Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование нелинейной Динамики заряженной частицы в антипротонном накопителе 16
1.1. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном
Поле циклического ускорителя 17
1.1.1. Основные соотношения 17
1.1.2. Система уравнений движения в гамильтоновой форме в криволинейной системе координат 20
1.1.3. Уравнения невозмущенного движения в поперечном магнитном поле ускорителя 26
1.1.4. Уравнения возмущенного движения в поперечном магнитном поле ускорителя 30
1.2. Резонансная каноническая теория возмущений динамики Заряженной частицы в циклическом ускорителе 34
1.2.1 Гамильтониан возмущенного движения в переменных «действие-угол» 34
1.2.2 Гамильтониан возмущенного движения в первом и во втором порядках теории возмущений 38
1.3. Уравнения движения заряда с учетом собственного Кулоновского поля 43
Глава 2. Теория «резонансных» магнитооптических Структур 46
2.1. Физические требования к магнитооптической структуре 46
2.2. Общий вид дисперсионного уравнения для структуры с введенной суперпериодичностью 50
2.3. Фундаментальная система решений дисперсионного уравнения для структуры с периодически изменяющимся градиентом 52
2.4. Общее решение дисперсионного уравнения с периодически изменяющимися градиентом линз и кривизной орбиты 59
2.5. Определение «резонансной» структуры и ее основные свойства 62
2.6. Коэффициент расширения орбиты в «резонансной» структуре с суперпериодической модуляцией градиентов линз и кривизны орбиты 64
Глава 3. Построение накопительного кольца hesr с контролируемым коэффициентом расширения орбиты 67
3.1. Построение магнитооптической структуры суперпериода 67
3.2. Метод модуляции функции кривизны орбиты 73
3.3. Метод модуляции функции градиентов линз 81
3.4. Метод смешанной модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз 85
3.5. Магнитооптическая структура арок и прямых участков 90
3.6. Контролируемость коэффициента расширения орбиты и бетатронных частот 97
3.7. Коррекция хроматичности 101
Глава 4. Исследование нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе на высокие энергии hesr 104
4.1 Антипротонный накопитель с высоким энергетическим разрешением hesr 104
4.1.1 Общая концепция накопителя hesr 105
4.1.2 Особенности накопителя hesr и требования к рабочим режимам 106
4.2 Нелинейная динамика пучка в магнитооптической структуре накопителя hesr 109
4.2.1 Происхождение нелинейных эффектов 109
4.2.2 схема коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями в первом порядке теории возмущений 111
4.2.3 схема октупольнои коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями во втором порядке теории возмущений 115
4.2.4 исследование нелинейного сдвига частот в окрестности секступольного резонанса 1/3 в первом порядке теории возмущений 117
4.2.5 критерий нехорошева. Условия «квазиизохронизма» 121
4.3 коррекция нелинейного сдвига частот с помощью схемы Мультипольних корректоров 122
4.3.1 нелинейный сдвиг частот, вызванный ошибками систематического характера в магнитооптических элементах 123
4.3.2 влияние кулоновского поля электронного пучка на антипротонный пучок 127
4.3.3 нелинейный сдвиг частот, вызванный ошибками случайного характера 132
Заключение 136
Список использованных источников
- Система уравнений движения в гамильтоновой форме в криволинейной системе координат
- Общий вид дисперсионного уравнения для структуры с введенной суперпериодичностью
- Метод модуляции функции кривизны орбиты
- Особенности накопителя hesr и требования к рабочим режимам
Введение к работе
Современный уровень научного познания мира во многом определяется достижениями физики элементарных частиц (ФЭЧ). При этом решение сопутствующих технических задач неизбежно сопровождается развитием наукоемких технологий, имеющих прикладное значение в различных отраслях промышленности (см., например, [1-4])- Основным инструментом исследований в ФЭЧ являются сложнейшие ускорительно-накопительные комплексы, предназначенные для проведения экспериментов с частицами высоких энергий. Самыми большими из них являются:
1) Большой Адронный Коллайдер LHC (CERN, Швейцария) на энергию
протонов в системе центра масс 14 ТэВ (выход на полную мощность
предполагается в 2008 году) с проектной светимостью ~1034 см "2 сек"1 и
периметром 27 км [5];
сверхпроводящее инжекторное кольцо на энергию 150 ГэВ для протон-протонного и протон-антипротонного коллайдера Tevatron (FNAL, США) на энергии -1.8-1.9 ТэВ с достигнутой светимостью 2.4*1034см"2сек"1 (2006 год) и периметром -6.3 км [6];
коллайдер тяжелых релятивистских ионов RHIC (BNL, США) на ионы с энергией 100 ГэВ и протоны с энергией 250 ГэВ с проектируемой светимостью-10 см" сек" и периметром ~3.8 км [7].
Как следует из приведенных параметров, все машины являются масштабными сооружениями. Их строительство и обслуживание весьма дорого и ощутимо даже в рамках бюджета одной страны. Это обстоятельство зачастую приводит к объединению усилий нескольких государств. Одним из подобных новых международных проектов является проект по исследованию антипротонов и ионов — Facility for Antiproton and Ion Research (FAIR, GSI, Германия), объединяющий порядка 17 стран участниц (2006 год), включая Россию [8].
Проект FAIR представляет собой большой ускорительно-накопительный комплекс, включающий 7 колец, сложную разветвленную систему транспортных каналов для проведения 8 разделенных экспериментальных программ. В совокупности в комплексе предусматривается получение интенсивных пучков редких изотопов, тяжелых релятивистских ионов, протонов и антипротонов для различных экспериментов. Основные направления исследований имеют обширную «географию» и затрагивают многие разделы физики. Это исследование сильных взаимодействий, кварк-глюонной плазмы, конфайнмента кварков и происхождения массы адронов в физике адронов; фазовых переходов в кварках, адронов при высоких плотностях в физике ядерной материи; структуры нестабильных ядер, ядерного синтеза в звездах, фундаментальных взаимодействий и симметрии в ядерной физике и астрофизике; состояния вещества при высоких плотностях, давлении и температурах в физике плазмы; квантовой электродинамики, взаимодействия ионов с веществом в атомной физике; исследование вопросов, касающихся ускорительной физики и прикладных наук. Одной из основных особенностей комплекса FAIR является одновременное управление разными типами пучков, что предоставляет возможность параллельного проведения экспериментов.
Наиболее сложным звеном проекта FAIR является антипротонное накопительное кольцо на высокую энергию High Energy Storage Ring (HESR, периметр -574 м) вместе с экспериментальной установкой PANDA (Antiproton Annihilations at Darmstadt) [8,9]. Программа исследований для установки PANDA включает несколько основных целей, касающихся, во-первых, изучения структуры адронов, проверки гипотезы о существовании глюболов с расчетом измерить их массы и другие характеристики [ 10, 11]. Во-вторых, эксперименты предусматривают проведение спектроскопии ряда редких распадов и прецизионной рентгеновской спектроскопии гиперядер. В-третьих, планируется исследование вопроса о нарушении СР-инвариантности [10, 12].
Сложность накопительного кольца HESR определяется требованиями к проведению экспериментов, а именно, необходимостью удерживать пучок
антипротонов в течение времени порядка ~3000-^4000 секунд с энергией в диапазоне от 1.5 до 15 ГэВ и обеспечивать высокое качество его параметров. В кольце предусматриваются два режима работы со следующими основными параметрами пучка:
режим высокого разрешения по энергии с разбросом по импульсам ~10 "5 и светимостью -2*10 см" сек" ;
режим высокой светимости -2*10 см" сек" и разбросом по импульсам -10"4.
Главной особенностью HESR является комбинация внутренней мишени в виде водородной струи (pellet-target) с системами электронного и стохастического охлаждения. Подобная структура создается впервые. Такой метод дает возможность после выключения внутренней мишени эффективно собирать рассеянные на мишени частицы в течение всего цикла, а также повторно использовать их в новом рабочем цикле. Это повышает интегральную светимость всей установки, что позволяет набирать необходимую экспериментальную статистику за разумный период времени.
Сравнение HESR с тремя комплексами, упоминавшимися ранее, приводит к заключению о преимуществах этой машины в решении поставленных задач: во-первых, HESR имеет меньшие масштабы и во-вторых, обладает высокой интегральной светимостью за счет использования внутренней мишени. Таким образом, накопительное кольцо HESR составляет успешную альтернативу «большим» коллайдерам, например, при исследовании кварк-глюонных состояний.
С другой стороны, выход на запланированный режим работы в подобном ускорительно-накопительном кольце напрямую зависит от выполнения жестких требований к параметрам пучка. Отсюда при длительной эволюции частиц ~109 оборотов следует учитывать вклад нелинейных эффектов высших порядков, поскольку даже малые нелинейные возмущения могут привести к нежелательным последствиям таким, как [13, 14]:
росту эмиттанса и снижению светимости, связанным с взаимодействием частиц в пучке и на мишени;
уменьшению динамической апертуры и потерям частиц вследствие пересечения структурных резонансов.
Таким образом, исследование нелинейной динамики заряженных частиц представляет собой актуальную проблему при сооружении HESR.
За восьмидесятилетнюю историю создания циклических ускорителей от первого циклотрона 1931 года постройки до современных ускорительно-накопительных комплексов была развита обширная теория ускорителей и по мере усложнения задач создана соответствующая база для исследования нелинейной динамики пучков заряженных частиц. Развитие нелинейной динамики связано с именами В.И. Арнольда, Н.Н. Боголюбова, Г.М. Заславского, Н.1УГ. Крылова, Ю.А. Митропольского, Р.З. Сагдеева, Я.Г. Синая, Б.В. Чирикова. Существенный вклад в развитие вопросов нелинейной динамики пучков заряженных частиц внесли А.А. Коломенский, А.Н. Лебедев, AJ. Dragt, J. Irwin, A.J. Lichtenberg. В качестве литературы, затрагивающей данную тематику, можно указать на ряд общих теоретических и обзорных [13-19], а также специальных работ [16, 20-26] в совокупности с приведенной в них библиографией.
Как известно, самым распространенным методом описания движения заряженных частиц в электромагнитном поле циклического ускорителя является гамильтонов формализм [13, 16, 17]. Этот метод перенесен из общей теоретической механики. Эффективность его использования связана с хорошим соответствием между данными математической и физической' моделями, а также с мощными методами исследования, развитыми в рамках самого формализма. При описании физического процесса гамильтоновыми уравнениями, обеспечивающими сохранение свойств симплектичности, существует ряд интегральных инвариантов, и один из них — шестимерный фазовый объем пучка (это утверждение известно как теорема Лиувилля) [27, 28]. Представление решения в фазовом пространстве имеет фундаментальное значение в физике
ускорителей и позволяет ответить на важный вопрос о пределах изменения амплитуды бетатронных колебаний вблизи резонансов [13]. Благодаря разработанным в теоретической механике методам в рамках гамильтонова формализма возможна замена переменных с сохранением свойств каноничности уравнений, выделением резонансных и осреднением нерезонансных членов [29]. И наконец, все математические модели, допускающие определенные упрощения, непосредственно связаны с физическими приближениями в описании движения заряженных частиц в циклическом ускорителе [13].
Касаясь методов исследования динамики пучка заряженных частиц, в первую очередь следует отметить аппарат канонических преобразований, являющийся одним из важнейших подходов к интегрированию дифференциальных уравнений движения в гамильтоновой форме (см., например, [13, 16, 27, 29, 30]). Суть этого метода заключается в поиске подходящих канонических замен переменных, сводящих дифференциальные уравнения к полностью или частично интегрируемому случаю или к виду удобному для применения других методов. Здесь необходимо указать на приближенные методы теории возмущений (см., например, [28, 29, 31-33]), на методы качественного описания эволюции сложных систем в рамках КАМ-теории, нелинейной динамики, эрго-дической теории (см., например, [34-38]), на применение развитого аппарата современной теории групп и алгебр Ли при алгебраизации и численном моделировании динамических систем, обладающих теоретико-групповыми свойствами гамильтоновой механики (см., например, [20, 39-42]). Остается обратить внимание на особую значимость гамильтонова формализма при рассмотрении множества вопросов теории ускорителей, касающихся изучения нелинейных и резонансных явлений, сильно связанных колебаний, движения системы при адиабатически изменяющихся параметрах и т.д. [13-15].
В диссертации для исследования нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе используется гамильтонов формализм и аппарат канонических преобразований в совокупности с методами теории возмущений и принципом усреднения. На основе результатов этих исследований
разработана магнитооптическая структура ускорительно-накопительного кольца HESR, принятая к реализации.
Целью диссертационной работы является исследование нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе HESR и разработка его магнитооптической структуры, отвечающей требованиям минимизации вклада нелинейных эффектов посредством их полной и частичной взаимной компенсации.
Указанная цель достигается решением следующих основных задач:
Первой задачей является построение математической модели нелинейной динамической системы, пучка заряженных частиц в циклическом ускорителе, и разработка метода изучения вклада нелинейностей с учетом большого времени жизни пучка в ускорителе.
В качестве второй задачи предлагается разработка математического аппарата для построения «резонансных» магнитооптических структур, позволяющей сформулировать общие требования к структуре ускорителя с возможностью изменять критическую энергию в широком диапазоне значений.
Разработка «резонансной» магнитооптической структуры для ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках современного международного проекта FAIR рассматривается в качестве третьей задачи диссертации.
К четвертой задаче относится исследование нелинейной динамики пучка в проектируемом ускорительно-накопительном кольце HESR на основе построенных моделей и проведения вычислительных экспериментов, а также разработка методики последовательного учета нелинейных эффектов с предложением конкретных схем их минимизации.
Основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования и численного эксперимента. Адекватность математической модели изучаемого физического объекта, пучка заряженных частиц, движущегося в электромагнитных полях накопителя (ускорителя), подтверждается как накопленными теоретическими знаниями, так и опытом
реализации подобных сложнейших технических устройств. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент являются неотъемлемой частью конструирования современной ускорительной техники, существенно снижая стоимость проектов и временные затраты.
Практическая ценность связана с использованием результатов работы при проектировании ускорительно-накопительного кольца HESR в проекте FAIR [ 8], в основу конструкции которого положена разработанная теория «резонансных» магнитооптических структур. Исследование нелинейной динамики показало эффективность применения подобной структуры для высокоинтенсивных ускорительно-накопительных колец и в значительной степени гарантировало возможность подавления различных нелинейных эффектов высших порядков. Результаты исследования могут быть также применены при разработке новых и модификации существующих ускорителей с большим временем жизни пучка.
Структура диссертации представляется в следующем виде: диссертация изложена на 145 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 82 наименования. Диссертация включает 44 рисунка и 4 таблицы.
Первая глава представляет собой теоретическую базу для исследования нелинейной динамики пучка заряженных частиц в циклических ускорителях вообще и накопителях в частности. Ее основные результаты опубликованы в работе [43]. Глава посвящена последовательному выводу системы гамильто-новых уравнений движения заряда в электромагнитном поле циклического ускорителя, исходя из самых общих уравнений Ньютона-Лоренца и Максвелла. Рассматриваются уравнения движения в поперечном магнитном поле циклического ускорителя необходимые для дальнейшего анализа. Получены уравнения движения во втором порядке теории возмущений для резонансного случая, как наиболее важного при исследовании нелинейной динамики пучка в накопительных кольцах. Приводятся уравнения движения с учетом кулоновского взаимодействия частиц в пучке. Для повышения степени достоверности и авто-
матизации вывода зачастую громоздких символьных вычислений привлекались коды компьютерной алгебры системы MAPLE 10 [ 44]. Таким образом, в данной главе решается задача построения математической модели нелинейной динамической системы — пучка заряженных частиц в циклическом ускорителе.
Вторая глава посвящена разработке теории «резонансных» магнитооптических структур (см. работу [45]), позволяющей сформулировать общие требования к структуре ускорителя с возможностью изменять критическую энергию в широком диапазоне значений. В первом параграфе производится глубокий экскурс в историю вопроса [46-61]. В последующих разделах главы последовательно развивается строгий математический аппарат для получения общего решения дисперсионного уравнения с периодически изменяющимися градиентами линз и кривизной орбиты. Затем аналитически выводятся оценочные формулы для вычисления коэффициента расширения орбиты, и формулируются общие требования к структуре, основанной на корреляционном принципе одновременной суперпериодической модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз.
В третьей главе рассматривается поэтапное построение магнитооптики циклического ускорителя на основе теории «резонансных» магнитооптических структур. Производится выбор структуры для ускорительно-накопительного кольца HESR оптимальной с точки зрения применения и реализации разработанной теории. Принимая во внимание все технологические особенности накопительного кольца HESR, рассматриваются возможные методы осуществления раздельного контроля коэффициента расширения орбиты, частот бетатронных колебаний и хроматичности. Достоверность результатов обеспечивается строгостью разработанной математической теории «резонансных» структур и сравнительным анализом данных, полученных аналитически и численно на программах MAD [62] и OptiM [63]. Основные результаты главы опубликованы в работе [64].
Четвертая глава посвящена подробному исследованию нелинейной динамики пучка в предложенной структуре антипротонного накопителя HESR.
Основные результаты опубликованы в работах [65-68]. В первую очередь в главе описывается общая концепция построения накопителя HESR в рамках международного проекта FAIR [8]. Во-вторых, проводится качественный анализ движения пучка частиц с предложением вариантов схем и аналитических критериев, предназначенных для компенсации нелинейных эффектов и увеличения стабильной области движения частиц. В-третьих, исследуется возможность создания и проверка эффективности различных коррекционных схем с использованием вычислительного эксперимента. В качестве базового прикладного программного обеспечения используются известные и зарекомендовавшие себя для решения задач ускорительной физики пакеты MAD8, MAD-X и UAL [ 62, 69]. Для исследования возможности коррекции случайных ошибок разрабатывались подпрограмма и дополнительные библиотеки на базе уже существующих в UAL. Все рассмотренные вопросы в совокупности могут служить методикой последовательного учета нелинейных эффектов для подобных ускорительно-накопительных комплексов. Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке численно-аналитического подхода к исследованию нелинейной динамики заряженных частиц в ускорителях с большим временем жизни пучка. Полученные аналитические выражения позволяют проектировать новые «резонансные» магнитооптические структуры для ускорителей без прохождения через критическую энергию. Отличительной особенностью структур подобного рода является также соответствие требованию минимизации влияния нелинейных эффектов. Проведено сравнение результатов, полученных при помощи аналитических решений, с результатами вычислительных экспериментов. На основе данного анализа исследованы различные методы получения отрицательного коэффициента расширения орбит и разработана новая магнитооптическая структура для накопителя HESR. В структуре HESR исследованы нелинейные эффекты, связанные с наличием мультиполей высокого порядка, и предложены различные способы коррекции нежелательных эффектов, вызванных этими мультиполями, что позволяет получить максимальное значение динамической апертуры.
Основные положения, выносимые назащиту:
новый численно-аналитический подход к исследованию нелинейной динамики пучка заряженных частиц с последовательным учетом нелинейных эффектов высших порядков в ускорителях с большим временем жизни пучка;
аналитические выражения для коэффициента расширения орбит и дисперсионной функции, позволяющие сформулировать общие требования к «резонансным» магнитооптическим структурам нового класса с возможностью изменения критической энергии в широком диапазоне значений, и методы регулирования коэффициента расширения орбит;
магнитооптическая структура накопительного кольца HESR, спроектированная на основании корреляционного принципа одновременной суперпериодической модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз;
схема компенсации нелинейных эффектов, позволяющая получить магнитооптическую структуру с максимальным значением динамической апертуры, и включающая:
новую схему взаимной компенсации нелинейных эффектов, вносимых секступольными компонентами магнитного поля;
критерий требований к коррекции нелинейного влияния секступольных компонент магнитного поля при помощи октуполей;
систему мультипольной коррекции нелинейных эффектов высших порядков и результаты вычислительных экспериментов, полученных с помощью существующего программного обеспечения и вновь разработанных программных модулей.
Результаты научных исследований прошли апробацию на Европейской конференции по ускорителям заряженных частиц ЕРАС-2006 (Эдинбург, Шотландия), на конференции по ускорителям заряженных частиц РАС-2007 (Альбукерк, США), на 12, 13 и 14 международных рабочих совещаниях по динамике пучков и оптимизации BDO в 2005, 2006 и 2007 годах
і і
(Санкт-Петербург, РФ), на семинарах факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, РФ) и Института Ядерной Физики (IKP) (Юлих, Германия).
Результаты исследований, представленных в диссертации, опубликованы в следующих работах:
Chechenin A., Senicheva Е., Maier R., Senichev Yu. The high order nonlinear beam dynamics in High Energy Storage Ring of FAIR II Proc. of the 10th EPAC, Edinburgh, 2006. - P.2083-2085.
Chechenin A., Maier R., Senichev Yu. The non-linear space charge field compensation of the electron beam in High Energy Storage Ring of FAIR II Proc. of the 10th EPAC, Edinburgh, 2006. - P. 2802-2804.
Andrianov S., Chechenin A. The High Order Aberration Correction II Proc. of the 10th EPAC, Edinburgh, 2006. - P. 2125-2127.
Chechenin A., Senichev Yu., Vasyukhin N. The Optimum Chromaticity Correction Scheme for Monochromatic and Non-Monochromatic Beam in HESR II Proc. of the 22nd'PAC, Albuquerque, USA, 2007.-P.3286-3288.
Chechenin A., Senichev Yu., Vasyukhin N. The Regular and Random Multipole Errors Influence on the HESR Dynamic Aperture II Proc. of the 22nd РАС, Albuquerque, USA, 2007. -P. 3949-3951.
Сеничев Ю.В., Чеченин A.H. Теория «резонансных» магнитооптических структур для синхротронов с комплексной критической энергией // ЖЭТФ, т. 132, вып. 5 (11), 2007. - с. 1127-1138.
Чеченин А.Н. Нелинейная динамика заряженных частиц в накопительном кольце и методы компенсации влияния высших порядков магнитного поля //Вестник СПбГУ, серия 10 (прикладная математика), вып. 4,2007-с. 76-89.
Сеничев Ю.В., Чеченин А.Н. Построение «резонансных» магнитооптических структур с контролируемой критической энергией // ЖЭТФ, т. 132, вып. 6 (12), 2007. - с. 1307-1325.
Система уравнений движения в гамильтоновой форме в криволинейной системе координат
Как указывалось ранее, исследование нелинейной динамики пучка в накопительном кольце будет проводиться в рамках гамильтонова формализма. Рассмотрим функцию Гамильтона (1.1.6) в следующей записи: — ( — - Y/2 H(q,P,t) = H(x,y,z,Px,P Pz,t) = c тУ+(Р--А)2 +е р. (1.1.15) \ с J Уравнения движения получаются при подстановке гамильтониана (1.1.15) в систему канонических уравнений или уравнений Гамильтона в общей форме: dq дН dP Э# j =ТтГ -7- = - =-- (1.1.16) dt ЭР dt dq v В теории ускорителей из всего множества траекторий, определяемых уравнениями (1.1.16), физически принято выделять одну, которую называют равновесной (идеальной). Пусть эта траектория С задается радиус-вектором r0(s), где за независимую переменную s взята длина дуги кривой, отсчитываемой от некоторой точки. Для циклических ускорителей в качестве равновесной обычно выбирается замкнутая через один оборот траектория частицы (орбита) с некоторым расчетным импульсом р0. С точкой, движущейся вдоль этой равновесной орбиты и определяемой радиус-вектором r0(s), связывается подвижный трехгранник векторов {n,b,f} (натуральная система координат). Для удобства вводится криволинейная система координат {x,y,s} и при помощи канонических преобразований [30] совершается переход в уравнениях движения из лабораторной системы координат в криволинейную систему — от набора канонически сопряженных переменных {х,у,z,Px,Py,Pz} к набору {x,y,s,Px,Py,Ps}. Итак, проделаем все необходимые выкладки.
Натуральная система координат, связанная с кривой С На рис. 1.1 изображена натуральная система координат с векторами-ортами {n,b,f}, вращающимися как твердое тело вокруг мгновенной оси, направление которой определяется вектором Дарбу Q. = aT + hb с угловой скоростью 0\ = [ 72 + h2) , которая является полной кривизной кривой в произвольной точке. Величины h и а называются кривизной и кручением орбиты соответственно. Радиус-вектор точки в криволинейной системе координат задается соотношением 0) = Ъ (s) + "( ) + Ж-У) (1.1.17)
В ускорительной физике выбирается иное направление ортов {п,Ь,Т} нежели это принято в математике. Направление главной нормали изменяется на противоположное (от центра кривизны) так, что тройка векторов-ортов становится левой. Вектора {п,Ь,} связаны между собой формулами Френе-Серре. В соответствии с (1.1.17) введем новые криволинейные координаты {x,y,s}. Для этого произведем каноническую замену переменных в гамильтониане (1.1.15), с производящей функцией S - S(Pm, qm) = -Р г , где г = {qm } . Преобразования подобного рода являются каноническими при выполнении условий: dS dS „ dS 6qm дРт dt В нашем случае Э S/д t = 0. В соответствии с этими условиями, а также выражением (1.1.17) и формулами Френе-Серре, находим новые импульсы: Рх=Р = Р-п=Рх, Pv=p. — = P-b=Pv, Эг — — Э т — — д х о у Ps = Р —= Р (! + hx)T + (ау)п -(ах)Ь]= (1.1.18) ds = Pr(\ + hx) + Px(ay)-Py(ax).
Аналогичное преобразование справедливо и для векторного потенциала. Так как производящая функция зависит от старых импульсов и новых координат, то преобразование векторного потенциала, как функции только координат, можно представить в следующем виде Ак=дql/dq А{. Здесь старый базис {ek} = {n,b,f} связан с координатами {q } = {х,у,z), а новый {ek} = {n,b,s} — с координатами {qk} = {x,y,s}. В старом базисе имеем А = Акёк, где базисные векторы старой системы координат ё раскладываются в новом базисе по закону ё =Эq /dq1 el. Таким образом, получаем разложение для векторного потенциала в новом базисе A=(Akdq /dql)el, что равносильно выражению для новых компонент векторного потенциала Ак =д ql/dqk А{. Опираясь на эти рассуждения с учетом того, что Ах = А -п , Ау= А Ъ , Ат = А -т , получаем конечные выражения для компонент векторного потенциала в новых координатах: — Э Г -— _ — OF — — Аг-А--—- А-п- Av, A„ = A- — = A-b Av, x д x OS dy = A-[(l + hx)T + (ay)n-(crx)b]= (1.1.19) = AT(\ + hx) + Ax(ay)-Ay(ax).
Возвращаясь к гамильтониану (1.1.15), заметим, что модуль вектора (Р — А е/с) инвариантен по отношению к повороту системы координат, как модуль вектора, построенного из ее начала. Следовательно, при движении сопровождающего трехгранника по равновесной орбите (Р — А е/с) = const. Воспользовавшись этим свойством, можно записать следующее равенство, справедливое при переходе к криволинейной системе координат: (Р --А)2 =(Р-- + (Р--А)2у +(P--A)l = с с ее = (Р- -А)2х + (Р- А)2у + (Р--А)2т. (1.1.20) с ее у Подставляя (1.1.20) с учетом соотношений (1.1.18) и (1.1.19) в гамильтониан (1.1.15), совершим переход к криволинейной системе координат: H(x,y,s,Px,Py,Ps,t) = = с (1 + AxrL rps--As)-(ry I с J Рх--Ах\ + сгх Ру -Ау i2 + + ( Є Рх—А. + Ру--Ау\ +т2с2 1/2 + еср. (1.1.21) В дальнейшем полагается, что равновесная орбита плоская, а = 0. Это верно для большинства современных циклических ускорителей, обладающих магнитным полем с медианной плоскостью симметрии. В этом случае выражение (1.1.21) приобретает более простой вид:
Общий вид дисперсионного уравнения для структуры с введенной суперпериодичностью
С учетом физического определения дисперсии (см. выше) в уравнении (2.2.3) переменная D заменена переменной X. Тем самым подчеркивается, что решение однородного уравнения есть лишь промежуточное решение не являющееся дисперсией.
В соответствии с теоремой Флоке фундаментальная система решений уравнения (2.2.3) при є — 0 представима в следующем виде: 1.2= 1,2/(0) , (2.3.1) где /(ф) — модуль функции Флоке, имеющий периодичность, /(ф) = /(ф + 2я), у/(ф)— фаза функции Флоке, аХ2 — произвольные постоянные. Следует заметить, что модуль функции Флоке совпадает с квадратным корнем из /3{ф) -функции.
Подставляя решение (2.3.1) в уравнение (2.2.3) и разделяя полученное выражение на реальную и мнимую части, получаем систему уравнений (Лф f2 Второе уравнение системы (2.3.2) легко интегрируется, и на произвольной длине ф = 2п j, состоящей из 1,...,У суперпериодов, решение имеет вид 2п } dt У(1жЇЇ= І-РГГГ У). (2.3.3) о Г (Я
В дальнейшем полагается //(0) = 0, так как в рассматриваемом классе структур суперпериод имеет зеркальную симметрию относительно своей середины, и отсчет координаты ф ведется от этой точки. Поскольку функция /(ф) периодична с периодом 2к, интеграл (2.3.3) представим в виде суммы j интегралов на длине интегрирования 2я: /2(й r" r if4f) (2 3-4) Vs(2nj) = j \-рг или щ(ф) = ф— j о "" Определим нормированную на 2к величину набега фазы ju на одном суперпериоде как среднее значение величины 1// : і 2л-= — J 2 о /2(й 2f d$ М-—\- —- (2.3.5) Тогда фаза функции Флоке может быть представлена как ИФ) = МФ- (2.3.6)
Кроме того, известно, что модуль функции Флоке может быть представлен как произведение среднего значения /0 на функцию, описывающую осцилляцию в магнитооптическом канале с переменной фокусировкой: ЯФ) = /о[1 + Я(Ф)1 (2.3.7)
Функция д(ф), введенная Капчинским в работе [76], периодична с периодом ячейки, д{ф) = д(ф + 2кI п), а ее среднее значение по периоду равно нулю q(jp )z=\ ц{ф)с1ф- . Функция ///о =1 + #(0) представляет собой нормализованную функцию, описывающую осцилляции огибающей пучка в фокусирующем канале. Обозначим ее как / = ///о. Принимая во внимание малость функции #(0)«1 и ее периодичность и подставляя выражение (2.3.7) в (2.3.5), получим выражение, связывающее модуль функции Флоке с нормированным набегом фазы: // = ,/№ [1 + #]. (2.3.8) Таким образом, зная функцию К(ф), можно получить решение уравнения (2.2.3) для случая є — 0, где величины (1 и / определены выражениями (2.3.2), (2.3.5) и (2.3.7).
Теперь рассмотрим случай, когда суперпериодичность вводится с помощью функции єк{ф). Для определения фундаментальной системы решений уравнения (2.2.3) при БФО В бипериодической структуре с учетом модуляции градиентов воспользуемся методом Боголюбова - Митропольского [ 31]. Поскольку обычно суперпериод имеет зеркальную симметрию, в разложении функции возмущения в ряд Фурье останутся только члены с косинусами: оо kty)=YJgkcosk0 (2 3 9) где 1 \ n gk=lB lr JAGcos - (2.3.10) —K Здесь используется хорошо известное соотношение e/p = l/RB, где 5 — максимальная величина магнитного поля в поворотных магнитах. Подставляя выражение (2.3.9) в уравнение (2.2.3) и перенося в правую часть член, отвечающий за возмущение, получаем
Правая часть уравнения (2.3.11) зависит от Хи ф. Решение этого уравнения следует искать асимптотическим методом Боголюбова - Митропольского [31] в виде X = а{(ф)/(ф)со$у/ + а2(ф)/(ф)яту/, (2.3.12) где коэффициенты ах и а2 — функции продольной координаты ф, а фаза у/ = Мф.
В отсутствии возмущения, когда є = 0 и величины ах и а2 не зависят от ф, производная сІХ/сІф может быть определена посредством простого дифференцирования (2.3.12): dX df df . „dw . rdy/ — = ai-cos + a2-SmW-aJ—smV + a2f—oosV. (23B)
В случае є 0 уравнения (2.3.12), (2.3.13) остаются в силе при условии, если величины ах и а2 являются функциями ф. Поэтому будем рассматривать эти уравнения как замену переменных и примем величины аі(ф),а2(ф) за новые функции переменной ф, найдя которые сможем определить решение уравнения (2.3.11).
Метод модуляции функции кривизны орбиты
Итак, рассмотрим структуру, в которой функции кривизны орбиты 1/ р и градиентов линз AG модулируются независимо друг от друга, и начнем с модуляции только функции кривизны.
С одной стороны, модуляция кривизны орбиты требует наличия свободного от магнитов пространства; что приводит к росту общей длины ускорителя. G другой — свободное пространство, сконцентрированное в одном месте, может быть использовано эффективнее, и даже наоборот приведет к сокращению длины ускорителя. Например, секступоли, мультипольные корректоры, диагностическое и вакуумное оборудование, ранее распределенные равномерно по всей орбите, могут быть размещены в освободившейся центральной части суперпериода более, компактно. С точки зрения эффективности компенсации хроматичности секступольными линзами «резонансные» структуры с условием v S обладают важной особенностью, а именно, дисперсия, осциллирующая в противофазе по отношению к функции кривизны орбиты, достигает максимума на участках с нулевым значением кривизны 1//? = 0 (см. рис. 3.3-3.6). Следовательно, секступоли, размещенные на этих участках, находятся в максимуме дисперсии. Кроме того, пустая центральная ячейка может одновременно использоваться для обоих семейств секступолей, поскольку в ее пределах Д -функции «разделены» между собой.
Оба этих факта в значительной мере позволяют сохранить динамическую апертуру. В то же время в поворотных магнитах величина дисперсии меньше, чем в регулярной структуре (см. рис. 3.1 и 3.3), что сокращает физическую апертуру магнита. Аналогичные рассуждения справедливы и для мультипольных корректоров, эффективность которых также зависит от величины, дисперсии в местах их расположения. Пустая центральная ячейка удобна и для размещения диагностического оборудования.
Если сравнивать суперпериоды с тремя и четырьмя ячейками (см. рис. 3.3 и 3.4), то в первом варианте модуляция кривизны орбиты более эффективна с точки зрения получения требуемого коэффициента расширения орбиты, поскольку при большем соотношении числа пустых ячеек к их общему количеству трехъячеечная структура обладает большим значением фундаментальной гармоники гк. Конечно возможно и в четырехъячеечной структуре увеличить амплитуду фундаментальной гармоники путем введения дополнительной пустой ячейки, но тогда необоснованно возрастет периметр ускорителя. С учетом всех указанных фактов структура, основанная на суперпериоде из трех ячеек, является более предпочтительной. Рис. 3.7 показывает результаты расчета зависимости энергии перехода 7 , горизонтальных J3X -функции, дисперсии Dx и нормализованной на v хроматичности %х = dv/vdp в зависимости от частоты горизонтальных бетатронных колебаний v нормированной на количество суперпериодов S для суперпериода, состоящего из трех ячеек. Эти данные были рассчитаны на программах MAD [62], OptiM [63] и аналитически с помощью формулы (2.6.4).
При определенном значении частоты V = v(r коэффициент расширения орбиты а = \/у?г меняет знак с положительного на отрицательный, и следовательно, энергия перехода становится комплексной величиной. Это изменение значения энергии осуществляется скачком, и на рис. 3.7 показано, как переход из области положительных значений к отрицательным. В действительности же подразумевается не смена знака, а переход критической энергии в область комплексных значений.
В точке перехода коэффициента расширения орбиты через нуль и при продвижении в область отрицательных значений (комплексной энергии перехода), величины J3X -функции, дисперсии и хроматичности все еще сохраняют небольшие значения. Однако по мере приближения к точке v = S функции /Зх, Dx и х устремляются на бесконечность, по сути, демонстрируя типичную параметрическую неустойчивость.
Особенности накопителя hesr и требования к рабочим режимам
Исследование нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе на высокие энергии HESR является завершающим этапом всей работы, объединяющем в себе результаты, полученные в предыдущих главах. В данной главе в первую очередь описывается общая концепция построения накопителя HESR в рамках международного проекта FAIR. Во-вторых, проводится качественный анализ движения пучка частиц с предложением схем и аналитических критериев, нацеленных на компенсацию нелинейных эффектов и увеличение стабильной области движения частиц (динамической апертуры). В-третьих, исследуется возможность создания и проверка действенности различных коррекционных схем путем численного эксперимента. Для этого использовалось известное и зарекомендовавшее себя- при решения- задач ускорительной физики прикладное программное обеспечение — пакеты MAD8, MAD-X и UAL [62, 69]. Для исследования возможности коррекции случайных ошибок, описанном в пункте 4.3.3, разрабатывались подпрограмма и дополнительные библиотеки на базе уже существующих в UAL. Основные результаты данной главы в опубликованы в работах [65, 66, 61, 68, 43].
Как уже упоминалось антипротонное накопительного кольцо на высокие энергии HESR (High Energy Storage Ring) вместе с экспериментальной установкой PANDA (Antiproton Annihilations at Darmstadt) является наиболее сложным звеном проекта FAIR, которому отведены такие направления исследований, как изучение структуры адронов, сильных взаимодействий, спектроскопии ряда редких распадов и гиперядер, исследование вопроса о нарушении СР-инвариантности и других актуальных проблем современной физики [8, 10, 12,9,11].
Функционально HESR представляет собой ускорительно-накопительное кольцо в форме «рэйстрека» и включает в себя две арки и два прямолинейных участка с общим периметром порядка 574 м (см. рис. 4.1). На одном из прямых участков устанавливается экспериментальное оборудование с внутренней мишенью в виде водородной струи, детекторный комплекс, ускоряющие СВЧ станции и оборудование для двух инжекционных систем. Вторая прямолинейная секция используется для системы электронного охлаждения. Место под оборудование для стохастического охлаждения предусматривается по краям обеих прямых секций. На рис. 4.2 схематично представлен рабочий цикл накопительного кольца HESR в координатах «светимость - время». Успех проведения запланированных экспериментов обеспечивается за счет жестких требований к качеству пучка на протяжении длительного рабочего цикла (времена порядка часа). В среднем достаточная для сбора экспериментальной статистики светимость достигается использованием внутренней жидкой мишени (водородная струя) и организацией непрерывного процесса «накопление-эксперимент» за счет многократного использования оставшихся в магнитооптическом канале после прохождения мишени частиц.
Особенности магнитооптической структуры накопителя HESR, основанной на одновременной и резонансной суперпериодической модуляции функций градиентов линз и кривизны орбиты, были перечислены в пункте 2.1. Остановимся здесь на общих физических требованиях к предусмотренным режимам работы HESR. В первую очередь укажем на основные параметры HESR, приведенные в табл. 4.1. Главной отличительной особенностью накопительного кольца HESR является комбинация внутренней мишени и стохастического и электронного охлаждения пучка. Подобное сочетание до сих пор не реализовывалось, и, в конечном счете, открывает новые возможности для проведения высокоточных экспериментов. Сформулируем общие требования к режимам работы HESR и качеству пучка (см. табл. 4.1): 1) высокая интенсивность пучка (за счет накопления, повторного использования частиц и отсутствия прохождения через критическую энергию); 2) обеспечение достаточно большой динамической апертуры (требование устойчивости движения пучка, в первую очередь коррекции хроматичности, а также учета и компенсации нелинейно стей); 3) возможность независимого контроля параметров установки (обеспечивается свойствами, заложенными в магнитооптическую структуру); 4) необходима высокая точность параметров для проведения прецизионных экспериментов (требует учета и компенсации-нелинейностей); 5) обеспечение малых размеров пучка на внутренней мишени (относится к экспериментальным требованиям); 6) требуется эффективная борьба с разогревом пучка вследствие взаимодействия с мишенью и внутреннего рассеяния (зависит от действия систем охлаждения); 7) поддержка двух режимов работы — высокой светимости и высокой разрешающей способности.
Похожие диссертации на Нелинейная динамика пучка в антипротонном накопителе с высоким энергетическим разрешением
