Введение к работе
Актуальность проблемы. Среди многообразия природных явлений особое место принадлежит процессам, протекающим в прибрежных водных системах. Процесс перемещения наносов вследствие волнового воздействия относят к одному из важнейших явлений прибрежной зоны водоема. При конструктивном преобразовании рельефов необходимо учитывать динамику профиля дна в прибрежной зоне водоема под воздействием волновых процессов. Одним из наиболее эффективных методов исследования реальных процессов гидродинамики в настоящее время становится численное моделирование.
Проведенный анализ исследований по рассматриваемой проблеме показал, что:
для прогноза динамических процессов береговой зоны возникает необходимость математического моделирования процессов перемещения наносов в районах, характеризующихся мелководностью;
не существует пространственно-двумерной модели транспорта наносов в мелководных водоемах, учитывающей пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, ветровые течения и трение о дно, и пригодной для описания наносов при произвольном направлении транспорта наносов по отношению к береговой линии.
Таким образом, проблема работы, а именно, прогнозирование формирования профиля дна в прибрежной зоне водоема при образовании наносов средствами численного моделирования, является актуальной.
Цель работы заключается в построении и реализации одномерных и двумерных непрерывных и дискретных моделей транспорта наносов в прибрежных водных системах, описывающих переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц.
В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи.
Проведено исследование модели переноса многокомпонентной примеси в водной среде. Доказано достаточное условие единственности решения соответствующей начально-краевой задачи.
Проведено построение и исследование пространственно-одномерной непрерывной и дискретной консервативной моделей, описывающих переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц. На основе исследования показана целесообразность использования модели движения водной среды, описываемой системой уравнений Навье-Стокса.
В области математического моделирования разработана пространственно-двумерная модель транспорта наносов в мелководных водоемах, позволяющая предсказать динамику изменения рельефа дна за счет движения воды и твердых частиц и учитывающая пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна, ветровые течения и трение о дно.
В области численных методов построен дискретный аналог двумерной модели транспорта наносов, выполнены аналитические исследования погрешности аппроксимации, устойчивости полученной модели. Разработан эффективный алгоритм ее численной реализации на основе метода поправки к давлению с использованием эффективных методов решения сеточных уравнений.
5. Создан комплекс программ, предназначенный для моделирования турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне, для прогнозирования возможных сценариев изменения геометрии донной области.
Научная новизна диссертационного исследования.
Исследована модель переноса многокомпонентной примеси в водной среде, учитывающая диффузию и конвекцию примесей, действие на примесь силы тяжести, взаимную трансформацию примесей различного типа, наличие дна и свободной поверхности. К новым результатам можно отнести достаточное условие единственности решения соответствующей начально-краевой задачи.
Разработаны пространственно-одномерная непрерывная и дискретная модели, описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц, служащие основой для разработки двумерной модели, при этом описание движения водной среды производилось на основе трех математических моделей (волновые модели, без учета нелинейных процессов и с учетом нелинейных процессов, модель, описываемая уравнением Навье-Стокса). В работе в отличие от других исследований на основе численных экспериментов показана целесообразность использования модели движения водной среды, описываемой системой уравнений Навье-Стокса.
Построена двумерная математическая модель транспорта наносов в мелководных водоемах, удовлетворяющая основным законам сохранения. Новизна полученных результатов состоит в том, что модель учитывает две пространственные переменные, а также следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно.
Построена консервативная разностная схема, аппроксимирующая разработанную двумерную модель транспорта наносов со вторым порядком относительно шага пространственной сетки и с первым порядком относительно временного шага и исследована устойчивость разработанной разностной схемы. Для решения сеточных уравнений применен адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа.
Разработан программный комплекс для расчета динамического изменения рельефа мелководных водоемов, областью применения которого является построение поля скоростей водной среды и прогнозирование возможных сценариев изменения геометрии донной области мелководных водоемов. На основе разработанного комплекса программ проведено численное моделирование гидрофизических процессов в прибрежной зоне водоема.
Методы исследования. При разработке гидродинамической модели движения водной среды использована трехмерная гидростатическая модель, включающая уравнения движения Навье - Стокса, неразрывности для несжимаемой жидкости, гидростатики. Построение дискретной консервативной модели, описывающей переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц, проведено интегро-интерполяционным методом. Для построения гидродинамической модели использовался метод поправки к давлению, применены схемы с весами, устойчивость которых исследовалась на основе сеточного принципа
максимума. Для решения сеточных уравнений использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод.
Программная реализация построенных численных алгоритмов базируется на языке «C++». Визуализация проводилась в среде разработки MATHCAD.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обусловлена корректной математической постановкой рассматриваемых задач, использованием математических методов построения моделей, их численного анализа, корректностью использования апробированных специализированных программных сред.
Представленные в диссертации результаты имеют математическое обоснование: выполнены исследования погрешности аппроксимации, устойчивости дискретных моделей. Результаты численных экспериментов, полученных на основе построенного комплекса программ, согласуются с известными теоретическими и экспериментальными данными.
Практическая значимость. Разработанные численные алгоритмы и реализующий их комплекс программ имеют практическую значимость: они могут быть использованы для исследования гидрофизических процессов в прибрежных водных системах, проверки гипотез и прогноза динамики донной области мелководных водоемов и береговой линии. Возможно применение результатов исследований в целях планирования рационального природопользования: строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии, для прогноза возможных переформирований дна под воздействием турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне. Модели транспорта наносов в прибрежных водных системах могут оказаться полезными при работах, связанных с защитой от заносимое портов и каналов, прогнозом силового воздействия на конструкции, для определения оптимальных трасс морских подходных каналов и т.п.
В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следующие результаты и положения:
Пространственно-одномерная непрерывная и дискретная модели, удовлетворяющие основным законам сохранения и описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц.
Двумерная модель транспорта наносов в мелководных водоемах, включающая уравнения движения, неразрывности и перемещения наносов, учитывающая две пространственные переменные и следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно.
Разностная схема, аппроксимирующая двумерную модель транспорта наносов со вторым порядком относительно шага пространственной сетки и с первым порядком относительно временного шага и алгоритм ее численной реализации.
Комплекс программ, предназначенный для моделирования турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне, для прогнозирования возможных сценариев изменения геометрии донной области мелководных водоемов.
Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на конференциях и научных семинарах: VII Международная научно-практическая конференция: Методы и алгоритмы
прикладной математики в технике, медицине и экономике (Новочеркасск, 2 февраля 2007); Пятьдесят третья научно-теоретическая конференция ГОУВПО «ТГПИ». Секция математики. (Таганрог, 22 января 2010); Пятьдесят четвертая научно-теоретическая конференция ГОУВПО «ТГПИ». Секция математики. (Таганрог, 21 января 2011); Международная научно-практическая конференция: Молодежь и наука: реальность и будущее. (Невинномысск, НИЭУП, 3 марта 2010); Научный семинар кафедры ВМ ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2011).
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, содержащего 151 наименований. Работа содержит 33 рисунка, 2 таблицы. Полный объем диссертации составляет 196 страниц.
