4.1 Трехмерное течение (локальное возмущение границы) 66
4.2 Течение с кристаллитом внутри 69
4.3 Моделирование течения с помощью конечно-разностных методов 75
Заключение
Литература
- Течения Стокса
- Стокслет и теория расширений операторов
- Трехмерное течение
- Моделирование течения с помощью конечно-разностных методов
Течения Стокса
С момента открытия углеродных нанотрубок было экспериментально исследовано огромное количество морфологий углеродных нанотрубок. Нанотрубки - это объекты, представляющие интерес как для экспериментальных, так и для теоретических научных исследований, из-за множества необычных свойств, которыми они обладают. Возможности для практических применений углеродных нанотрубок, особенно в сфере нанотехнологий, являются очень широкими. Среди их множества применений предусмотрены приложения в наноразмерных электронных устройствах. Легирование нанотрубок и изменение их структуры может привести к формированию диодов, транзисторов с полевым эффектом и проводников с электронной проводимостью.
Динамические свойства нанотрубок представляют собой большой интерес из-за возможности их применения на практике. Теоретические методы для объяснения этих свойств варьируются от абсолютно расчетных методов до приблизительных экспериментальных схем. Однако, несколько экспериментальных результатов были проанализированы с помощью эмпирических методов, которые учитывали эффекты различных колебательных мод. В частности, нелинейные локальные возбуждения могут переносить энергию и могут быть вовлеченными в процессы, представляющие интерес для практических применений. Были сделаны некоторые предположения о том, какую роль играют одиночные возбуждения в процессах переноса тепла, разрушения полимеров, а также, в других процессах, происходящих в молекулярных системах. Хотя в большинстве случаев гармонического приближения достаточно для описания молекулярных процессов, некоторые молекулярные материалы содержат атомы, взаимодействующие через нелинейные межатомные потенциалы, что может привести к возникновению солитонных возбуждений.
В работе [1] с помощью эмпирических методов исследуются нелинейные эффекты в углеродных нанотрубках, порождающие солитоны. Углеродные нанотрубки являются анизотропными и упорядоченными объектами с большим соотношением сторон. Поверхность нанотрубок получается сворачиванием листа графита, состоящего из одного слоя молекул углерода, в цилиндр, при этом длины связи и углы немного отличаются от кристаллической решетки графита за счет деформации, вызванной сворачиванием. Негармоническое решение в нелинейных одномерных решетках часто приближают с помощью уравнения Кортевега — де Фриза. Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида: и(х, t) = Ц , ch 2 [k(x-4k 2 t-x0)] где к — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, х0 — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси х.
Так как нанотрубки являются квазиодномерными объектами, то для получения нелинейных возбуждений в них имеет смысл рассматривать их в качестве одномерной решетки с нелинейным эффективным потенциалом. Затем в конечном приближении могут быть получены соответствующие уравнения Кортевега — де Фриза.
С помощью численных методов было аналитически продемонстрировано, что солитоны Кортевега — де Фриза - это достаточно хорошее приближение для описания нелинейных возмущений в нанотрубках. Солитон линейно увеличивается с увеличением диаметра трубки. Найденное решение описывает нелинейные возмущения в графите. Достоверность численной имитации развития зарождающегося солитона подтверждает высокая устойчивость результатов численной имитации.
Вопросы, рассматривающие методы солитонных возбуждений в реальных углеродных нанотрубках, и их возможный вклад в описание различных химических и физических явлений, пока не решены. На самом деле, генерация высоко когерентных ультракоротких продольных перемещений атомов в нанотрубках кажется маловероятной. Это, однако, не относится к длинноволновым одиночным возмущениям. В связи с этим хотелось бы отметить недавние результаты в изучении оптико-механических эффектов в нанотрубках. Предположительно, что короткая вспышка света может вызвать возбуждение в нанотрубке таким образом, что появится солитонное возбуждение. Солитонные возбуждения так же могут быть получены за счет внешних факторов, такие как воздействие электрона или иона, изменение электрического напряжения и др. Если солитонное возбуждение присутствует в нанотрубке в достаточной «концентрации», то оно может быть обнаружено через его вклад в некоторые обнаруживаемые свойства нанотрубки. В качестве примера можно привести эффект цунами, когда энергия, равномерно распределенная в возбуждении произвольного профиля, может быть сконцентрирована на нескольких связях дефекта со значительным избытком энергии. Чем больше это искажение в нанотрубке, тем больше это влияние. Это так же может быть способом для самовосстановления нанотрубкт, когда перестройка структурных несовершенств, вызывается солитонным возмущением. Этот эффект так же может способствовать химической реакции. Наличие высокой теплоемкости, которую мы можем наблюдать в однослойных нанотрубках, частично объясняется солитонными возбуждениями, которые возникают параллельно с фононами. Перенос тепла в нанотрбуках это другой пример влияния солитонных возбуждений на свойства нанотрубок. Эмиссия коротких электрических импульсов поля, когда солитон неупруго взаимодействует с несимметричным колпаком или другим дефектом, может служить еще одним примером. Результаты расчета изменения в распределении разряда подтверждают большое отклонение электрических свойств от своих равновесных значений при солитонных возбуждениях. Процесс изменения распределения заряда из-за динамических возбуждений, вероятно, обратно пропорционально связан с оптико-механическим феноменом в нанотрубках.
Стокслет и теория расширений операторов
В последние годы интенсивно изучались течения жидкостей и газов в наноразмерных системах [11], [12]. В настоящее время не существует общих уравнений для наногидродинамики. Обычно, для вычислений используется молекулярная динамика [13]. В качестве аналитических подходов, одним из простейших включается в себя введение условия скольжения на границе [14]. Также существует гибридный метод, соединяющий в себе непрерывный подход и молекулярную динамику (который используется для анализа структуры течения и определения реологического закона) [15]. В статье [16] флуктуации принимаются в расчет при выводе гидродинамических уравнений. В статье [17] было экспериментально исследовано вязко-эластичное поведение воды в наноразмерных зазорах. Рассмотрено явление большого увеличения эффективной вязкости воды в наноканале. Для течения в наноканале молекулярная структура середины течения играет значительную роль. Это похоже на броуновское движение [18] и движение тела сквозь разреженный газ [19]. Точнее можно сказать, что течение в наноканале зависит от локальной неоднородности молекулярной структуры жидкости, если размер молекул соизмерим с шириной канала. Гипотеза о существовании локально упорядоченных структур в жидкости была выдвинута в предыдущих работах [20]. На протяжении нескольких десятилетий обсуждали наличие кристаллитов в жидкости, т.е. областей, где молекулярная структура жидкости схожа со структурой кристаллической решетки твердого тела [21], [22], [23].
Исследования течений в наноразмерных системах [17], [24] показывают, что эффективная вязкость воды в наноканале с водоотталкивающими стенками значительно выше, чем соответствующее значение вязкости в макроскопических системах. Вычисления [24] показывают наличие упорядоченных структур, размер которых не превышает 1нм. Численные методы исследований [25] привели к идее возможности существования ледо подобных состояний в нанотрубках при нормальных условиях.
Экспериментальные и теоретические исследования состояния воды в углеродных нанотрубках показывают [26], [27], что в них присутствует ледоподобная оболочка, наполненная жидкой водой. Увеличение эффективной вязкости жидкости, протекающей сквозь канал, было замечено [28] для каналов диаметром в несколько микрометров. Влияние стенок не является очевидным.
В отдельных экспериментах было увеличение эффективной вязкости, но в некоторых экспериментах был абсолютно противоположный эффект. В частности, некоторые эксперименты показывают [29], что скорость течения жидкости в углеродных нанотрубках гораздо больше, чем скорость, вычисленная в рамках классической теории жидкости. Возможная модель такого феномена как «сверхтекучесть» в очень узких наноканалах была предложена в предыдущих работах [30]. Как было упомянуто ранее, эффективная вязкость может быть как очень маленькой при одних условиях, так и очень большой при других условиях (в сравнении с классическим значением). Такое нетривиальное соотношение между диаметром нанотрубки и вязкостью, возможно, связано с локальным упорядочиванием молекул в жидкости. Первый вариант такого подхода описан в [31], где молекулярная динамическая модель течения в нанотрубке близко к предложенной модели кристаллита. В [69] описано соотношение эффективной вязкости жидкости в нанотрубке и динамики локально упорядоченного наноразмерного кластера. Число этих кластеров увеличивается, если температура приближается к точке кристаллизации. Размеры этих кластеров близки к величине диаметров нанотрубок [32]. По этой причине важно изучить существование кристаллических кластеров такого рода в жидкости внутри нанотрубки и влияние кластеров на перенос вещества сквозь трубку. Вычисления, основанные на молекулярной динамике, показывают, что твердые наноразмерные кластеры могут существовать, как внутри нанотрубки, так и снаружи. Кластеры (кристаллиты) могут быть размером порядка 1нм, что близко к размеру внутреннего диаметра силикатной нанотрубки. Отметим, что вычисленный размер кристаллита зависит от параметров внутреннего потенциала, т.е. химического состава жидкости. Более того в неораниченных областях кластеры также имеют размер порядка нано. Существует некоторое число экспериментальных результатов, подтверждающих существование кристаллитов в жидкости [21]. Это показано экспериментально в [23], что вода неоднородна и состоит их двух частей: хаотичной (жидкостно-подобной) фазы и кристаллитов, имеьщих средний размер около 1нм при комнатной температуре. Что касается гидродинамических аспектов, течение в нашей модели имеет общие особенности с взвешенными течениями [33], в частности, течение в нанотрубке имеет такую же анизотропию вязкости, как некоторые взвешенные течения [34].
Косвенное экспериментальное подтверждение гипотезы о существовании кристаллитов внутри нанотрубок рассмотрено в статье [35], где изучалось течение жидкости, состоящей из смеси спирта и воды, через мембрану с встроенными нанотрубками. Авторы показали, что концентрация спирта резко уменьшается после прохождения через нанотрубки. Модель с кристаллитом связана с моделью, описанной выше. Концентрация кристаллитов в жидкости увеличивается, когда температура приближается к точке замерзания. Температура замерзания для воды выше, чем для спирта. Поэтому кристаллиты из воды преобладают над кристаллитами из спирта. Отметим, что кристаллиты из воды не содержат молекул спирта. Следовательно, концентрация спирта уменьшется в течение процесса прохождения жидкости через нанотрубку.
В случае узких нанотрубок с эластичными стенками (например, углеродные нанотрубки) существуют эластичные волны, в частности, уединенные волны в стенках [36]. Они оказывают огромное влияние на течение. Здесь предлагается решаемая модель такого течения. Показано, что солитон в стенке порождает поток.
Предлагается модель, основанная на предположении о существовании кристаллитов внутри нанотрубки. Во-первых, учитывается превращения энергии. А именно, определяется сила падения давления и равная ей потеря энергии по двум причинам: вязкое рассеивание и плавление.
Используется квантово-механический подход для объяснения типа граничных условий на внутренней поверхности нанотрубки.
Характер течения в нанотрубке зависит от соотношения между локальным размером равновесия кристаллита и диаметра нанотрубки. Ищется эффективная вязкость течения в нанотрубке, которая определяется следующим образом. Рассматривается соотношение между нанотрубкой (в которой, возможно, есть кристаллиты) и классической трубкой (с течением Пуазейля), имеющих один размер и одинаковые значения падения давления и скорости течения. Вязкость течения Пуазейля обладает теми же параметрами, которые, в случае нанотрубки, называются эффективной вязкостью.
Отмечено, что существует некоторое пространство (шириной h) между кристаллитом и стенкой нанотрубки. Это пространство занимает, так называемая неавтономная фаза (подобная жидкости), имеющая свойства жидкости с другой вязкостью fi0 [37]. Изменения размера приводят к нескольким частным случаям, описанным ниже. Введем некоторые обозначения. Пусть D -это диаметр нанотрубки, L - длина, He - равновесный размер кристаллита, а he -равновесная ширина неавтономной фазы.
При диаметре нанотрубки D he внутри трубки не наблюдается кристаллит, но он присутствует на входе, и для формирования потока он должен перейти в подобную жидкости неавтономную фазу. Грубо говоря, течение формируется «плавлением» кристаллита на «входе». Баланс масс дает нам nHe 2V = TTD2V где v - это средняя скорость потока в нанотрубке, V - скорость кристаллита. Ниже мы напишем уравнение баланса энергии
Трехмерное течение
Этот результат - это описание дистокслета или точнее одного элемента семейства дистокслета (с фиксированной ориентацией). Можно использовать этот операторный подход для описания других дистоклетов, а также стокслетов высших порядков.
Отметим, как изменить эту схему, если мы имеем дело с трехмерной задачей. В этом случае уравнения Стокса могут быть представлены в матричной форме: 0 А на наборе элементов, удовлетворяющих условию Vu = 0. На этом наборе уравнение сводится к системе из четырех уравнений Лапласа (для каждого компонента). Таким образом, мы можем построить модель для диагонального оператора diag{A,A,A,A} в пространстве вектор-функций (p,L\,u2,u3). Следовательно, построение модели сводится к стандартной модели потенциалов нулевого радиуса (для вектор-функций). Эта модель может быть построена не только в пространстве L2 (например, [68, 43]), но и в расширенном пространстве
[75]. Следует заметить, что модель построена здесь для оператора А2, но не для оператора А, поэтому необходимо убедиться является ли наша сингулярная функция решением для начальных уравнений или нет. Несложно показать, что сингулярное решение (29) это решение в случае, когда диполь учитывается в модели оператора Лапласа.
Опишем пример применения предложенного подхода. Рассмотрим двухмерное течение в канале Q+ с прямыми границами (х = 2,х = 0), который соединен с идентичным каналом Q (х = -2,х = 0) через отверстие в точке (0,0). Здесь х,у - декартовы координаты точки. Мы предполагаем, что следующее граничное условие действительно: = = 0, х = ±2,0. Описанная версия операторного подхода может быть изменена для случая, когда сингулярность находится на границе. Опишем изменение модели для этой ситуации. Мы должны рассмотреть квадрат оператора Лапласа с граничным условием, описанным выше. Пусть (А;) это сужение исходного оператора на наборе гладких функций, которые удовлетворяют следующему условию рядом с точкой (0,0) = г0 границы:
Дефектные элементы могут быть получены с пмощью следующей процедуры. Пусть г 0 - внутренняя точка Q+. Можно найти решение задачи: A2g(r) + k2g(r) = d(r-r 0), g(r) эп = g SQ = 0. Здесь k2 0. Асимптотики решения вблизи точки г 0 такие же, как и у фундаментального решения. Необходимо найти решение g и его производные при г 0 - г0. Замечено, что только функция имеет ненулевой предел (ненулевые дпг2 прозводные высших порядков не принадлежат пространству L2). Эта функция является дефектным элементом оператора (А;)2. Таким образом, индексы дефекта оператора (А;)2 это (1,1). Можно показать, что главный член асимптотик недостающих элементов вблизи точки г0 это с cos2 в , где в это угол между вектором г - г0 и нормалью в точке г0.
Аналогичная конструкция (оператор (А )2) и для второго канала. Пусть оператор А20 будет ортогональной суммой этих опреторов. Он симметричен и имеет индексы дефекта (2,2). Область определения сопряженного оператора содержит следующие элементы:
Область определения для самосопряженного расширения - это линейный поднабор области определения сопряженного оператора, на элементах которого граничная форма обращается в ноль. Это несложно доказать.
Теорема 3. Область самосопряженного расшрения содержит все элементы из области сопряженного оператора, который удовлетворяет условию: ВЛ (cf(s)\ ( cf(s) 1
Замечание. Богатство семейства расширений (т.е. факт, что число дефектных элементов в случае сингулярности внутри области достаточно большое) позволяет нам сымитировать различные физические ситуации. Если мы выберем, например, расширение, для которого главная сингулярность элемента из области это In г, мы получим «источник завихрения» (более распространенное название для этой сингулярности - «линейный вихрь» или «линейный ротлет»), и мы можем успользовать это для описания, например, течения, вызванного вращением тела. Обычный стокслет представлен сингулярностью г In г cos 9. В случае сингулярности на границе у нас есть следующий главный член асимптотики: c±cos20, мы получаем (когда с+с_ 0 ) «источник массы» для одного канала и «точку утечки» для второго, следовательно, можно использовать этот тип сингулярности для имитации потока через небольшое отверстие.
Нет необходимости описывать тщательно все расширения одного типа, чтобы получить результат, что существет несколько вихрей. Только интенсивность вихрей зависит от выбора расширения, но их размеры и форма течения не зависит от этого. Можно получить соответствующуюю функцию тока (сингулярное решение для бигармонического уравнения), используя преобразование Фурье: і,, і , = 2;rReX(AC ±l 2 +Д,( + 1)е 2 ) (37) и=1 Здесь знак «-» соответсвует первому каналу, а знак «+» - второму. An (x) Bn (x) х sin(2_1 Лпх) cos(2_1 Лп) - sin(2_1 Лп) cos(2_1 Лпх) cos(A„) + l х COSC2-1 цпх) sin(2- цп) - COSC2-1 цп) sin(2 цпх) cos(//„)-l An,jun - корни уравнений: sinA +Л = 0, sin// -и = 0. Теперь мы можем получить картину линий тока как следствие рассмотренного выше. Мы предполагаем, что невозмущенное решение имеет следующий вид: течение с функцией тока щ=у{А-1х2-% 1хг\ 0 JC 2 в правом канале вызвано движенем границы канала (x=2) с постоянной скоростью (т.е. у/0 удовлетворяет граничным условиям у/0 =— = о, х = о, у/0 = о, = const, х = 2) и отсутствие течения в левом канале. дп дп Для построения линий тока мы полагаем, что у = \; Лп, jun,n 5 получены из формулы асимптотики (31), а первые пять чисел \, jun посчитаны примерно при решении уравнений (30) (эти значения, например, представлены в [81], см. Таблицу 1).
Моделирование течения с помощью конечно-разностных методов
Этот результат - это описание дистокслета или точнее одного элемента семейства дистокслета (с фиксированной ориентацией). Можно использовать этот операторный подход для описания других дистоклетов, а также стокслетов высших порядков.
Отметим, как изменить эту схему, если мы имеем дело с трехмерной задачей. В этом случае уравнения Стокса могут быть представлены в матричной форме: 0 А на наборе элементов, удовлетворяющих условию Vu = 0. На этом наборе уравнение сводится к системе из четырех уравнений Лапласа (для каждого компонента). Таким образом, мы можем построить модель для диагонального оператора diag{A,A,A,A} в пространстве вектор-функций (p,L\,u2,u3). Следовательно, построение модели сводится к стандартной модели потенциалов нулевого радиуса (для вектор-функций). Эта модель может быть построена не только в пространстве L2 (например, [68, 43]), но и в расширенном пространстве [75]. Следует заметить, что модель построена здесь для оператора А2, но не для оператора А, поэтому необходимо убедиться является ли наша сингулярная функция решением для начальных уравнений или нет. Несложно показать, что сингулярное решение (29) это решение в случае, когда диполь учитывается в модели оператора Лапласа.
Опишем пример применения предложенного подхода. Рассмотрим двухмерное течение в канале Q+ с прямыми границами (х = 2,х = 0), который соединен с идентичным каналом Q (х = -2,х = 0) через отверстие в точке (0,0). Здесь х,у - декартовы координаты точки. Мы предполагаем, что следующее граничное условие действительно: = = 0, х = ±2,0. Описанная версия операторного подхода может быть изменена для случая, когда сингулярность находится на границе. Опишем изменение модели для этой ситуации. Мы должны рассмотреть квадрат оператора Лапласа с граничным условием, описанным выше. Пусть (А;) это сужение исходного оператора на наборе гладких функций, которые удовлетворяют следующему условию рядом с точкой (0,0) = г0 границы:
Дефектные элементы могут быть получены с пмощью следующей процедуры. Пусть г 0 - внутренняя точка Q+. Можно найти решение задачи: A2g(r) + k2g(r) = d(r-r 0), g(r) эп = g SQ = 0. Здесь k2 0. Асимптотики решения вблизи точки г 0 такие же, как и у фундаментального решения. Необходимо найти решение g и его производные при г 0 - г0. Замечено, что только функция имеет ненулевой предел (ненулевые дпг2 прозводные высших порядков не принадлежат пространству L2). Эта функция является дефектным элементом оператора (А;)2. Таким образом, индексы дефекта оператора (А;)2 это (1,1). Можно показать, что главный член асимптотик недостающих элементов вблизи точки г0 это с cos2 в , где в это угол между вектором г - г0 и нормалью в точке г0.
Аналогичная конструкция (оператор (А )2) и для второго канала. Пусть оператор А20 будет ортогональной суммой этих опреторов. Он симметричен и имеет индексы дефекта (2,2). Область определения сопряженного оператора содержит следующие элементы: и = (и+-,и+), и+ = 0/+ (Г& + и , где Х = к2 это комплексная регулярная точка для операторов А ,/ это соответствующий дефектный элемент, г єДА0). Можно получить граничную форму / для сопряженного оператора:
Область определения для самосопряженного расширения - это линейный поднабор области определения сопряженного оператора, на элементах которого граничная форма обращается в ноль. Это несложно доказать.
Теорема 3. Область самосопряженного расшрения содержит все элементы из области сопряженного оператора, который удовлетворяет условию: ВЛ (cf(s)\ ( cf(s) 1
Замечание. Богатство семейства расширений (т.е. факт, что число дефектных элементов в случае сингулярности внутри области достаточно большое) позволяет нам сымитировать различные физические ситуации. Если мы выберем, например, расширение, для которого главная сингулярность элемента из области это In г, мы получим «источник завихрения» (более распространенное название для этой сингулярности - «линейный вихрь» или «линейный ротлет»), и мы можем успользовать это для описания, например, течения, вызванного вращением тела. Обычный стокслет представлен сингулярностью г In г cos 9. В случае сингулярности на границе у нас есть следующий главный член асимптотики: c±cos20, мы получаем (когда с+с_ 0 ) «источник массы» для одного канала и «точку утечки» для второго, следовательно, можно использовать этот тип сингулярности для имитации потока через небольшое отверстие.
Нет необходимости описывать тщательно все расширения одного типа, чтобы получить результат, что существет несколько вихрей. Только интенсивность вихрей зависит от выбора расширения, но их размеры и форма течения не зависит от этого. Можно получить соответствующуюю функцию тока (сингулярное решение для бигармонического уравнения), используя преобразование Фурье: