Содержание к диссертации
Введение
I Энергетический подход к моделированию нерегулярного континуума 20
1 Предварительные сведения. Полнота пространства Е 21
2 Физический пример задачи на экстремум 35
3 Непрерывность интегрального функционала в Е 38
4 Аналог уравнения Эйлера для непрерывных задач 41
II Достаточное условие экстремума 46
1 Неотрицательность псевдоэнергетического функционала 47
2 Аналог усиленной теоремы Якоби 53
3 Поле экстремалей 60
4 Достаточное условие экстремума 64
III Постановка задачи в классе разрывных функций из В V. Необходимое условие экстремума 67
1 Некоторые сведения о к - интеграле 69
2 Полнота пространства Еи 11
3 Задача о разрывной струне 90
4 Непрерывность функционала в Еи 94
5 Необходимое условие экстремума для задачи, допускающей разрывные решения 97
IV Достаточное условие экстремума для случая разрывных функций 102
1 Неотрицательность псевдоэнергетического функционала в разрывном случае 103
2 Аналог усиленной теоремы Якоби в разрывном случае 110
3 Поле экстремалей 122
4 Достаточное условие экстремума 126
V Численный эксперимент 128
1 Приближенный метод решения вариационной задачи деформации цепочки из двух струн
2 Тестовые примеры 135
Список литературы
- Физический пример задачи на экстремум
- Аналог усиленной теоремы Якоби
- Полнота пространства Еи
- Аналог усиленной теоремы Якоби в разрывном случае
Введение к работе
В диссертации проводится разработка математических методов анализа моделей нерегулярного континуума, а именно, разработка вариационного метода анализа математической модели стилтьесовской струны в случае нерегулярности как внешних параметров, так и внутренней структуры. Последовательно рассматривается два случая: в первом случае струна предполагается негладкой, так что для нее неверна традиционная модель Бернулли
-(pu')' = f. Решение в этом случае мы ищем в классе абсолютно-непрерывных функций, производные которых имеют ограниченную вариацию. Кроме того, мы рассматриваем случай «разорванной струны», когда исследуемый одномерный континуум составлен из нескольких кусков струн, причем соседние кускго упруго соединены, не составляя в точках состыковки непрерывного целого. В последнем случае решение изучаемой, задачи строится в классе функций ограниченной вариации. В обоих случаях главной математической опорой является интеграл Стилтьеса - классический вариант этого интеграла в первом случае, и некоторая его существенная модификация во втором.
Необходимость описания математических моделей с помощью недостаточно гладких функций назрела давно. Опора на анализ гладких функций была исчерпана в инженерной математике уже к концу XIX века. Стилтьесом в конце XIX века была изучена задача о «струне с бусинками», когда задача о колебаниях упругой струны была связана не с уравнением
-и" = ЛМ'(х)и, где М описывает распределение масс, а с более сложным математическим объектом, где, в современных терминах, вместо М'{х) должна стоять комбинация -функций
/=1
5 где ml - массы соответствующих бусинок (грузиков). Эту, по существу, конечномерную задачу Стилтьес предложил решать с помощью нового введенного им интеграла, называемого ныне интегралом Стилтьеса.
Математическое расширение подобного взгляда предложили Ган-тмахер и Крейн, где для произвольного распределения масс вдоль струны
они ввели уравнение
/ и(х) = Я \К(х,s)u(s)dM(s), о
в котором интеграл понимается по Стилтьесу, М(х) описывает распределение масс.
Уже в начале XIX века вариационные принципы физики, стали источником новых математических постановок и поводом для создания и привлечения новых математических идей. Так, например, Гильберт определял математическую струну как минималь функционала
Ф(«)= П-^ fli dx> (0.0.1).
oV 2 )
описывающего потенциальную энергию для виртуальной формы струны и(х). Тогда же стали известны примеры функционалов' простых по форме, но недостигающих экстремальных значений в стандартных классах функций. Это, в свою очередь, потребовало привлечения новых математических средств для построения моделей. Так, например, как мы уже отмечали, М.Г. Крейн- [23], [3] начал привлекать к анализу упругих колебаний струны интеграл Стилтьеса. Позднее интеграл Стилтьеса начали использовать Феллер [52], Аткинсон [1] и др. исследователи. Однако, почти до конца XX века моделирование реальных систем производилось, с опорой1 на математические средства, развитые еще в XVIII веке Лейбницем, Эйлером, Даламбером, Лагранжем и др., на основе классических методов дифференциального и интегрального исчисления. Во второй половине XX века обнаружились недостатки регулярных (классических) математических средств для описания ^реальных систем, существенно неоднородных по своей физической природе, и здесь выяснилось,
что решающим математическим средством оказывается мало применявшийся ранее интеграл Стилтьеса. Естественность опоры на интеграл Стилтьеса можно проиллюстрировать на гильбертовом описании струны, если; например, внешняя нагрузка, деформирующая струну, не имеет непрерывной плотности fipc), а содержит сосредоточенные силы, что в формуле (0.0.1) приведет к появлению у fix) компонент типа S - функции. Тогда функционал потенциальной энергии для нерегулярной струны может быть корректно записан в виде
Ф(и) = Яу-^~ \udF , (0.0.2)
где второе слагаемое естественно понимать по Стилтьесу. Так как в этой ситуации физические соображения не обеспечивают гладкость формы и(х), то первый интеграл также как и в (0.0.1) не может пониматься по Риману. При' стандартном применении к (0.0.2) классической вариационной схемы [2], [25], [27], [41], [58], [59], мы должны получить формальное уравнение вида
-(pu')' = F\ (0.0.3)
где штрихи означают обобщенные производные. Если при этом исходный упругий континуум («стилтьесовская струна» по выражению М. Крейна) имеет тотальную упругую связь с окружающей средой, то вместо (0.0.3) будет более сложное выражение
-{pu')' + Qu = F\
где Q — некоторая возрастающая функция, Q - ее обобщенная производная.
Изучению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
-{pu')' + qu=f (0.0.4)
с обобщенными коэффициентами, где q = Q', f = F' посвящено достаточно большое количество работ (например, [1], [6]-[9], [П]-[14], [26], [28]-[30], [32], [46], [50], [51], [53], [57]). Решения со скачками производных описаны уже в классической монографии Ф. Аткинсона [1]. Достаточно тонкий анализ
7 однородного уравнения вида (0.0.4) с обобщенными коэффициентами проводился в работах А.Д. Мышкиса [30], J. Kurzweil [26]. Более полную библиографию можно найти, например, у Ф. Аткинсона [1], А.Ф. Филиппова [53], СТ. Завалищина и А.Н. Сесекина [13]. Из обширного числа работ особо отметим публикации В.Я. Дерра [6]-[9], Ю.В. Егорова [12], СТ. Завалищина [14], А.Н. Сесекина [50], Bi Dragovichfll], А.А. Шкаликова и его учеников [46].
Однако, для подобных уравнений, внешне имеющих вид обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), классическая теория ОДУ не работает, так как она- определяется^ возможностями поточечного анализа, недоступного сквозь формализм обобщенного дифференцирования, где обобщенная производная оказывается не обычной поточечно определяемой функцией, а специальным функционалом на пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций. Эту проблему - возможного обходного маневра вокруг обобщенного дифференцирования - М.Г. Крейн решал, опираясь на возможность представления, например, уравнения для задачи о колебаниях струны в интегральной форме с интегрированием по Стилтьесу. Позднее, опять же Крейном, реализована возможность опоры на поточечное интегро-дифференциальное уравнение
х+0
и'+(х) = и'_(0)-Л \udM,
где и'+(х) - правая производная, и'_(х) - число, служащее для продолжения
правой производной влево от точки х=0. Подобный подход, применявшийся Феллером, Аткинсоном, отодвигал идею Гильберта о вариационном обосновании как бы в тень. Соответствие этого уравнения реальным формам струны определялось чисто интуитивными соображениями.
В настоящей работе на первый план выдвигается гильбертов подход к постановке математического моделирования. Мы детально изучаем модельную проблему
8
Ф-^ min , (0.0.5)
а(0)=Л,и(/)=Я
где функционал Ф в первом случае имеет вид
і а і iii
Ф(и) = ^^—dx + JRuu'dx+ ^—dS+ judM. і (0.0.6)
о 2 о о 2 о
Здесь p,R,S,M - функции ограниченной вариации, т.е. принадлежат пространству BV[0, /], и интегралы понимаются по Стилтьесу. Функционал (0.0.6) мы определяем на пространстве Е абсолютно-непрерывных на [0, /] функций, производные которых принадлежат ВV[0, і].
В исследуемом нами втором случае функционал Ф имеет вид
1 DU'2 1 и2 1
ф(и) = р-іі-ф + y~d[Q\ - \ud[F], (0.0.7)
о 2 0 2 0
где/?, Q, F принадлежат пространству BV[0, /], функция //строго возрастает на [0, /]. Такой функционал возникает при описании задач, допускающих разрывные решения, например; при моделировании упругих деформаций неоднородного континуума, расположенного вдоль отрезка [0, /] и состоящего
из кусков стилтьесовскои струны, упруго взаимодействующих в точках х = ,, где і— 1, 2, ..., N, и < є(0,/). В этом случае, естественно, возникает необходимость расширения понятия обычного интеграла Стилтьеса, когда интегрируемыми оказываются разрывные функции, и когда соответствую-
щие интегрирующие меры могут иметь расщепляющиеся атомы, т.е. \ud
приобретает корректный смысл для каждой разрывной функции и(х), если в точках разрыва и(х) интегрирующая функция а(х) имеет двойной скачок. Мы опираемся здесь на расширенное толкование интеграла Стилтьеса, предложенного Ю.В Покорным. Чтобы подчеркнуть, что речь идет о таком интеграле, мы обрамляем функцию, стоящую под дифференциалом, в квадратные скобки. Функционал (0.0.7) мы определяем на пространстве Еи
г*
/л -абсолютно-непрерывных на [0, /] функций, производные которых принад-
9 лежат BV[0, /]. Т.е. здесь функции и могут терпеть разрывы в точках разрыва ju. Дня функционала (0.0.7) мы обсуждаем точно такой же круг вопросов, что и для функционала (0.0.6).
Такие задачи другими авторами ранее решены не были.
Цель работы. Основной целью работы является разработка математических методов анализа модельной проблемы Ф —» min , где функцио-
и(0)=А,и(1)=В
нал Ф гипотетически определяет потенциальную энергию исследуемого в реалии объекта. Работа направлена на построение наиболее полных аналогов необходимых и достаточных условий экстремума из классической вариационной теории, максимально учитывающих способность возникающих при этом моделей соответствовать реальным особенностям моделируемых задач.
Методика исследований. В диссертационной работе в интересах математического моделирования применяются и совершенствуются идеи и методы классического вариационного исчисления, методы общего математического анализа, аппарат теории меры и интеграла Лебега-Стилтьеса, аппарат численных методов.
Научная новизна. Приводимые ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Установлена полнота исходного функционального пространства Е
виртуальных состояний объекта по норме |и|| = max|w(x)| + Vq (и'), где Vq оз-
начает полную вариацию на отрезке [0, /].
2. Доказана непрерывность функционала (0.0.6) в пространстве Е.
3. Установлено, что функция и0, определяющая реальное состояние
объекта, описываемого модельной проблемой (0.0.5) для функционала (0.0.6), является решением интегро-дифференциального уравнения с интегралами, понимаемыми по Стилтьесу
X X
pu'(x) + judR - judS - M(x) = pu'(0) - M(0).
о 0
4. Установлены достаточные условия неотрицательности псевдоэнер
гетического функционала
I(h)=\ph'2dx+ \h2dO,
о о
где Q=S-R
Получен аналог усиленной теоремы Якоби о сильной положительности псевдоэнергетического функционала.
Установлена возможность построения поля экстремалей.
Получено достаточное условие экстремума для функционала (0.0.6).
Аналогичные результаты получены для функционала (0.0.7).
9. Впервые построен алгоритм и проведен численный эксперимент
анализа модельной'проблемы (0.0.5), где функционал Ф определяется равен
ством (0.0.7).
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при обосновании корректности разнообразных математических моделей и при разработке разнообразных численно-аналитических методов, создаваемых для-анализа таких моделей.
Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории-функций-и-их приложения» (2004 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2004 г.), Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.), Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения-XV» (2004 г.), «Пон-трягинские чтения-XVI» (2005 г.), «Понтрягинские чтения-XVII» (2006 г.), «Понтрягинские чтения-XVIII» (2007 г.), Воронежской зимней математиче-
ской школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2007 г.), Международной научной конференции» «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 г.), на семинарах профессора Покорного Ю.В. в 2004-2007 гг, на конференциях профессорско-преподавательского состава Белгородского университета потребительской кооперации в 2004-2007 гг.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16, 17, 18, 19, 20, 37, 38, 39, 40, 60]. Из совместных работ [37-40, 60] в диссертацию включены только результаты автора. Списку ВАК соответствуют работы [20,37, 38; 40].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, изложенных на 140 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из 60,наименований на 7 станицах. Общий объем диссертации составляет 147 страниц.
Краткое содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, дается обзор результатов по главам.
В первой главе ставится и изучается модельная проблема (0.0.5),,т.е.
Ф-> min
и(0)=Л,и(/)=В
для функционала (0.0.6), т.е.
/ ,2 / 111
Ф(м) = \^—dx+ \Rui?dx+ f—dS+ \udM.
о 2 о о 2 о
В 1 вводится линейное нормированное пространство Е абсолютно-непрерывных функций с производными из BV[0, /], на котором рассматривается функционал (0.0.6).
Теорема 1.1.2. Исходное функциональное пространство Е виртуальных состояний объекта является полным по норме
H=max|M(x)| + Fo(w'),
12 где Vq означает полную вариацию на отрезке [0, /].
Теорема 1.1.3. В пространстве Е следующие нормы эквивалентны:
1) ML = max и + Vn ("') 5
' II || [0/] II О V / '
2) ||4 = |ц(0)| + V' (и) + |и'(0)| + VI (и'),
3) |м| =тах|м| + Ко(/?м'), где р - функция ограниченной вариации,
1лМ]
inf р > 0, [о,/]
4) | и = тах-< max и|, F0 (и )
В 2 приводится физический пример, описываемый модельной проблемой (0.0.5) для функционала (0.0.6).
В 3 доказывается, что функционал (0.0.6) непрерывен в пространстве Е.
В 4 установлена форма первой вариации для функционала (0.0.6)
/ / її
ЗФ(и0)к = \pu'0h'dx+ \R(u0h' + hu'0)dx + \u0hdS + \hdM.
Точка экстремума исходной задачи должна обращать в нуль первую вариацию, что на основе специальной модификации классической леммы Дюбуа-Реймона приводит к следующему необходимому условию, которому должна удовлетворять минимизирующая (максимизирующая) функция и0 (х). Функция щ (х) должна являться решением уравнения
X X
ри'(х) + judR - \udS - М(х) = ри'(0) - М(0). (0.0.8)
о о
Уравнение (0.0.8) в случае, когда функции р, R, S, М оказываются дифференцируемыми, эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка
(ри'У + u{r -s) = m,
где s = S', r = R', т = М'.
13 Во второй главе продолжается анализ условий экстремума исходной модельной проблемы (0.0.5). Здесь мы устанавливаем форму второй вариации для функционала (0.0.6)
I{h)=\ph'2dx- jh2dR + \h2dS
и с ее помощью изучаем условия экстремума. Рассмотрим уравнение
-ри\х) +^udQ = -ри'(0) (0.0.9).
Мы называем уравнение (0.0.9) неосциллирующим на отрезке [0, /], если всякое его нетривиальное решение имеет на [0, /] не более одного нуля.
Теорема 2.1.4. Для того, чтобы уравнение (0.0.9) не осциллировало на [0, /], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий:
Уравнение (0.0.9) имеет решение без нулей на [0, /];
Решение и{х) уравнения (0.0.9) при условиях w(0) = 0, w'(0) = l не
имеет других нулей;
Теорема 2.1.1. Для того, чтобы функционал
/(/2)= \ph'2dx- \h2dR + \h2dS
был неотрицателен для всех h из Е, удовлетворяющих условиям /г(0) = h(l) = 0, достаточно, чтобы mfp(x)>0, и уравнение (0.0.9) не осциллировало на [0, /], где Q=S-R.
В 2 получен следующий аналог усиленной теоремы Якоби.
Теорема 2.2.1. В условиях предыдущей теоремы существует константа а0 > 0 такая, что
/ I(h)>a0- \h'2dx. о
В 3 вводится понятие поля экстремалей и получено достаточное условие включения в поле экстремалей.
В заключении главы II устанавливается теорема о достаточном условии экстремума.
Теорема 2.4.1. Пусть щ — решение уравнения
X X
ри\х) + judR - \udS - М(х) = ри'ф) - М(0),
о о
удовлетворяющее условиям и(0) = А, и(1) = В. Пусть mfp(x)>0 и уравне-
ние (0.0.9) (где Q-S-R) не осциллирует на [0, /]. Тогда щ дает глобальный минимум функционала Ф, определяемого равенством (0.0.6).
Главы III и IV посвящены анализу модельной проблемы (0.0.5) в классе функций, допускающих разрывы. Уже на этапе постановки задачи нам приходится расширять понятие интеграла Стилтьеса на случай выражения вида
vudv, когда обе функции и(х), v(x) имеют ограниченную вариацию, и ни одна а
из них не обязана быть непрерывной. Расширение понятия интеграла vudv,
о.
следуя Покорному Ю.В., осуществляется процедурой лебеговского типа по
«расщепленной» мере v, когда в отличие от обычного интеграла' Лебега-
Стилтьеса, во всякой точке разрыва функции v(x) учитываются оба скачка
A~v() = v() - v( - 0) и A+v() = v( + 0)- v(). Соответствующий расширенный интеграл, называемый нами к - интегралом, мы обозначаем через
JW[v]. Если и, v имеют на отрезке [0, /] ограниченную вариацию, то
\иd[v] = uv\Q - \vdu,
о о
где \vdu понимается по Лебегу-Стилтьесу. В терминах функции скачков это
означает
/ /
\ud[v]=\udv0 + 5>(-0)A-v()+ ][>( +0)A+v(),
о о o<#
где v0 - непрерывная часть v. Удобство такого интеграла может быть проиллюстрировано следующим примером.
Если на отрезке [0, /] два куска струны упруго взаимодействуют в точке так, что и(д" -0)Ф и{д~ + 0), то потенциальная энергия такой струны, непрерывной во всех точках, кроме х - , в обычных терминах будет выглядеть как
- ри
#+о
Ф(и)= J ——dx + J — dx-i
ри'2 , , гЫ&У , Y,u\g--Q) , y2u\g- + Qi)
-о
- jufdx-/^-0)-^(^ + 0)- fyfdx,
0 +0
где у - жесткость пружины, связывающей подвижные концы струн, ух - жесткость пружины, прикрепленной в точке u(J; - 0); у2 - жесткость пружины, прикрепленной в точке и(д~ + 0); /j - сосредоточенная сила в точке и( - 0), /2 - сосредоточенная сила в точке w(
\fds, о
Л + \fds,
х, х<д~ х + 1, х > д"
где /л{х) =«
/ ри' 2/2 /
2 J 2
о ^ о ^ о
Ф(и) = l^f-dju + \\d[Q\ - \ud[F],
0, х<
б(*) =
ух, x = ^,F(x) = \
/l+/2 +J/<*, *>
При этом мы полагаем р{) - у.
В третьей главе ставится и изучается модельная проблема (0.0.5), т.е.
Ф-» min
u{Qi)=A,u{l)=B
для функционала (0.0.7), т.е.
Ф(«) = J^-Ф + \^rd[Q\ - \ud[F\
о 1 о z о
В 1, следуя Покорному Ю.В., вводится расширение интеграла Лебега-
Р Стилтьеса, то есть вводится интеграл jW[v] по «расщепленной» мере, когда
учитываются лишь предельные значения в точках разрыва функции интегрируемой (функция и(х)) и важны как предельные, так и собственные значения в точках разрыва функции интегрирующей (функция v(x)).
Доказывается следующий аналог теоремы о преобразовании меры.
Теорема 3.1.2. Пусть функции и{х), Q(x) имеют ограниченную вариа-
цию на отрезке [0,1]; g(x) - \ud[Q]. Тогда для любой функции ограниченной
вариации v(x) (уєВУ[0,І])
\vd[g]J\vud[Q].
о о
В 2 вводится Еи— пространство ц - абсолютно непрерывных функций, производные которых на [0, /] имеют ограниченную вариацию, где ju(x) -строго возрастающая на [0, /] функция. В этом функциональном пространстве Е., виртуальных состояний объекта вводится норма
где [0, /] - специальное расширение отрезка [0, Ї], когда всякая точка разрыва ju(x) заменяется на пару элементов, обозначаемых через - 0 и + 0. Доказаны следующие теоремы.
Теорема 3.2.1. В пространстве Ец следующие нормы эквивалентны:
1) ЩЕ =щах|м| + Г0/(^),
2) ||4 =1^(0)1 + ^(^ + 1^(0)1 + ^(^),
3) ||и|| = шах |и|+ ^(/^), где р — функция ограниченной вариации,
inf р > О
[о,/]
4) и =тах<
г! ґ..і
тах|м|, VQ(uM)
[0./L
Теорема 3.2.2. Пространство Еи является полным.
В 3 приводится физический пример, описываемый модельной проблемой (0.0.5) для функционала (0.0.7).
В 4 доказывается, что функционал (0.0.7) непрерывен в пространстве
В 5 установлено, что функция и0, определяющая реальное состояние
объекта, описываемого модельной проблемой (0.0.5) для функционала (0.0.7), является решением уравнения
-ри'и{х)+ jud[Q] = -pu'M(0) + F(x)-F(0). (0.0.10)
В четвертой главе продолжается анализ основной модельной проблемы (0.0.5) для функционала (0.0.7). Здесь мы устанавливаем вид псевдоэнер-
гетического функционала (второй вариации функционала (0.0.7))
/ /
I(h)=\ph'M2djU+\h2d[Q]
о о
и с его помощью изучаем условия экстремума.
Точку s мы называем нулевой точкой функции ограниченной вариации и, если u{s - 0)u(s + 0) < 0.
Рассмотрим уравнение
- {ри'м\х) + )ud\Q]=-(pu'M\Q) (0.0.11).
Уравнение (0.0.11) будем называть неосциллирующим на [0, /], если
каждое его нетривиальное решение имеет на [0, /] не более одной нулевой
точки.
18 Далее доказываются теоремы. Теорема 4.1.1. Пусть inf р > 0, и уравнение (0.0.11) имеет решение без
нулевых точек на отрезке [0, /]. Тогда для любой функции h из Ем, удовлетворяющей условиям /z(0)=/z(/)=0, псевдоэнергетический функционал неотрицателен.
Теорема 4.1.3. Следующие свойства эквивалентны:
уравнение (0.0.11) имеет строго положительное на [0, /] решение;
решение и(х) уравнения (0.0.11) при условиях и(0) = 0, и'(0) = 1 не имеет других нулевых точек на [0, /] (точно также как и для и{1) = 0, ц^(/) = -1);
уравнение (0.0.11) не осциллирует на [0, /];
В 2 доказана следующая теорема, являющаяся аналогом усиленной теоремы Якоби.
Теорема 4.2.1. Пусть выполнены условия:
а) inf р(х) - рп > 0;
[0,/]
б) уравнение(0.0.11) не осциллирует на [0, /].
Тогда существует число а0 > 0 такое, что
I{h)>aQ-\tfd]u. о
В 3 вводится понятие поля экстремалей и получено достаточное условие включения в поле экстремалей.
В 4 доказана теорема о достаточном условии экстремума для функционала (0.0.7).
Теорема 4.4.1. Пусть щ - решение уравнения (0.0.10), удовлетворяющее условиям м(0) = А, и{1) - В. Пусть на щ выполняется условие теоремы 4.1.1. Тогда и0 - решение основной модельной проблемы (0.0.5), т.е.
«о -> глобальный min Ф .
и(0)=Л,«(/)=В
19 В заключительной пятой главе приводятся результаты численного эксперимента, где мы задачу минимизации исследуемого функционала изучаем с помощью разностного метода, интересуясь вопросом о том, насколько прямой метод минимизации функционала (когда минуется градиентный метод анализа исходного функционала, т.е. минуется анализ первой вариации) приводит к корректному ответу. Нас здесь, в первую очередь, интересовал вопрос об условиях трансмиссии в особых точках изучаемой модели.
Автор выражает сердечную благодарность профессору Ю.В. Покорному за постановку задачи и постоянное внимание, а также доценту М.Б. Зверевой за полезные консультации.
Физический пример задачи на экстремум
В этом параграфе мы покажем, что модельная проблема (1.0.1) для функционала (1.0.2) возникает, в частности, при моделировании деформаций упругой струны, натянутой вдоль отрезка [0, /]. Oj її IS І /////7///// Под струной понимается непрерывная нить, упруго реагирующая на растяжение и не реагирующая на изгиб.
Считая струну натянутой вдоль отрезка [0, /], обозначим через и(х) деформацию (смещение) точки х от положения равновесия под воздействием внешней нагрузки. Подчеркнем, что рассматриваемая функция и(х) — это гипотетическая (виртуальная) деформация. На участке [х, x+dx] приращение длины струны равно - 1 + и 2(х)dx-dx = \Jl + и 2(х) -1 их, и, по закону Гука, упругая реакция элемента [х, x+dx] пропорциональна растяжению и потому равна р(х)
Пусть концы струны жестко закреплены, то есть и (0) = и (/) = 0. Обозначим через Fix) силу, действующую на участок струны левее х, тогда на элемент [х, x+dx] струны действует сила dF(x) = F{x + dx) — F(x), совершая работу u(x)dF(x) при смещении элемента [х, x+dx] на и(х), что дает для энер / гии, затрачиваемой силой F, значение и dF. Значит, если бы струна приня о ла форму, определяемую функцией и(х), то в целом на [0, /] ее потенциальная энергия равнялась бы Ф(м) = іДл/l + w 2 - Yfh - \udF. (1.2.1) о о Так как Vl + ос 1 = —1-о(ог2), то при а = и 2 вместо -\Ц+и 2 -1 в (1-2.1) с точностью до членов четвертого порядка малости имеем 1 и 1 ф(и) = \p —dx - \udF. (1.2.2) о 2 о
Предположим, что струна в точке х = подперта пружиной с коэффициентом упругости к. Наличие пружины ведет к появлению в функционале энергии (1.2.2) дополнительного слагаемого, порождаемого энергией пружины. Предположим, что длина пружины изменена на величину s (от первоначального положения). Тогда, по закону Гука, при малом изменении s на ds сила сопротивления пружины равна ks. В силу малости ds эта сила может считаться постоянной на промежутке (s, s+ds). Работа, совершаемая этой силой на участке длины ds, будет равна ksds. Тогда, смещение струны на дистанцию м() вызовет появление у пружины энергии, адекватной работе суммарно от нуля до и(), то есть "() и2(Р\ \bds = k - -. J 2 о Таким образом, функционал потенциальной энергии будет записан в виде ф(и)= j Ldx-judF + k - . (1.2.3) [0, х , Введем функцию Q(x) = =к(х - д), где 0(х) - функция Хевисай I к, х 0, х 0 _ Ки1 да, то есть (х) = Х 0 ч Vм ЙП м () ъ т « . Заметим, что — dQ = — к. Таким образом, 1, х 0 2 2 функционал энергии (1.2.3) может быть записан в виде і а і /2 Ф(м)= \ —dx- \udF+ p-dQ. (1.2.4) 2 J J 2 о о о 37 В силу принципа Лагранжа - Гамильтона, реальная деформация струны и0(-) решает задачу о минимизации функционала (1.2.4) при условиях и(0) = и(/) = 0. Функционал (1.2.4) представляет собой частный случай функционала (1.0.2), где Я = 0, S= Q, М= -F,A=B = 0.
Приведем необходимые пояснения относительно этого уравнения. Обозначим через Sz множество всех точек, где р(х), R(x), S(x), М{х) имеют ненулевые простые скачки, то есть имеют не совпадающие левые и правые пределы. На концах [0, /] мы все эти функции предполагаем непрерывными. Выбросив Sz из [0, /], заменим каждую точку є Sz парой символов { - 0, + О}. Будем считать, что - О х для всех х и + 0 х для всех х . Множество, полученное из [0, /], заменой точек В, є Sz на соответствующие пары { - О, Е, + О}, обозначим через [О, /](Z).
Множеству [О, Г(2) можно дать следующее формальное определение, как одномерному метрическому пространству.
Взяв жорданово представление исходных коэффициентов (1.4.8) в виде р(х) = р+(х)-р-(х), R(x) = R+(x)-R-(x), S(x) = S+(x)-S-(x) и М(х) = М+(х)-М (х), обозначим через crz(x) сумму неубывающих функций az{x) =х+ p+(x) + p-(x) + R+(x) + R-(x) + S+(x) + S (x) + M+(x) + M-(x). Не ограничивая общности, можно предполагать, что функция сг(х) имеет разрывы (полные скачки) только в точках [О, /](Z). Введем на множестве [0, /] \ Sz метрику р(х, у) = \crz (х) - az (у)\. Это метрическое пространство, очевидно, не полно. Его стандартное метрическое пополнение совпадает с [О, /](Z), индуцируя в нем топологию. Очевидна разрывность этого пространства, равно как и его компактность.
Аналог усиленной теоремы Якоби
В этой главе изучается модельная проблема Ф- min (3.0.1) н(0)=Л,и(/)=В где функционал Ф имеет вид Ф(и) = \Z-f-d» + \-rd\Q\ - \ud[F], (3.0.2) возникающая, например, при моделировании упругих деформаций неоднородного континуума, расположенного вдоль отрезка [0, /] и состоящего из кусков стилтьесовской струны, упруго взаимодействующих в точках х = , где і = 1,2, ...,NK є(0,1).
Здесь р, Q, F — функции ограниченной вариации на отрезке [0, /]. Функция /л{х) строго возрастает на отрезке [0, /]. Производная и и понимается в смысле Радона-Никодима, то есть дифференцирование обращается интегрированием по Стилтьесу. Запись функции, стоящей под дифференциалом в квадратных скобках, подчеркивает, что интегрирование здесь понимается в расширенном смысле, когда мера точек разрыва «расщепляется».
Функционал (3.0.2) мы определяем на пространстве Ем ju - абсолютно непрерывных на [0, /] функций, производные которых имеют на [0; /] ограниченную вариацию. Через Q мы обозначаем множество функций из Ем, удовлетворяющих условиям и(0) = А, и{1) = В. В 1 вводится понятие п - интеграла, то есть интеграла Лебега-Стилтьеса, понимаемого в расширенном смысле, когда мера всякой точки разрыва как бы «расщепляется». Доказан аналог теоремы о преобразовании меры для п - интеграла. В 2 описано исходное функциональное пространство Ем виртуальных состояний объекта, доказана его полнота, введены нормы в этом пространстве и показана их эквивалентность. В 3 приводится пример возникновения модельной проблемы (3.0.1) для энергетического функционала (3.0.2). В 4 доказана непрерывность в смысле нормы Еи функционала (3.0.2). В 5 установлено, что функция и0, определяющая реальное состояние объекта, описываемое модельной проблемой (3.0.1) для функционала (3.0.2), является решением уранения ; - ри м{х) + )ud[Q] = -ри м(0) + F(x) - F(Q).
Некоторые сведения о п - интеграле
Пусть v(x) - неубывающая функция, определенная на [0, /]. Обозначим через S(y) множество точек разрыва v(x). Отметим, что нам важно, чтобы v(x) была определена во всех точках є S(v). Определим функцию CT(JC) , полагая (т(х) - х + v(x), т.е. сг(х) строго монотонно возрастает на [0, /]. К отрезку [О, /] для GS(V) добавим элементы -0 (х -0 для всех х ) и + 0 ( +0 х для всех х ). Полученное расширенное множество обозначим через [0, /]v. Очевидно, что [0, /]v является пополнением [0, /] по метрике р(а,Ь) = \а(Ь)-а(а)\. Топология на [0,/]v индуцируется исходной, т.е. метрикой р. Метрическое пространство [0, /]v разрывно, в нем каждая функция ограниченной вариации z(x) приобретает собственные значения z(-0), z( + 0), которые ранее были предельными. Аддитивная функция сегмента v ([a, b]) = v (b) — v (а) непрерывна на [0, /]v. Можно показать [33], что v([a, b]) допускает стандартное продолжение до счетно-аддитивной меры на системе борелевских (относительно [0, /]v) подмножеств. Заметим, что v-мера множества [-0, ], то есть v{[-0, ]} равна v()-v(-0), v{[, f + 0]} = v( + 0)-v(), vfe-0, f + 0]} = v( f + 0)-v( f-0). Следуя Покорному Ю.В. [33] введем процедурой лебеговского типа [5, 21, 24, 47, 56] интеграл шф] по «расщепленной» мере v, где функция z определена на А [0,/]v \ S(v), и будем называть такой интеграл ж - интегралом.
Полнота пространства Еи
Рассматривается одномерный, неоднородный континуум, расположенный вдоль отрезка [0, /] и состоящий из двух кусков стилтьесовской струны, взаимодействующих в точке х=). Между этими кусками присутствует упругая связь, типа пружины жесткости у, скрепляющей левый и правый куски системы, допускающая разрыв цепочки. Пусть правый конец левой струны (в «точке - 0 ») и левый конец правой струны (в «точке % + 0») дополнительно упруго связаны с внешней средой с помощью пружин жесткости ух и у2 соответственно.
Пусть концы струн жестко закреплены в точках д=0, х=1. Будем рассматривать поперечные малые деформации в одной плоскости. Через и{х) обозначим отклонение точки х от положения равновесия под влиянием внешней силы, интенсивности Дх). Заметим, что в точке х = функция и(х) не определена, но определены и имеют физический смысл предельные значения и{, - 0), и{, + 0) - скрепленные концы левого и правого кусков сие темы. Интенсивность внешней силы определена при х Ф Е,. Обозначим через /І сосредоточенную силу, действующую на правый конец левой струны (в точке и( -0)), а через/2 сосредоточенную силу, действующую на левый конец правой струны (в точке и( + 0)). Тогда общая энергия, затрачиваемая внешней силой на придание системе формы и(х), равна \u{x)f(x)dx + fxu{%-0) + f2 и( + 0). Пусть р(х) - функция, характеризующая локальное натяжение струн при х Ф %. Положим, р{) — у. Тогда внутренняя энергия, накапливаемая системой за счет собственной упругости, выражается интегралом
Однако остальные слагаемые в (3.3.1) не удается выразить с помощью интегралов Стилтьеса, как это делалось в [10, 34, 35, 42, 55]. Дело в том, что при интегрировании по Стилтьесу в точках ненулевой меры важны лишь собственные значения интегрируемой функции и предельные значения интегрирующей функции. В нашем случае и{ - 0) Ф и{, + 0), и функции Q и F не непрерывны в точке х = . То есть Q,F — ненулевые меры точки , как бы «расщепленные» в силу двойных разрывов функций Q, F. На пространстве Ем //—абсолютно непрерывных на [0,1] функций, производные которых имеют на [0, /] ограниченную вариацию рассматривается функционал (3.0.2), т.е. о z о z о при условиях закрепления концов и(0) = А, и(1) = В. Здесь р, Q, F— функции ограниченной вариации на отрезке [0, /], причем inf р 0. Функция ju(x) строго возрастает на отрезке [0, /]. Производная и понимается в смысле Радона-Никодима.
Пусть щ(х) дает минимум функционала, тогда справедливо неравенство Ф(и) Ф(и0) при всех и достаточно близких к щ. Пусть h - произвольная функция, принадлежащая классу допустимых возмущений Е0/л, где ЕОм={ИеЕ \К0) = К1) = 0}.
Введем скалярную функцию рк{Л) = Ф{щ + ЛИ). Так как ф(и) ф(и0) для любого и, то Ф(и0 + Лк) Ф(и0) для любого Я, поэтому значение Я = 0 дает минимум (Я). Если при этом функция (рн(Л) дифференцируема в нуле, то должно быть
Лемма 3.5.1. Пусть функция А(х) имеет ограниченную вариацию на [0, /] и непрерывна в точках х—0, х=1. Пусть функция h(x) принадлежит пространству Ем, т.е. является/л- абсолютно непрерывной относительно строго возрастающей и непрерывной в точках х=0, х=1 функции ju(x). Тогда і из равенства \A(x)dh = 0 следует, что А(х) = const на [0, /]. о Доказательство. і Пусть C=const. Тогда J Cdh = C{h{l) - /z(0)) = 0. Значит, из равенства о і і \A(x)dh = 0 следует справедливость равенства Г(А - C)dh = 0 для всех о о h є Е., И для любой константы С. г X Рассмотрим функцию h (х) = \(A(t) - C)dju(t). Покажем, что С можно о подобрать таким образом, чтобы h еЕ . Заметим, во-первых, что h являет i і $ + ся ju- абсолютно непрерывной, причем h =A(t)-C. Отсюда h EBV[0,1]. Выпишем значение h на концах отрезка [0, /].
Аналог усиленной теоремы Якоби в разрывном случае
Разностные методы возникли еще до создания дифференциального и интегрального исчисления и главного средства моделирования - дифференциальных уравнений. Для Ньютона и Лейбница разностные соображения, интенсивно применявшиеся в прикладной математике 17 века (картографические и астрономические таблицы) были предтечей метода дифференциалов. До сих пор в прикладной и инженерной математике метод конечных разностей - самый простой и надежный по глубокому убеждению исследователей натуры, однако применяются разностные методы, как и столетие назад, для физических задач с регулярными параметрами. Для задач с сингулярными и импульсными особенностями даже вопрос о применимости таких методов оказался в стороне от формальной математики. Однако этот вопрос весьма актуален в наше время в связи с необходимостью разнообразных расчетов численного характера для существенно неоднородных систем с локальными внедрениями особенностей.
В этой главе обсуждается возможность приближенного метода типа разностной схемы для модельной проблемы Ф(и) — min , где
Первый интеграл в (5.0.1) понимается по Лебегу-Стилтьесу; второй -как 7г-интеграл; допустимые функции предполагаются ju - абсолютно- непрерывными с производными из BV [0, 1]. Минималь этого функционала, определяющего потенциальную энергию виртуальной формы разорванной в точке x = — стилтьесовскои струны, жестко закрепленной на концах, соответствует реальной форме такой струны. В (5.0.1) функция F предполагается монотонно неубывающей на [0, 1]. Допускаемая негладкость F означает возможность сосредоточенных внешних нагрузок (там, где F имеет скачки).
При построении интерполяционной сетки для соответствующей разно-стной схемы предполагается включение в нее (в сетку) «расщепленных» точек разрыва ju и F, что позволяет модифицировать стандартную форму разностных отношений, приравнивая к таким отношениям напрямую соответствующие скачки, рассматривая тем самым точки разрыва как интервалы единичной длины. В 1 описан приближенный метод решения вариационной задачи деформации цепочки из двух струн. В 2 приведены тестовые примеры.
Пусть вдоль отрезка [0, 1] с единичной силой натянута цепочка из двух 1 струн, упруго соединенная в точке х = — пружиной жесткости у = 1, причем концы цепочки жестко закреплены. Обозначим через и(х) деформацию цепочки под воздействием внешней силы F(x). Условия закрепления концов означают, что и(0)=и(1)=0. Функционал потенциальной энергии такой системы имеет вид X+Lх — Рассмотрим случай, когда функция F(x) не убывает на [0, 1] и терпит
3 разрыв лишь в точке х = — , что соответствует сосредоточенной силе, приложенной в этой точке. Реальная форма, принятая системой под воздействием такой силы, решает задачу о минимизации функционала (5.0.1) при условиях и(0)=и( 1)=0, т.е.
