Введение к работе
Актуальность темы
Одна из движущих закономерностей развития науки состоит в том, что потребности развития общества часто ставят перед наукой задачи на пределе ее возможностей или даже несколько превышающие эти возможности. Поэтому бурный темп развития вычислительной техники так и не обеспечивает достаточных ресурсов для решения практических задач с помощью простых численных методов невысокой точности, использующих огромные информационные массивы, обработка которых требует значительных вычислительных затрат. Таким образом, методы невысокой точности, требующие огромных вычислительных ресурсов по памяти и затрат по числу операций, значительно сужают круг решаемых задач при заданных вычислительных мощностях. Поэтому при потоковом решении задач на первый план выдвигаются наиболее экономичные методы решения с информационными массивами меньшей размерности, соответствующими возможностям специализированных процессоров. В области разностных методов решения задач математической физики схемы повышенного порядка точности обладают именно такими свойствами и позволяют получить заданную точность при меньших вычислительных затратах. Поэтому актуальность создания и использования разностных схем повышенной точности не ослабевает с развитием вычислительной техники.
Начиная с работ Ш.Е. Микеладзе, одним из полигонов для построения разностных схем повышенной точности являлись эллиптические уравнения второго порядка: уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, конвекции-диффузии и т.д. В последующем эта область существенно развита в работах А.А. Самарского и его учеников, Е.А. Волкова, А.Н. Валиул-лина, В.И. Паасонена, Б.Н. Хоромского и других авторов. Зарубежные исследователи сконцентрировали свои усилия главным образом на повышении точности в методе конечных элементов.
Цель работы
До недавних пор в направлении схем повышенной точности развивался только класс однородных разностных схем, в которых повышение точности приближенного решения является следствием устойчивости и повышенного порядка аппроксимации каждого сеточного уравнения. В этой работе демонстрируется другой подход, когда каждое из сеточных уравнений имеет ошибку аппроксимации невысокого порядка, но с разными знаками в соседних узлах. В итоге соответствующая ей погрешность
приближенного решения оказывается существенно меньшей по величине. Цель работы состояла из трех позиций.
-
Построение и теоретическое обоснование неоднородных разностных схем повышенной точности сначала в методических целях для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а затем для эллиптических уравнений второго порядка в прямоугольной области и особенно в областях с гладкой криволинейной границей, где всегда возникает проблема учета краевых условий с высокой точностью.
-
Использование созданных схем и теоретического аппарата для численного решения квазилинейных уравнений со слабой нелинейностью в правой части и повышения точности приближенных решений при аппроксимации уравнения теплопроводности по пространственной переменной.
-
Проведение вычислительных экспериментов по подтверждению теоретических результатов, проверка эффективности построенных схем и алгоритмов их решения, сопоставление с другими подходами к построению разностных схем повышенной точности.
Методы исследования
При выполнении диссертационной работы использовались методы теории разностных схем, методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, численные .методы линейной алгебры. Теоретический анализ осуществлялся строгими математическими доказательствами свойств предложенных разностных схем, включая обоснование устойчивости и повышенного порядка сходимости приближенных решений. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ на алгоритмических языках и проведения серии расчетов гладких и осциллирующих решений.
Научная новизна
Предложены, обоснованы и исследованы новые разностные схемы четвертого порядка точности для решения следующих задач математической физики: линейных и слабонелипеиных эллиптических уравнений второго порядка, уравнения теплопроводности.
Практическая значимость
Разработан комплекс программ, реализующих предложенные разностные схемы и вычислительные алгоритмы для решения задач теплопроводности и уравнения Гельмгольца, в том числе для областей с криво-
линейной границей и уравнений со слабой нелинейностью в правой части.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
-
на семинаре отдела вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН;
-
на международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 1997;
-
на конференции молодых ученых в Институте вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 1998;
-
на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева, Новосибирск, 1998.
Публикации
По теме диссертации опубликовано семь работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 113 страниц машинописного текста, включая 26 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 32 наименований.