Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Способы описания масштабно-инвариантных систем и свойства степенных распределений 36
1.1. Обзор некоторых свойств степенных распределений 36
1.2. Реальные степенные распределения. Масштаб и среднее, крупные и типичные события 40
1.3. Роль больших и малых значений. Рубеж распределения 44
1.4. Реальные степенные распределения вероятностей
1.4.1. Конечно-размерный скейлинг 47
1.4.2. Связь показателей степенных распределений 49
1.5. Обработка выборок в ранговом представлении... 50
1.5.1. Ранговое представление 50
1.5.2. Определение параметров распределения 52
1.5.3. Проблемы измерений и формирования выборок 56
Глава 2. Механизмы возникновения степенных распределений 62
2.1. Степенные распределения с точки зрения теории ветвящихся процессов 62
2.2. Ветвящиеся процессы с зависимыми частицами
2.2.1. Простейший ветвящийся процесс с зависимыми частицами 68
2.2.2. Линейный мультипликативный процесс. Описание в терминах ветвящегося процесса 69
2.3. Модели линейного роста в целостных системах
3 2.3.1. Два типа степенных распределений. Примеры 74
2.3.2. Модель А - простейшие правила 75
2.3.3. Временная динамика модели А 78
2.3.4. Модель В - правила с выбытием 80
2.3.5. Линейный рост. Общий анализ 84
Глава 3. Мягкая универсальность в модели освобождения поверхности 87
3.1. Обзор моделей роста и освобождения поверхности и свойств экстремальных моделей 87
3.2. Экстремальные модели в теории самоорганизованной критичности 92
3.3. Управление самоорганизованно критическими системами на примере модели освобождения поверхности
3.3.1. Представление об универсальности и управлении критичностью 95
3.3.2. Модель с защитой минимумов или модель гекатонхейров 96
Глава 4. Описание солнечных вспышек с позиций теории самоорганизованной критичности 101
4.1. Общий контекст проблемы 101
4.1.1. LH-модель .102
4.1.2. PKL-модель
4.2. Модель аннигиляции магнитных элементов 104
4.3. Роль инерции и теоретически анализ модели 109
Основные результаты диссертации 112
Литература 1
- Роль больших и малых значений. Рубеж распределения
- Ветвящиеся процессы с зависимыми частицами
- Управление самоорганизованно критическими системами на примере модели освобождения поверхности
- Модель аннигиляции магнитных элементов
Роль больших и малых значений. Рубеж распределения
Распределение наблюдаемых аддитивных величин не может иметь бесконечных моментов (физика "не знает" бесконечностей). Поэтому формула (2) является лишь приближением, справедливым в промежуточной асимптотике и нарушающимся при достаточно малых (иначе распределение не будет нормируемо) и при достаточно больших х. [80,100]
Поведение распределений с тяжелыми хвостами при малых х, как правило, не представляет интереса. А вот отклонение плотности вероятности от степенного вида является принципиальным. Степенное спадание плотности вероятности соответствует промежуточной асимптотике, и вместо тяжелых хвостов на практике должны иметь место "полутяжелые" u(x) x-{l f(x/xc), (1.9) где скейлинговаяДу) приблизительно постоянна при у 1 и быстро убывает при у - оо. При этом "тяжесть хвоста" переносится в область больших, но все же конечных значений х.
Замена формулы (2) на (1.9) при переходе от идеальных СЗРВ к реальным имеет одно весьма неожиданное качественное следствие. Естественно предположить, что введенное обрезание степенного хвоста делает бесконечное математическое ожидание конечным, но очень большим. Однако вопреки интуитивным представлениям для распределения (1.9) математическое ожидание чрезвычайно мало по сравнению с крупными событиями, которые могут происходить в системе. Оно не несет о них никакой информации и, следовательно, непригодно для их описания.
Применительно к задачам управления риском [80,101,102,103,104] это можно понять и интуитивно, поскольку катастрофы, они потому и катастрофы, что оказываются намного крупнее типичных событий, характеризуемых значением математического ожидания.
Причина малости математического ожидания для распределения (1.9) заключается в коэффициенте пропорциональности в этой формуле, который определяется из условия нормировки ju(x)dx = \ (1.10) и является очень маленьким, т.к. интеграл (1.10) "набирает" основное значение в области значений х « хс. Хотя интегралы для первого (математическое ожидание) и последующих моментов ц, = Гн(х)х ях при а 1 набираются в районе больших х хс, за счет малости нормировочного коэффициента среднее также "съезжает" в область малых значений и поэтому непригодно для анализа крупных событий.
Не менее существенно и другое обстоятельство: на практике из-за ограниченной чувствительности приборов и методик невозможно получить достоверных оценок среднего. Не зарегистрировав или не сумев разрешить часть малых событий, мы неизбежно ошибемся при определении коэффициента нормировки, а следовательно, и среднего. Причем чем больший кусок распределения мы "потеряем", тем больше будет ошибка.
Перечисленных недостатков лишена, введенная в работе [105] статистическая характеристика, называемая масштабом SCX=LI2/JU1 , (1.11) которая представляет собой среднее, взятое с весом х, т.е. определяет характерный размер крупного события, при этом полностью игнорируя мелкие. Иначе говоря, величина Sc х показывает, событий какого масштаба (отсюда и название) следует ожидать от системы. Поскольку интегралы для числителя и для знаменателя в формуле (1.11), пропорциональны коэффициенту нормировки и набираются в области больших значений, их отношение не будет чувствительным к потере части данных о малых событиях. Оценка масштаба также малочувствительна и к невозможности отличить несколько отдельных событий от одного события суммарного размера. [105]
Для нестепенных распределений масштаб будет, естественно, совпадать по порядку величины с математическим ожиданием Sc х Е х, поскольку интегралы для всех моментов, начиная с нулевого, набираются в одной и той же области, в то время как для распределений с тяжелыми хвостами будет Sc х » Е х. В этой связи можно говорить о системах, описываемых распределениями вида (1.9), как о имеющих два характерных масштаба (для типичных и для крупных событий), сильно различающихся по порядку величины [105]. Эта разница лежит в основе явления перемежаемости. Когда на фоне большого числа типичных событий происходит одно или несколько крупных, это воспринимается как вспышка активности. Если же наблюдатель (или сама система) имеет порог чувствительности, по величине лежащий между средним и масштабом, то типичные события воспринимаются как состояние покоя, а о вспышках активности говорят как о прерванном равновесии.
Легко видеть, что для распределения (1.9) Scx xc, т.е. масштаб характеризует скорость нарушения степенного закона. Тем не менее по небольшой статистической выборке оценить хс практически невозможно, а оценить масштаб не составит труда.
К полезным свойствам масштаба относится также то, что он малочувствителен к невозможности разрешить отдельные события. В самом деле, пусть мы имеем N одинаково распределенных независимых случайных величин r\h тогда с учетом очевидного соотношения Scr-Mr]=Dr/Mr для масштаба суммы находим выражение Scr)(. =Scri + (iV-l)Mri, правая часть которого при Мг « Set) приближенно равна Scr). Функция /из формулы (1.9) на практике обычно может быть удовлетворительно приближена растянутой экспонентой. При этом плотность вероятности принимает вид и{х)=А-х-(иа)е-{х/хг, (1.12) что позволяет легко получить аналитическое выражение для масштаба распределения.
Ветвящиеся процессы с зависимыми частицами
Общим свойством большинства систем, демонстрирующих самоорганизованно критическое поведение, является возможность лавинообразного роста количества (массы, объема и т.п.) ресурса, вовлеченного в динамику в рамках текущего события. В этой связи целесообразно обратить внимание на статистические свойства ветвящихся процессов.
Пусть имеется система невзаимодействующих частиц, каждая из которых может на очередном шаге времени распасться с вероятностью р О или же с вероятностью pt превратиться в / частиц, где 0 / п (распад и превращение в ноль частиц считаются различными событиями). Эти правила можно интерпретировать, как вспышку эпидемии, при которой каждый больной в течении дня может умереть с вероятностью р, выздороветь - с вероятностью ро или заразить еще і = О,1,... человек с вероятностью рі+\.
Пусть в начальный момент была одна частица. Какова вероятность того, что за время существования ее потомства распадется определенное число частиц (определенное число человек погибнет от болезни)?
Пусть вероятность того, что распадется ровно У, частиц равна и,-. Составим из величин ц производящую функцию p(j) = 5 /. (2.1) Поскольку частицы независимы, производящая функция системы из k частиц есть p\s) [112]. Определив, кроме того, функцию можно легко записать уравнение для ф ), соответствующее одному шагу по времени p(s) = ps + F( p{s)). (2.2) Для корректности задачи необходимо, чтобы потомство частицы исчезало с единичной вероятностью. Математическое ожидание числа частиц, рождающихся на оче -63 редном шаге из одной частицы - коэффициент размножения ветвящегося процесса -есть k = F (l), т.е. задача корректна при k 1 [112]. Интерес представляет только случай, когда F{t) - полином степени не ниже двух (иначе не будет ветвлений), т.е. F"(0 0. Уравнение (2.2) позволяет найти математическое ожидание и масштаб числа распавшихся частиц без определения явного вида плотности вероятности. Легко видеть, что My = f y=cp (l), (2-3) у=о 2 А .(л Scj = — = l + {. (2.4) 5 , ф(1) У=0 Дифференцирование формулы (2.2) с учетом равенств ф(1)= 1 и F(l) = 1 дает для производных производящей функции выражения ц (1) р/(\-к) и р"(1) = F"(\)-q 2/(\-k), подстановкой которых, соответственно, в формулы (2.3) и (2.4) находим му= " \-к Scy = 1 + ff = 1 + ).(M,f. (2.5) (l-k) р
Зафиксировавр и F"(\), можно изменять математическое ожидание и масштаб в очень широких пределах, меняя коэффициент размножения к. При этом масштаб числа распавшихся частиц квадратично зависит от математического ожидания. Таким образом, статистика распадов имеет два характерных масштаба и можно ожидать степенного вида плотности вероятности. Определим ее. Приводимый ниже вывод представляет собой развитие идей, изложенных в работах [97,113,114].
Дифференцируя (2.2) по s, получаем cp W-(l-F (cp)) = y?, (2.6) -64 следовательно, q =p/(l-F (q )). Поскольку функции ф(у) и F (i) являются вогнутыми и строго возрастающими, то существует такое so 1, что F { ?(s0)) = l. (2.7) Обозначим фо = ф( о). Очевидно, что фо конечно, иначе при s - So правая часть формулы (2.2) будет возрастать быстрее левой. Из конечности фо автоматически вытекает и конечность s0. С другой стороны, из (2.7) следует, что ф (уо) = 0. Таким образом, s0 представляет собой ближайшую к началу координат особенность функции где Ус = l/lnso. Тот факт, что асимптотическое поведение коэффициентов ряда Тейлора определяется характером ближайшей к началу координат особенности, позволяет использовать при разложении в нуле формулу, верную в окрестности точки So Таким образом, распределение числа распавшихся частиц описывается СЗРВ с ос = 1/2 вне зависимости от конкретных значений параметров процесса. Вместе с тем, принципиальное значение имеет величина jc. Чем она больше, тем меньше диапазон значений j, где плотность вероятности можно считать степенной, пренебрегая экспоненциальным множителем в формуле (2.10). Как следует из формулы (1.16), Sc/ =jJ2, что в сочетании с соотношением (2.5) дает Таким образом, плотность вероятности имеет степенной вид при коэффициенте размножения близком к значению к=\, соответствующему критическому ветвящемуся процессу.
Следовательно, ветвящийся процесс описывается степенной статистикой (критическое поведение) только при установке управляющего параметра в критическое значение. Такая установка может возникнуть либо искусственно в результате тонкой подстройки, либо в результате самоорганизации.
Пример подобной самоорганизации дает следующая простая pNK-модель (названная так по используемым в ней переменным). Имеется система из N ячеек, которые могут быть либо свободны, либо заняты частицами. Лежащие в ячейках частицы назовем пассивными. Возбуждение системы осуществляется добавлением в нее одной активной частицы. На очередном моделирования времени одна активная частица либо распадается с вероятностью р, либо с вероятностью q=\-p падает в случайно выбранную ячейку. Если эта ячейка пуста, то частица успокаивается и становится пассивной. Если не пуста, то она возбуждает находящуюся там частицу, переводя ее в активное состояние. Процесс продолжается до тех пор, пока все частицы не станут пассивными, после чего добавляется новая активная частица и все повторяется.
Управление самоорганизованно критическими системами на примере модели освобождения поверхности
Хотя описанные правила быстро приводят систему в состояние, описываемое СЗРВ, ее состояние продолжает меняться со временем, а качественные свойства оказываются вовсе не такими, как можно было бы ожидать на первый взгляд.
Как указывалось выше, величина рангового искажения обыкновенно больше или порядка единицы. Однако для зависимости (2.29) го =р, т.е. возможна ситуация, когда го«1.
Кроме того, значение показателя а 1 означает, что основной вклад в размер системы вносят мелкие агенты. Тем не менее, как следует из формулы (2.29), размер только одного крупнейшего агента есть итах(0 - n(ro,t) = tq. Его доля в полном размере системы составляет nmSK(t)/S(t) = Гр, уменьшаясь в е раз за время t = е1/р.
Прир«\ величина t астрономически велика, и на разумных временах имеет место ситуация доминирования одного или нескольких (в зависимости от начальных условий) крупнейших агентов над остальными. Поскольку она не является типичной для реальных масштабно-инвариантных систем, в них должны существовать механизмы, направленные против крупных агентов. Таковыми могут быть, например, замедление темпов их роста или даже их исчезновение по причинам исчерпания ресурса роста, старения и т.п. Модель В, включающая подобный механизм, строится в пункте 2.3.4, а сейчас выведем еще одну формулу, дающую представление о временной динамике модели А.
При анализе ранговых зависимостей иногда рассматривается величина гь - г(щ), которую, следуя логике данного изложения, уместно именовать рангом рубежа. Она разделяет ранжировку на два отрезка, суммы значений в которых равны. По аналогии с формулой (1.19) для ранга рубежа можно вывести соотношение Vl_v п,Л гь = rQm -ch1"1, 1-у, т \ 2 гоу (2.30) второй множитель в котором неотличим от единицы при l-y-lg (т/го)« 1. Если кроме того го 1, то формула (2.30) переходит в т.н. закон квадратного корня [37] гласящий, что для выборки, описываемой законом Ципфа, количество крупных значений, вносящих половинный вклад в сумму, составляет порядка корня из объема выборки. Применительно к модели А соотношение (2.30) можно упростить на основании формул (2.26) и (2.29), переписав его в виде № 41/V7 npuplg2t 1 т 4t [2-1/р при plg2t»l
Таким образом, отношение ранга рубежа к полному количеству агентов в течении долгого времени убывает, асимптотически приближаясь к очень малой, но постоянной величине. С формальной точки зрения это можно рассматривать как то, что на больших временах (т.е. в стационарном режиме) основной вклад в среднее и сумму, вносит конечная доля выборки, как и должно быть при а 1 . Однако эта доля весьма невелика, что является следствием наличия на начальном этапе временах доминирующих агентов и слишком длительного переходного процесса.
Данное обстоятельство служит дополнительным доводом в пользу введения в модель факторов, противодействующих чрезмерному росту крупных агентов и способствующих скорейшему ее выходу на стационарный режим.
Рассмотрим модификацию модели А такую, что захваченная агентом единица ресурса с некоторой вероятностью р plq оказывается "смертельной", вызывая его исчезновение.
Выкладки на этот раз проведем в терминах плотности вероятности. Обозначим через N(n,f) количество агентов размера п на момент времени /. Для п 1 эта величина за один шаг времени в среднем изменяется на тГт/ \ т/ л -КТҐ \ N\n,t)n ,N\n-l,t){n-\) /Л„,ч N(n,t) = N(n,t + l)-N(n,t) = -q - + qq v /v 1, (2.31) W 4 ) где отношение N(n,f)n/S(f) определяет вероятность слипания пришедшей единицы ресурса с агентом размера n,aq = \-р - вероятность выживания агента после слипания. Плотность вероятности распределения агентов по размерам есть не что иное как u(n,t) = N(n,t)/m(t), (2.32) где m(t) = (p qpr)t. В стационарном режиме, когда и не зависит от t, уравнение (2.31) сводится с учетом формулы (2.32) к равенству «R й = _„(„)„ + д и(п - 1)(й - 1). (33)
Поскольку его правая часть не зависит от времени, левая также не должна зависеть. Введя обозначение S(t)/t = а, окончательно перепишем формулу (33) в виде разностного уравнения на v„ = и(п)п Как следует из формулы (2.35), при Рп « 1 распределение агентов имеет степенной вид. Явное выражение Р через параметры модели позволяет свести обработку результатов моделирования к определению параметров линейной зависимости, что продемонстрировано на рис. 2.5.
Моделирование проводилось до достижения системой размера &=230«1,07-109, что при данных параметрах потребовало г«4,05-109 шагов.
Пунктиром показана экспериментальная плотность вероятности, домноженная на ер". Видно, что эта функция имеет в двойных логарифмических координатах линейный вид, как и следует из формулы (2.35). Показатель а=0,265±0,005.
На врезке дана зависимость размера системы от времени. С другой стороны, показатель может быть найден на основе данных о скорости роста системы, как а = S(t)lqt (см. врезку на рис. 2.5). При компьютерном моделировании сложных систем всегда существует риск возникновения ошибок, вызванных недостаточным для установления стационарного режима временем моделирования. Наличие двух независимых оценок а позволяет если и не избежать подобных ошибок, то, по крайней мере, выявить их.
Компьютерное моделирование показывает, что распределение агентов действительно может быть описано формулой (2.35). Для полноты картины осталось связать входящие в нее величины а и В с параметрами модели.
Аналитическое определение нормировочного коэффициента В затруднено, поскольку нормировочный интеграл \u{n)dn набирает свое значение в области малых значений п, где формула (2.35) неточна. Вытекающая из нее грубая оценка В « а вряд ли может быть улучшена.
В отличие от нормировочного коэффициента, конкретная величина которого принципиального значения не имеет, показатель а является основой характеристикой распределения и на его вычисление стоит затратить определенные усилия.
Модель аннигиляции магнитных элементов
Более соответствующей реальности в своей основе (несмотря на то, что полностью успешной эту попытку назвать нельзя) является PKL-модель, предложенная Под-ладчиковой, Красносельских и Лефевром [149], основанная на магнитогидродинамическом подходе. Эта модель двумерна, что соответствует природе процессов, происходящих в фотосфере и, кстати, автоматически делает поле бездивергентным (как и положено магнитному полю), что выгодно отличает PKL-модель от LH-модели, где это условие не выполнялось.
В основе процесса энерговыделения лежит следующая схема. Ротор поля определяет ток, который диссипирует в виде джоулева тепла. После чего поле, вызвавшее ток, подстраивается к его нулевому значению, что, в свою очередь.; сказывается на токе в соседних областях и т.д. Разумеется, процесс диссипации может запускаться лишь при выполнении некоторых условий, иначе не будет возможно накопление энергии. В PKL-модели было испробовано два варианта таких условий: 1) превышение током некоторого заданного порога;
Слева - изображение поверхности Солнца , с реконструированным на основе магнитограмм силовыми линиями. Справа - схематическое изображение поверхности, где черные и белые кружочки обозначают места выхода магнитных трубок в хромосферу. 2) условие 1) в сочетании с требованием противоположной направленности поля в соседних ячейках.
В первом варианте не наблюдалось никаких признаков степенных распределений и корреляций. А во втором ситуация была более сложной: в моменты крупных событий в системе возникали степенные корреляции, хотя все остальное время корреляции убывали экспоненциально. Более того, при должной фильтрации временного ряда удалось получить степенные спектр мощности и распределение вспышек по энергии.
Приближение второго варианта условий по сравнению с первым к тому, что наблюдается на деле, позволяет предположить, что принципиальную роль в механизме вспышек играет локальная противонаправленность поля.
Приступая к моделированию процессов в солнечной фотосфере, мы прежде всего видели задачу в наибольшем приближении к реальным физическим процессам, наблюдаемым на Солнце. При этом мы исходили из базового для синергетики предположения, что среди множества различных процессов доложен быть один доминирующий,
Изображение взято с сайта http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap971106.html. ответственный за вьщеление основной доли энергии, под который так или иначе подстраиваются все остальные.
Энергия, поступающая в хромосферу, заключена во вмороженном в плазму магнитном поле, имеющем конфигурацию трубок. Анализ магнитограмм Солнца с высоким разрешением показывает, что на его поверхности постоянно возникают и исчезают небольшие петельки, переплетение которых напоминает ковер [150,151] (см. рис. 4.1). Конфигурация "ковра" быстро меняется, причем локальное увеличение яркости совпадает с исчезновением петелек, которое означает, что все они пересоединились и исчезли. Сам этот факт в корне меняет существующие взгляды на магнитную активность солнечной атмосферы, т.к. наличие такого магнитного ковра ощутимо повышает объем энергии, доступной для подогрева короны, поскольку казавшаяся ранее магнитонейт-ральной фотосфера оказывается состоящей из областей смешанной полярности.
Учитывая это обстоятельство, а так же соображения, высказанные при обсуждении моделей других авторов, мы положили в основу нашей модели представление о магнитных элементах, являющихся точками выхода в фотосферу мелкомасштабных трубок вмороженного в плазму магнитного поля, параллельных друг другу и направленных по радиусу Солнца. При этом мы предполагаем, что процессы, происходящие с магнитным полем в короне являются следствием процессов происходящих с магнитными элементами в хромосфере, т.е. что доминирующий процесс происходит там, где сосредоточена основная доля вещества и энергии.
При моделировании мы рассматривали хромосферу как двухмерную решетку с периодическими условиями на границах, в ячейках которой могут располагаться магнитные элементы, величина которых измеряется целыми числами. Знак этих чисел определяет направление поля, а величина - энергию, заключенную в элементе. Под действием турбулентного движения плазмы элементы могут перемещаться по поверхности фотосферы. Если при этом магнитный элемент попадает в ячейку, где находится хотя бы один элемент противоположного знака, то между ними происходит аннигиляция (если в ячейке находится несколько противоположно заряженных элементов, то выбирается наугад один из них), заключающаяся в уменьшении на единицу их абсолютных величин (если в результате элемент становится нулевым, то он исчезает). Выделившаяся при этом энергия вызывает волну возмущения плазмы, распространяющуюся в разные стороны, в результате чего каждый из элементов, оказавшихся в ячейке, где произошла аннигиляция, перемещается в ячейку, случайно выбранную среди восьми соседних. Это может, в свою очередь, привести к аннигиляциям там и т.д., т.е. к развитию лавины аннигиляции. При этом процесс пересоединения поля можно рассматривать как ее следствие.
Существенной чертой настоящей модели является предположение, что источником турбулентного движения плазмы, способного приводить к аннигиляции магнитных элементов, служит лишь энергия аннигиляции. При этом, естественно, необходим механизм "поджога" лавины. Поэтому на очередном шаге моделирования в случайно выбранные ячейки вбрасываются два элемента, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку, что соответствует всплытию магнитных трубок из внутренних слоев Солнца. Энергия вбрасываемых элементов выбирается случайно в соответствии с распределением Пуассона со средним Q. Если в результате этого произошла аннигиляция, то мы говорим о вспышке, которая длится до тех пор, пока не исчезнут ячейки, содержащие элементы противоположных знаков. После чего делается следующий шаг.
Описанная модель является самоорганизованно критической, т.е. независимо от начального состояния эволюционирует к критической точке, в которой характеризуется степенными зависимостями. Чтобы избежать эффектов, связанных с ограниченностью геометрических размеров системы, использовалась решетка максимального размера, который позволяли доступные вычислительные возможности (512x512). По достиже-нии моделью критического состояния делалось 3-Ю шагов для набора статистики.
Помимо энергии вспышек, их амплитуды и длительности нас также интересовали их площади и число локальных максимумов мощности на протяжении вспышки. Наше внимание к последней довольно экзотической характеристике было обусловлено следующими априорными соображениями общего характера.
Зависимость от времени мощности, выделяющейся во время вспышки длительностью Т, задается в общем случае выражением W{t) = Ta/p(t/Tb), где функцию р следует трактовать как символическую запись для профиля вспьппки, реально выбираемого из некоторого класса функций, учитывающих общие характеристики временной развертки вспышек. Для амплитуды, равной максимуму мощности, можно записать
