Содержание к диссертации
Введение
1 Классические и квантовые поля в пространствах топологических дефектов 20
1.1 Метрические свойства пространств, содержащих топологические дефекты 20
1.1.1 Космические струны 20
1.1.2 Глобальный монополь 31
1.2 Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени. Метод раздвижки точек 35
1.2.1 Скалярное поле (спин 0) 35
1.2.2 Спинорное поле (спин |) 39
1.2.3 Электромагнитное поле (спин 1) 40
1.2.4 Линеаризованное гравитационное поле (спин 2) 43
1.3 Квантованные поля на фоне топологических дефектов 44
1.4 Энергия нулевых колебаний в рамках метода дзета регуляризации 56
1.5 Гравитационно индуцированная сила и энергия самодействия 67
2 Энергия нулевых колебаний и коэффициенты теплового ядра в пространстве-времени космических струн 91
2.1 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени бесконечно тонкой струны 91
2.2 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения Готта-Хискока. Приближение малого дефицита угла 99
2.3 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечногосечения Готта-Хискока. Произвольный дефицита угла 113
Выводы 122
Квантованные и классические поля в пространстве-времениглобального монополя 125
3.1 Тензор энергии-импульса безмассового спинорного поля в пространстве-времени точечного глобального монополя 125
3.2 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в сферической полости в пространстве-времени точечного глобального монополя 140
3.3 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в полости между концентрическими сферами в пространстве-времени точечного глобального монополя 150
3.4 Излучение равномерно движущегося скалярного заряда в поле глобального точечного монополя 160
Выводы 172
Энергия нулевых колебаний в пространстве-времени кротовых нор 175
4.1 Энергия нулевых колебаний скалярного массивного поля в пространстве-времени кротовой норы. Модель бесконечно-короткой горловины 175
4.2 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы. Модель однопараметрической гладкой горловины 194
4.3 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы. Модель двухпараметрической гладкой горловины 220
Выводы 227
Эффекты самодействия в пространстве-времени космических струн 229
5.1 Электромагнитная энергия и сила самодействия частицы в пространстве-времени бесконечно тонкой космической струны 229
5.2 Электромагнитная энергия и силасамодействия частицы в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения Готта-Хискока 249
5.3 Сила самодействия частицы в пространстве-времени плоской гравитационной волны 264
5.4 Связанные состояния частицы спина 0 и 1 в пространстве -времени бесконечно тонкой космической струны 271
Выводы 279
Общие выводы и результаты 282
Приложение А 291
- Энергия нулевых колебаний в рамках метода дзета регуляризации
- Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечногосечения Готта-Хискока. Произвольный дефицита угла
- Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в сферической полости в пространстве-времени точечного глобального монополя
- Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы. Модель однопараметрической гладкой горловины
Введение к работе
Несмотря на успехи в области создания единой теории поля, где уже удалось с единой точки зрения рассмотреть три известных взаимодействия (электромагнитное, слабое и сильное) в рамках так называемой стандартной модели (электрослабая модель Вайнберга-Салама + квантовая хромодинамика), гравитационное взаимодействие не поддается включению в эту модель. Существует уверенность, что на таком пути единая теория всех полей не может быть построена (см., например, обзор [28]). Определенные успехи имеются в теории струн [33, 19, 20, 319, 320, 28], из которой следует, что в области низких энергий гравитационное взаимодействие отделяется и описывается полуклассическими уравнениями Эйнштейна. В этой области энергий (масштабов) корректным является полуклассический подход, в рамках которого квантуются все поля кроме гравитационного, которое считается классическим. На этом пути получено множество интересных результатов [8, 198], наиболее известными из которых являются квантовое испарение черных дыр [225, 226], эффекты рождения частиц сильным гравитационным полем и поляризация вакуума [8, 17].
Явление поляризации вакуума граничными условиями хорошо известно и экспериментально подтверждено высокоточными измерениями (см., например, обзор [112]). Благодаря широко известным работам Казимира [138, 139, 140] энергия взаимодействия Ван-дер-Ваальса между реальными телами в определенном интервале расстояний может описываться как перенормированная энергия нулевых колебаний поля в пространстве между идеальными телами, под которыми понимаются граничные условия (см. по этому поводу книгу Бараша [4] и доклад Казимира [137]). Такое явление получило название эффекта Казимира. В теории гравитации поляризация вакуума может происходить как вследствие граничных условий, так и вследствие искривления пространства-времени и/или его нетривиальной топологии. Все явления
такого рода также принято называть эффектом Казимира [136].
Работы Хокинга [225, 226] по явлению квантового испарения черных дыр положили начало интенсивному исследованию квантованных и классических полей в искривленном пространстве-времени [8, 198, 12, 17, 186] в рамках полуклассического подхода. Аналогия закона неувеличения площади поверхности горизонта черных дыр с Н теоремой Больцмана [75, 82] привела к созданию термодинамики черных дыр, в которой энтропия черной дыры составляет одну четвертую часть площади поверхности горизонта. Окончательное и общепринятое решение вопроса о микроскопическом происхождении энтропии черной дыры до сих пор не получено. Обсуждение этой интересной и сложной проблемы выходит за рамки данной работы (см. по этому поводу [56, 347, 369, 193, 79, 342]).
Понятие топологических дефектов впервые появилось в известной работе Киббла [250] в 1976 году. В данное время имеется обширная литература, посвященная этим объектам. Подробный анализ возникновения дефектов, их взаимодействия, космологической эволюции имеется в трудах конференций [191, 192], обзорных работах [251, 357, 232] и монографиях [359, 27].
Основой теории формирования топологических дефектов является эффект восстановления нарушенной симметрии при высокой температуре [252, 23, 276, 364, 166]. Впервые это явление в электрослабой модели Вейнберга было отмечено в работах Киржница и Линде [252, 23, 276] и позднее было тщательно изучено в работах Вейнберга [364], Долана и Джакива [166]. Топологические дефекты могут быть как глобальными, так и локальными, в зависимости от того, какая симметрия при низкой температуре была нарушена - глобальная или локальная.
Имеется четыре типа топологических дефектов - монополи, космические струны, доменные стенки и текстуры [250, 251, 359]. Возможны также гибридные структуры, как например, космические струны с монополями на
концах, и т.д. (см. например, [232]). Гомотопическая классификация топологических дефектов на основе фундаментальной группы вакуумного многообразия была предложена Кибблом [250, 251, 191, 192]. Нетривиальность фундаментальной группы означает возможность появления соответствующего дефекта. Из гомотопической классификации следует, что любая теория великого объединения всегда приводит к появлению монополей. Дело в том, что на каком-либо этапе эволюции Вселенной электромагнитное взаимодействие, симметрия которого описывается группой U(1), должно отделиться. Эта симметрия является остаточной и обладает тем свойством, что фундаментальная группа 7ti(U(1)) является нетривиальной, что в свою очередь приводит к обязательному появлению монопольных решений. Избыточное их появление в космологических масштабах было отмечено Зельдовичем и Хлоповым в работе [372]. Численное моделирование эволюции реликтовых монополей [86, 368] показало, что, фактически, имеется решение с несколькими глобальными монополями на объем горизонта. Основным механизмом, уменьшающим плотность монополей, является аннигиляция пары монополь - антимонополь [27].
Возникновение таких структур в различных полевых моделях было отмечено давно (см., например книгу Раджарамана [36]). Нитеобразные структуры, содержащие в себе магнитное поле с фиксированным потоком, возникают в абелевой модели Хиггса [309] и описывают проникновение магнитного поля в сверхпроводник второго рода (абрикосовские нити [2]). Монополи, объекты с магнитным зарядом и радиальным магнитным полем, появляются естественным образом в теории Янга-Миллса [31, 346]. Доменные стенки возникают в различных нелинейных моделях скалярного поля и известны под названием кинков [36]. Появление этих объектов в процессе эволюции Вселенной связано с тем, что температурные добавки к лагранжиану полей становятся зависимыми от времени. При высоких температурах происходит
восстановление симметрии, поскольку доминирующей становится самая высокая степень температуры, и вакуумное многообразие вырождается в точку. С ходом эволюции Вселенной температура полей падает, что приводит к нарушению симметрии, фазовому переходу и нетривиальности вакуумного многообразия.
Пространство-время, порождаемое топологическими дефектами, обладает нетривиальной структурой. Например, материя внутри прямой космической струны описывается уравнением состояния вырожденного вакуума и по этой причине не имеет ньтоновского предела. В ньтоновской механике линейное распределение материи приводит к логарифмическому потенциалу, тогда как космическая струна вообще не имеет ньютоновского потенциала. Пространство-время бесконечно тонкой космической струны является локально плоским.
Не вызывает сомнений, что крупномасштабная структура Вселенной связана с топологическими дефектами [359]. Тщательные эксперименты, проведенные в последнее десятилетие [334, 83, 335, 84, 367, 85, 99, 298, 293, 270, 222, 266, 150] в международных проектах СОВЕ, BOOMERANG, и MAXIMA, убедительно доказывают существование анизотропии реликтового излучения. Спектральный анализ результатов показывает наличие пиков анизотропии при I ~ 200 и I ~ 550, где I - номер угловой гармоники. Полученные зависимости хорошо объясняются инфляционной моделью Вселенной [27] при наличии топологических дефектов [113].
В настоящее время не существует убедительных экспериментальных и/или наблюдательных доказательств существования этих объектов. Имеется только уверенность в их реальности, поскольку они предсказываются многими полевыми теориями при достаточно общих предположениях. Большое количество экспериментов было проведено по поиску монополей. В литературе описан целый ряд эффектов, регистрация которых могла бы служить дока-
зательством их реальности. Достаточно полный обзор на эту тему имеется в книге [24]. Линейная расходимость энергии глобального монополя с расстоянием может служить одним из объяснений темной материи [312]. Поэтому представляются актуальными любые исследования по предсказанию различных эффектов, связанных с топологическими дефектами. Скорее всего, в данной области знаний возможны только косвенные доказательства существования этих объектов.
Имеется тесная связь теории топологических дефектов в полевых теориях с теорией фазовых переходов Гинзбурга-Ландау в сверхтекучем гелии [373, 374]. В данное время сформировалось целое направление, в рамках которого в масштабах лаборатории моделируются космологические явления, в том числе и топологические дефекты (см., например, обзор Воловика [361]).
Более подробный обзор и предлагаемые методики вычислений приведены в Главе 1.
Данная диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, трех приложений и списка литературы.
Первая глава посвящена подробному обзору рассматриваемой области исследований. Рассмотрены свойства пространств, описывающих как бесконечно тонкие космические струны, так и струны конечной толщины, а также пространства глобального монополя. Описана одна из общепринятых в данное время методика вычисления перенормированного тензора энергии импульса различных полей на искривленном фоне. Подробно разобрана предлагаемая методика вычисления энергии нулевых колебаний, основанная на развитии метода дзета регуляризации, а также процедура вычисления энергии и силы самодействия, пригодная для любой траектории движения частицы.
Во второй главе предлагаемая методика применяется для вычисления энергии нулевых колебаний квантованного массивного скалярного поля в пространстве бесконечно тонкой струны и струны конечного поперечного сечения
с метрикой Готта-Хискока. Рассмотрены два случая: вычисление во втором порядке малости дефицита угла и произвольного дефицита угла.
В третьей главе проведено исследование энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве точечного глобального монополя. Рассмотрены две различные модели вычисления. В первой модели центр монополя окружается фиктивной сферой, радиус которой в конце вычислений устремляется к бесконечности. Во второй модели вычисляется энергия нулевых колебаний в сферической полости. Радиус малой сферы устремляется к нулю, тогда как радиус большей сферы к бесконечности. В этой главе вычислен тензор энергии-импульса безмассового спинорного поля на фоне такого пространства. Изучено излучение скалярной частицы, движущейся по геодезической. Вычислена полная энергия излучения и ее спектр.
В четвертой главе рассмотрена энергия нулевых колебаний в пространстве кротовой норы. Используются три различные модели с бесконечно короткой и гладкой горловинами. Проведены оценки самосогласованного решения уравнений Эйнштейна, описывающего такие кротовые норы.
В пятой главе рассмотрены вопросы, связанные с силой и энергией самодействия частиц как в поле бесконечно тонкой космической струны, так и струны конечного поперечного сечения. Исследовано влияние энергии самодействия на частицы спина 0 и 1 /2.
В приложении А получены формулы для равномерного разложения функций Лежандра большого индекса и порядка, а также для равномерного разложения функций Бесселя.
В приложении В выписаны некоторые вспомогательные формулы, используемые в Главах 2,3 и 4.
В Приложении С приведен численный анализ силы самодействия в пространстве струны конечного поперечного сечения.
Список цитируемой литературы состоит из 374 наименований и приведен
в алфавитном порядке по фамилиям авторов.
Соглашения и обозначения, принятые в диссертации.
Во всей диссертационной работе приняты следующие соглашения. Буквы греческого алфавита ос, (3,у... пробегают значения 0,1,2,3. Сигнатура метрики, знаки тензоров Римана и Риччи, скалярной кривизны совпадают с использованными в книге Хокинга и Эллиса [228]. А именно,
sign(g^) = (-,+,+,+),
р« о. Га А Га _1_ Га Гст Га Vа
*V Руб — Оу1 рб — 6'Py "^ 'то"1 |36 — 'ба'Зу
Уравнения Эйнштейна имеют следующий вид
(1а) (lb) (1с)
(2)
а компонента Т(К) тензора энергии-импульса равна плотности энергии в сопутствующей системе отсчета.
Внешняя кривизна КЦЛ, поверхности определяется через ковариантную производную вектора внешней нормали к поверхности N-v соотношением:
Кцу = V^Ny. (3)
Ковариантный даламбертиан: П = ga^VaVp.
В диссертации введено следующее сокращенное обозначение для диагональной матрицы
tt тт <рф ZZ
diag(A,B, CD)
/
t Г ф Z
А О О О
О В О О
О О С О
О О О D
\
/
(4)
Заглавная прописная буква R применяется для обозначения тензоров Ри-мана, Риччи и скалярной кривизны; выделенная курсивом R обозначает радиус сферы или цилиндрической поверхности, где накладываются граничные условия; написанная готическим шрифтом 1Z обозначает радиальную функцию.
Там, где не оговорено особо, принята система единиц, с = G = 1.
Энергия нулевых колебаний в рамках метода дзета регуляризации
Теории дзета-функции и методам вычисления коэффициентов теплового ядра посвящена обширная литература. Имеется ряд монографий [141, 183, 213, 181, 326, 185], посвященных не только математическим вопросам, но и применению методов дзета регуляризации в физике. Исследования в этом направлении связаны с рассмотрением различных операторов и граничных условий как на гладких многообразиях, так и на многообразиях с особенностями. Подробный обзор этих вопросов находится вне рамок данной работы, и мы коснемся только тех моментов, которые необходимы для дальнейшего рассмотрения. В настоящее время имеются общие формулы для коэффициентов теплового ядра вплоть до Вг [249, 116]. Для операторов вида С = —Л + U показано, что, во-первых, их надо понимать в обобщенном смысле и, во-вторых, все коэффициенты складываются из двух частей - объемной и поверхностной, так, что их можно представить в следующем виде:
Коэффициенты с целым индексом имеют оба вклада, тогда как с полуцелым индексом зависят только от граничной поверхности и типа граничных условий на ней, т.е. bn+i/2 = 0. Плотности ba и са выражаются через геометрические характеристики многообразия (тензоры Римана, Риччи, скалярная кривизна и их производные) и граничной поверхности (внешняя кривизна Кцл, и нормальный (внешний) вектор N ц поверхности). Приведем здесь основные формулы для оператора Лапласа С = —Д + Д, заданного на трехмерном пространстве с краевыми условиями Дирихле на граничной поверхности:
В этих формулах предполагается, что все геометрические характеристики не являются обобщенными функциями. В противоположном случае необходимо учитывать действие этих коэффициентов на произвольную функцию из пространства бесконечно-дифференцируемых функций.
Первое объемное слагаемое Во = V называется вейлевским вкладом. Происхождение его следующее. В 1911 году Вейль получил асимптотику спектра оператора Лапласа для больших значений главного числа n (d - размерность пространства, Vd - объем):
Использование главного члена этого разложения в определении дзета-функции (1.4.7) в окрестности точки s = d/2 приводит к тому, что Во = Vd Если многообразие содержит сингулярные поверхности, то формулы для коэффициентов теплового ядра модифицируются. Для сингулярной поверхности коразмерности один коэффициенты получены в работе [214]. Изменения связаны с тем, что появляется вклад от сингулярной поверхности, и коэффициенты являются суммой уже трех слагаемых. Два слагаемых представляют собой стандартные выражения, вычисленные в двух частях пространства, разделенных сингулярной поверхностью. Третий вклад происходит от самой поверхности. Для коразмерности два формулы получены и изучены Фурсае-вым в работах [45,199, 200, 201] и Доукером [175]. В этом случае пространство имеет однопараметрическую группу изометрий с киллинговым параметром изменяющимся от 0 до 27t/v. Множество L фиксированных точек группы изометрий составляет (d—2)-мерную поверхность, вблизи которой пространство имеет вид прямого произведения конического двумерного пространства Су и пространства Z. Коэффициенты теплового ядра в этом случае кроме стандартных вкладов содержат дополнительные слагаемые, имеющие вид интегралов по поверхности L [200, 175]. Добавочное слагаемое в коэффициенте Ві для двумерного пространства конуса первоначально было получено Нигером в работе [142] и еще ранее в работе Каца [243]. Вклад в конформную аномалию дополнительного слагаемого в коэффициенте В2 при , = 1/6 - в работах [202, 146]. Тем не менее существует наблюдение, что в этом случае меняется сама асимптотика следа теплового ядра: кроме степенной части появляется логарифмический вклад (см. по этому поводу [337, 338]).
В случае пространства струны необходимо рассматривать не полную энергию нулевых колебаний, а линейную плотность энергии на единицу длины струны. В этом случае линейная плотность выражается через дзета-функцию оператора Лапласа на пространстве с размерностью меньшей на единицу. Действительно, в случае размерности 2 + 1 (сечение z = const пространства струны) оператор С является двухмерным оператором Лапласа с дискретным (при наложении граничных условий) спектром Л,п,. . В (3 + 1 )-мерном пространстве струны спектр Л п11 содержит кроме дискретной Лпл, еще и непрерывную часть Jq, связанную с z направлением: л),. = ЛL,. + \z. Интегрирование полной энергии по непрерывной части спектра приводит к следующему выражению для линейной (на единицу длины струны) плотности энергии:
Здесь Cc(s) - дзета функция двумерного оператора Лапласа. Таким образом, энергия нулевых колебаний в поперечном сечении пространства струны выражается через дзета-функцию двумерного оператора Лапласа С в точке —1 /2 в то время, как линейная плотность энергии нулевых колебаний поля в полном пространстве струны выражается через туже самую дзета-функцию двумерного оператора Лапласа, но в точке —1.
В большинстве ситуаций невозможно найти в явном виде спектр оператора, чтобы вычислить дзета-функцию. По этой причине в работах [182, 272, 102, 109, 103, 110, 105, 104, 111, 269, 112] и в работах автора [262, 92, 263, 108] развивается подход, некоторые моменты которого имеются в работе [353], позволяющий свести вычисление дзета-функции к исследованию собственных функций оператора, которые найти гораздо проще. Суть метода в следующем. Спектр собственных значений, необходимый для вычисления дзета-функции, находится из граничных условий (1.4.4).
Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечногосечения Готта-Хискока. Произвольный дефицита угла
В заключении отметим, что использование пространства-времени космической струны с нетривиальной внутренней структурой приводит к качественно новым результатам. Мы использовали модель струны Готта-Хискока с простейшей внутренней структурой - постоянной плотностью энергии материи внутри струны и коническое пространство вне ее. В данной главе было рассмотрено 2 + 1 мерное пространство, представляющее собой поперечное сечение пространства струны. В трехмерной теории гравитации такое решение описывает пространство-время сферического тела постоянной плотности материи.
Используемый метод вычислений позволяет получить явные выражения для энергии нулевых колебаний и коэффициентов теплового ядра как в пространстве бесконечно тонкой струны, так и в пространстве струны конечного поперечного сечения. Показано, что в случае пространства бесконечно тонкой струны коэффициент теплового ядра Вт содержит дополнительное топологическое слагаемое, в соответствии с [200, 175]. При наличии нетривиальной внутренней структуры (струна Готта-Хискока) ситуация меняется. Коэффициенты теплового ядра можно поделить на две части, соответствующие вкладу внутренней и внешней областей струны. Интересным является тот факт, что топологическое слагаемое появляется в обеих частях, но с разным знаком, так что суммарное выражение для коэффициентов теплового ядра не содержит дополнительных вкладов. Такое сокращение происходит при любом значении радиуса струны. Таким образом, хотя пространство-время струны конечного поперечного сечения в пределе нулевого радиуса переходит в пространство-время бесконечно тонкой струны, это не верно для коэффициентов теплового ядра. Такое принципиальное отличие легко понять из следующих качественных рассуждений. Коэффициенты теплового ядра определяются, как коэффициенты разложения в степенной ряд теплового ядра по степеням параметра t, имеющего размерность квадрата длины. Такой ряд сходится при условии, что величина параметра t меньше характерного квадрата размера гравитационного поля. Если представить дельта-функцию в виде последовательности аналитических функций, то на любом масштабе аппроксимации всегда можно подобрать величину параметра t, меньшую данного масштаба. Это неверно в том случае, если изначально имеется дельта функция, имеющая, как хорошо известно, нулевой носитель. По этой причине происходит модификация коэффициентов теплового ядра при наличии сингулярных поверхностей.
В данной главе нами исследована энергия нулевых колебаний скалярного массивного поля в пространстве бесконечно тонкой струны и струны конечного поперечного сечения Готта-Хискока. Для пространства бесконечно тонкой струны получено нулевое значение энергии, что вполне понятно из размерных соображений, поскольку в задаче отсутствует размерный параметр. Для струны конечного поперечного сечения это не так. Имеется параметр с размерностью длины - радиус сечения струны. Вычисления энергии нулевых колебаний во втором приближении по малому параметру дефицита угла дают нулевой результат. Близкая аналогия имеется со случаем линейной плотности энергии нулевых колебаний в диэлектрическом цилиндре, при условии равенства скоростей света вне и внутри цилиндра. Параметром малости в этом случае является величина разности диэлектрических проницаемостей сред. Дальнейшие вычисления для произвольного значения дефицита угла показали, что энергия не равна нулю и для малых значений дефицита угла пропорциональна его четвертой степени (для безмассового случая). Энергия отрицательна для любых значений дефицита угла и обратно пропорциональна радиусу струны. Таким образом, чем меньше радиус струны, тем больше энергия флуктуации поля. Это вполне понятный факт, поскольку скалярная кривизна гравитационного поля обратно пропорциональна квадрату радиуса струны. Для малых радиусов гравитационное поле становится сильным и возможны большие флуктуации полей на таком фоне.
Квантовые эффекты на фоне глобального монополя были изучены в работе Маззителли и Лоусто [296] для скалярного поля и с общей точки зрения в работе Хискока [235]. Было показано, что вакуумное среднее тензора энергии-импульса безмассовых полей имеет следующую структуру: где тензор S зависит от произвольного параметра с размерностью массы ц и метрического параметра ос. В работе [235] было предположено, что тензор S является функцией только одного метрического параметра сх. Явные расчеты в случае скалярного поля [296] показали, что этот тензор зависит еще и от перенормировочного массового параметра ц таким образом, что тензор S7. имеет следующую общую структуру: S = А + В In цг, где тензоры А и By зависят только от ос. Это находится в полном согласии с утверждением
Уолда [363] о том, что однозначное описание {"Г )геп невозможно без введения масштаба длины. Тем не менее, уравнения Эйнштейна с учетом однопетлевых поправок как отмечалось в работе [296], не зависят от параметра \i вследствие ре-нормгрупповых уравнений. Действительно, какое-либо изменение параметра ц. компенсируется изменением параметров е . Определение тензоров Нц-у и 2 НЦЛ, имеется, например, в книге Биррелла и Дэвиса [8]. Обратная реакция квантовых поправок на метрику пространства-времени глобального монополя для безмассового скалярного поля была изучена Маззителли и Лоусто [296]. Необходимо подчеркнуть, ими рассмотривалась только общая структура вакуумного среднего тензора энергии-импульса. Явная форма тензора S была получена только для скалярного поля и, либо в случае малого дефицита телесного угла, либо для специальных значений постоянной неконформной связи ,.
Анализ квантового Б11(2)-дублета безмассовых фермионных полей на фоне точечного глобального монополя с учетом магнитного поля был проделан в работе Рена [325]. Изучался эффект Каллана-Рубакова и было показано, что в фермионном конденсате появляется малая поправка, зависящая от параметра ос.
Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в сферической полости в пространстве-времени точечного глобального монополя
Отношение (3.4.50) может быть как больше, так и меньше единицы. Формальный предел малых скоростей v -) 0 (v2 С тг(1 — а)/32рс = р — оо) или больших прицельных параметров рс — оо (рс 7t(l — a)/32v2 Ф- р — G) приводит к тому, что отношение (3.4.50) стремится к нулю, и в этой области скоростей и прицельных параметров излучение при геодезическом движении превалирует над излучением вследствие сил самодействия. Тем не менее, существуют промежуточные области значений скоростей и прицельных параметров, в которых реализуется обратная ситуация. Таким образом, частица, движущаяся по геодезической, в пространстве-времени глобального монополя излучает. Интервалы основных частот, так же как полная излученная энергия, аналогичны соответствующим выражениям в пространстве-времени бесконечно-тонкой струны [62]. В отличие от случая бесконечно-тонкой струны, где излучение связано только с нетривиальной топологической структурой пространства-времени, излучение в пространстве глобального монополя связано также и с кривизной пространства монополя. Излучение ультрарелятивистских частиц (3.4.40) гораздо более эффективно, чем нерелятивистских (3.4.34) и всегда превалирует над излучением вследствие сил самодействия. В нерелятивистском случае возможна и обратная ситуация.
В данной главе нами рассмотрены скалярные массивное и безмассовое, а также безмассовое спинорное поля на фоне точечного глобального монополя. Следует отметить, что в литературе существует не так много примеров явного вычисления перенормированного тензора энергии импульса квантованных полей на фоне искривленного пространства-времени. Обычно такого рода вычисления сопряжены с преодолением больших математических трудностей. Нами получено в явном виде простое выражение для тензора энергии-импульса безмассового спинорного поля, справедливое для произвольных значений дефицита угла. Использование сферической симметрии задачи, известной конформной аномалии и закона сохранения позволяет сильно упростить задачу и свести вычисление всех компонент тензора к вычислению плотности энергии (t —t компоненты). Зависимость от расстояния содержит кроме стандартной части ( 1/г4) еще и логарифмическую часть ( In цг/г4), что приводит к несколько иной форме плотности энергии - возможно появление минимума плотности энергии. Коэффициент при логарифмическом вкладе является коэффициентом ДеВитта-Швингера Bi, определяющим конформную аномалию.
Проделанные вычисления выявляют неинтегрируемую особенность плотности энергии, аналогичную рассмотренной в Главе 2 в пространстве бесконечно-тонкой струны. Использование глобального подхода дзета-регуляризации, изложенного в 1.4, в этом случае приводит к тому, что полная энергия нулевых колебаний вакуума становится равной нулю аналогично тому, как это было в случае пространства бесконечно тонкой струны. Такой результат вполне понятен из размерных соображений. В однопетлевом приближении энергия должна быть пропорциональна Тгс и, по этой причине, обратно пропорциональна величине с размерностью длины. В обоих пространствах отсутствуют параметры с размерностью длины. Имеются только параметры с размерностью массы на единицу длины: Х в пространстве струны и т2 в пространстве глобального монополя. В случае вычисления плотности энергии это не так, поскольку имеется величина с размерностью массы - радиальная координата, и по этой причине плотность энергии имеет вид Тгс/г4. Таким образом, здесь проявляется давно замеченное противоречие между локальным и глобальным подходами. Например, такое противоречие было отмечено для скрученных полей в пространстве Минковского в работе Форда [190]. Такой результат является следствием использования идеализированной модели глобального монополя без какой либо внутренней структуры. Вычисления, проделанные в Главе 2, показывают, что учет внутренней структуры приводит к ненулевому результату, чего следует ожидать и в случае пространства, глобального монополя.
В данной главе исследовано классическое электромагнитное поле скалярной заряженной частицы в пространстве глобального монополя. Показано, что даже в случае равномерно движущейся частицы (геодезическое движение) существует излучение. Такое явление отсутствует в плоском пространстве и поэтому представляет большой интерес с точки зрения эксперимен-тальной регистрации глобальных монополей. Вычисления показывают, что излучение наиболее эффективно при ультрарелятивистском движении, и полная излученная энергия пропорциональна третьей степени лоренцевского фактора. В этом случае энергия излучается в широком спектре частот, верхняя граница которого пропорциональна первой степени релятивистского фактора.
Кротовые норы являются топологическими ручками в пространстве-времени, соединяющие различные области Вселенной или же мостами, соединяющими различные пространства. Интерес к этим объектам появился еще в 1916 году [189]. Дальнейшая активность в этом направлении была связана с классической работой Эйнштейна и Розена в 1935 году [179] и позднее с серией работ Уиллера, начатой в 1955 году [365] (см. [44]). Недавний интерес к этим объектам был инициирован работами Морриса и Торна [307] и Морриса, Торна и Юртсевера [308]. Эти авторы открыли и исследовали класс объектов, который они назвали "проходимые кротовые норы" ("traversable wormholes"). Работы этих авторов положили начало бурной активности в физике кротовых нор [360].
Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы. Модель однопараметрической гладкой горловины
Дополнительное слагаемое, пропорциональное интегралу от тензора Риччи, возникает по той причине, что уравнения для векторной функции Грина, использованные в [18], в отличие от использованного нами уравнения (5.3.22) не содержат слагаемого линейного по кривизне: RDav .
Поскольку коэффициент a\J зависит только от запаздывающего времени и не равен нулю только для ц. = и и V = и получаем, что следующий и, следовательно, все последующие будут равны нулю. Таким образом, точная функция Грина совпадает с ее адиабатическим разложением, что с квантовой точки зрения означает отсутствие эффектов рождения частиц полем гравитационной волны [211, 14].
Перейдем далее к вычислению силы самодействия. Используем методику, подробно рассмотренную в (1.5). Сила Лоренца, действующая на произвольно движущийся со скоростью иц(х) заряд е в точке х со стороны заряда е, находящегося в точке х со скоростью и" (х ), имеет следующий вид:
Следует отметить, что при вычислении силы самодействия нелокальность функции Грина исчезает. Дело в том, что нелокальное слагаемое не равно нулю, если оба индекса \± и "V функции Грина равны запаздывающему времени и, и/. По этой причине индекс ot/ии производную от нелокальной части необходимо вычислять по х2,х3 и v. В тоже время весь множитель перед 9(—о ) в формуле (5.3.21) зависит только от запаздывающего времени, и производная по х2,х3 и v от него равна нулю. Производная же да0(—ст) = — о"а6(ст), и остается только локальный вклад.
Далее помещаем частицу ин(х) на мировую линию частицы иу {% ) и устремляем их друг к другу. Для этого вводим параметр близости s" = s — s и разлагаем подынтегральное выражение по малости s". Ненулевой вклад будет только от двух степеней, и получаем следующее выражение для силы самодействия: При подстановке полученного выражения в уравнение движения последнее, расходящееся, слагаемое устраняется "классической" перенормировкой массы, поскольку структура расходящегося члена совпадает с левой частью уравнения движения. Здесь через Пц-v, = дцл, Н-и гц, обозначен проектор. Таким образом, уравнение движения с учетом влияния как внешней электромагнитной силы, так и силы самодействия имеет следующий вид: Первое слагаемое в правой части является силой Лоренца, второе представляет собой ковариантно обобщенное выражение для силы самодействия Дирака - Лоренца, и, наконец, третье слагаемое является гравитационно - индуцированной силой самодействия. Структура этого слагаемого в точности совпадает с предсказанной Хоббсом (см. (1.5.2) и обсуждение этого слагаемого в 1.5). Спецификой данной ситуации является отсутстве нелокальных слагаемых в силе самодействия (см. 1.5), и по этой причине полученный результат справедлив для любой траектории частицы. Отсутствие нелокальных слагаемых объясняется тем, что в пространстве гравитационной волны все инварианты равны нулю, поскольку это поле излучения. Если гравитационная волна вакуумная, то гравитационно - индуцированная сила самодействия равна нулю. Поскольку основным моментом при выводе функции Грина было то, что все метрические коэффициенты зависят только от запаздывающего времени, полученная формула (5.3.32) справедлива и для гравитационной волны более общей структуры, с обеими поляризациями е+ и ех . Энергия и сила самодействия, подробно рассмотренные в предыдущих разделах, приводят к специфическому взаимодействию частиц со струной. Гравитационно индуцированная электромагнитная сила самодействия, возникающая вследствие нелокальных свойств собственного электромагнитного поля, отталкивает частицы, тогда как гравитационная сила, возникающая вследствие собственного гравитационного поля частиц, притягивает их к струне. В связи с этим встает вопрос о поведении квантовой частицы в пространстве-времени космической струны с учетом влияния на них сил самодействия. Вопрос о наличии связанных состояний в спектре нерелятивистских бесспиновых частиц был рассмотрен в работе [212], а для релятивистских частиц со спином 0 и 1/2 в работах автора [106, 107]. Потенциал самодействия частицы в поле бесконечно тонкой струны имеет В случае самодействия электромагнитной природы константа Z положительна (отталкивание) и равна Loe2. Для гравитационного самодействия - отрицательна (притяжение) и равна — LoGm2. При наличии как заряда, так и массы: Z = Lo(e2— Gm2). Здесь е и та соответственно заряд и масса частицы. Величина Lo зависит от дефицита угла и равна Рассмотрим вначале более простой случай релятивистской частицы нулевого спина. В данном разделе мы будем использовать метрику бесконечно-тонкой струны в форме (1.1.6). Метрический тензор представляет собой метрику пространства времени Минковского в цилиндрической системе координат, а угловая переменная изменяется в следующем интервале.
Существует два способа учета внешнего потенциала в уравнение Дирака: "удлинение" производной V —» Уц — еАц в случае, если внешний потенциал является четвертой компонентой вектора, или добавлением потенциала к массе частицы та —» та + U, если внешний потенциал имеет скалярную природу. Как показано в работах [167, 336, 218], решения уравнения Дирака сильно зависят от структуры этой связи. Например, в случае скалярной связи отсутствует парадокс Клейна. На первый взгляд, как видно из раздела (5.1), имеется векторный 4-потенциал взаимодействия (регулярная на заряде часть потенциала). Но необходимо помнить, что потенциал самодействия появляется в квантовой теории поля суммированием определенного класса диаграмм, как поправка к массовому оператору. Поэтому необходимо силу самодействия как в уравнении Дирака, так и в уравнении Клейна-Гордона учитывать скалярной связью.
